1
2
实际上的问题是,1、联立求解微分方程 (尤其是积分问题 )非常困难。
2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运 动,仅需要研究质点系整体的运动情况。
动力学普遍定理概述对 质点 动力学问题,建立质点运动微分方程求解。
对 质点系 动力学问题,理论上讲,n个质点列出 3n个微分方程,联立求解它们即可。
从本章起,将要讲述解答动力学问题的其它方法,而首先要讨论的是 动力学普遍定理 (包括动量定理,动量矩定理,动能定理及由此推导出来的其它一些定理 )。
3
它们以简明的数学形式,表明两种量 —— 一种是同运动特征相关的量 (动量、动量矩、动能等 )，一种是同力相关的量
(冲量、力 矩、功等 ) —— 之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷 。
本章中研究 质点和质点系的动量定理,建立了 动量的改变与力的冲量之间的关系,并研究质点系动量定理的另一重要形式 —— 质心运动定理 。
4
§ 11–1 质点系的质心 · 内力与外力
§ 11–2 动量与冲量
§ 11–3 动量定理
§ 11–4 质心运动定理第十一章 动量定理
5
一,质点系的质心质点系的质量中心称为质心 。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。
§ 11-1 质点系的质心? 内力与外力
)( imM
iiCiiC rmrMM rmr 或则设,kzjyixr cccc
M
zmz
M
ymy
M
xmx ii
CiiCiiC
,,
质心 C 点的位置,
6
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合 。可 采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置 。但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。
内力,所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。
对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：
。或 0)( 0)( ;0 )()()( iixiiOii FmFmF
二、质点系的内力与外力外力,所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。
7
§ 11-2 动量与冲量一、动量
1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。 是瞬时矢量，方向与 v 相同。单位是
kg?m/s。
动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。
例,枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。
8
2.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和 。
Cii vMvmK ) ( 求导Cii rMrm
质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。则：
CCzzCCyyCCxx zMMvKyMMvKxMMvK,,
3.刚体系统的动量,设第 i个刚体 则整个系统：
cii vm,
Cii vmK
CiiC i ziz
CiiC i yiy
CiiC i xix
zmvmK
ymvmK
xmvmK
9
解,曲柄 OA：
滑块 B：
连杆 AB,（ P为速度瞬心,）
ABlPC ;252
〔 例１ 〕 曲柄连杆机构的曲柄 OA以匀
转动，设 OA=AB=l,曲柄 OA及连杆
AB都是匀质杆,质量各为 m,滑块 B的质量也为 m。 求 当? = 45o时系统的动量。
ivvvm
vmvmvmK
CCC
CCC
)c o ss i n[( 321
321
])s inc o s( 21 jvv CC
])
10
1
2
5
2
2
2
1()2
10
3
2
5
2
2
2
1[(
])s i n
2
545co s
2
1()2co s
2
545s i n
2
1[(
jiml
jllilllm
]212[2 jiml
lvm C 21,1?
llvm ABC 2525,2
lvm C 2,3?
10
2．力 是变矢量：（包括大小和方向的变化）
元冲量,
冲量,
F
)( 12 ttFS
dtFSd?
2
1
t
t
dtFS
1．力 是常矢量：F
二．冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量,冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，
较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。
11
2
1
2
1
2
1
,,
t
t
t
t
t
t
zzyyxx dtFSdtFSdtFS
3．合力的冲量,等于各分力冲量的矢量和．
i
t
t
t
t
t
t
SdtFdtFdtRS 2
1
2
1
2
1
冲量的单位,m / skg sm / skg sN
2 与动量单位同．
12
§ 11-3 动量定理一．质点的动量定理
FvmdtdFdt vdmam )(?
质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力
（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）
SddtFvmd)(
SdtFvmvm
t
t
2
1
12
— 质点的动量定理
微分形式,（动量的微分等于力的元冲量）
积分形式,
13
投影形式：
xx Fmvdtd?)(
yy Fmvdtd?)(
zz Fmvdtd?)(
2
1
12
t
t xxxx
dtFSmvmv
2
1
12
t
t yyyy
dtFSmvmv
2
1
12
t
t zzzz
dtFSmvmv?质点的动量守恒若,则 常矢量，质点作惯性运动若,则 常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动
0?F
0?xF
vm
xmv
二．质点系的动量定理
)()()( e
i
i
iii FFvmdt
d
)0( )( )()( i
i
eiiiii FFFvmdtd 而
)( e
iFdtKd
质点系的动量定理对整个质点系：
对质点系内任一质点 i，
14
质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。
质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和．
积分形式 )(12 eiSKK
eiK i eSdtF?微分形式 )()( dd
15
投影形式：
)(eixx FdtdK
)(eiyy FdtdK
)(eizz FdtdK
2
1
)()(
12
t
t
e
ix
e
xx dtFSixKK
2
1
)()(
12
t
t
e
iy
e
yy dtFSiyKK
2
1
)()(
12
t
t
e
iz
e
zz dtFSizKK
质点系的动量守恒若 则 常矢量。
若 则 常量。
,0)( eiF
,0)( eixF
ii vmK
ixix vmK
只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。
16
[例 2] 质量为 M的大三角形柱体,放于光滑水平面上,斜面上另放一质量为 m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。
0)( axmvvM
解,选 两物体组成的系统为 研究对象。
受力分析,,0)( e
xF?xK
水平方向 常量。
由水平方向动量守恒及初始静止 ；则
0)()( vvmvM rx
)( bamM mSmM mS rx
rv
ra vvv
v设大三角块速度,
小三角块相对大三角块速度为,
则小三角块运动分析,
m mMSSm mMvv rxrx
17
运动分析，设经过?ｔ 时间后，流体 AB
运动到位置 ab，
[例 3] 流体流过弯管时,在截面 A和 B处的平均流速分别为求流体对弯管产生的动压力 (附加动压力 )。 设流体不可压缩，流量 Q(m3/s)为常量,密度为? (kg/m3）。
),m /s(,21 vv
])([])[( 12 aBAaBbaBABab KKKKKKK
12
12
)()(
vtQvtQKKK
KK
AaBb
aBaB
解,取截面 A与 B之间的流体作为研究的质点系。 受力分析如图示。
由质点系动量定理；得
RPPWvvQtKdtKd t 21120 )( lim
18
静反力,动反力)('
21 PPWR
)('' 12 vvQR
计算 时，常采用投影形式''R
)( '' 12 xxx vvQR
)( '' 12 yyy vvQR
与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力．''R
RPPWvvQtKdtKd t 21120 )(lim
)()( 1221 vvQPPWR
即
19
§ 11-4 质心运动定理将 代入到质点系动量定理，得
CvMK
)()( e
iC FvMdt
d
若质点系质量不变,则 或)( e
iC FaM )( eiC FrM
上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。 质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。
1,投影形式：
① 。,,)()()( e
izCCzeiyCCyeixCCx FzMMaFyMMaFxMMa
②
。 0,,)()(2)( eibeinCCneiC FFvMMaFdtdvMMa
20
)( eixCiiC i xi Fxmam
)( eiyCiiC i yi Fymam
)( eizCiiC i zi Fzmam
3,质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。 对于任意一个质点系,无论它作什么形式的运动,质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动,并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上,所有外力也集中作用在质心这个点上 。
2,刚体系统,设第 i 个刚体 mi,vCi，则有或)( e
iCii Fam )( eiCii Frm )( eiC FaM
)( eiC FrM
21
4,质心运动守恒定律
若,则 常矢量，质心作匀速直线运动 ;
若开始时系统静止，即 则 常矢量,质心位置守恒。
若 则 常量，质心沿 x方向速度不变；
若存在 则 常量，质心在 x 轴的位置坐标保持不变。
0)( eiF CC voa,
00?Cv?Cr
,)(0eixF CxCx va,0
00?Cxv?Cx
5．质心运动定理可求解两类动力学问题：
已知质点系质心的运动,求作用 于 质点系的外力 (包括约束反力 )。
已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。
只有外力才能改变质点系质心的运动,内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。
22
解,取整个电动机作为质点系研究，
分析受力,受力图如图示运动分析：定子质心加速度 a1=0，
转子质心 O2的加速度 a2=e?2，
方向指向 O1。
[例 4] 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为 m1,转子质量为 m2,转子的轴通过定子的质心 O1,但由于制造误差,转子的质心 O2到 O1的距离为 e 。 求转子以角速度? 作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束反力。
23
teatea yx s i n,co s 22 22
根据质心运动定理，有
xxeixC i xi NtemamFam c o s,2222)(
gmgmNtemamFam yyeiyC i yi 212222)( s i n,
temgmgmNtemN yx s i n,c o s 222122
可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。
a1=0,a2=e?2
24
321
332211
321
332211 '''
mmm
xmxmxm
mmm
xmxmxm
解,取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。
0 ii xP?
[例 5] 浮动起重船,船的重量为 P1=200kN,起重杆的重量为
P2=10kN,长 l=8m，起吊物体的重量为 P3=20kN 。 设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆 OA与铅直位置的夹角为?1=60o,
水的阻力不计,求起重杆 OA与铅直位置成角?2 =30o时船的位移。
受力分析如图示，,且初始时系统静止，所以系统质心的位置坐标
XC保持不变。
0)( exF
0ii xm?
25
船的位移?x１,杆的位移
,2/)s i n( s i n 2112 lxx
重物的位移
lxx )s i n( s i n 2113
0]/)s i n( s i n[]2/)s i n( s i n[ 2113211211 lxPlxPxP
)s i n( s i n)(2 2 21
321
321 lPPP PPx
)30s i n60( s i n8)20102 00(2 20210
m 318.0
计算结果为负值，表明船的位移水平向左。
0 ii xP 0ii xm?
26
2
实际上的问题是,1、联立求解微分方程 (尤其是积分问题 )非常困难。
2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运 动,仅需要研究质点系整体的运动情况。
动力学普遍定理概述对 质点 动力学问题,建立质点运动微分方程求解。
对 质点系 动力学问题,理论上讲,n个质点列出 3n个微分方程,联立求解它们即可。
从本章起,将要讲述解答动力学问题的其它方法,而首先要讨论的是 动力学普遍定理 (包括动量定理,动量矩定理,动能定理及由此推导出来的其它一些定理 )。
3
它们以简明的数学形式,表明两种量 —— 一种是同运动特征相关的量 (动量、动量矩、动能等 )，一种是同力相关的量
(冲量、力 矩、功等 ) —— 之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷 。
本章中研究 质点和质点系的动量定理,建立了 动量的改变与力的冲量之间的关系,并研究质点系动量定理的另一重要形式 —— 质心运动定理 。
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§ 11–1 质点系的质心 · 内力与外力
§ 11–2 动量与冲量
§ 11–3 动量定理
§ 11–4 质心运动定理第十一章 动量定理
5
一,质点系的质心质点系的质量中心称为质心 。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。
§ 11-1 质点系的质心? 内力与外力
)( imM
iiCiiC rmrMM rmr 或则设,kzjyixr cccc
M
zmz
M
ymy
M
xmx ii
CiiCiiC
,,
质心 C 点的位置,
6
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合 。可 采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置 。但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。
内力,所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。
对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：
。或 0)( 0)( ;0 )()()( iixiiOii FmFmF
二、质点系的内力与外力外力,所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。
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§ 11-2 动量与冲量一、动量
1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。 是瞬时矢量，方向与 v 相同。单位是
kg?m/s。
动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。
例,枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。
8
2.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和 。
Cii vMvmK ) ( 求导Cii rMrm
质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。则：
CCzzCCyyCCxx zMMvKyMMvKxMMvK,,
3.刚体系统的动量,设第 i个刚体 则整个系统：
cii vm,
Cii vmK
CiiC i ziz
CiiC i yiy
CiiC i xix
zmvmK
ymvmK
xmvmK
9
解,曲柄 OA：
滑块 B：
连杆 AB,（ P为速度瞬心,）
ABlPC ;252
〔 例１ 〕 曲柄连杆机构的曲柄 OA以匀
转动，设 OA=AB=l,曲柄 OA及连杆
AB都是匀质杆,质量各为 m,滑块 B的质量也为 m。 求 当? = 45o时系统的动量。
ivvvm
vmvmvmK
CCC
CCC
)c o ss i n[( 321
321
])s inc o s( 21 jvv CC
])
10
1
2
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10
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2
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2
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2
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jiml
jllilllm
]212[2 jiml
lvm C 21,1?
llvm ABC 2525,2
lvm C 2,3?
10
2．力 是变矢量：（包括大小和方向的变化）
元冲量,
冲量,
F
)( 12 ttFS
dtFSd?
2
1
t
t
dtFS
1．力 是常矢量：F
二．冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量,冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，
较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。
11
2
1
2
1
2
1
,,
t
t
t
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3．合力的冲量,等于各分力冲量的矢量和．
i
t
t
t
t
t
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1
2
1
2
1
冲量的单位,m / skg sm / skg sN
2 与动量单位同．
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§ 11-3 动量定理一．质点的动量定理
FvmdtdFdt vdmam )(?
质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力
（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）
SddtFvmd)(
SdtFvmvm
t
t
2
1
12
— 质点的动量定理
微分形式,（动量的微分等于力的元冲量）
积分形式,
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投影形式：
xx Fmvdtd?)(
yy Fmvdtd?)(
zz Fmvdtd?)(
2
1
12
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2
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dtFSmvmv?质点的动量守恒若,则 常矢量，质点作惯性运动若,则 常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动
0?F
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二．质点系的动量定理
)()()( e
i
i
iii FFvmdt
d
)0( )( )()( i
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eiiiii FFFvmdtd 而
)( e
iFdtKd
质点系的动量定理对整个质点系：
对质点系内任一质点 i，
14
质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。
质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和．
积分形式 )(12 eiSKK
eiK i eSdtF?微分形式 )()( dd
15
投影形式：
)(eixx FdtdK
)(eiyy FdtdK
)(eizz FdtdK
2
1
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质点系的动量守恒若 则 常矢量。
若 则 常量。
,0)( eiF
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ixix vmK
只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。
16
[例 2] 质量为 M的大三角形柱体,放于光滑水平面上,斜面上另放一质量为 m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。
0)( axmvvM
解,选 两物体组成的系统为 研究对象。
受力分析,,0)( e
xF?xK
水平方向 常量。
由水平方向动量守恒及初始静止 ；则
0)()( vvmvM rx
)( bamM mSmM mS rx
rv
ra vvv
v设大三角块速度,
小三角块相对大三角块速度为,
则小三角块运动分析,
m mMSSm mMvv rxrx
17
运动分析，设经过?ｔ 时间后，流体 AB
运动到位置 ab，
[例 3] 流体流过弯管时,在截面 A和 B处的平均流速分别为求流体对弯管产生的动压力 (附加动压力 )。 设流体不可压缩，流量 Q(m3/s)为常量,密度为? (kg/m3）。
),m /s(,21 vv
])([])[( 12 aBAaBbaBABab KKKKKKK
12
12
)()(
vtQvtQKKK
KK
AaBb
aBaB
解,取截面 A与 B之间的流体作为研究的质点系。 受力分析如图示。
由质点系动量定理；得
RPPWvvQtKdtKd t 21120 )( lim
18
静反力,动反力)('
21 PPWR
)('' 12 vvQR
计算 时，常采用投影形式''R
)( '' 12 xxx vvQR
)( '' 12 yyy vvQR
与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力．''R
RPPWvvQtKdtKd t 21120 )(lim
)()( 1221 vvQPPWR
即
19
§ 11-4 质心运动定理将 代入到质点系动量定理，得
CvMK
)()( e
iC FvMdt
d
若质点系质量不变,则 或)( e
iC FaM )( eiC FrM
上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。 质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。
1,投影形式：
① 。,,)()()( e
izCCzeiyCCyeixCCx FzMMaFyMMaFxMMa
②
。 0,,)()(2)( eibeinCCneiC FFvMMaFdtdvMMa
20
)( eixCiiC i xi Fxmam
)( eiyCiiC i yi Fymam
)( eizCiiC i zi Fzmam
3,质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。 对于任意一个质点系,无论它作什么形式的运动,质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动,并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上,所有外力也集中作用在质心这个点上 。
2,刚体系统,设第 i 个刚体 mi,vCi，则有或)( e
iCii Fam )( eiCii Frm )( eiC FaM
)( eiC FrM
21
4,质心运动守恒定律
若,则 常矢量，质心作匀速直线运动 ;
若开始时系统静止，即 则 常矢量,质心位置守恒。
若 则 常量，质心沿 x方向速度不变；
若存在 则 常量，质心在 x 轴的位置坐标保持不变。
0)( eiF CC voa,
00?Cv?Cr
,)(0eixF CxCx va,0
00?Cxv?Cx
5．质心运动定理可求解两类动力学问题：
已知质点系质心的运动,求作用 于 质点系的外力 (包括约束反力 )。
已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。
只有外力才能改变质点系质心的运动,内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。
22
解,取整个电动机作为质点系研究，
分析受力,受力图如图示运动分析：定子质心加速度 a1=0，
转子质心 O2的加速度 a2=e?2，
方向指向 O1。
[例 4] 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为 m1,转子质量为 m2,转子的轴通过定子的质心 O1,但由于制造误差,转子的质心 O2到 O1的距离为 e 。 求转子以角速度? 作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束反力。
23
teatea yx s i n,co s 22 22
根据质心运动定理，有
xxeixC i xi NtemamFam c o s,2222)(
gmgmNtemamFam yyeiyC i yi 212222)( s i n,
temgmgmNtemN yx s i n,c o s 222122
可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。
a1=0,a2=e?2
24
321
332211
321
332211 '''
mmm
xmxmxm
mmm
xmxmxm
解,取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。
0 ii xP?
[例 5] 浮动起重船,船的重量为 P1=200kN,起重杆的重量为
P2=10kN,长 l=8m，起吊物体的重量为 P3=20kN 。 设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆 OA与铅直位置的夹角为?1=60o,
水的阻力不计,求起重杆 OA与铅直位置成角?2 =30o时船的位移。
受力分析如图示，,且初始时系统静止，所以系统质心的位置坐标
XC保持不变。
0)( exF
0ii xm?
25
船的位移?x１,杆的位移
,2/)s i n( s i n 2112 lxx
重物的位移
lxx )s i n( s i n 2113
0]/)s i n( s i n[]2/)s i n( s i n[ 2113211211 lxPlxPxP
)s i n( s i n)(2 2 21
321
321 lPPP PPx
)30s i n60( s i n8)20102 00(2 20210
m 318.0
计算结果为负值，表明船的位移水平向左。
0 ii xP 0ii xm?
26
