1
2
引 言一,研究对象,
二,力学模型：
研究物体的机械运动与作用力之间的关系
2.质点系,由有限或无限个有着一定联系的质点组成的系统。
1.质点,具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。
刚体 是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。
例如,研究卫星的轨道时，卫星 质点；
刚体作平动时,刚体 质点。
3
自由质点系,质点系中各质点的运动不受约束的限制。
非自由质点系,质点系中的质点的运动受到约束的限制。
质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。
三,动力学分类,质点动力学质点系动力学
质点动力学是质点系动力学的基础。
四,动力学的基本问题,大体上可分为两类：
第一类：已知物体的运动情况，求作用力；
第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。
已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
4
5
§ 10–1 质点运动微分方程的形式
§ 10–2 质点动力学两类问题第十章 质点运动微分方程
6
将动力学基本方程 表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。
)( Fam?
1.矢量形式
) )( ( 22 方程为质点矢径形式的运动式中 trrFdt rdm
第十章 质点运动微分方程
§ 10-1 质点运动微分方程的形式
)
)(
)(
)(
(
2
2
2
2
2
2
运动方程为质点直角坐标形式的式中
tzz
tyy
txx
Z
dt
yd
m
Y
dt
yd
m
X
dt
xd
m
2.直角坐标形式
7
3.自然形式
),
,,
)((
轴上的投影轴和轴自然轴系在分别为力运动方程。
为质点的弧坐标形式的式中
bn
FFFF
tss
bn
质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形式,
柱坐标形式等等。
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
b
n
F
F
v
m
F
dt
sd
m
0
2
2
2
8
1.第一类,已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）
§ 10-2 质点动力学两类问题解题步骤和要点：
①正确选择研究对象 （一般选择联系已知量和待求量的质点）。
②正确进行受力分析,画出受力图 (应在一般位置上进行分析 )。
③ 正确进行运动分析 （分析质点运动的特征量）。
④ 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 （建立坐标系）。
⑤求解未知量 。
9
0v
[例 1] 桥式起重机跑车吊挂一重为 G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为,重物中心至悬挂点距离为 L。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点 O向前摆动,求 钢丝绳的最大拉力。
解,① 选重物 (抽象为质点 )为研究对象
② 受力分析如图所示
③ 运动分析，沿以 O为圆心,
L为半径的圆弧摆动。
10
1 s i n, GdtdvgGFma
2 c os,2?GTlvgGFma nn
④ 列出自然形式的质点运动微方程
.,
,)( co s 2
2
为变量其中式得由
v
gl
vGT
m a x,0,1 TT 时因此重物作减速运动式知由?
)1( 20m a x glvGT
⑤ 求解未知量
[注 ]① 减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。
② 拉力 Tmax由两部分组成,一部分等于物体重量,称为静拉力一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
11
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）
已知的作用力可能是常力,也可能是变力 。 变力可能是时间,
位置,速度或者同时是上述几种变量的函数。
解题步骤如下：
①正确选择研究对象 。
②正确进行受力分析，画出受力图 。判断力是什么性质的力
（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。
③正确进行运动分析。 (除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件） 。
12
④ 选择并列出适当的质点运动微分方程。
如力是常量或是时间及速度函数时,
可直接分离变量 。积分
dt
dv
⑤ 求解未知量。 应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。
再分离变量积分。,dsdvvdtdv?
如力是位置的函数，需进行变量置换
13
待求0000000000,,s i n,co s;0,0,0 vvvvvyxt yx
yx vvHySxAMt,,,,,瞬时列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算
422
31
2
1
2
1
0
ctcgty
ctcx
cgt
dt
dy
c
dt
dx
mg
dt
dv
m
dt
dv
m
y
x
微分方程 积分一次 再积分一次解,属于已知力为常量的第二类问题。
选择填充材料 M为研究对象，受力如图所示,M作斜抛运动。
[例 2] 煤矿用填充机进行填充,为保证充填材料抛到距离为 S=5米,H=1.5米的顶板 A处。 求 (1)充填材料需有多大的初速度 v0? (2)初速 与水平的夹角 a0？
0v
14
0,s i n,c o s,43002001 ccvcvc代入初始条件得
20000 21s i n,c o s,gttvytvx则运动方程为
0
22
0
2
0
0 c os2
1tg,
v
xgxy则轨迹方程为代入最高点 A处值，得,即将到达 A点时的时间 t,x=S,y=H 代入运动方程，得
,0s in 00 gtvdtdy? gvt 00 s in
gH
sgv
2c o s 00
gHv 2s in 00
发射初速度大小与初发射角 为0?
m / s 5.1022)s i n()c o s( 222002000 gHgH sgvvv
31 2tgc o ss intg 1
00
0010 sHvv
15
[例 3] 发射火箭,求 脱离地球引力的最小速度。
解,属于已知力是位置的函数的第二类问题。
取火箭 (质点 )为研究对象,建立坐标如图示。
火箭在任意位置 x 处受地球引力 F 的作用。
2
2
22 x
m g RF
R
mMfmg
x
mMfF
2
2
2
2
x
m g R
dtdxm建立质点运动微分方程
x
gRgRvv 22
0
2)2(则在任意位置时的速度
),0( 02 2
0
vvRxtdxxm gRRxdvmvvv xxx 时即,)(
2
2
2
2
dx
dvv
dtdxdx
dv
dt
dv
dt xdx
m gR
dx
dvmv xxxxx
x
16
可见,v 随着 x 的增加而减小。若 则在某一位置
x=R+H 时速度将减小到零，火箭回落。若 时，无论 x
多大（甚至为 ∞）,火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一去不返 时（ ）的最小初速度
gRv 220?
gRv 220?
x
k m / s )( 2.116 3 7 0108.922 30gRv （第二宇宙速度）
x
gRgRvv 2
02
2)2(
17
2
引 言一,研究对象,
二,力学模型：
研究物体的机械运动与作用力之间的关系
2.质点系,由有限或无限个有着一定联系的质点组成的系统。
1.质点,具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。
刚体 是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。
例如,研究卫星的轨道时，卫星 质点；
刚体作平动时,刚体 质点。
3
自由质点系,质点系中各质点的运动不受约束的限制。
非自由质点系,质点系中的质点的运动受到约束的限制。
质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。
三,动力学分类,质点动力学质点系动力学
质点动力学是质点系动力学的基础。
四,动力学的基本问题,大体上可分为两类：
第一类：已知物体的运动情况，求作用力；
第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。
已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
4
5
§ 10–1 质点运动微分方程的形式
§ 10–2 质点动力学两类问题第十章 质点运动微分方程
6
将动力学基本方程 表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。
)( Fam?
1.矢量形式
) )( ( 22 方程为质点矢径形式的运动式中 trrFdt rdm
第十章 质点运动微分方程
§ 10-1 质点运动微分方程的形式
)
)(
)(
)(
(
2
2
2
2
2
2
运动方程为质点直角坐标形式的式中
tzz
tyy
txx
Z
dt
yd
m
Y
dt
yd
m
X
dt
xd
m
2.直角坐标形式
7
3.自然形式
),
,,
)((
轴上的投影轴和轴自然轴系在分别为力运动方程。
为质点的弧坐标形式的式中
bn
FFFF
tss
bn
质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形式,
柱坐标形式等等。
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
b
n
F
F
v
m
F
dt
sd
m
0
2
2
2
8
1.第一类,已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）
§ 10-2 质点动力学两类问题解题步骤和要点：
①正确选择研究对象 （一般选择联系已知量和待求量的质点）。
②正确进行受力分析,画出受力图 (应在一般位置上进行分析 )。
③ 正确进行运动分析 （分析质点运动的特征量）。
④ 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 （建立坐标系）。
⑤求解未知量 。
9
0v
[例 1] 桥式起重机跑车吊挂一重为 G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为,重物中心至悬挂点距离为 L。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点 O向前摆动,求 钢丝绳的最大拉力。
解,① 选重物 (抽象为质点 )为研究对象
② 受力分析如图所示
③ 运动分析，沿以 O为圆心,
L为半径的圆弧摆动。
10
1 s i n, GdtdvgGFma
2 c os,2?GTlvgGFma nn
④ 列出自然形式的质点运动微方程
.,
,)( co s 2
2
为变量其中式得由
v
gl
vGT
m a x,0,1 TT 时因此重物作减速运动式知由?
)1( 20m a x glvGT
⑤ 求解未知量
[注 ]① 减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。
② 拉力 Tmax由两部分组成,一部分等于物体重量,称为静拉力一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
11
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）
已知的作用力可能是常力,也可能是变力 。 变力可能是时间,
位置,速度或者同时是上述几种变量的函数。
解题步骤如下：
①正确选择研究对象 。
②正确进行受力分析，画出受力图 。判断力是什么性质的力
（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。
③正确进行运动分析。 (除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件） 。
12
④ 选择并列出适当的质点运动微分方程。
如力是常量或是时间及速度函数时,
可直接分离变量 。积分
dt
dv
⑤ 求解未知量。 应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。
再分离变量积分。,dsdvvdtdv?
如力是位置的函数，需进行变量置换
13
待求0000000000,,s i n,co s;0,0,0 vvvvvyxt yx
yx vvHySxAMt,,,,,瞬时列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算
422
31
2
1
2
1
0
ctcgty
ctcx
cgt
dt
dy
c
dt
dx
mg
dt
dv
m
dt
dv
m
y
x
微分方程 积分一次 再积分一次解,属于已知力为常量的第二类问题。
选择填充材料 M为研究对象，受力如图所示,M作斜抛运动。
[例 2] 煤矿用填充机进行填充,为保证充填材料抛到距离为 S=5米,H=1.5米的顶板 A处。 求 (1)充填材料需有多大的初速度 v0? (2)初速 与水平的夹角 a0？
0v
14
0,s i n,c o s,43002001 ccvcvc代入初始条件得
20000 21s i n,c o s,gttvytvx则运动方程为
0
22
0
2
0
0 c os2
1tg,
v
xgxy则轨迹方程为代入最高点 A处值，得,即将到达 A点时的时间 t,x=S,y=H 代入运动方程，得
,0s in 00 gtvdtdy? gvt 00 s in
gH
sgv
2c o s 00
gHv 2s in 00
发射初速度大小与初发射角 为0?
m / s 5.1022)s i n()c o s( 222002000 gHgH sgvvv
31 2tgc o ss intg 1
00
0010 sHvv
15
[例 3] 发射火箭,求 脱离地球引力的最小速度。
解,属于已知力是位置的函数的第二类问题。
取火箭 (质点 )为研究对象,建立坐标如图示。
火箭在任意位置 x 处受地球引力 F 的作用。
2
2
22 x
m g RF
R
mMfmg
x
mMfF
2
2
2
2
x
m g R
dtdxm建立质点运动微分方程
x
gRgRvv 22
0
2)2(则在任意位置时的速度
),0( 02 2
0
vvRxtdxxm gRRxdvmvvv xxx 时即,)(
2
2
2
2
dx
dvv
dtdxdx
dv
dt
dv
dt xdx
m gR
dx
dvmv xxxxx
x
16
可见,v 随着 x 的增加而减小。若 则在某一位置
x=R+H 时速度将减小到零，火箭回落。若 时，无论 x
多大（甚至为 ∞）,火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一去不返 时（ ）的最小初速度
gRv 220?
gRv 220?
x
k m / s )( 2.116 3 7 0108.922 30gRv （第二宇宙速度）
x
gRgRvv 2
02
2)2(
17
