第二节 常用统计分布
取得总体的样本后,通常是借助样本的统计量对未知的总体分布进行推断,为此须进一步确定相应的统计量所服从的分布,除在概率论中所提到的常用分布外,本节还要介绍几个在统计学中常用的统计分布:
分布 t分布 F分布
分布图示
★ 引言
★ 分位数 ★ 例1
★ 分布 ★ 例2
★ 分布 ★ 例3
★ 分布 ★ 例4
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题5-2
★ 返回
内容要点一、分位数设随机变量的分布函数为,对给定的实数 若实数满足不等式
,
则称为随机变量的分布的水平的上侧分位数.
若实数满足不等式
,
则称为随机变量的分布的水平的双侧分位数.
二、分布定义1 设是取自总体的样本,则称统计量
(1)
服从自由度为n的分布,记为
这里,自由度是指(1)式右端所包含的独立变量的个数.
分布的概率密度:
其中为Gamma函数，的图形如5-2-3.
1.分布的数学期望与方差:
若,则
2．分布的可加性:
若且相互独立，则
3．分布的分位数:
设，对给定的实数 称满足条件
的点为分布的水平的上侧分位数,简称为上侧分位数,对不同的与n,分位数的值已经编制成表供查用(参见附表).
三、t分布定义2 设,且X与Y相互独立,则称
服从自由度为n的t分布,记为,
分布的概率密度:
t分布具有如下性质：
1．的图形关于y轴对称，且;
2．当n充分大时，t分布近似于标准正态分布;
3．t分布的分位数,
设，对给定的实数 称满足条件
的点为分布的水平的上侧分位数,由密度函数的对称性，可得
类似地，我们可以给出t分布的双侧分位数
显然有
对不同的与n,t分布的双侧分位数可从附表查得.
四、F分布定义3 设且X与Y相互独立,则称
服从自由度为的F分布,记为
分布的概率密度:
F分布具有如下性质:
1．若，则
2．若 则
3．F分布的分位数:
设，对给定的实数称满足条件
的点为分布的水平的上侧分位数,F分布的上侧分位数的可自附表查得.
4．F分布的一个重要性质:
此式常常用来求F分布表中没有列出的某些上侧分位数.
例题选讲
分位数例1 (E01) 设,求标准正态分布的水平0.05的上侧分位数和双侧分位数.
解 由于 查标准正态分布函数值表可得
而水平0.05的双侧分位数为 它满足,
查标准正态分布函数值表可得
注,今后,分别记与为标准正态分布的上侧分位数与双侧分位数.
分布例2 (E02) 设是来自总体的样本,又设
,
试求常数C,使服从分布.
解 因为
所以 且相互独立,于是
故应取 则有
t分布例3 (E03) 设随机变量,随机变量均服从,且
都相互独立,令
试求的分布,并确定的值,使
解 由于
故由分布的定义知
即服从自由度为4的分布,
由 对于查附表4,得
F分布例4 (E04) 设总体X服从标准正态分布,是来自总体X的一个简单随机样本,试问统计量
服从何种分布?
解 因为
且与相互独立,所以 再由统计量的表达式,
即得
课堂练习
1.设是来自正态总体的样本.
(1) 求C使统计量服从分布;
(2) 求所服从的分布.
取得总体的样本后,通常是借助样本的统计量对未知的总体分布进行推断,为此须进一步确定相应的统计量所服从的分布,除在概率论中所提到的常用分布外,本节还要介绍几个在统计学中常用的统计分布:
分布 t分布 F分布
分布图示
★ 引言
★ 分位数 ★ 例1
★ 分布 ★ 例2
★ 分布 ★ 例3
★ 分布 ★ 例4
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题5-2
★ 返回
内容要点一、分位数设随机变量的分布函数为,对给定的实数 若实数满足不等式
,
则称为随机变量的分布的水平的上侧分位数.
若实数满足不等式
,
则称为随机变量的分布的水平的双侧分位数.
二、分布定义1 设是取自总体的样本,则称统计量
(1)
服从自由度为n的分布,记为
这里,自由度是指(1)式右端所包含的独立变量的个数.
分布的概率密度:
其中为Gamma函数，的图形如5-2-3.
1.分布的数学期望与方差:
若,则
2．分布的可加性:
若且相互独立，则
3．分布的分位数:
设，对给定的实数 称满足条件
的点为分布的水平的上侧分位数,简称为上侧分位数,对不同的与n,分位数的值已经编制成表供查用(参见附表).
三、t分布定义2 设,且X与Y相互独立,则称
服从自由度为n的t分布,记为,
分布的概率密度:
t分布具有如下性质：
1．的图形关于y轴对称，且;
2．当n充分大时，t分布近似于标准正态分布;
3．t分布的分位数,
设，对给定的实数 称满足条件
的点为分布的水平的上侧分位数,由密度函数的对称性，可得
类似地，我们可以给出t分布的双侧分位数
显然有
对不同的与n,t分布的双侧分位数可从附表查得.
四、F分布定义3 设且X与Y相互独立,则称
服从自由度为的F分布,记为
分布的概率密度:
F分布具有如下性质:
1．若，则
2．若 则
3．F分布的分位数:
设，对给定的实数称满足条件
的点为分布的水平的上侧分位数,F分布的上侧分位数的可自附表查得.
4．F分布的一个重要性质:
此式常常用来求F分布表中没有列出的某些上侧分位数.
例题选讲
分位数例1 (E01) 设,求标准正态分布的水平0.05的上侧分位数和双侧分位数.
解 由于 查标准正态分布函数值表可得
而水平0.05的双侧分位数为 它满足,
查标准正态分布函数值表可得
注,今后,分别记与为标准正态分布的上侧分位数与双侧分位数.
分布例2 (E02) 设是来自总体的样本,又设
,
试求常数C,使服从分布.
解 因为
所以 且相互独立,于是
故应取 则有
t分布例3 (E03) 设随机变量,随机变量均服从,且
都相互独立,令
试求的分布,并确定的值,使
解 由于
故由分布的定义知
即服从自由度为4的分布,
由 对于查附表4,得
F分布例4 (E04) 设总体X服从标准正态分布,是来自总体X的一个简单随机样本,试问统计量
服从何种分布?
解 因为
且与相互独立,所以 再由统计量的表达式,
即得
课堂练习
1.设是来自正态总体的样本.
(1) 求C使统计量服从分布;
(2) 求所服从的分布.
