第五节 事件的独立性
分布图示
★ 引例
★ 两个事件的独立性 ★ 例1
★ 关于事件独立性的判断 ★ 有限个事件的独立性
★ 相互独立性的性质
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 伯努利概型
★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 例10
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题1-5
★ 返回
内容要点
一、两个事件的独立性定义 若两事件,满足
(1)
则称,独立,或称,相互独立.
注,当,时,,相互独立与,互不相容不能同时成立,但与既相互独立又互不相容(自证).
定理1 设,是两事件,且,若,相互独立,则,反之亦然.
定理2 设事件,相互独立,则下列各对事件也相互独立,
与,与,与.
二、有限个事件的独立性定义 设为三个事件,若满足等式
则称事件相互独立,
对个事件的独立性,可类似写出其定义:
定义 设是个事件,若其中任意两个事件之间均相互独立,则称两两独立.
相互独立性的性质性质1 若事件相互独立,则其中任意个事件也相互独立;
由独立性定义可直接推出.
性质2 若个事件相互独立,则将中任意个事件换成它们的对立事件,所得的个事件仍相互独立;
对时，定理2已作证明,一般情况可利用数学归纳法证之，此处略.
性质3设是个随机事件，则
相互独立 两两独立.
即相互独立性是比两两独立性更强的性质,
三、伯努利概型设随机试验只有两种可能的结果,事件发生(记为) 或 事件不发生(记为),则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验,设
将伯努利试验独立地重复进行次,称这一串重复的独立试验为重伯努利试验,或简称为伯努利概型.
注,重伯努利试验是一种很重要的数学模型,在实际问题中具有广泛的应用.其特点是:事件在每次试验中发生的概率均为,且不受其他各次试验中是否发生的影响.
定理3（伯努利定理） 设在一次试验中,事件发生的概率为则在重贝努里试验中,事件恰好发生次的概率为
推论 设在一次试验中,事件发生的概率为 则在重贝努里试验中,事件在第次试验中的才首次发生的概率为
注意到“事件第次试验才首次发生”等价于在前次试验组成的重伯努利试验中“事件在前次试验中均不发生而第次试验中事件发生”,再由伯努利定理即推得.
例题选讲
两个事件的独立性例1 (E01) 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记{抽到},{抽到的牌是黑色的},问事件、是否独立?
注：从例1可见,判断事件的独立性,可利用定义或通过计算条件概率来判断,但在实际应用中,常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立,
解一 利用定义判断,由
故事件独立.
解二 利用条件概率判断,由
故事件独立.
注：从例1可见,判断事件的独立性,可利用定义或通过计算条件概率来判断,但在实际应用中,常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立,
相互独立性的性质例2 已知甲、乙两袋中分别装有编号为1,2,3,4的四个球,今从甲、乙两袋中各取出一球,设{从甲袋中取出的是偶数号球},{从乙袋中取出的是奇数号球},{从两袋中取出的都是偶数号球或都是奇数号球},试证两两独立但不相互独立.
证明 由题意知, 以分别表示从甲、乙两袋中取出球的号数,则样本空间为
由于包含16个样本点,事件包含4个样本点: 而都各包含4个样本点,所以
于是有因此两两独立.
又因为所以而因故不是相互独立的.
例3 加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%,3%,5%,3%,假定各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.
解 本题应先计算合格品率,这样可以使计算简便.
设为四道工序发生次品事件,为加工出来的零件为次品的事件,则为产品合格的事件,故有
例4 (E02) 如图是一个串并联电路系统.都是电路中的元件,它们下方的数字是它们各自正常工作的概率,求电路系统的可靠性.
解 以表示电路系统正常工作,因各元件独立工作,故有
其中
代入得
例5 (E03) 甲,乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率为p,p≥1/2,问对甲而言,采用三局二胜制有利,还是采用五局三胜制有利,设各局胜负相互独立.
解 采用三局二胜制,甲最终获胜,其胜局的情况是:“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”,而这三种结局互不相容,于是由独立性得甲最终获胜的概率为
采用五局三胜制,甲最终获胜,至少需比赛3局(可能赛3局,也可能赛4局或5局),且最后一局必需是甲胜,而前面甲需胜二局,例如,共赛4局,则甲的胜局情况是:“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,
“甲甲乙甲”,且这三种结局互不相容,由独立性得甲最终获胜的概率为
于是
当时,即对甲来说采用五局三胜制较为有利; 当时,即两种赛制甲,乙最终获胜的概率相同.
伯努利概型例6 某种小数移栽后的成活率为90%,一居民小区移栽了20棵,求能成活18的概率.
解 观察一棵小树是否成活是随机试验 每棵小树只有“成活”或“没成活”两种可能结果,且 可以认为,小树成活与否是彼此独立的,因此观察20 棵小树是否成活可以看成是的20重伯努利试验.
设所求概率为则由伯努利公式可得
例7 一条自动生产线上的产品,次品率为4%,求:
(1) 从中任取10件,求至少有两件次品的概率;
(2) 一次取1件,无放回地抽取,求当取到第二件次品时,之前已取到8件正品的概率.
解 (1) 由于一条自动生产线上的产品很多,当抽取的件数相对较少时,可将无放回抽取近似看成是有放回抽取,每抽1件产品看成是一次试验,抽10件产品相当于做10次重复独立试验,且每次试验只有,次品” 或,正品” 两种可能结果,所以可以看成10重伯努利试验.
设表示,任取 1 件是次品”,则
设表示,10件中至少有两件次品”,由伯努利公式有
(2) 由题意,至第二次抽到次品时,共抽取了10次,前9次中抽得8件正品1件次品,设表示,前9次中抽到8件正品1件次品”,表示,第十次抽到次品”,则由独立性和伯努利公式,所求的概率为
例8 一个袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，每次从中随意取出一球，取后放回.
(1) 如果共取10次，求10次中能取到黑球的概率及10次中恰好取到3次黑球的概率.
(2) 如果未取到黑球就一直取下去，直到取到黑球为止，求恰好要取3次的概率及至少要取3次的概率.
解 记为事件,第次取到的是黑球”,则
(1) 记为事件,10次中能取到黑球”,为事件,10次中恰好取到次黑球” 则有
(2) 记为“恰好要取 3 次”,为“至少要取 3 次”,则
例9 一辆飞机场的交通车载有25名乘客途经9个站，每位乘客都等可能在这9站中任意一站下车（且不受其他乘客下车与否的影响），交通车只在有乘客下车时才停车，求交通车在第站停车的概率以及在第站不停车的条件下第站的概率，并判断“第站停车”与“第站停车”两个事件是否独立.
解 记为,第位乘客在第站下车”, 考察每一位乘客在第站是否下车,可视为一个25重的伯努利试验,记为,第站停车”,为,第站停车”,则分别等价于,第站有人下车” 和,第站有人下车”,于是有
在不发生(即发生)的条件下,每位乘客均等可能地在第站以外的8站中任意一站下车,于是每位乘客在第站下车的概率为1/8,故有
因故与不独立,从而与不独立.
例10 (E04) 某型号高炮,每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6,现若干门炮同时各射一发,
(1) 问,欲以99%的把握击中一架来犯的敌机至少需配置几门炮?
(2) 现有3门炮,欲以99%的把握击中一架来犯的敌机,问:每门炮的命中率应提高到多少?
解 (1) 设需配置门炮,因为门炮是各自独立发射的,因此该问题可以看作重伯努利试验,设表示,高炮击中飞机”,表示“敌机被击落”,问题归结为求满足下面不等式的
由 或 解得 故至少应配置6门炮才能达到要求.
(2) 设命中率为 由 得
解此不等式得 从而得 即每门炮的命中率至少应为0.785.
注,对于给定一事件的概率求某个参数的逆问题,应先求出事件的概率(含所求参数),从而得到所求参数满足的方程或不等式,再解之.
课堂练习某工人一天出废品的概率为0.2,求在4天中:
(1) 都不出废品的概率;
(2) 至少有一天出废品的概率;
(3) 仅有一天出废品的概率;
(4) 最多有一天出废品的概率;
(5) 第一天出废品,其余各天不出废品的概率.
