第三节 协方差及相关系数
对多维随机变量,随机变量的数学期望和方差只反映了各自的平均值与偏离程度，并没能反映随机变量之间的关系,本节将要讨论的协方差是反映随机变量之间依赖关系的一个数字特征.
分布图示
★ 引言 ★ 协方差的定义 ★ 协方差的性质
★ 例1 ★ 例2
★ 相关系数的定义 ★ 相关系数的性质
★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 矩的概念 ★ 协方差矩阵
★ n维正态分布的概率密度
★ n维正态分布的几个重要性质 ★ 例7
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题4-3
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内容要点
一、协方差的定义定义 设为二维随机向量,若

存在,则称其为随机变量和的协方差,记为,即 
按定义,若为离散型随机向量,其概率分布为

则 
若为连续型随机向量,其概率分布为 则
.
此外,利用数学期望的性质,易将协方差的计算化简.

特别地,当与独立时,有 
二、协方差的性质
1,协方差的基本性质


,其中是常数;
为任意常数;

(6) 若与相互独立时,则
2,随机变量和的方差与协方差的关系

特别地,若与相互独立时,则
.
三、相关系数的定义定义 设为二维随机变量,称

为随机变量和的相关系数.有时也记为,特别地，当时，称与不相关.
四、相关系数的性质
1,
2,若和相互独立,则.
3,若,则当且仅当存在常数 使,而且当时,;当时,.
注,相关系数刻画了随机变量Y与X之间的“线性相关”程度.
的值越接近1,Y与X的线性相关程度越高;
的值越近于0,Y与Y的线性相关程度越弱.
当时,Y与X的变化可完全由X的线性函数给出.
当时,Y与X之间不是线性关系.
4,设称为用来近似Y的均方误差,则有下列结论,
设 则使均方误差达到最小.
注,我们可用均方误差e来衡量以近似表示Y的好坏程度,e值越小表示与Y的近似程度越好.且知最佳的线性近似为而其余均方误差,从这个侧面也能说明,越接近1,e越小.反之,越近于0,e就越大.Y与X的线性相关性越小.
五、矩的概念定义 设和为随机变量,为正整数,称
 为阶原点矩(简称阶矩阵);
 为阶中心矩;
 为阶绝对原点矩;
 为阶绝对中心矩;
 为和的阶混合矩;
 为和的阶混合中心矩;
注,由定义可见:
(1) 的数学期望是的一阶原点矩;
(2) 的方差是的二阶中心矩;
(3)协方差是和的二阶混合中心矩.
六、协方差矩阵将二维随机变量的四个二阶中心矩

排成矩阵的形式,（对称矩阵），称此矩阵为的协方差矩阵.
类似定义维随机变量的协方差矩阵.
若都存在,则称

为的协方差矩阵.
六、n维正态分布的概率密度七、n维正态分布的几个重要性质
例题选讲
协方差的性质例1 (E01) 已知离散型随机向量的概率分布为
Y
X

0
2
0
0.1
0.2
0
1
0.3
0.05
0.1
2
0.15
0
0.1
求.
解 容易求得的概率分布为
的概率分布为
于是有


计算得



于是 
例2 (E02) 设连续型随机变量的密度函数为

求.
解 由的密度函数可求得其边缘密度函数分别为:
 
于是



从而 
又 

所以 
故 
相关系数的性质例3 (E03) 设的分布律为
 X
Y


1
2

1
4
0
1/4
1/4
0
1/4
0
0
1/4
1/2
1/2

1/4
1/4
1/4
1/4
1
易知于是不相关,这表示不存在线性关系,但知不是相互独立的,事实上,和具有关系,的值完全可由的值所确定.
例4 (E04) 设服从上的均匀分布, 判断与是否不相关,是否独立.
解 由于
而
因此从而与不相关.但由于与满足关系,
所以与不独立.
例5 已知, 且与的相关系数

设 求及
解 因  且
所以


又因


故 
例6 (E05) 设二维随机变量求相关系数.
解 根据二维正态分布的边缘概率密度知

而


令 则有



即有 于是
注,从本例的结果可见,二维正态随机变量的分布完全由和各自的数学期望、方差以及它们的相关系数所确定,此外,易见有结论,若服从二维正态分布,则与相互独立,当且仅当与不相关.
n维正态分布的几个重要性质例7 (E06) 设随机变量和相互独立,且,试求
的概率密度.
解 且与独立,故和的联合分布为正态分布,和的任意线性组合是正态分布,即




即的概率密度是
课堂练习对不同品牌的某种机械的两项重要指标评分,设为其所得分数(百分制),已知
;  
现以服从正态分布的综合分来决定各参评品牌的名次.
.(1) 试求Y的分布; (2) 如果对综合分的品牌颁奖,试计算获奖者的百分比.