第五节 随机变量函数的分布
分布图示
★ 随机变量的函数
★ 离散型随机变量函数的分布 ★ 例1
★ 连续型随机变量函数的分布
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 有关直接确定密度函数的一个定理
★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题2-5
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内容要点
一、随机变量的函数定义 如果存在一个函数,使得随机变量满足:
,
则称随机变量是随机变量的函数.
注,在微积分中,我们讨论变量间的函数关系时,主要研究函数关系的确定性特征,例如:导数、积分等.而在概率论中,我们主要研究是随机变量函数的随机性特征,即由自变量的统计规律性出发研究因变量的统计性规律.
一般地,对任意区间,令,则


注,随机变量与的函数关系确定,为从的分布出发导出的分布提供了可能.
二、离散型随机变量函数的分布设离散型随机变量的概率分布为

易见,的函数显然还是离散型随机变量.
如何由的概率分布出发导出的概率分布? 其一般方法是：先根据自变量的可能取值确定因变量的所有可能取值,然后对的每一个可能取值确定相应的于是


从而求得的概率分布.
三、连续型随机变量函数的分布一般地,连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量,但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形,此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数,而且还希望求出其概率密度函数.
设已知的分布函数或概率密度函数,则随机变量函数的分布函数可按如下方法求得:

其中
而常常可由的分布函数来表达或用其概率密度函数的积分来表达:

进而可通过的分布函数,求出的密度函数.
定理1 设随机变量具有概率密度,又设处处可导且恒有(或恒有),则是一个连续型随机变量,其概率密度为

其中是的反函数,且

例题选讲
离散型随机变量函数的分布例1(E01) 设随机变量具有以下的分布律,试求的分布律.

解 所有可能的 取值0,1,4,由

既得的分布律为

0 1 4


连续型随机变量函数的分布例2 (E02) 设随机变量求的概率密度函数.
解 设分别为随机变量的分布函数和概率密度函数,
则当时,有
当时,因为是的严格单调增函数,所以有
因而
再由 得
通常称上式中的服从对数正态分布,它也是一种常用寿命分布.
例3 (E03) 设 求的概率密度.
解 设的分布函数为 则

于是的密度函数
注意到时，即时，且
故 
例4 设,求的密度函数.
解 记的分布函数为 则
显然,当时，
当时,
从而的分布函数为 
于是其密度函数为 
注,以上述函数为密度函数的随机变量称为服从分布,它是一类更广泛的分布在时的特例,关于分布的细节将在第五章中给出.
例5 已知随机变量的分布函数是严格单调的连续函数,证明服从上的均匀分布.
证明 设的分布函数是 由于 于是对 对
 又由于的分布函数是严格递增的连续函数,其反函数存在且严格递增,对

即的分布函数是 
求导得的密度函数可见,服从[0,1]上的均匀分布,证毕.
注：本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.
例6 (E04) 也服从正态分布.
证 的概率密度为 
由解得 且有从而的概率密度为

即
即有
特别地,若在本例中取则得
这就是上节中一个已知定理的结果.
例7 设随机变量服从参数为的指数分布,求的分布函数.
解 根据已知结果,的分布函数

的分布函数

当时，
当时，
代入的分布函数中可得
注：在本例中,虽然X是连续型随机变量,但Y不是连续型随机变量,也不是离散型随机变量,Y的分布在处间断.
例8 (E05) 设随机变量在上服从均匀分布,求的概率密度.
解 在区间 (0,1) 上,函数故
于是在区间上单调下降,有反函数
从而 
已知在在(0,1)上服从均匀分布,

代入的表达式中,得
即服从参数为1/2的指数分布.
课堂练习
1,设X的分布列为

试求,(1) 2X的分布列; (2) 的分布列.
2,设随机变量的概率密度为

求的概率密度.