第三章 多维随机变量及其分布
在实际应用中,有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述,例如,研究某地区学龄前儿童的发育情况时,就要同时抽查儿童的身高、体重,这里,和是定义在同一个样本空间{某地区的全部学龄前儿童}上的两个随机变量,又如,考察某次射击中弹着点的位置时，就要同时考察弹着点的横坐标和纵坐标,在这种情况下，我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之间的统计相依关系，因而还需考察它们的联合取值的统计规律，即多为随机变量的分布,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难,故我们重点讨论二维随机变量.
第一节 多维随机变及其分布
分布图示
★ 二维随机变量
★ 二维随机变量的分布函数 ★ 例1
★ 二维离散型随机变量及其概率分布
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 例5 ★ 例6
★ 二维连续型随机变量及其概率密度
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 二维均匀分布 ★ 例10
★ 二维正态分布 ★ 例11
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题3-1
★ 返回
内容要点
一、二维随机变量定义1 设随机试验的样本空间为,为样本点，而
是定义在上的两个随机变量,称为定义在上的二维随机变量或二维随机向量.
二、二维随机变量的分布函数定义2 设是二维随机变量,对任意实数,二元函数
称为二维随机变量的分布函数或称为随机变量和的联合分布函数.
联合分布函数的性质:
（1） 且对任意固定的
对任意固定的
(2) 关于和均为单调非减函数,即对任意固定的 当
对任意固定的 当
(3) 关于和均为右连续,即
三、二维离散型随机变量及其概率分布定义3 若二维随机变量只取有限个或可数个值,则称为二维离散型随机变量.
结论：为二维离散型随机变量当且仅当均为离散型随机变量.
若二维离散型随机变量所有可能的取值为 则称
为二维离散型随机变量的概率分布(分布律),或的联合概率分布(分布律).
与一维情形类似,有时也将联合概率分布用表格形式来表示,并称为联合概率分布表,
注：对离散型随机变量而言,联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观,而且能够更加方便地确定取值于任何区域上的概率，即
,
特别地,由联合概率分布可以确定联合分布函数:
四、二维连续型随机变量及其概率密度定义 设为二维随机变量,为其分布函数,若存在一个非负可积的二元函数,使对任意实数,有
则称为二维连续型随机变量,并称为的概率密度(密度函数),或的联合概率密度(联合密度函数).
概率密度函数的性质:
(3) 设是平面上的区域,点落入内的概率为
特别地,边缘分布函数
上式表明,是连续型随机变量,且其密度函数为:
同理,是连续型随机变量,且其密度函数为:
,
分别称和为关于和的边缘密度函数.
(4) 若在点连续,则有
进一步,根据偏导数的定义,可推得:当很小时,有
即,落在区间上的概率近似等于
五、二维均匀分布设是平面上的有界区域,其面积为.若二维随机变量具有概率密度函数
则称在上服从均匀分布.
六、二维正态分布若二维随机变量具有概率密度
其中均为常数,且,则称服从参数为的二维正态分布.
注：二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数，亦即对给定的，不同的对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布都是相同的，因此仅由关于和关于的边缘分布，一般来说是不能确定二维随机变量的联合分布的.
例题选讲
二维随机变量的分布函数例1 设二维随机变量的分布函数为
(1) 试确定常数
(2) 求事件的概率.
解 (1) 由二维随机变量的分布函数的性质,可得
由这三个等式中的第一个等式知
故由第二、三个等式知 于是得
故的分布函数为
(2) 由(1)式得
二维离散型随机变量及其概率分布例2 (E01) 设随机变量在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量在1~中等可能地取一整数值，试求的分布律.
解 由乘法公式容易求得的分布律,易知的取值情况是,取不大于的正整数,且
于是的分布律为
X
1
2
3
4
Y
1
1/4
1/8
1/12
1/16
2
0
1/8
1/12
1/16
3
0
0
1/12
1/16
4
0
0
0
1/16
例3 (E02) 把一枚均匀硬币抛掷三次,设为三次抛掷中正面出现的次数,而为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求的概率分布及关于的边缘分布.
解 可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)
故的概率分布如右表,从概率分布表不难求得关于的边缘分布.
从而得右表
Y
1
3
X
0
0
1/8
1/8
1
3/8
0
3/8
2
3/8
0
3/8
3
0
1/8
1/8
6/8
2/8
1
例4 设二维随机变量的联合概率分布为
Y
X
0
1
0.3
0.1
0.1
1
0.05
0.2
0
2
0.2
0
0.05
求及
解
例5 设的概率分布由下表给出，求
,
0
2
0
0.1
0.2
0
1
0.2
0.05
0.1
2
0.15
0
0.1
解
例6 一整数等可能地在十个值中取一个值,设是能整除的正整数的个数，是能整除的素数的个数（注意1不是素数）,试写出和的联合分布律,并求分布律.
解 将试验的样本空间及取值的情况列表如下:
所有可能取值为1,2,3,4; 所有可能取值为0,1,2.
容易得到取 的概率,可得和的联合分布律及边缘分布律如下表:
D
1
2
3
4
F
0
1/10
0
0
0
1/10
1
0
4/10
2/10
1/10
7/10
2
0
0
0
2/10
2/10
1/10
4/10
2/10
3/10
1
即有边缘分布律
二维连续型随机变量及其概率密度例7 (E03)
(1) 求分布函数 (2) 求概率
解 (1)
即有
(2) 将看作是平面上随机点的坐标,即有 其中为平面上直线及其下方的部分,如图3-1-3,于是
例8 (E04) 设的概率密度是
求 (1) 的值; (2) 两个边缘密度.
解 (1) 由确定如图3-1-4.
(2)
即
例9 设随机变量和具有联合概率密度
求边缘概率密度.
解
二维均匀分布例10 (E05) 设服从单位圆域上(见图3-1-6)的均匀分布,求X和Y的边缘概率密度,
解
当或时， 从而
当时，
于是我们得到的边缘概率密度
由和在问题中地位的对称性,将上式中的改成 就得到的边缘概率密度
二维正态分布例11(E06) 设二维随机变量的概率密度
试求关于的边缘概率密度函数.
解 利用函数及奇偶函数的积分性质得
注,此例说明,边缘分布均为正态分布的二维随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布.
课堂练习
1,将两封信随意地投入3个邮筒,设,分别表示投入第1,2号邮筒中信的数目,求和的联合概率分布及边缘概率分布.
2,设向量的密度函数的密度函数为
求 (1) 参数的值；（2）的边缘密度.
