第三节 二维随机变量函数的分布
在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数,例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用和分别表示一个人的年龄和体重，表示这个人的血压，并且已知与，的函数关系式
,
现希望通过的分布来确定的分布,此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.
在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系:
(i) ;
(ii) 和，其中与相互独立,
注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异.
分布图示
★ 引言
★ 和的分布 ★ 例1
★ 正态随机变量的线性组合
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 最大、最小分布 ★ 例5 ★ 例6
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题3-3
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内容要点
一、的分布
二、及的分布设随机变量相互独立,其分布函数分别为和,由于不大于z等价于和都不大于z,故有

类似地,可得的分布函数

例题选讲
和的分布例1 (E01) 设与相互独立,均服从分布,求的概率密度函数.
解 由卷积公式得


 即
正态随机变量的线性组合例2 (E02) 设某种商品一周的需求量是一个随机变量,其概率密度函数为

如果各周的需求量相互独立,求两周需求量的概率密度函数.
解 分别用和表示第一、二周的需求量 则
 
从而两周需求量 利用卷积公式计算.
当时,若 则 若 则 从而
当时,若 则 若 即 则
故 从而
例3 在一简单电路中,两电阻和串联连接,设相互独立,它们的概率密度均为

求总电阻的概率密度.
解 的概率密度为

易知仅当 即时上述积分的被积函数不等于零(如图),由此即得  将的表达式代入上式得

例4 设相互独立且分别服从参数为的分布(分别记成
的概率密度分别为


试证明服从参数为的分布.
证明 由卷积公式,知当时,的概率密度 当时,
的概率密度


记为 
其中 再来计算由概率密度性质,有

即有 于是 亦即服从参数为的分布,即
最大、最小分布例5 设随机变量相互独立,并且有相同的几何分布:
,,
求的分布.
解一 

解二 


例6 (E03) 设系统由两个相互独立的子系统连接而成，连接的方式分别为串联、并联、备用（当系统损坏时，系统开始工作），如图所示,设的寿命分别为,已知它们的概率密度分别为
 
其中且 试分别就以上三种连接方式写出的寿命的概率密度.
解 (1) 串联的情况由于当中有一个损坏时,系统就停止工作,所以这时的寿命为
，由题设知的分布函数分别为

于是的分布函数为

的概率密度为
(2) 并联的情况由于当且仅当都损坏时,系统才停止工作,所以这时的寿命
于是的分布函数为

于是的概率密度为

(3) 备用的情况由于这时系统损坏时系统才开始工作,故整个系统的寿命是两者寿命之和,即 故当时,的概率密度为


而当时, 于是的概率密度为

课堂练习
1,若和独立,具有共同的概率密度

求的概率密度.