第四章 随机变量的数字特征
前面讨论了随机变量的分布函数,从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性.
但在许多实际问题中,人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况,而只要知道它的某些数字特征即可.
例如,在评价某地区粮食产量的水平时,通常只要知道该地区粮食的平均产量;
又如,在评价一批棉花的质量时,既要注意纤维的平均长度,又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度,平均长度较大,偏离程度小,则质量就较好,等等实际上,描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义,它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.
本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括,数学期望、方差、相关系数、矩.
第一节 数学期望
分布图示
★ 引言 ★ 离散型随机变量的数学期望
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 连续型随机变量的数学期望 ★ 例4
★ 例5 ★ 例6 ★ 例7
★ 随机变量函数的数学期望 ★ 例8
★ 例9 ★ 例10 ★ 例11
★ 数学期望的性质
★ 例12 ★ 例13 ★ 例14
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题4-1
★ 返回
内容要点
一、离散型随机变量的数学期望平均值是日常生活中最常用的一个数字特征,它对评判事物、作出决策等具有重要作用.
定义 设是离散型随机变量的概率分布为
如果绝对收敛,则定义的数学期望(又称均值)为
二、连续型随机变量的数学期望定义 设是连续型随机变量,其密度函数为,如果
绝对收敛,定义的数学期望为
三、随机变量函数的数学期望设是一随机变量,为一实函数,则也是一随机变量,理论上,虽然可通过的分布求出的分布,再按定义求出的数学期望,但这种求法一般比较复杂,下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理.
定理1 设是一个随机变量,,且存在,则
（1） 若为离散型随机变量,其概率分布为
则的数学期望为
（2） 若为连续型随机变量,其概率密度为,则的数学期望为
注,(i)定理的重要性在于:求时,不必知道的分布,只需知道的分布即可,这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便;
(ii) 上述定理可推广到二维以上的情形,即有定理2 设是二维随机向量,,且存在,则
（1）若为离散型随机向量,其概率分布为
则的数学期望为
（2） 若为连续型随机向量,其概率密度为则的数学期望为
四、数学期望的性质
1,设是常数,则
2．若是常数，则
3,
4,设独立,则;
注,(i) 由不一定能推出独立，例如，在例10中，已计算得
，
但 ，显然
故与不独立
(ii) 这个性质可推广到有限个随机变量之和的情形.
例题选讲
离散型随机变量的数学期望例1 (E01) 甲,乙两人进行打靶,所得分数分别记为,它们的分布律分别为
试评定他们的成绩的好坏.
解 我们来计算的数学期望,得(分).
这意味着,如果甲进行很多次的射击,那么,所得分数的算术平均就接近1.8,而乙所得分数的数学期望为 很明显,乙的成绩远不如甲的成绩.
例2(E02) 某种产品的每件表面上的疵点数服从参数的泊松分布,若规定疵点数不超过1个为一等品,价值10元; 疵点数大于1个不多于4个为二等品,价值8元; 疵点数超过4个为废品,求:
(1) 产品的废品率;
(2) 产品价值的平均值.
解 设代表每件产品上的疵点数,由题意知
因为
所以产品的废品率为
设代表产品的价值,那么的概率分布为:
所以产品价值的平均值为
例3 按规定，某车站每天8:00~9:00和9:00~10:00之间都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立,其规律为
8:00~9:00到站时间
9:00~10:00到站时间
8:10
9:10
8:30
9:30
8:50
9:50
概率
1/6
3/6
2/6
一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.
解 设旅客的候车时间为(以分计),的分布律为
在上表中,例如 其中为事件,第一班车在到站”,为,第二班车在到站”,候车时间的数学期望为
连续型随机变量的数学期望例4 (E04) 已知随机变量X的分布函数 ,求
解 随机变量的分布密度为
故
例5 (E03) 设随机变量的概率密度函数为
求
解
使用分布积分法，得到
例6 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式,记使用寿命为(以年计),规定:
设寿命服从指数分布,概率密度为
试求该类家用电器一台收费的数学期望.
解 先求出寿命落在各个时间区间的概率,即有
则的分布律为
得 即平均一台收费元.
例7 设随机变量 且
求a与b的值,并求分布函数.
解 由题意知
解方程组得
当时,有
所以
随机变量函数的数学期望
例8 (E05) 设随机变量 求
解
分布积分得
例9 设的联合概率分布为:
Y
X
0
1
2
3
1
3
0
1/8
3/8
0
3/8
0
0
1/8
求
解 要求和需先求出和的边缘分布,关于和的边缘分布为
则有
例10 (E06) 设随机变量X在上服从均匀分布,求及
解 根据随机变量函数数学期望的计算公式,有
例11 (E07) 设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量(单位:吨),
它服从区间[2000,4000]上的均匀分布,每销售出一吨商品,可为国家赚取外汇3万元;若销售不出,则每吨商品需贮存费1万元,问应组织多少货源,才能使国家收益最大?
解 设组织货源吨,显然应要求 国家收益(单位:万元)是的函数 表达式为
设的概率密度函数为 则 于是的期望为
考虑的取值使达到最大,易得 因此组织3500吨商品为好.
数学期望的性质例12 设均存在，证明.
证 因为 于是
例13 （二项分布的数学期望）若 求
解 因 则表示重伯努利试验中的,成功” 次数,
若设,则
因为
所以
可见,服从参数为和的二项分布的随机变量的数学期望是
例14 (E08) 一民航送各车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车,以X表示停车的次数,求E(X) (设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立).
解 引入随机变量
易知
现在来求 按题意,任一旅客不在第站下车的概率为 因此20位旅客都不在第站下车的概率为 在第站有人下车的概率为 即
由此进而
(次)
注,本题是将分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望的,这种处理方法具有一定的普遍意义.
课堂练习
1,设甲、乙两人玩必分胜负的赌博游戏,假定游戏的规则不公正,以致两人获胜的概率不等,甲为,乙为,,为了补偿乙的不利地位,另行规定两人下的赌注不相等,甲为,乙为,,现在的问题是,究竟应比大多少,才能做到公正?
2,某种新药在400名病人中进行临床试验，有一半人服用，一半人未服，经过5天后，有210人痊愈，其中190人是服了新药的,试用概率统计方法说明新药的疗效.
3,把数字任意地排成一列,如果数字恰好出现在第个位置上,则称为一个巧合,求巧合个数的数学期望.
