1
2
§ 7–1 刚体的平行移动
§ 7–2 刚体的定轴转动
§ 7–3 定轴转动刚体内各点的速度与加速度
§ 7–4 绕定轴转动刚体的传动问题
§ 7–5 角速度与角速度的矢量表示点的速度与加速度的矢积表示习题课第七章 刚体的基本运动
3
第七章 刚体的基本运动
[例 ]
由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的是指刚体的平行移动和转动
§ 7-1刚体的平行移动 (平动 )
基本运动
4
OB作定轴转动
CD作平动 AB,凸轮均作平动位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。
5
)0()( dtrdvdtrdrrdtddtrdv ABAAABABB?
一,刚体平动的定义,
刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持方向不变 。
由 A,B 两点的运动方程式,而( t )rr( t ),rr BBAA ABAB rrr
AAABABB adt
rdrr
dt
d
dt
rda
2
2
2
2
2
2 )(:同理
[例 ] AB在运动中方向和大小始终不变它的轨迹可以是直线可以是曲线
6
得出结论,即二,刚体平动的特点,
平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状,速度,加速度都一样。
即,平动刚体的运动可以简化为一个点的运动 。
7
§ 7-2 刚体的定轴转动一,刚体定轴转动的特征及其简化特点,有一条不变的线称为转轴,其余各点都在垂直于转轴的平面上做圆周运动。
二,转角和转动方程
---转角,单位弧度 (rad)
=f(t)---为转动方程方向规定,从 z 轴正向看去,
逆时针为正 顺时针为负
8
三,定轴转动的角速度和角加速度
1.角速度,
工程中常用单位：
n = 转 /分 (r / min)
则 n与 w的关系为,
)nnn ( r a d / s1030602w
)(,tfw则 单位 rad/s
若已知转动方程 f(t)
)( ΔΔlim,
0Δ
代数量定义w
dt
d
tt
9
2.角加速度,
设当 t 时刻为 w,t +△ t 时刻为 w+△ w
与 w方向一致为加速转动,?与 w方向相反为减速转动
3.匀速转动和匀变速转动当 w =常数,为 匀速转动 ；当?=常数,为 匀变速转动 。
ww
w?
ww
2
2
1
2
0
2
2
0
0
tt
t
常用公式 与点的运动相类似。
)(lim,220 tfdtddtdttw?w角加速度 单位,rad/s
2 (代数量 )
10
w,? 对整个刚体而言 (各点都一样 )；
v,a 对刚体中某个点而言 (各点不一样 )。
t
S
dt
dSv
t?
0lim
Rt Rv t w 0lim
Rv w
(即角量与线量的关系 )
§ 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度一,线速度 V和角速度 w之间的关系
11
,)( RRdtdRdtddtdvaww
222 )( ww
RR
Rva
n
4222|||| w Raaaaa nn全
22 tg w
w
R
R
a
a
n
二,角加速度?与 an,a? 的关系
12
结论,① v方向与 w相同时为正,?R,与 R 成正比。
②各点的全加速度方向与各点转动半径夹角?都一致,且小于 90o,在同一瞬间的速度和加速度的分布图为,
各点速度分布图 各点加速度分布图
13
我们常见到在工程中,用一系列互相啮合的齿轮来实现变速,
它们变速的基本原理是什么呢?
§ 7-4 绕定轴转动刚体的传动问题一,齿轮传动因为是做纯滚动 (即没有相对滑动 )
定义 齿轮传动比
E
F
E
F
F
EEF ZZrri ww
EF vv EF vv
EEFF rr ww?
1.内啮合
14
DDCCDCDC rrvvvv ww
C
D
C
D
D
C
CD Z
Z
r
ri
w
w
t
rZ?2?齿数
E
F
E
F
E
F
Z
Z
tr
tr
r
r
/ 2
/ 2
2.外啮合
15
由于转速 n与 w 有如下关系：
成正比
2
1
2
1 602 nnn ww?w
从动轮主动轮即
1
2
1
2
2
1
2
1
2,1,z
z
r
r
n
ni
w
w
显然当,时,,为升速转动；
时,,为降速转动。1|| 2,1?i 12
ww?
1|| 2,1?i 12 ww?
16
三,链轮系,设有,A,B,C,D,E,F,G,H 轮系,则总传动比为：
HGGFFEEDDCCBBA
m
H
G
G
F
F
E
E
D
D
C
C
B
B
Am
H
A
HA
iiiiiii
i
,,,,,,,
,
)1()1(
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
其中 m代表外啮合的个数；负号表示最后一个轮转向与第一个轮转向相反。
二,皮带轮系传动
BA vv (而不是 方向不同 )? BA vv?
BBAA rr ww 皮带传动
A
B
B
AAB rriww
17
§ 7-5 角速度和角加速度的矢量表示点的速度和加速度的矢量表示一,角速度和角加速度的矢量表示
|||:| dtd?w?大小
kww?方向如图
kkdtddtd?ww
按右手定则规定
,的方向。w?
18
二 刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示
w?www?w RrrrRv s i n||s i n?
vrw
dt rdrdtddt
rd
dt vda
www )(?
vra w?
Rvva
Rrra
o
n
290s i n||||
s i n||
www
ra va n w
ra
rv
w
va nw
19
一,基本概念和基本运动规律及基本公式
1,基本概念：直线运动,曲线运动 (点 ) ;
平动,定轴转动 (刚体 )。
2,基本运动规律与公式,
第六章 点的运动学,
第七章 刚体的基本运动习题课
20
dt
dv
a?
点的运动加速度
a
a
n
a
v s
匀速
0 0 0
匀变
a
=C 0 a =C
直线运动变速
0
匀速
0
匀变
a
=C
曲线运动变速
dt
dv
a?
Cv?
vttfs )(
atvv
0
2
0
2
1
attvs
t
adtvv
0
0
t
v dts
0
dt
dv
a?
2
v
a
n
2
v
a
n
2
v
a
n
2
v
a?
22
n
aa
a
22
n
aa
a
Cv?
tavv
0
t
dtavv
0
0?
vts?
2
0
2
1
tatvs
t
v dts
0
21
刚体定轴转动转动方程,
角速度,
)(tf
dtd?w?
2
2
dt
d
dtd
w角加速度,
匀速转动,
匀变速运动,
tw 0
t?ww 0
200 21 tt?w
ww 2202
22
二,解题步骤及注意问题
1.解题步骤,
① 弄清题意,明确已知条件和所求的问题。
②选好坐标系：直角坐标法，自然法。
③ 根据已知条件进行微分，或积分运算。
④ 用初始条件定积分常数。
对常见的特殊运动，
可直接应用公式计算 。
２．注意问题：
①几何关系和运动方向。
②求轨迹方程时要消去参数,t”。
③ 坐标系（参考系）的选择。
23
三,例题
[例 1]列车在 R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长
l=200m，当列车开始走上曲线时的速度 v0=30km/h，而将要离开曲线轨道时的速度是 v1＝ 48km/h。
求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？
24
a解,由于是匀变速运动，则 常量。
由公式 而由已知savv
2202,m2 0 0 ls
m / s
3
40
3 6 0 0
1 0 0 048,m / s
3
25
3 6 0 0
1 0 0 030
m / s27.0
2 0 029
6 2 51 6 0 0
2
10
2
2
0
2
1
vv
s
vv
a?
列车走上曲线时，
全加速度列车将要离开曲线时，
全加速度
22
2
0
02 m / s23.03 0 0
)3/25(,m / s27.0
R
vaa
n?
'
0
1022020 2949tg,m / s356.0
n
n a
aaaa?
22
2
1
12 m / s5 9 3.03 0 0
)3/40(,m / s27.0
R
vaa
n?
'
1
1122121 3424tg,m / s652.0
n
n a
aaaa?
25
〔 例 2〕 已知如图，求 时正好射到 A点且用力最小。,
0 v?
分析：只有在 A点,vy＝ 0且为最大高度时，用力才最小。
gtvdtdyv ys i n0
解,由
2
0
0
2
1s in
c o s
gttvy
tvx
由于在 A点时,vy=0，所以上升到最大高度 A点时所用时间为：
g
vt?s in0?
26
将上式代入 ①和②，得：
g
vy
g
vx
AA 2
s i n,
2
2s i n 22020
tg
2
1
2s i n
s i n
5
5.1 2
2
2s i n
2
s i n
2
0
22
0
g
v
g
v
A
A
x
y
31,6.05 5.12tg
将?31 代入③,得
11162s i n 58.922s i n220Agxv
m / s5.100 v
27
〔 例 3〕 已知：重物 A的 2m/s1?
Aa
（常数）初瞬时速度 m/s5.1
0?v
方向如图示。 求：,m5.0?R? m30,r?
① 滑轮 3s内的转数；
②重物 B在 3s内的行程；
③重物 B在 ｔ ＝ 3s时的速度；
④滑轮边上 C点在初瞬时的加速度；
⑤滑轮边上 C点在 ｔ ＝ 3s时的加速度。
28
2r a d / s 25.0 1 Ra C
r a d / s35.0 5.1,m/ s5.1 0 Rvvv CAC w
）常数（
（ ）
,m /s1 2 AC aa?解,① 因为绳子不可以伸长，所以有转）(86.22,r a d1832213321 220w? ntt
m4.5183.0rs②
m / s7.293.0wrv B
），
③ r a d / s 9323 0 t?ww
（
29
④ t = 0 时，
2220
2
m / s5.435.0
,m / s1
w
Ra
aa
n
C
AC
5.12,2 2 2.0
5.4
1tg
m / s 61.45.41)()( 22222
n
C
C
n
CCC
a
a
aaa
⑤ t=3s 时，
222 m /s5.4095.0,m /s1 2 w? Raaa nCAC
41.1,0 2 4 7.051.40 1 t g,m / s51.405.401 222Ca
30
[例 4] 已知：圆轮 O由静止开始作等加速转动,OM＝ 0.4m，
在 某瞬时测得 30,m / s 40 2?
Ma
求,?转动方程 ;
t＝ 5s时,Ｍ 点的速度和向心加速度的大小。
s in aRa
2r a d / s 504.0 30s i n40s i n RaRa
解,?
22200 25502121,0 ttttw?w?
225 t转动方程
M
31
ttRvtt M 20504.0,50 0 w?ww
22
2 m/ s25000
4.0
100
R
va Mn
M
当 ｔ ＝ 5s时,m / s100520Mv M
32
〔 例 5〕 试画出图中刚体上 Ｍ?Ｎ 两点在图示位置时的速度和加速度。 ),(
2121 ABOOBOAO
33
〔 例 6〕 已知如图，从 O点以任一角度抛出一质点，试证明质点最早到达直线Ｌ的抛角为 。
2?
（与上升的最大高度无关，只要求时间对抛射角度的变化率）
到达高度为 h 时,t 与 的关系有下式确定
0?
200 21s i n gttvh
200 21s i n gttvy
解,选 坐标系，则xoy
O
34
00000
221)s i nc o s(0 d dttgd dttv
欲使最早到达，必须满足
0
0
ddt
将?对 求导数0?
000000
s i nc o s0 d dttgd dtvtv
将 （最早到达的条件） 代入?，得
0
0
ddt ;0co s 00tv
又 0co s,0
00tv 2
证毕。
表示出在某一角度下时间会最短。（极值）
35
2
§ 7–1 刚体的平行移动
§ 7–2 刚体的定轴转动
§ 7–3 定轴转动刚体内各点的速度与加速度
§ 7–4 绕定轴转动刚体的传动问题
§ 7–5 角速度与角速度的矢量表示点的速度与加速度的矢积表示习题课第七章 刚体的基本运动
3
第七章 刚体的基本运动
[例 ]
由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的是指刚体的平行移动和转动
§ 7-1刚体的平行移动 (平动 )
基本运动
4
OB作定轴转动
CD作平动 AB,凸轮均作平动位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。
5
)0()( dtrdvdtrdrrdtddtrdv ABAAABABB?
一,刚体平动的定义,
刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持方向不变 。
由 A,B 两点的运动方程式,而( t )rr( t ),rr BBAA ABAB rrr
AAABABB adt
rdrr
dt
d
dt
rda
2
2
2
2
2
2 )(:同理
[例 ] AB在运动中方向和大小始终不变它的轨迹可以是直线可以是曲线
6
得出结论,即二,刚体平动的特点,
平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状,速度,加速度都一样。
即,平动刚体的运动可以简化为一个点的运动 。
7
§ 7-2 刚体的定轴转动一,刚体定轴转动的特征及其简化特点,有一条不变的线称为转轴,其余各点都在垂直于转轴的平面上做圆周运动。
二,转角和转动方程
---转角,单位弧度 (rad)
=f(t)---为转动方程方向规定,从 z 轴正向看去,
逆时针为正 顺时针为负
8
三,定轴转动的角速度和角加速度
1.角速度,
工程中常用单位：
n = 转 /分 (r / min)
则 n与 w的关系为,
)nnn ( r a d / s1030602w
)(,tfw则 单位 rad/s
若已知转动方程 f(t)
)( ΔΔlim,
0Δ
代数量定义w
dt
d
tt
9
2.角加速度,
设当 t 时刻为 w,t +△ t 时刻为 w+△ w
与 w方向一致为加速转动,?与 w方向相反为减速转动
3.匀速转动和匀变速转动当 w =常数,为 匀速转动 ；当?=常数,为 匀变速转动 。
ww
w?
ww
2
2
1
2
0
2
2
0
0
tt
t
常用公式 与点的运动相类似。
)(lim,220 tfdtddtdttw?w角加速度 单位,rad/s
2 (代数量 )
10
w,? 对整个刚体而言 (各点都一样 )；
v,a 对刚体中某个点而言 (各点不一样 )。
t
S
dt
dSv
t?
0lim
Rt Rv t w 0lim
Rv w
(即角量与线量的关系 )
§ 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度一,线速度 V和角速度 w之间的关系
11
,)( RRdtdRdtddtdvaww
222 )( ww
RR
Rva
n
4222|||| w Raaaaa nn全
22 tg w
w
R
R
a
a
n
二,角加速度?与 an,a? 的关系
12
结论,① v方向与 w相同时为正,?R,与 R 成正比。
②各点的全加速度方向与各点转动半径夹角?都一致,且小于 90o,在同一瞬间的速度和加速度的分布图为,
各点速度分布图 各点加速度分布图
13
我们常见到在工程中,用一系列互相啮合的齿轮来实现变速,
它们变速的基本原理是什么呢?
§ 7-4 绕定轴转动刚体的传动问题一,齿轮传动因为是做纯滚动 (即没有相对滑动 )
定义 齿轮传动比
E
F
E
F
F
EEF ZZrri ww
EF vv EF vv
EEFF rr ww?
1.内啮合
14
DDCCDCDC rrvvvv ww
C
D
C
D
D
C
CD Z
Z
r
ri
w
w
t
rZ?2?齿数
E
F
E
F
E
F
Z
Z
tr
tr
r
r
/ 2
/ 2
2.外啮合
15
由于转速 n与 w 有如下关系：
成正比
2
1
2
1 602 nnn ww?w
从动轮主动轮即
1
2
1
2
2
1
2
1
2,1,z
z
r
r
n
ni
w
w
显然当,时,,为升速转动；
时,,为降速转动。1|| 2,1?i 12
ww?
1|| 2,1?i 12 ww?
16
三,链轮系,设有,A,B,C,D,E,F,G,H 轮系,则总传动比为：
HGGFFEEDDCCBBA
m
H
G
G
F
F
E
E
D
D
C
C
B
B
Am
H
A
HA
iiiiiii
i
,,,,,,,
,
)1()1(
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
其中 m代表外啮合的个数；负号表示最后一个轮转向与第一个轮转向相反。
二,皮带轮系传动
BA vv (而不是 方向不同 )? BA vv?
BBAA rr ww 皮带传动
A
B
B
AAB rriww
17
§ 7-5 角速度和角加速度的矢量表示点的速度和加速度的矢量表示一,角速度和角加速度的矢量表示
|||:| dtd?w?大小
kww?方向如图
kkdtddtd?ww
按右手定则规定
,的方向。w?
18
二 刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示
w?www?w RrrrRv s i n||s i n?
vrw
dt rdrdtddt
rd
dt vda
www )(?
vra w?
Rvva
Rrra
o
n
290s i n||||
s i n||
www
ra va n w
ra
rv
w
va nw
19
一,基本概念和基本运动规律及基本公式
1,基本概念：直线运动,曲线运动 (点 ) ;
平动,定轴转动 (刚体 )。
2,基本运动规律与公式,
第六章 点的运动学,
第七章 刚体的基本运动习题课
20
dt
dv
a?
点的运动加速度
a
a
n
a
v s
匀速
0 0 0
匀变
a
=C 0 a =C
直线运动变速
0
匀速
0
匀变
a
=C
曲线运动变速
dt
dv
a?
Cv?
vttfs )(
atvv
0
2
0
2
1
attvs
t
adtvv
0
0
t
v dts
0
dt
dv
a?
2
v
a
n
2
v
a
n
2
v
a
n
2
v
a?
22
n
aa
a
22
n
aa
a
Cv?
tavv
0
t
dtavv
0
0?
vts?
2
0
2
1
tatvs
t
v dts
0
21
刚体定轴转动转动方程,
角速度,
)(tf
dtd?w?
2
2
dt
d
dtd
w角加速度,
匀速转动,
匀变速运动,
tw 0
t?ww 0
200 21 tt?w
ww 2202
22
二,解题步骤及注意问题
1.解题步骤,
① 弄清题意,明确已知条件和所求的问题。
②选好坐标系：直角坐标法，自然法。
③ 根据已知条件进行微分，或积分运算。
④ 用初始条件定积分常数。
对常见的特殊运动，
可直接应用公式计算 。
２．注意问题：
①几何关系和运动方向。
②求轨迹方程时要消去参数,t”。
③ 坐标系（参考系）的选择。
23
三,例题
[例 1]列车在 R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长
l=200m，当列车开始走上曲线时的速度 v0=30km/h，而将要离开曲线轨道时的速度是 v1＝ 48km/h。
求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？
24
a解,由于是匀变速运动，则 常量。
由公式 而由已知savv
2202,m2 0 0 ls
m / s
3
40
3 6 0 0
1 0 0 048,m / s
3
25
3 6 0 0
1 0 0 030
m / s27.0
2 0 029
6 2 51 6 0 0
2
10
2
2
0
2
1
vv
s
vv
a?
列车走上曲线时，
全加速度列车将要离开曲线时，
全加速度
22
2
0
02 m / s23.03 0 0
)3/25(,m / s27.0
R
vaa
n?
'
0
1022020 2949tg,m / s356.0
n
n a
aaaa?
22
2
1
12 m / s5 9 3.03 0 0
)3/40(,m / s27.0
R
vaa
n?
'
1
1122121 3424tg,m / s652.0
n
n a
aaaa?
25
〔 例 2〕 已知如图，求 时正好射到 A点且用力最小。,
0 v?
分析：只有在 A点,vy＝ 0且为最大高度时，用力才最小。
gtvdtdyv ys i n0
解,由
2
0
0
2
1s in
c o s
gttvy
tvx
由于在 A点时,vy=0，所以上升到最大高度 A点时所用时间为：
g
vt?s in0?
26
将上式代入 ①和②，得：
g
vy
g
vx
AA 2
s i n,
2
2s i n 22020
tg
2
1
2s i n
s i n
5
5.1 2
2
2s i n
2
s i n
2
0
22
0
g
v
g
v
A
A
x
y
31,6.05 5.12tg
将?31 代入③,得
11162s i n 58.922s i n220Agxv
m / s5.100 v
27
〔 例 3〕 已知：重物 A的 2m/s1?
Aa
（常数）初瞬时速度 m/s5.1
0?v
方向如图示。 求：,m5.0?R? m30,r?
① 滑轮 3s内的转数；
②重物 B在 3s内的行程；
③重物 B在 ｔ ＝ 3s时的速度；
④滑轮边上 C点在初瞬时的加速度；
⑤滑轮边上 C点在 ｔ ＝ 3s时的加速度。
28
2r a d / s 25.0 1 Ra C
r a d / s35.0 5.1,m/ s5.1 0 Rvvv CAC w
）常数（
（ ）
,m /s1 2 AC aa?解,① 因为绳子不可以伸长，所以有转）(86.22,r a d1832213321 220w? ntt
m4.5183.0rs②
m / s7.293.0wrv B
），
③ r a d / s 9323 0 t?ww
（
29
④ t = 0 时，
2220
2
m / s5.435.0
,m / s1
w
Ra
aa
n
C
AC
5.12,2 2 2.0
5.4
1tg
m / s 61.45.41)()( 22222
n
C
C
n
CCC
a
a
aaa
⑤ t=3s 时，
222 m /s5.4095.0,m /s1 2 w? Raaa nCAC
41.1,0 2 4 7.051.40 1 t g,m / s51.405.401 222Ca
30
[例 4] 已知：圆轮 O由静止开始作等加速转动,OM＝ 0.4m，
在 某瞬时测得 30,m / s 40 2?
Ma
求,?转动方程 ;
t＝ 5s时,Ｍ 点的速度和向心加速度的大小。
s in aRa
2r a d / s 504.0 30s i n40s i n RaRa
解,?
22200 25502121,0 ttttw?w?
225 t转动方程
M
31
ttRvtt M 20504.0,50 0 w?ww
22
2 m/ s25000
4.0
100
R
va Mn
M
当 ｔ ＝ 5s时,m / s100520Mv M
32
〔 例 5〕 试画出图中刚体上 Ｍ?Ｎ 两点在图示位置时的速度和加速度。 ),(
2121 ABOOBOAO
33
〔 例 6〕 已知如图，从 O点以任一角度抛出一质点，试证明质点最早到达直线Ｌ的抛角为 。
2?
（与上升的最大高度无关，只要求时间对抛射角度的变化率）
到达高度为 h 时,t 与 的关系有下式确定
0?
200 21s i n gttvh
200 21s i n gttvy
解,选 坐标系，则xoy
O
34
00000
221)s i nc o s(0 d dttgd dttv
欲使最早到达，必须满足
0
0
ddt
将?对 求导数0?
000000
s i nc o s0 d dttgd dtvtv
将 （最早到达的条件） 代入?，得
0
0
ddt ;0co s 00tv
又 0co s,0
00tv 2
证毕。
表示出在某一角度下时间会最短。（极值）
35
