特征函数电子科技大学第四章特征函数与极限理论特征函数电子科技大学
§ 4.1 一维特征函数的定义及性质
§ 4.2 多维特征函数
§ 4.4 大数定律
§ 4.5 中心极限定理
§ 4.3 -1 随机变量的收敛性特征函数电子科技大学
§ 4.1 一维特征函数的定义及性质一,特征函数的定义及例设 X,Y是实随机变量,复随机变量
Z=X + jY,
的数学期望定义为
1j ),()()( YEjXEZE
特别特征函数电子科技大学
)(s i n)(c o s xt x d Fjxt x d F
)( xdFe itx
注,Rt1） costx 和 sintx 均为有界函数,故
)(?jteE 总存在,
2) 是实变量 t 的函数,)(?jteE
)s i n()cos()( tjEtEeE jt ξ是实随机变量求随机变量
ξ的函数的数学期望特征函数电子科技大学定义 4.1.1 设 ξ是定义在 (Ω,F,P )上的随机变量,称
RtxdFeeEt jtxjt,)()()(
为 ξ的 特征函数,关于 ξ的分布函数的富里埃 -司蒂阶变换当 ξ是连续型随机变量
;)()(φ dxxfet jtx
.)(φ
k
k
jtx pet k
当 ξ是离散型随机变量特征函数电子科技大学
,1}{ cP?Ex.1 单点分布
R.,)()(φ teeEt jtcjtc
Ex.2 两点分布
pepet jtjt 10 )1()(φ
.,1 Rtpeqpep jtjt
Ex.3 二项分布 Rtpeqt njt,)()(φ
Ex.4 泊松分布 Rtet jte,)(φ )1(?
特征函数电子科技大学
0)(φ dxeet xjtx
0 0 s i nc o s t x d xejt x d xe xx
Rt
jt
t
t
j
t
,1
1
2222
)0λ(
0.0,
0;,
)(?
x
xe
xf
x
Ex.5 指数分布特征函数电子科技大学
Ex.6 均匀分布 ],,[ aaU?
Rt
at
att,s i n)(φ
Ex.7 正态分布 N(a,σ2)
Rtt
ttja
e?
,
22
2
1
)(φ
特别正态分布 N(0,1)，则
Rtt
t
e?
,
2
2
1
)(φ
特征函数电子科技大学
dxeet
ax
txj 22
)( 2
2
1
)(?
axu
duee
u
uajt 2)(
2
2
1
duee
jautja
2
)(
2
1 222
2
1
证明
Rxexf
ax
,
2
1
)(
22
)( 2
Rt
ttjae
,221 2?
特征函数电子科技大学二,特征函数性质性质 4.1.1随机变量 ξ的特征函数满足：;1)0(φ)(φ)1t
.)(φ)(φ)2 tt
22 )( s i n)( c o s)(φ)1 tjEtEt证
22 )]( s i n[)]( c o s[ tEtE
])( s i n[])( c o s[ 22 tEtE
)0(1])( s i n)[ ( c o s 22 ttE
司蒂阶积分性质或矩的性质特征函数电子科技大学
)()(φ)2?jteEt? )( s i n)( c o s tjEtE
)( s i n)( c o s tjEtE
)][ s i n ()][ c o s ( tjEtE
)(][ )( teE tj
性质 4.1.2随机变量 ξ的特征函数为 则 η=
aξ+b的特征函数是
,)(φ t?
)(φ)(φ atet j b t
a,b是常数,
特征函数电子科技大学
Ex.8 设 η～ N(a,σ2),求其特征函数,
解 设 ξ～ N( 0,1),有 η=σξ+ a,且
.,)(φ
2
2
1
Rtet t
.,)(φ)(φ
22
X
ζ21
Rteetet
tj a tj a t
证
)(φ][
][)(φ
)(
)(
ateeeE
eEt
j b tatjj b t
tbaj
特征函数电子科技大学
0,ε 0,δ
性质 4.1.3 随机变量 ξ的特征函数 在 R上一致连续,(P248)
)(φ t
ε)(φ)(φ tht
δ?h使 时,对 t 一致地有一般,t)εδδ,(?
性质 4.1.3特征函数是非负定的函数，即对任意正整数 n,任意复数 z1,z2,…,zn,及,Rt
r?
n
r
n
s
srsr zztt
1 1
0.)(?
有,,,21,nr
特征函数电子科技大学证
)()( )(
1 1 1,
xdFezzzztt strtj
n
r
n
s
n
sr
srsrsr?
)(][
1,
xdFeezz
n
sr
sr
xsjtxrjt
.0)(
2
1
xdFez
n
r
r
xrjt
注 以上性质中 一致连续性，非负定性是本质性的,
1,)0(φ?
特征函数电子科技大学波赫纳 — 辛钦定理 函数 为特征函数的充分必要条件是在 R上一致连续，非负定且
)(φ t
.1)0(φ?
定理 4.1.1 若随机变量 ξ的 n阶矩存在,则 ξ
的特征函数 的 k阶)(φ t 导数 存在,且)(φ tk
)(( 0 ),φ)( )( nkjE kkk
三,特征函数与 矩的关系注 逆不真,
特征函数电子科技大学证 仅证连续型情形设 ξ的概率密度为 f(x)，有
)()]([ xfexjdt xfed jtxkk
kjtx
][)()( kkkjtx Edxxfxdxxfxe?
)()()()( jtkkkjtxkk eEjdxxfxejt
两边求导，得对 dxxfet jtx )()(φ
特征函数电子科技大学令 t=0，得 )()0()( kkk Ej
)0()( )( kkk jE故
Ex.9 随机变量 ξ的概率密度为
.0,;
2
π
2
π
,c o s
2
1
)(
其它
xx
xf
.)()( DE 和求解 2π
0
))()((c o sc o s212)(φ xfxfdxtxt?
特征函数电子科技大学
2π0 )1(c o s)1(c o s21 dxxtxt
.,]
2
π)1(s i n[
1
1]
2
π)1[(s i n
1
1
2
1 Rtt
t
t
t
.π
4
12)0(0,)0(φ 2因故 0;)0()( 1 jE
2.π
4
1π
4
12)0()()( 2222
jED
特征函数电子科技大学
Ex.10随机变量 ξ服从 N(a,σ2),计算,)()( DE 和解 ξ的特征函数为
22
2
1
)( tj a tet
22
2 2
1
)()( tj a tetjat
22
222 2
1
])[()( tj a tetjat;)0( ja 22)0( a
特征函数电子科技大学
ajajjE )()0()(
222222 )()0()( aajE
222222 )]([)()( aaEED
三,反演公式及唯一性定理由随机变量 ξ的分布函数可惟一确定其特征函数：
)(φ)( txF?
问题特征函数电子科技大学能否由 ξ的特征函数唯一确定其分布函数？
)()(φ xFt?
)()(φ xFt?从而定理 4.1.2（ 反演公式 ） 设随机变量 ξ的分布函数和特征函数分别为 F(x)和,)(t?
.)(φ
2 π
1lim)()( 21
12 dttjt
eexFxF T
T
jtxjtx
T
则对 F(x)的任意连续点 x1,x2,（ x1<x2）,有特征函数电子科技大学注 1 由反演公式，根据特征函数 可以计算概率
)(t?
)()(}{ 1221 xFxFxxP
注 2 设 x2=x为 F(x)的连续点，有
( * ).)(φ
2 π
1
limlim
)]()([lim)(
21
1
1
1
dtt
jt
ee
xFxFxF
T
T
jtxjtx
Tx
x
问题 分布函数 F(x)能否由特征函数完全确定？
特征函数电子科技大学推论 1(唯一性定理 )分布函数 F1(x)和 F2(x)
恒等的充要条件是它们的特征函数 和恒等,
)(1 t? )(2 t?
证 显然若 F1(x)=F2(x) )()(
21 tt
),()( 21 tt反之若 令
})()(:{ 21 的连续点和 xFxFxA?
由反演公式 (*) 有 F1(x)=F2(x)，当 x A,
若 x A,?
，而且取单调上升序列 Ax n?
特征函数电子科技大学推论 2 若随机变量 ξ的特征函数 在 R上绝对可积,则 ξ为连续型随机变量,其概率密度为
)(t?
dttexfxF jtx )(φ2 π1)()( 反演公式
xx nnlim
由分布函数的左连续性
)()(lim)(lim)( 2211 xFxFxFxF nnnn
特征函数电子科技大学注 对于连续型随机变量 ξ，概率密度与特征函数互为富氏变换,
2.1,0,,}{ kkPp k?
其特征函数为定理 4.1.3随机变量 ξ是离散型的,其分布律为
k
j k t
k Rtept,,)(φ
π
π
)(φ
2 π
1 dttep jtk
k
则 反演公式特征函数电子科技大学
π
π
π
π
)(φ
k
jtsj k t
k
jts dteepdtte
,Ns?证 设 有
π
π
π
π
02e
sk
k
s
skjt
ks pdtpdtp?
ππ,)(φ2 π1 dttep jtkk
,0π
π
dtesk skjt时其中，
特征函数电子科技大学
Ex.12 随机变量 ξ在 [ ]上服从均匀分布,
η=cosξ,利用特征函数法求 η的概率密度,
,2π? 2π
解 ξ的概率密度为
.0,
]
2
π
,
2
π
[,
π
1
)(
其它
x
xf
η的特征函数为
)()()( c o s jtjt eEeEt
特征函数电子科技大学
2
π
0
c o s2π
2
π
c o s
π
12
π
1 dxedxe xjtt xj
令 dxuxdxduxu 21s i n,c o s
1
0 21
12)( du
u
et jtu
duufe jtu )(?
根据特征函数与分布函数一一对应的惟一性定理,知随机变量 η的概率密度为偶函数特征函数电子科技大学
.0.
1;0,
1
1
π
2
)( 2
其它
y
yyf?
Ex.13 已知随机变量 ξ的特征函数为
Rttt,c o s)( 2?
试求 ξ的概率分布,
解 22 )
2
(c o s)(
jtjt ee
tt
jtjt ee 22
4
1
2
1
4
1
特征函数电子科技大学
}2{}0{}2{ 202 PePePe jtjtjt
根据特征函数与分布函数一一对应的惟一性定理,知随机变量 η的分布律为
ξ?2 0 2
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§ 4.1 一维特征函数的定义及性质
§ 4.2 多维特征函数
§ 4.4 大数定律
§ 4.5 中心极限定理
§ 4.3 -1 随机变量的收敛性特征函数电子科技大学
§ 4.1 一维特征函数的定义及性质一,特征函数的定义及例设 X,Y是实随机变量,复随机变量
Z=X + jY,
的数学期望定义为
1j ),()()( YEjXEZE
特别特征函数电子科技大学
)(s i n)(c o s xt x d Fjxt x d F
)( xdFe itx
注,Rt1） costx 和 sintx 均为有界函数,故
)(?jteE 总存在,
2) 是实变量 t 的函数,)(?jteE
)s i n()cos()( tjEtEeE jt ξ是实随机变量求随机变量
ξ的函数的数学期望特征函数电子科技大学定义 4.1.1 设 ξ是定义在 (Ω,F,P )上的随机变量,称
RtxdFeeEt jtxjt,)()()(
为 ξ的 特征函数,关于 ξ的分布函数的富里埃 -司蒂阶变换当 ξ是连续型随机变量
;)()(φ dxxfet jtx
.)(φ
k
k
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当 ξ是离散型随机变量特征函数电子科技大学
,1}{ cP?Ex.1 单点分布
R.,)()(φ teeEt jtcjtc
Ex.2 两点分布
pepet jtjt 10 )1()(φ
.,1 Rtpeqpep jtjt
Ex.3 二项分布 Rtpeqt njt,)()(φ
Ex.4 泊松分布 Rtet jte,)(φ )1(?
特征函数电子科技大学
0)(φ dxeet xjtx
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Ex.6 均匀分布 ],,[ aaU?
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特别正态分布 N(0,1)，则
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特征函数电子科技大学二,特征函数性质性质 4.1.1随机变量 ξ的特征函数满足：;1)0(φ)(φ)1t
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22 )]( s i n[)]( c o s[ tEtE
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司蒂阶积分性质或矩的性质特征函数电子科技大学
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aξ+b的特征函数是
,)(φ t?
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a,b是常数,
特征函数电子科技大学
Ex.8 设 η～ N(a,σ2),求其特征函数,
解 设 ξ～ N( 0,1),有 η=σξ+ a,且
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2
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特征函数电子科技大学
0,ε 0,δ
性质 4.1.3 随机变量 ξ的特征函数 在 R上一致连续,(P248)
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性质 4.1.3特征函数是非负定的函数，即对任意正整数 n,任意复数 z1,z2,…,zn,及,Rt
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定理 4.1.1 若随机变量 ξ的 n阶矩存在,则 ξ
的特征函数 的 k阶)(φ t 导数 存在,且)(φ tk
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三,特征函数与 矩的关系注 逆不真,
特征函数电子科技大学证 仅证连续型情形设 ξ的概率密度为 f(x)，有
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三,反演公式及唯一性定理由随机变量 ξ的分布函数可惟一确定其特征函数：
)(φ)( txF?
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)()(φ xFt?
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.)(φ
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则对 F(x)的任意连续点 x1,x2,（ x1<x2）,有特征函数电子科技大学注 1 由反演公式，根据特征函数 可以计算概率
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注 2 设 x2=x为 F(x)的连续点，有
( * ).)(φ
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恒等的充要条件是它们的特征函数 和恒等,
)(1 t? )(2 t?
证 显然若 F1(x)=F2(x) )()(
21 tt
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由反演公式 (*) 有 F1(x)=F2(x)，当 x A,
若 x A,?
，而且取单调上升序列 Ax n?
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由分布函数的左连续性
)()(lim)(lim)( 2211 xFxFxFxF nnnn
特征函数电子科技大学注 对于连续型随机变量 ξ，概率密度与特征函数互为富氏变换,
2.1,0,,}{ kkPp k?
其特征函数为定理 4.1.3随机变量 ξ是离散型的,其分布律为
k
j k t
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π
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k
则 反演公式特征函数电子科技大学
π
π
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,0π
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特征函数电子科技大学
Ex.12 随机变量 ξ在 [ ]上服从均匀分布,
η=cosξ,利用特征函数法求 η的概率密度,
,2π? 2π
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.0,
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根据特征函数与分布函数一一对应的惟一性定理,知随机变量 η的概率密度为偶函数特征函数电子科技大学
.0.
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其它
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Ex.13 已知随机变量 ξ的特征函数为
Rttt,c o s)( 2?
试求 ξ的概率分布,
解 22 )
2
(c o s)(
jtjt ee
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特征函数电子科技大学
}2{}0{}2{ 202 PePePe jtjtjt
根据特征函数与分布函数一一对应的惟一性定理,知随机变量 η的分布律为
ξ?2 0 2
p 1/4 1/2 1/4
