第四节 连续型随机变量及其概率密度
分布图示
★ 连续型随机变量及其概率密度
★ 连续型随机变量分布函数的性质
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 均匀分布 ★ 例4
★ 指数分布 ★ 例5
★ 正态分布 ★ 标准正态分布 ★ 例6
★ 3准则 ★ 例7 ★ 例8
★ 例9
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题2-4
★ 返回
内容要点
一、连续型随机变量及其概率密度定义 如果对随机变量的分布函数,存在非负可积函数,使得对于任意实数有
则称为连续型随机变量,称为的概率密度函数,简称为概率密度或密度函数.
关于概率密度的说明
1,对一个连续型随机变量,若已知其密度函数,则根据定义,可求得其分布函数,同时,还可求得的取值落在任意区间上的概率:
2,连续型随机变量取任一指定值的概率为0.
3,若在点处连续,则
(1)
二、常用连续型分布
均匀分布定义 若连续型随机变量的概率密度为
则称在区间上服从均匀分布,记为.
指数分布定义 若随机变量的概率密度为
则称服从参数为的指数分布.简记为
正态分布定义 若随机变量的概率密度为
其中和都是常数,则称服从参数为和的正态分布,记为
注,正态分布是概率论中最重要的连续型分布,在十九世纪前叶由高斯加以推广,故又常称为高斯分布.
一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用（作用微小），则它服从正态分布,这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因,例如,产品的质量指标,元件的尺寸,某地区成年男子的身高、体重,测量误差,射击目标的水平或垂直偏差,信号噪声、农作物的产量等等,都服从或近似服从正态分布.
标准正态分布正态分布当时称为标准正态分布,此时,其密度函数和分布函数常用和表示:
标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.
定理 设则
标准正态分布表的使用
（1）表中给出了时的数值,当时,利用正态分布的对称性,易见有
（2）若则
（3）若,则 故的分布函数
例题选讲
连续型随机变量及其概率密度例1 设随机变量的密度函数为
求其分布函数.
解
当
当
当 故
例2 设随机变量X具有概率密度
解 (1) 由 得
解得于是的概率密度为
(2) 的分布函数为
(3)
或
例3 (E01) 设随机变量X的分布函数为
,
求 (1) 概率; (2) X的密度函数.
解 由连续型随机变量分布函数的性质,有
(1)
(2) 的密度函数为
均匀分布例4(E02) 某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班车,即7:00,7:15,7:30,7:45等时刻有汽车到达此站,如果乘客到达此站时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.
解 以7:00为起点0,以分为单位,依题意
为使候车时间少于5分钟,乘客必须在7:10到7:15之间,或在7:25到7:30之间到达车站,故所求概率为
即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.
指数分布例5(E03) 某元件的寿命服从指数分布,已知其参数 求3个这样的元件使用1000小时,至少已有一个损坏的概率.
解 由题设知,的分布函数为
由此得到
各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数,则 所求概率为
标准正态分布例6 (E04) 设,求
解 这里 故
查表得 0.9772,
3准则例7 设某项竞赛成绩(65,100)，若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应定为多少？
解 设获奖分数线为 则求使成立的
即 查表得 解得 故分数线可定为78分.
例8 (E05) 将一温度调节器放置在内，调节器整定在℃，液体的温度（以℃计）是一个随机变量，且
(1) 若 ℃，求小于89℃ 的概率；
(2) 若要求保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问至少为多少？
解 (1) 所求概率为
(2) 按题意需求满足
即 亦即故需
例9 (E06) 已知某台机器生产的螺栓长度(单位,厘米)服从参数
的正态分布,规定螺栓长度在内为合格品,试求螺栓为合格品的概率.
解 根据假设
记则表示螺栓为合格品,于是
即螺栓为合格品的概率等于0.9544.
课堂练习
1,已知，求
(1) (2) ;
(3) (4)
2,某种型号电池的寿命近似服从正态分布,已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为92.36%,为使其寿命在和之间的概率不小于0.9,至少为多少?
分布图示
★ 连续型随机变量及其概率密度
★ 连续型随机变量分布函数的性质
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 均匀分布 ★ 例4
★ 指数分布 ★ 例5
★ 正态分布 ★ 标准正态分布 ★ 例6
★ 3准则 ★ 例7 ★ 例8
★ 例9
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题2-4
★ 返回
内容要点
一、连续型随机变量及其概率密度定义 如果对随机变量的分布函数,存在非负可积函数,使得对于任意实数有
则称为连续型随机变量,称为的概率密度函数,简称为概率密度或密度函数.
关于概率密度的说明
1,对一个连续型随机变量,若已知其密度函数,则根据定义,可求得其分布函数,同时,还可求得的取值落在任意区间上的概率:
2,连续型随机变量取任一指定值的概率为0.
3,若在点处连续,则
(1)
二、常用连续型分布
均匀分布定义 若连续型随机变量的概率密度为
则称在区间上服从均匀分布,记为.
指数分布定义 若随机变量的概率密度为
则称服从参数为的指数分布.简记为
正态分布定义 若随机变量的概率密度为
其中和都是常数,则称服从参数为和的正态分布,记为
注,正态分布是概率论中最重要的连续型分布,在十九世纪前叶由高斯加以推广,故又常称为高斯分布.
一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用（作用微小），则它服从正态分布,这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因,例如,产品的质量指标,元件的尺寸,某地区成年男子的身高、体重,测量误差,射击目标的水平或垂直偏差,信号噪声、农作物的产量等等,都服从或近似服从正态分布.
标准正态分布正态分布当时称为标准正态分布,此时,其密度函数和分布函数常用和表示:
标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.
定理 设则
标准正态分布表的使用
（1）表中给出了时的数值,当时,利用正态分布的对称性,易见有
（2）若则
（3）若,则 故的分布函数
例题选讲
连续型随机变量及其概率密度例1 设随机变量的密度函数为
求其分布函数.
解
当
当
当 故
例2 设随机变量X具有概率密度
解 (1) 由 得
解得于是的概率密度为
(2) 的分布函数为
(3)
或
例3 (E01) 设随机变量X的分布函数为
,
求 (1) 概率; (2) X的密度函数.
解 由连续型随机变量分布函数的性质,有
(1)
(2) 的密度函数为
均匀分布例4(E02) 某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班车,即7:00,7:15,7:30,7:45等时刻有汽车到达此站,如果乘客到达此站时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.
解 以7:00为起点0,以分为单位,依题意
为使候车时间少于5分钟,乘客必须在7:10到7:15之间,或在7:25到7:30之间到达车站,故所求概率为
即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.
指数分布例5(E03) 某元件的寿命服从指数分布,已知其参数 求3个这样的元件使用1000小时,至少已有一个损坏的概率.
解 由题设知,的分布函数为
由此得到
各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数,则 所求概率为
标准正态分布例6 (E04) 设,求
解 这里 故
查表得 0.9772,
3准则例7 设某项竞赛成绩(65,100)，若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应定为多少？
解 设获奖分数线为 则求使成立的
即 查表得 解得 故分数线可定为78分.
例8 (E05) 将一温度调节器放置在内，调节器整定在℃，液体的温度（以℃计）是一个随机变量，且
(1) 若 ℃，求小于89℃ 的概率；
(2) 若要求保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问至少为多少？
解 (1) 所求概率为
(2) 按题意需求满足
即 亦即故需
例9 (E06) 已知某台机器生产的螺栓长度(单位,厘米)服从参数
的正态分布,规定螺栓长度在内为合格品,试求螺栓为合格品的概率.
解 根据假设
记则表示螺栓为合格品,于是
即螺栓为合格品的概率等于0.9544.
课堂练习
1,已知，求
(1) (2) ;
(3) (4)
2,某种型号电池的寿命近似服从正态分布,已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为92.36%,为使其寿命在和之间的概率不小于0.9,至少为多少?
