第三节 抽样分布
分布图示
★ 抽样分布
★ 单正态总体的抽样分布
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 例4 ★ 例5
★ 双正态总体的抽样分布
★ 例6 ★ 例7
★ 一般总体抽样分布的极限分布
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题5-3
★ 返回
内容要点一、抽样分布有时,总体分布的类型虽然已知,但其中含有未知参数,此时需对总体的未知参数或对总体的重要数字特征(如数学期望、分差等) 进行统计推断,此类问题称为参数统计推断.在参数统计推断问题中,常需利用总体的样本构造出合适的统计量,并使其服从或渐近地服从已知的总体分布,统计学中泛称统计量分布为抽样分布.
讨论抽样分布的途径有两个,一是精确地求出抽样分布,并称相应的统计推断为小样本统计推断; 另一种方式是让样本容量趋于无穷,并求出轴样分布的极限分布.然后,在样本容量充分大时,再利用该极限分布作为抽样分布的近似分布,进而对未知参数进行统计推断,称与此相应的统计推断为大样本统计推断,这里重点讨论正态总体的抽样分布,属小样本统计范畴；此外,也简要介绍一般总体的某些抽样分布的极限分布,属大样本统计范畴。
二、单正态总体的抽样分布设总体X的均值,方差为,是取自X的一个样本,与分别为该样本的样本均值与样本方差,则有
而
故有下列定理:
定理1 设总体 是取自X的一个样本,与分别为该样本的样本均值与样本方差,则有
(1) ;
(2)
定理2 设总体 是取自X的一个样本,与分别为该样本的样本均值与样本方差,则有
(1) =
(2) 与相互独立.
定理3 设总体是取自X的一个样本,与分别为该样本的样本均值与样本方差,则有
(1)
(2)
三、双正态总体的抽样分布定理4 设与是两个相互独立的正态总体,又设是取自总体X的样本,与分别为该样本的样本均值与样本方差,是取自总体Y的样本,与分别为此样本的样本均值与样本方差,再记是与的加权平均,即
则 (1)
(2)
(3) 当时,
四、一般总体抽样分布的极限分布定义1 设为随机变量的分布函数,为随机变量X的分布函数,并记为由的全体连续点组成的集合,若
则称随机变量依分布收敛于X,简记为
或.
命题 设随机变量X有连续的分布函数,且有
则
定理5 设为总体X的样本,并设总体X的数学期望与方差均存在,记为记统计量
其中与S分别表示上述样本的样本均值与样本方差,则有
以上,与分别表示与标准正态分布的分布函数.
注,定理4成立的条件只是总体的方差存在，这样当样本的容量n充分大时，都近似地服从标准正态分布，因此在已知时，可用对进行统计推断；在未知时，可用对进行统计推断。
例题选讲
单正态总体的抽样分布例1(E01) 设为X的一个样本,求:
(1) 样本均值的数学期望与方差; (2)
解 由于 样本容量
所以 于是
由 得
故
例2 (E02) 假设某物体的实际重量为,但它是未知的,现在用一架天平去称它,共称了n次,得到,假设每次称量过程彼此独立且没有系统误差,则可以认为这些测量值都服从正态分布,方差反映了天平及测量过程的总精度,通常我们用样本均值去估计,根据定理1, 再从正态分布的性质知
这就是说,我们的估计值与真值的偏差不超过的概率为99.7%,并且随着称量次数n的增加,这个偏差界限愈来愈小,例如若,则
于是我们以99.7%的概率断言,与物体真正重量的偏差不超过0.09,如果将称量次数n增加到100,则
这时,我们以同样的概率断言,与物体真正重量的偏差不超过0.03.
例3 (E03) 在设计导弹发射装置时,重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差.对于一类导弹发射装置,弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布,这里,现在进行了25次发射试验,用记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差,试求超过50的概率.
解 根据定理2,有 于是
(查表)
于是我们可以以超过的概率断言,超过50 米.
例4 从正态总体中抽取容量为10的样本是样本的均值,若未知,计算概率
与.
解 计算与随机变量有关的事件的概率,必须知道该随机变量的分布.
若未知,由 以及定理2和定理3,有
故
查分布表知,
所以
例5 从正态总体中抽取容量为16的一个样本,分别为样本的均值和方差,若均未知,求的方差及概率.
解 因为 由定理2,得
所以 于是
当时, 且
双正态总体的抽样分布例6(E04) 设两个总体X与Y都服从正态分布，今从总体X与Y中分别抽得容量的两个相互独立的样本,求
解 由题设及定理4,知
于是
例7 (E05) 设总体X和Y相互独立且都服从正态分布
分别来自总体X和Y的样本, 和分别是这两个样均值和方差,求
解 因 由定理4, 即
因分布表中没有 但由分布的性质,知
于是
查表有 即故
课堂练习设为正态总体的一个样本,为样本均值,求:
2,设为总体的一个样本,和为样本均值和样本方差.又设新增加一个试验量与也相互独立,求统计量
的分布.
分布图示
★ 抽样分布
★ 单正态总体的抽样分布
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 例4 ★ 例5
★ 双正态总体的抽样分布
★ 例6 ★ 例7
★ 一般总体抽样分布的极限分布
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题5-3
★ 返回
内容要点一、抽样分布有时,总体分布的类型虽然已知,但其中含有未知参数,此时需对总体的未知参数或对总体的重要数字特征(如数学期望、分差等) 进行统计推断,此类问题称为参数统计推断.在参数统计推断问题中,常需利用总体的样本构造出合适的统计量,并使其服从或渐近地服从已知的总体分布,统计学中泛称统计量分布为抽样分布.
讨论抽样分布的途径有两个,一是精确地求出抽样分布,并称相应的统计推断为小样本统计推断; 另一种方式是让样本容量趋于无穷,并求出轴样分布的极限分布.然后,在样本容量充分大时,再利用该极限分布作为抽样分布的近似分布,进而对未知参数进行统计推断,称与此相应的统计推断为大样本统计推断,这里重点讨论正态总体的抽样分布,属小样本统计范畴；此外,也简要介绍一般总体的某些抽样分布的极限分布,属大样本统计范畴。
二、单正态总体的抽样分布设总体X的均值,方差为,是取自X的一个样本,与分别为该样本的样本均值与样本方差,则有
而
故有下列定理:
定理1 设总体 是取自X的一个样本,与分别为该样本的样本均值与样本方差,则有
(1) ;
(2)
定理2 设总体 是取自X的一个样本,与分别为该样本的样本均值与样本方差,则有
(1) =
(2) 与相互独立.
定理3 设总体是取自X的一个样本,与分别为该样本的样本均值与样本方差,则有
(1)
(2)
三、双正态总体的抽样分布定理4 设与是两个相互独立的正态总体,又设是取自总体X的样本,与分别为该样本的样本均值与样本方差,是取自总体Y的样本,与分别为此样本的样本均值与样本方差,再记是与的加权平均,即
则 (1)
(2)
(3) 当时,
四、一般总体抽样分布的极限分布定义1 设为随机变量的分布函数,为随机变量X的分布函数,并记为由的全体连续点组成的集合,若
则称随机变量依分布收敛于X,简记为
或.
命题 设随机变量X有连续的分布函数,且有
则
定理5 设为总体X的样本,并设总体X的数学期望与方差均存在,记为记统计量
其中与S分别表示上述样本的样本均值与样本方差,则有
以上,与分别表示与标准正态分布的分布函数.
注,定理4成立的条件只是总体的方差存在，这样当样本的容量n充分大时，都近似地服从标准正态分布，因此在已知时，可用对进行统计推断；在未知时，可用对进行统计推断。
例题选讲
单正态总体的抽样分布例1(E01) 设为X的一个样本,求:
(1) 样本均值的数学期望与方差; (2)
解 由于 样本容量
所以 于是
由 得
故
例2 (E02) 假设某物体的实际重量为,但它是未知的,现在用一架天平去称它,共称了n次,得到,假设每次称量过程彼此独立且没有系统误差,则可以认为这些测量值都服从正态分布,方差反映了天平及测量过程的总精度,通常我们用样本均值去估计,根据定理1, 再从正态分布的性质知
这就是说,我们的估计值与真值的偏差不超过的概率为99.7%,并且随着称量次数n的增加,这个偏差界限愈来愈小,例如若,则
于是我们以99.7%的概率断言,与物体真正重量的偏差不超过0.09,如果将称量次数n增加到100,则
这时,我们以同样的概率断言,与物体真正重量的偏差不超过0.03.
例3 (E03) 在设计导弹发射装置时,重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差.对于一类导弹发射装置,弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布,这里,现在进行了25次发射试验,用记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差,试求超过50的概率.
解 根据定理2,有 于是
(查表)
于是我们可以以超过的概率断言,超过50 米.
例4 从正态总体中抽取容量为10的样本是样本的均值,若未知,计算概率
与.
解 计算与随机变量有关的事件的概率,必须知道该随机变量的分布.
若未知,由 以及定理2和定理3,有
故
查分布表知,
所以
例5 从正态总体中抽取容量为16的一个样本,分别为样本的均值和方差,若均未知,求的方差及概率.
解 因为 由定理2,得
所以 于是
当时, 且
双正态总体的抽样分布例6(E04) 设两个总体X与Y都服从正态分布，今从总体X与Y中分别抽得容量的两个相互独立的样本,求
解 由题设及定理4,知
于是
例7 (E05) 设总体X和Y相互独立且都服从正态分布
分别来自总体X和Y的样本, 和分别是这两个样均值和方差,求
解 因 由定理4, 即
因分布表中没有 但由分布的性质,知
于是
查表有 即故
课堂练习设为正态总体的一个样本,为样本均值,求:
2,设为总体的一个样本,和为样本均值和样本方差.又设新增加一个试验量与也相互独立,求统计量
的分布.
