随机序列的收敛性电子科技大学一,分布函数弱收敛定义 4.3.1 对于分布函数列 {Fn(x)},如果存在单调不降函数 F(x),使
,)()(lim xFxF nn
.)()( xFxF Wn?
在 F(x)的每一连续点成立,称 Fn(x)弱收敛 于 F(x).
记为
§ 4.3 随机变量的收敛性
P278
随机序列的收敛性电子科技大学分布函数列的极限函数 F(x)是 有界非降函数，但不一定是分布函数,
注 1
例 4.5.2
未要求在极限函数 F(x)的不连续点的收敛性，处处收敛的随机序列也不能满足条件,
注 2
参见 P279例
4.5.3
随机序列的收敛性电子科技大学正极限定理 设分布函数列 {Fn(x)}弱收敛于某一分布函数 F(x),则相应的特征函数列收敛于特征函数，且在 t 的任一有限区间内收敛是一致的,
t)()}({tn 一致成立, )()( xFxF
W
n
即有二,连续性定理 （ 列维－克拉美 ）
连续性定理由正极限定理和逆极限定理组成,
随机序列的收敛性电子科技大学处连续在 0
)()}(φ{
t
ttn? )()( xFxF
W
n?
)}(φ{ tn
)(t?
逆极限定理 设特征函数列 收敛于某一函数,且 在 t =0 连续,则相应的分布函数列 {Fn(x)}弱收敛于某一分布函数 F(x)，而且 是 F(x)的特征函数,
)(t?
)(t?
连续性定理可用来确定随机变量序列的极限分布,
随机序列的收敛性电子科技大学例 4.3.1 设随机变量序列 ξ1,ξ2,… 相互独立,且
ξk～ P(?)（ k=1,2,… ).
)(
)(*
n
nn
n YD
YEYY
n
k
kn XY
1
1) 求 的概率分布 ;
n2) 证明：当 时,
趋于正态分布,
解 1)
)1(λ)( jte
k et?
)1(λ
1
)(Π)(?
jt
n
en
k
n
kY
ett
随机序列的收敛性电子科技大学
.λ)()( nYDYE nn即 Yn～ P(nλ),且
n
n
Y
n
nYY nn
n
*
2) 的特征函数为*nY
λ
)( λ*
n
t
et
nn Y
tnj
Y
)1(λ n
jt
entnj ee
随机序列的收敛性电子科技大学
λ
e x p
λλ n
jt
n
ntnj eee
)]
λ2
2
(
λ2
2
λ
1([e x pλλ
n
t
o
n
t
n
jt
ntnjene
)]
λ2
(
λ2
[λ
22
n
t
o
n
t
n
e
.,)(lim 2
2
* Rtet
t
Yn n
有在 t =0 连续
)]
2
(
2
[
22 t
o
t
e
随机序列的收敛性电子科技大学由连续性定理的逆定理知当 趋于正态分布 N(0,1).
*nYn,
三,随机变量序列的收敛性定义 4.3.1 设随机变量序列 {ξn}的分布函数列 {Fn(x)}弱收敛于 r.v.ξ 的分布函数 F(x),称 {ξn}
依分布收敛 于 ξ,记为
nasWn,
随机序列的收敛性电子科技大学定义 4.3.3设 {ξn},n=1,2,… 是定义在 (Ω,F,P)
上的随机变量序列,若存在一个随机变量 ξ (可以是常数 ),使
1}l i m{ nnP
称随机变量序列 {ξn} 以概率为 1收敛 于 ξ，或称几乎处处收敛 于 ξ,记为
)..(lim sann.., san? 或随机序列的收敛性电子科技大学注 可证明
1 1
,}lim:{
m n nk
mknn A
其中
}1:{,mA kmk
定义 4.3.3 设 {ξn},n=1,2,… 是定义在 (Ω,F,P )
上的随机变量序列,若对 0,ε
0,}ε{lim nn P
1.}ε{lin nn P或称随机变量序列 {ξn}依概率收敛 于 ξ,记为随机序列的收敛性电子科技大学
)(l i m pnn, pn?或注 随机变量序列依概率收敛,不同于普通数列或函数列的收敛性,
意指当 n 足够大时,有 足够大的概率 保证 ξn 任意接近于 ξ,但 ξn仍然 有可能 与 ξ相差很大,
依概率收敛意义的例随机序列的收敛性电子科技大学三,几种 收敛性的关系概率为 1 收敛依概率收敛依分布收敛逆均不真！
随机序列的收敛性电子科技大学例 设随机变量序列 ξ1,ξ2,··,ξn·· ·· 服从如下的分布,
P{ξn = 0 }= 1? P{ξn = 2n }=
则对任意的 0,有
P{ | ξn |≥? } = P{ξn = 2n } = 0
故 {ξn} 依概率收敛于 0,但无论对多大的 n,ξn都可能取 远离 0 的值 2n.
随机序列的收敛性电子科技大学例 4.5.2 设随机变量序列 ξ1,ξ2,··,ξn·· 服从如下的分布
P{ξn = n}= 1 (n=1,2,… )
则有
.,1;,0
)(
nx
nx
xF n
当当对任意 x∈ R,有
)(0)(lim xFxF nn
.)()( xFxF Wn?即不是分布函数
,)()(lim xFxF nn
.)()( xFxF Wn?
在 F(x)的每一连续点成立,称 Fn(x)弱收敛 于 F(x).
记为
§ 4.3 随机变量的收敛性
P278
随机序列的收敛性电子科技大学分布函数列的极限函数 F(x)是 有界非降函数，但不一定是分布函数,
注 1
例 4.5.2
未要求在极限函数 F(x)的不连续点的收敛性，处处收敛的随机序列也不能满足条件,
注 2
参见 P279例
4.5.3
随机序列的收敛性电子科技大学正极限定理 设分布函数列 {Fn(x)}弱收敛于某一分布函数 F(x),则相应的特征函数列收敛于特征函数，且在 t 的任一有限区间内收敛是一致的,
t)()}({tn 一致成立, )()( xFxF
W
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即有二,连续性定理 （ 列维－克拉美 ）
连续性定理由正极限定理和逆极限定理组成,
随机序列的收敛性电子科技大学处连续在 0
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t
ttn? )()( xFxF
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)}(φ{ tn
)(t?
逆极限定理 设特征函数列 收敛于某一函数,且 在 t =0 连续,则相应的分布函数列 {Fn(x)}弱收敛于某一分布函数 F(x)，而且 是 F(x)的特征函数,
)(t?
)(t?
连续性定理可用来确定随机变量序列的极限分布,
随机序列的收敛性电子科技大学例 4.3.1 设随机变量序列 ξ1,ξ2,… 相互独立,且
ξk～ P(?)（ k=1,2,… ).
)(
)(*
n
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1
1) 求 的概率分布 ;
n2) 证明：当 时,
趋于正态分布,
解 1)
)1(λ)( jte
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)1(λ
1
)(Π)(?
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随机序列的收敛性电子科技大学
.λ)()( nYDYE nn即 Yn～ P(nλ),且
n
n
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2) 的特征函数为*nY
λ
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随机序列的收敛性电子科技大学
λ
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随机序列的收敛性电子科技大学由连续性定理的逆定理知当 趋于正态分布 N(0,1).
*nYn,
三,随机变量序列的收敛性定义 4.3.1 设随机变量序列 {ξn}的分布函数列 {Fn(x)}弱收敛于 r.v.ξ 的分布函数 F(x),称 {ξn}
依分布收敛 于 ξ,记为
nasWn,
随机序列的收敛性电子科技大学定义 4.3.3设 {ξn},n=1,2,… 是定义在 (Ω,F,P)
上的随机变量序列,若存在一个随机变量 ξ (可以是常数 ),使
1}l i m{ nnP
称随机变量序列 {ξn} 以概率为 1收敛 于 ξ，或称几乎处处收敛 于 ξ,记为
)..(lim sann.., san? 或随机序列的收敛性电子科技大学注 可证明
1 1
,}lim:{
m n nk
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其中
}1:{,mA kmk
定义 4.3.3 设 {ξn},n=1,2,… 是定义在 (Ω,F,P )
上的随机变量序列,若对 0,ε
0,}ε{lim nn P
1.}ε{lin nn P或称随机变量序列 {ξn}依概率收敛 于 ξ,记为随机序列的收敛性电子科技大学
)(l i m pnn, pn?或注 随机变量序列依概率收敛,不同于普通数列或函数列的收敛性,
意指当 n 足够大时,有 足够大的概率 保证 ξn 任意接近于 ξ,但 ξn仍然 有可能 与 ξ相差很大,
依概率收敛意义的例随机序列的收敛性电子科技大学三,几种 收敛性的关系概率为 1 收敛依概率收敛依分布收敛逆均不真！
随机序列的收敛性电子科技大学例 设随机变量序列 ξ1,ξ2,··,ξn·· ·· 服从如下的分布,
P{ξn = 0 }= 1? P{ξn = 2n }=
则对任意的 0,有
P{ | ξn |≥? } = P{ξn = 2n } = 0
故 {ξn} 依概率收敛于 0,但无论对多大的 n,ξn都可能取 远离 0 的值 2n.
随机序列的收敛性电子科技大学例 4.5.2 设随机变量序列 ξ1,ξ2,··,ξn·· 服从如下的分布
P{ξn = n}= 1 (n=1,2,… )
则有
.,1;,0
)(
nx
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xF n
当当对任意 x∈ R,有
)(0)(lim xFxF nn
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