2
本章介绍动力学的一个重要原理 —— 达朗伯原理 。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法，
因而也称 动静法 。
§ 14–1 惯性力的概念 · 质点的达朗伯原理
§ 14–2 质点系的达朗伯原理
§ 14–3 刚体惯性力系的简化
§ 14–4 定轴转动刚体的轴承动反力?
静平衡与动平衡的概念达朗伯原理的应用第十五章 达朗伯原理
4
§ 15-1 惯性力的概念 · 质点的达朗伯原理人用手推车 amFF'
力 是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体 (人手 )产生的反抗力。称为小车的 惯性力 。
'F
定义：质点惯性力加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。
amQ
一,惯性力的概念
5
2
2
2
2
2
2
dt
zd
mmaQ
dt
yd
mmaQ
dt
xd
mmaQ
zz
yy
xx
0
2
2
2
bb
nn
maQ
v
mmaQ
dt
sd
mmaQ
[注 ] 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施力体反作用力的合力。
6
非自由质点 M，质量 m，受主动力,
约束反力,合力
F
N amNFR
0 amNF
0 QNF
质点的达朗伯原理二、质点的达朗伯原理
7
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。
8
[例 1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度?，相对于车厢静止。求车厢的加速度 。a
9
选单摆的摆锤为研究对象虚加惯性力
) ( maQamQ
0c oss i n,0 QmgX
tg ga
角随着加速度 的变化而变化，当 不变时,? 角也不变。只要测出?角，就能知道列车的加速度 。摆式加速计的原理。
a a
a
解：
由动静法,有解得
10
§ 15-2 质点系的达朗伯原理对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构成平衡力系。这就是 质点系的达朗伯原理 。可用方程表示为：
0)()()(
0
iOiOiO
iii
QmNmFm
QNF
设有一质点系由 n个质点组成，对每一个质点，有
),1,2,.,,,,,( 0 niQNF iii
注意到,将质点系受力按内力、外力划分,则 0)(,0
)()( iiOii FmF
0)()(
0
)(
)(
iO
e
iO
i
e
i
QmFm
QF
11
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
dt KdvmdtdaMamQ iiCiii )(
dt
Ldvmm
dt
dammQm O
iiOiiOiO )()()(
12
对平面任意力系：
0)()(
0
0
)(
)(
)(
iO
e
iO
iy
e
i
ix
e
i
QmFm
QY
QX
对于空间任意力系：
0)()(,0
0)()(,0
0)()(,0
)()(
)()(
)()(
iz
e
iziz
e
i
iy
e
iyiy
e
i
ix
e
ixix
e
i
QmFmQZ
QmFmQY
QmFmQX
实际应用时,同静力学一样任意选取研究对象,列平衡方程求解。
用动静法求解动力学问题时，
13
§ 15-3 刚体惯性力系的简化简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点 O简化而得到一个惯性力 和一个惯性力偶 。
QR
QOM
)(
与简化中心有关与简化中心无关
QmM
aMamQR
OQO
CQ
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
14
一、刚体作平动向质心 C简化：
CQ aMR
0)()( CiiCiiiCQC armamrQmM
cQ aMR
刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。
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15
16
空间惯性力系 — >平面惯性力系（质量对称面）
O为转轴 z与质量对称平面的交点，向 O点简化：
iii amQ
主矢：
主矩：
CQ aMR
)(
0
)()(
2
反向负号表示与?
Oii
iii
n
iOiOQO
Irm
rmr
QmQmM
二、定轴转动刚体先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面的简单情况。
O直线 i,平动,过 M
i点，
17
向 O点简化：
CQ aMR
OQO IM
向质点 C点简化：
CQ aMR
CQC IM
作用在 C点作用在 O点
18
讨论：
① 刚体作匀速转动，转轴不通过质点 C 。 2?meR
Q?
19
讨论：
② 转轴过质点 C，但0，惯性力偶 （与?反向）?
CQ IM
20
讨论：
③ 刚体作匀速转动，且转轴过质心，则 0,0
QCQ MR
（主矢、主矩均为零）
21
假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。
刚体平面运动可分解为随基点（质点 C）的平动：
绕通过质心轴的转动：
作用于质心
CQ aMR
CQC IM
CQ aMR
CQC IM
三、刚体作平面运动
22
23
对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：
0)(,0)(
0,0
0,0
)(
)(
)(
QC
e
CC
Qy
e
Qx
e
MFmFm
RYY
RXX
实质上：
)(,,)(22)(22)(22 eCCeCeC FmdtdIYdt ydMXdt xdM?
24
[例 1] 均质杆长 l,质量 m,与水平面铰接,杆由与平面成?0角位置静止落下。求开始落下时杆 AB的角加速度及 A点支座反力。
选杆 AB为研究对象虚加惯性力系：
2
mlR
Q?
3,0
2 mlIMmaR
AQAn
n
Q
解,
根据动静法，有
25
( 3 ) 02/c o s,0)(
( 2 ) 0s i n,0
( 1 ) 0c o s,0
0
0
0
QAA
n
Q
n
An
QA
MlmgFm
RmgRF
RmgRF
。得代入得由得由
c o s
4
,( 1 ); c o s
2
3
,)3(; s i n,)2(
0
0
0
mg
R
l
g
mgR
A
n
A
26
c o s23
3
1
c o s2
2 l
g
ml
lmg
0,c o s23g,, 此时时 000 lt
用动量矩定理 +质心运动定理再求解此题：
解,选 AB为研究对象
2c o s lmgI A
由 得：
由质心运动定理：
n
An
A
Rmgma
gεlamgRma
0
00
s i n0
co s
4
3
2
co s
00 c o s4,s i n
mgRmgR
A
n
A
27
[例 2] 牵引车的主动轮质量为 m，半径为 R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力及驱动力偶矩 M，车轮对于通过质心 C并垂直于轮盘的轴的回转半径为?，轮与轨道间摩擦系数为 f,试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩 M 之最大值。
TS,
取轮为研究对象虚加惯性力系：
2mIM
mRmaR
CQC
CQ
解：
由动静法，得：
O
28
( 3 ) 0,0)(
( 2 ) 0,0
( 1 ) 0,0
QCC
Q
MFRMFm
SPNY
RTFX
由 (1)得 TFmRR
Q
得代入所以 ( 3 ) mR TF
( 4 ) )()(
222
2
R
TR
R
FTF
R
FRM
mR
TFmFRMFRM
QC
由 (2)得 N= P +S，要保证车轮不滑动，
必须 F<f N =f (P+S) (5)
RTRRSPfM
22 ))((
可见,f 越大越不易滑动。
Mmax的值为上式右端的值。把 (5)代入 (4)得：
O
29
§ 15-4 定轴转动刚体的轴承动反力?
静平衡与动平衡的概念一、刚体的轴承动反力刚体的角速度?,角加速度?（ 逆时针）
主动力系向 O点简化,主矢,主矩惯性力系向 O点简化,主矢,主矩
'R
'QR
OM
QOM
)()()(
)(
kQmjQmiQm
kMjMiM
QmQrM
aMR
iziyix
QzQyQx
iOiiQO
CQ
30
iiiiiiii
iiiii
n
iii
ix
n
ixixQx
RzmRzm
amzamz
QmQmQmM
c o ss i n
c o ss i n
)()()(
2
ziiiiiizQz
yzzxQy
IRmRamQmM
IIM
2
2
)(
同理可得
)()(
/co /s i n
2
iiiiiiQx
iiiiii
zymxzmM
RxsRy
故而
2
,
yzzxQx
iiiyziiizx
IIM
zymIxzmI
惯性积令
31
根据动静法：
,0
,0
,0
,0 '
,0 '
,0 '
'
'
Qzz
BAQyy
ABQxx
zB
Qy
yBA
Qx
xBA
MM
OBXOAXMM
OAYOBYMM
RZ
RRYY
RRXX
其中有五个式子与约束反力有关。设 AB=l,OA=l1,OB=l2 可得
32
'
/)]'()'[(
/)]'()'[(
/)]'()'[(
/)]'()'[(
11
11
22
22
xB
QxQyxyB
QyQxyxB
QyQxyxA
QxQyxyA
RZ
llRMlRMX
llRMlRMY
llRMlRMY
llRMlRMX
由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为静反力 ；一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为 附加动反力,它可以通过调整加以消除。
使附加动反力为零，须有静反力附加动反力动反力
33
0 QyQx MM 0'' QyQx RR
当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。
0
0
2
2
yzzx
yzzx
II
II
)0(
0
42
2
2
yzzxxz III
0
0
Cy
Cx
Ma
Ma
0 CC yx
对 z 轴惯性积为零,z 轴为刚体在 O点的惯性主轴； 过质心
34
静平衡,刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力而不受其它主动力时，不论位置如何，总能平衡。
动平衡,转动为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。
二、静平衡与动平衡的概念
35
[例 1] 质量不计的刚轴以角速度?匀速转动，其上固结着两个质量均为 m的小球 A和 B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？
静平衡,(b),(d)动平衡,( a)
36
动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，
不一定是动平衡的。
Grr
g
GmrGrrRMb
GrmrGrMa
Q
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1,0,)(
2
1,0,)(
对对
21
21,
[例 2] 两个相同的定滑轮如下图示，开始时都处于静止，问哪个角速度大？
(a) 绳子上加力 G (b) 绳子上挂一重 G的物体
O
O
37
根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。
应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。
因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。
达朗伯原理的应用
38
① 选取研究对象 。原则与静力学相同。
②受力分析。 画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。 主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。
应用动静法求动力学问题的步骤及要点：
④ 虚加惯性力。 在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。
39
⑤ 列动静方程。 选取适当的矩心和投影轴。
⑥建立补充方程。 运动学补充方程（运动量之间的关系）。
⑦求解求知量。
[注 ] 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，
只需按 代入即可。
QOQ MR,
OQOCQ IMmaR,
40
[例 1] 质量为 m1和 m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为 r1和 r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴 O的转动惯量为 I，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。
取系统为研究对象解,方法 1 用达朗伯原理求解
41
虚加惯性力和惯性力偶：
IIMamRamR OQOQQ,,222111
由动静法：
0
0
,0)(
2221112211
22112211
Iramramgrmgrm
MrRrRgrmgrm
Fm
QOQQ
O
列补充方程,代入上式得：
2211,rara
g
Irmrm
rmrm
2
22
2
11
2211?
42
方法 2 用动量矩定理求解
2211
)(
2
22
2
11
222111
)(
grmgrmM
Irmrm
IrvmrvmL
e
O
O
g
Irmrm
rmrm
2
22
2
11
2211?
根据动量矩定理：
2211222211 ])[( grmgrmIrmrmdtd
取系统为研究对象
43
g
Irmrm
rmrm
2
22
2
11
2211?
)(
2
2
1
2
1
2
1
2
22
2
11
2
22
22
2
11
Irmrm
IvmvmT
gdrmrmIrmrmdδ WdT F )()](2[ 22112222112 得由取系统为研究对象，任一瞬时系统的
) g dr-mr(m
dgrmdgrm
g d smg d smW F
2211
2211
2211
元功两边除以 dt，并求导数，得方法 3 用动能定理求解
44
[例 2] 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮 O均为均质物体，各重为 P和 Q，半径均为 R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角?，如在鼓轮上作用一常力偶矩 M,试求：
(1)鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？ (3)轴承 O处的支反力？
(4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？
45
解,方法 1 用达朗伯原理求解取轮 O为研究对象，虚加惯性力偶
OOOQ Rg
QIM 2
2
1
列出动静方程：
( 3 ) 0 s i n0
( 2 ) 0c o s0
( 1 ) 0,0)(
TQ,YY
T,XX
MMTRFm
O
O
QO
AAQ RgPagPR?2QA 21M,
取轮 A为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶 MQC如图示。
QR
46
列出动静方程：
( 5 ) 0s i n,0
( 4 ) 0's i n,0)(
PFRT'X
MRTRRRPFm
Q
QAQC
运动学关系：,
OAOAA RRa
将 MQ,RQ,MQA及运动学关系代入到 (1)和 (4)式并联立求解得：
。
)3(
)s in3(
,
)3(
)s in(2
2
RPQ
QRMP
T
g
RPQ
RPM
O
47
代入 (2),(3),(5)式，得：
。
)3(
)s i n(
,s i n
)3(
)s i n3(
,c os
)3(
)s i n3(
RPQ
PRMP
F
Q
RPQ
QRMP
Y
RPQ
QRMP
X
O
O
48
方法 2 用动力学普遍定理求解
(1) 用动能定理求鼓轮角加速度。
取系统为研究对象
)s in(
s in
PRM
PRMW F
)s i n()3(4,2
2
12 PRMCRPQgWTT
OF 得由
)( AO R ωR ωv
2
2
22222
2
1
)3(
4
22
1
2
1
22
1
)(
RPQ
g
R
g
Pv
g
PR
g
QT
CT
O
AO
常量
gRPQ PRMO 2)3( )s in(2
两边对 t求导数：
)s i n(2)3(4 1 2 OOO PRMRPQg
49
(2) 用动量矩定理求绳子拉力
（定轴转动微分方程）
取轮 O为研究对象，由动量矩定理得
TRMRgQ O22 RPQ QRMPT )3( )s in3(
(3) 用质心运动定理求解轴承 O处支反力取轮 O为研究对象，根据质心运动定理：
s i n0,
c os0,
TQYYMa
TXXMa
OCy
OCx
QRPQ QRMPYRPQ QRMPX OO s i n)3( )s i n3(,c o s)3( )s i n3(
50
(4) 用刚体平面运动微分方程求摩擦力取圆柱体 A为研究对象，
根据刚体平面运动微分方程
)( OAAA FRI
RPQ
PRMPg
RPQ
PRMR
g
P
RR
IF AA
)3(
)s i n(
)3(
)s i n(2
2
1
2
2
方法 3：用动能定理求鼓轮的角加速度用达朗伯原理求约束反力 （绳子拉力,轴承 O处反力 和 及摩擦力 ）。
T
OX OY
F
51
[例 3] 均质圆柱体重为 P，半径为 R，无滑动地沿倾斜平板由静止自 O点开始滚动。平板对水平线的倾角为?，试求 OA=S时平板在 O点的约束反力。板的重力略去不计。
解,(1) 用动能定理求速度，加速度圆柱体作平面运动。在初始位置时，
处于静止状态，故 T1=0；在末位置时，
设角速度为?，则 vC = R?,动能为：
P
52
2222
2 4
3
22
1
2
1
CC vg
PR
g
Pv
g
PT
主动力的功,s inPSW F
由动能定理 得 FWTT 12
s i n34 s i n043 22 gSvPSvgP CC
对 t 求导数，则, s i n
3
2,s i n
3
2
R
gga
C
(2) 用达朗伯原理求约束反力取系统为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶 MQC
QR
P
53
s i n
3
s i n
3
2
2
1
,s i n
3
2
2 PR
R
g
R
g
PM
Pa
g
PR
QC
CQ
0s i nc o ss i n
3
2
s i n
3
,0)(
0s i ns i n
3
2
,0
0c o ss i n
3
2
,0
RPPSR
P
R
P
MFm
,αα
P
P YY
,
P
XX
OO
O
O
列出动静方程：
SP M Oc o s
2s in3P X O?
)s in321 2 P( Y O
54
[例 4] 绕线轮重 P，半径为 R及 r,对质心 O转动惯量为 IO，在与水平成?角的常力 T 作用下纯滚动，不计滚阻，求,(1)轮心的加速度； (2)分析纯滚动的条件。
解,用达朗伯原理求解绕线轮作平面运动 （纯滚动）
) (,?RaaRIMagPR OOOQOOQ
由达朗伯原理，得
0c o s,0)( RTTrRRMFm QQOC?
将 RQ,MQO代入上式，可得
2
)c os(
RgPI
rRTRa
O
O
55
0co s,0 QRFTX?
22
)c o s(
)c o s(
c o s
c o s
R
g
P
I
Rr
g
P
IT
R
g
P
I
rRTR
g
P
T
RTF
O
O
O
Q
s in
0s i n,0
TPN
TPNY
纯滚动的条件,F ≤f N
)s i n(
)c o s(
2
TPf
R
g
PI
Rr
g
PIT
O
O
))(s in(
)c o s(
2R
g
PITP
Rr
g
PIT
f
O
O
56
1,物体系统由质量均为 m的两物块
A和 B组成，放在光滑水平面上，
物体 A上作用一水平力 F，试用动静法说明 A物体对 B物体作用力大小是否等于 F？
思考题：
解：
FNN
FmaFN
NRF Q
'
0
57
c o s2 212221 aaaamR Q c o ss intg 21 21 aa a
解：
2,质量为 M的三棱柱体 A 以加速度 向右移动，质量为 m的滑块 B以加速度 相对三棱柱体的斜面滑动，试问滑块 B的惯性力的大小和方向如何？
1a
2a
58
3,匀质轮重为 P，半径为 r,在水平面上作纯滚动。某瞬时角速度?,角加速度为?,求轮对质心 C 的转动惯量，轮的动量、
动能，对质心的动量矩，向质心简化的惯性力系主矢与主矩。
解：
g
rP
IMr
g
P
a
g
P
R
g
rP
IL
g
rP
IT
r
g
P
v
g
P
K
r
g
P
I
CQCCQ
CC
C
C
C
2
,
2
42
1
)(
2
2
2
2
2
2
2
59
