第三节 古典概型与几何概型
引例 一个纸桶中装有10个大小、形状完全相同的球,将球编号为1—10.把球搅匀,蒙上眼睛从中任取一球,因为抽取时这些球被抽到的可能性是完全平等的,所以我们没有理由认为这10个球中的某一个会比另一个更容易抽得,也就是说,这10个球中的任一个被抽取的可能性均为.
这样一类随机试验是一类最简单的概率模型,它曾经是概率论发展初期主要的研究对象,
分布图示
★ 引例
★ 古典概型 ★ 计算古典概型的方法
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ *几何概型
★ 例7 ★ *例8
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题1-3
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内容要点
一、古典概型我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型。
1,随机试验只有有限个可能的结果;
2,每一个结果发生的可能性大小相同.
因而古典概型又称为等可能概型.在概率论的产生和发展过参程中，它是最早的研究对象，且在实际中也最常用的一种概率模型。它在数学上可表述为:
在古典概型的假设下,我们来推导事件概率的计算公式,设事件包含其样本空间中个基本事件,即
则事件发生的概率
称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法,这就把求古典概率的问题转化为对基本事件的计数问题.
二、计算古典概率的方法 —— 排列组合基本计数原理
1,加法原理：设完成一件事有种方式,其中第一种方式有种方法，第二种方式有种方法，……,第种方式有种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事,则完成这件事的方法总数为.
2,乘法原理：设完成一件事有个步骤,其中第一个步骤有种方法，第二个步骤有种方法，……，第个步骤有种方法；完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事的方法总数为 .
3,排列组合方法排列公式：(2) 组合公式； (3) 二项式公式.
例题选讲
例1 (E01) 掷一颗匀称骰子,设表示所掷结果为“四点或五点”,表示所掷结果为“偶数点”,求和
解 设分别表示所掷结果为“一点”，“两点”，…，“六点”，则样本之间
是所有不同的基本事件，且它们发生的概率相同，于是
由于 得
例2 (E02) 一个袋子中装有10个大小相同的球,其中3个黑球,7个白球,求从袋子中任取一球,这个球是黑球的概率;
从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.
解 (1) 10个球中任取一个,共有种,
从而根据古典概率计算,事件：“取到的球为黑球”的概率为
(2) 10球中任取两球的取法有种,其中刚好一个白球,一个黑球的取法有种取法,两个球均是黑球的取法有种,记为事件“刚好取到一个白球一个黑球”,为事件“两个球均为黑球”,则
例3 将标号为1,2,3,4的四个球随意地排成一行,求下列各事件的概率:
(1) 各球自左至右或自右至左恰好排成1,2,3,4的顺序;
(2) 第1号球排在最右边或最左边;
(3) 第1号球与第2号球相邻;
(4) 第1号球排在第2号球的右边(不一定相邻).
解 将4个球随意地排成一行有4!=24种排法,即基本事件总数为24.
记(1),(2),(3),(4)的事件分别为
(1) 中有两种排法,故有
(2) 中有种排法,故有
(3) 先将第1,2号球排在任意相邻两个位置,共有种排法,其余两个球可在其余两个位置任意排放,共有2! 种排法,因而有种排法,故
(4) 第1号球排在第2号球的右边的每一种排法,交换第1号球和第2号球的位置便对应于第1号球排在第2号球的左边的一种排法,反之亦然.
因而第1号球排在第2号球的右边与第1号球排在第2号球的左边的排法种数相同,各占总排法数的 故有
例4 (E03) 将3个球随机放入4个杯子中,问杯子中球的个数最多为1,2,3的概率各是多少?
解 设分别表示杯子中的最多球数分别为1,2,3的事件,我们认为球是可以区分的,于是,放球过程的所有可能结果数为
(1) 所含的基本事件数,即是从4个杯子中任选3个杯子,每个杯子放入一个球,杯子的选法有种,球的放法有 3! 种,故
(2) 所含的基本事件数,由于杯子中的最多球数3,即3个球放在同一个杯子中共有4种放法,故
(3) 由于三个球放在4个杯子中的各种可能放法为事件 显然 且互不相容,故
例5 将15名新生(其中有3名优秀生)随机地分配到三个班级中,其中一班4名,二班5名,三班6名,求:
每一个班级各分配到一名优秀生的概率;
3名优秀生被分配到一个班级的概率.
解 15名优秀生分别分配给一班4名,二班5名,三班6名的分法有:
(种).
(1) 将3名优秀生分配给三个班级各一名,共有3!种分法,再将剩余的12名新生分配给一班3名,二班4名,三班5名,共有(种)分法,根据乘法法则,每个班级分配到一名优秀生的分法有:
(种),
故其对应概率
(2) 用表示时间,3名优秀生全部分配到班”
中所含基本事件个数
中所含基本事件个数
中所含基本事件个数
由(1)中分析知基本事件的总数所以
因为互不相容,所以3名优秀生被分配到同一班级的概率为:
注,在用排列组合公式计算古典概率时,必须注意在计算样本空间和事件所包含的基本事件数时,基本事件数的多少与问题是排列还是组合有关,不要重复计数,也不要遗漏.
例6 (E04) 在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?
解 设为事件,取到的数能被6整除”, 为事件,取到的数能被8整除”,则所求概率为
由于 故得
由于 故得
又由于一个数同时能被6与8整除,就相当于能被24整除.
因此,由
于是所求概率为
几何概型
*例7 某人午觉醒来,发觉表停了,他打开收音机,想听电台报时,设电台每正点是报时一次,求他(她)等待时间短于10分钟的概率.
解 以分钟为单位,记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60,于是这个人打开收音机的时间必在 记,等待时间短于10分钟”为事件 则有
于是
*例8 (会面问题) 甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就离开,如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达,试计算二人能够会面的概率.
解 记7点为计算时刻的0时,以分钟单位,分别记甲、乙达到指定地点的时刻,则样本空间为
以表示事件“两人能会面”,则显然有
根据题意,这是一个几何概型问题,于是
课堂练习
1,设有件产品,其中有件次品,现从中任取件,求其中有件次品的概率.
