第二节 方差
随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价,而随机变量取值的稳定性是判断随机现象性质的另一个十分重要的指标.
分布图示
★ 引言 ★ 方差的定义
★ 方差的计算
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 方差的性质
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 补充说明 ★ 例10
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题4-2
★ 返回
内容要点
一、方差的定义定义1 设是一个随机变量,若存在,则称它为的方差,记为
方差的算术平方根称为标准差或均方差,它与具有相同的度量单位,在实际应用中经常使用.
方差刻划了随机变量的取值与数学期望的偏离程度,它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性.
从方差的定义易见:
(1)若的取值比较集中,则方差较小;
(2)若的取值比较分散,则方差较大;
(3)若方差,则随机变量以概率1取常数值,此时也就不是随机变量了.
二、方差的计算若是离散型随机变量,且其概率分布为
则
若是连续型随机变量,且其概率密度为 则
利用数学期望的性质,易得计算方差的一个简化公式:
.
三、方差的性质
1,设常数,则;
2,若是随机变量,若是常数,则
3,设是两个随机向量,则
特别地,若相互独立,则
注,对维情形,有,若相互独立,则
例题选讲
方差的计算例1(E01) 设随机变量具有数学期望方差 记
则
的数学期望为0,方差为1,称为X的标准化变量.
例2 (E02) 设随机变量具有分布,其分布律为
求
解
故
例3 (E03) 设 求
解 的分布律为
则
而
故方差
由此可知,泊松分布的数学期望与方差相等,都等于参数因为泊松分布只含有一个参数 只要知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布了.
例4 (E04) 设 求
解 的概率密度为
而 故所求方差为
例5 (E05) 设随机变量服从指数分布,其概率密度为
其中 求
解
于是 即有
例6 设随机变量的联合点分布在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量的期望与方差.
解 三角形区域如图所示,的面积为 1/2,所以的联合概率密度为
方法一 分两步进行,第一步先求出函数的概率密度,第二步计算的期望与方差.设的分布函数 则
当时,
当时,有
其中
故 的面积
当时,
于是 从而
方法二
所以
方差的性质例7 (E06) 设 证明,当时,达到最小值.
证 依题
两边对求导数,有 显然当时,
又因所以当时,达到最小值,最小值为
这个例子又一次说明了数学期望是随机变量取值的集中位置,反映了的平均值.
注：本例子说明了数学期望是随机变量X取值的集中位置,反映了X的平均值.
例8 (E07) 设,求
解 表示重伯努利试验中,成功” 的次数,若设
则是次试验中,成功” 的次数,且服从分布.
故
由于相互独立,于是
例9 (E08) 设 求
解 先求标准正态变量的数学期望和方差,因为的概率密度为
于是
其中利用泊松积分
因 即得
这就是说,正态分布的概率密度中的两个参数和分别就是该分布的数学期望和均方差,因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定.
补充说明例10 设活塞的直径（以cm计）,气缸的直径
相互独立,任取一只活塞,任取一只气缸,求活塞能装入气缸的概率.
解 按题意需求 由于故有
课堂练习
1,设随机变量的密度函数为
求和
2,设随机变量的概率分布律为
试求及的期望与方差.
随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价,而随机变量取值的稳定性是判断随机现象性质的另一个十分重要的指标.
分布图示
★ 引言 ★ 方差的定义
★ 方差的计算
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 方差的性质
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 补充说明 ★ 例10
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题4-2
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内容要点
一、方差的定义定义1 设是一个随机变量,若存在,则称它为的方差,记为
方差的算术平方根称为标准差或均方差,它与具有相同的度量单位,在实际应用中经常使用.
方差刻划了随机变量的取值与数学期望的偏离程度,它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性.
从方差的定义易见:
(1)若的取值比较集中,则方差较小;
(2)若的取值比较分散,则方差较大;
(3)若方差,则随机变量以概率1取常数值,此时也就不是随机变量了.
二、方差的计算若是离散型随机变量,且其概率分布为
则
若是连续型随机变量,且其概率密度为 则
利用数学期望的性质,易得计算方差的一个简化公式:
.
三、方差的性质
1,设常数,则;
2,若是随机变量,若是常数,则
3,设是两个随机向量,则
特别地,若相互独立,则
注,对维情形,有,若相互独立,则
例题选讲
方差的计算例1(E01) 设随机变量具有数学期望方差 记
则
的数学期望为0,方差为1,称为X的标准化变量.
例2 (E02) 设随机变量具有分布,其分布律为
求
解
故
例3 (E03) 设 求
解 的分布律为
则
而
故方差
由此可知,泊松分布的数学期望与方差相等,都等于参数因为泊松分布只含有一个参数 只要知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布了.
例4 (E04) 设 求
解 的概率密度为
而 故所求方差为
例5 (E05) 设随机变量服从指数分布,其概率密度为
其中 求
解
于是 即有
例6 设随机变量的联合点分布在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量的期望与方差.
解 三角形区域如图所示,的面积为 1/2,所以的联合概率密度为
方法一 分两步进行,第一步先求出函数的概率密度,第二步计算的期望与方差.设的分布函数 则
当时,
当时,有
其中
故 的面积
当时,
于是 从而
方法二
所以
方差的性质例7 (E06) 设 证明,当时,达到最小值.
证 依题
两边对求导数,有 显然当时,
又因所以当时,达到最小值,最小值为
这个例子又一次说明了数学期望是随机变量取值的集中位置,反映了的平均值.
注：本例子说明了数学期望是随机变量X取值的集中位置,反映了X的平均值.
例8 (E07) 设,求
解 表示重伯努利试验中,成功” 的次数,若设
则是次试验中,成功” 的次数,且服从分布.
故
由于相互独立,于是
例9 (E08) 设 求
解 先求标准正态变量的数学期望和方差,因为的概率密度为
于是
其中利用泊松积分
因 即得
这就是说,正态分布的概率密度中的两个参数和分别就是该分布的数学期望和均方差,因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定.
补充说明例10 设活塞的直径（以cm计）,气缸的直径
相互独立,任取一只活塞,任取一只气缸,求活塞能装入气缸的概率.
解 按题意需求 由于故有
课堂练习
1,设随机变量的密度函数为
求和
2,设随机变量的概率分布律为
试求及的期望与方差.
