多维正态随机变量电子科技大学
09.7.27
§ 3.6 多 维正态随机变量一,二维正态随机变量的已知结论设二维随机变量 (ξ,η )的联合概率密度为
,),(,
)())((
2
)(
)1(2
1
e xp
12
1
),(
2
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
Ryx
mymymx
r
mx
rr
yx
,,0,0,,2121 均为常数其中mm,1?r
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称 (ξ,η)服从 二维正态分布,记为
),,(~ 211 mN ).,(~ 222 mN
),;,;,(~),( 222211 rmmN若 有下述结论成立：
1,每个分量服从正态分布
2,正态随机变量的线性函数服从正态分布
);,(~ 2121 abamNba (P155例 2.4.4)
);,;,(~),( 222211 rmmN
(P125例 2.2.4)
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3,正态分布具有可加性
),(~ 222121 mmN
问题 将 2和 3合起来得到什么结论？
4,正态分布的数字特征：;)(,)( 211 DmE;)(,)( 222 DmE
,),c o v ( 2112 rb
5,正态随机变量 (ξ,η)的协方差和相关系数分别为
.r
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21),( rC o v?
（证明见 P210）
.
)()(
),(
21
21 rr
DD
C o v
6,正态随机变量 (ξ,η)相互独立的充分必要条件是 r = 0.
.0)()(),( ryxyx
由第 1条知从而 不相关与相互独立与
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记
M
m
m
E
E
E
2
1
)(
)(
2
221
21
2
1
);,;,(~),( 222211 rmmN
均值向量协方差矩阵其中 σ1>0,σ2>0,
| r |<1,故协方差矩阵满足 |Σ|≠0.
y
x
X
7,密度函数的矩阵表示多维正态随机变量电子科技大学
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,),(,
)())((
2
)(
)1(2
1
e xp
12
1
),(
2
2
2
2
2
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2
21
Ryx
mymymx
r
mx
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yx
联合概率密度为
)()(
2
1
e x p
2 π
1 1
2
1 MM XX
记为 (ξ,η ) ～ N(M,Σ).
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二,多维正态随机变量定义 3.3.5 设 n维随机变量 (ξ1,ξ2,…,ξn) 联合概率密度为
),...,,( 21 nxxx?
)()(
2
1
e x p
)2 π(
1 1
2 2
1
MMn XX
),...,(,),...,( 2121 nn mmmMxxxX
其中 Σ=(σij)是 n 阶 正定对称 矩阵,是其行列式，?
称 (ξ1,ξ2,…,ξn)服从 n维正态分布,
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是概率密度；),...,,(.1 21 nxxx?
证明 Σ是正定阵，存在正交矩阵 T 使
nic
c
c
TTC ii
nn
,,2,1,0,
0
0
2
2
2
11
TTCTTC 11,
令,有YTMX
nn dxdxxxx
nR
121 ),...,,(
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n
R
n dydyYY
n
11
2
2
1
e x p
)2 π(
1
2
1?
1)
2
(e x p
2 π
1
2
2
1
i
i
i
n
i i
dy
c
y
c
注 若式中行列式,n元概率密度无意义,(ξ1,ξ2,…,ξn)可能服从 退化正态分布 或 奇异正态分布,
0;,,2,1,)(
,
),,,(),...,,(.2 2121
nimE
mmmM
ii
nn
即向量的均值是多维正态随机变量电子科技大学
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3,Σ=(σij)是 (ξ1,ξ2,…,ξn)的协方差矩阵，即
njiEEE jjiiij,,2,1,)]},()][({[
注 n维正态随机变量的分布由一阶矩和二阶矩完全确定,
定理 3.4.2 设 (ξ1,ξ2,…,ξn)服从 n维正态分布,且 D(ξi)>0,i=1,2,…,n,以下命题等价：
1,ξ1,ξ2,…,ξn相互独立；
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2,ξ1,ξ2,…,ξn线性无关 (两两不相关 ),即
njijiij,,2,1,;,,0
3,ξ1,ξ2,…,ξn的协方差矩阵是对角矩阵,
njijiij,,2,1,;,,0
证明 31?
)(,0)]([)]([
)]}()][({[
jiEEEE
EEE
jjii
jjiiij
ξ1,ξ2,…,ξn相互独立则两两独立，故多维正态随机变量电子科技大学
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32? 因
),,2,1,(,
)()(
nji
DD ii
ij
ij
13? 因有
ni
n
,,2,1,
0
0
2
2
1
),...,,( 21 nxxx?
ξ1,ξ2,…,ξn联合概率密度
)
2
(e xp
2 π
1
2
2
1 i
i
n
i i
y
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n
i
ixi
1
)(
即有 ξ1,ξ2,…,ξn相互独立,
推论 3.4.1 设 (ξ1,ξ2,…,ξn?1) 服从 n?1维正态分布,且 D(ξi)>0,i=1,2,…,n?1.另有一个随机变量,D(ξn)=0,以下命题等价,
1,ξ1,ξ2,…,ξn相互独立；
3,ξ1,ξ2,…,ξn?1线性无关 (两两不相关 ).
2,ξ1,ξ2,…,ξn?1的协方差矩阵是对角矩阵,
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证明 显然有,21? 32?
仅需证,12?
.1)}({0)( EPD nn因
)(,1
);(,0
}{
nn
nn
nn Ex
Ex
xP
E(ξn)
时当 )( nn Ex
}{},,,{ 1111 nnnnnn xxxx
0}{},,,{0 1111 nnnnnn xPxxxP
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0},,,{ 1111 nnnn xxxP
}{}{}{ 1111 nnnn xPxPxP
},,,{ 1111 nnnn xxxP
}{},,{ 1111 nnnn xPxxP
}{}{}{ 11111 nnn xPxPxP
即 ξ1,ξ2,…,ξn相互独立,
时当 )( nn Ex 证明见 C4.2例 4.2.5
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三,多维正态随机变量的补充结论以下总假定随机向量 (ξ1,ξ2,…,ξn)服从 n维正态分布 N(M,Σ).
定理 3.4.3 n维正态分布随机变量的任一子向量
)(),,,( 21 nmmkkk
也服从正态分布 其中,)~,~(?MN
,),,,(~ 21 mkkk mmmM
~ 是 Σ保留第 k1,k2,…,k m 行及列所得的 m阶矩阵,
多元正态分布的边缘分布仍是正态分布多维正态随机变量电子科技大学
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服从正态分布的随机向量在线性变换下具有一些特殊性质，有很大的理论价值与实用价值,
定理 3.4.4 (ξ1,ξ2,…,ξn)服从 n 维正态分布的充要条件是它的任何一个非零线性组合服从一维正态分布,
n
j
jjl
1
,? 见 P257定理 4.2.1
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定理 3.4.5 设 X=(ξ1,ξ2,…,ξn)τ服从 n 维正态分布 N(M,Σ),C=(cjk)m× n是任意矩阵,则 Y=CX 服从
m维正态分布 N(CM,CBCτ).
正态随机变量的线性变换不变性
1) 当 |CBCτ|≠0时,随机向量 Y 服从正态分布 (非退化 ),从而多维正态随机变量电子科技大学
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2) 一般不能保证结论成立,
结论 非退化正态分布随机向量 X的 满秩 线性变换仍服从非退化正态分布,
例如 (ξ1,ξ2,ξ3)是三维正态随机变量,则
ξ1+ξ2－ ξ3,ξ1－ ξ2 服从正态分布,
(ξ1+ξ2,ξ1－ ξ2 )是二维正态随机变量,
若 ξ1,ξ2,ξ3两两独立,则 ξ1,ξ2,ξ3相互独立,
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例 3.6.1 例 3.6.2
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例 3.6.1 设随机变量 ξ,η相互独立,
ξ ~ N(1,2),η ~ N(0,1),求 ζ = 2ξ－ η + 3
的概率密度,
解 ζ是相互独立的正态分布随机变量 ξ、
η 的线性组合,故 ζ也服从正态分布 ; 计算
ζ的均值和方差,有
E(ζ) = 2 E(ξ)－ E(η)+3 = 2－ 0 + 3 = 5
D(ζ) = 4 D(ξ) + D(η) = 4× 2 + 1 = 9
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zezf
z
18
)5( 2
23
1
)(
因此,ζ ~ N( 5,32 ),其概率密度为
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例 3.6.2 设二维随机变量 ( X,Y ) ~ N( 1,32;
0,42;? 0.5 ),并且试求
(1) Z 的数学期望和方差 ;
(2) X与 Z 的相关系数?XZ ;
(3) X与 Z 是否相互独立?
23
YXZ
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解
3
10
3
1
2
)(
3
)()()1( YEXEZE
)()(213122 )(3 )()( 22 YDXDYDXDZD XY
？ 343)5.0(3
1
2
4
3
3
2
2
2
2
(2) 为计算 X与 Z 的相关系数?XZ,先求协方差
)23,(),( YXXC o vZXC o v
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)2,()3,(),( YXC o vXXC o vZXC o v
),(21),(31 YXC o vXXC o v
)()(21)(31 YDXDXD XY
043)5.0(21931
因而?XZ = 0.
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(3) 由二维正态 ( X,Y )的线性组合构成的 随机向量 ( X,Z ),也服从 二维 正态分布,
二维正态分布相互独立的充分必要条件是其相关系数为零,因?XZ = 0,故 X与 Z 相互独立,
09.7.27
§ 3.6 多 维正态随机变量一,二维正态随机变量的已知结论设二维随机变量 (ξ,η )的联合概率密度为
,),(,
)())((
2
)(
)1(2
1
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12
1
),(
2
2
2
2
2
21
21
2
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2
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2
2
21
Ryx
mymymx
r
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,,0,0,,2121 均为常数其中mm,1?r
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称 (ξ,η)服从 二维正态分布,记为
),,(~ 211 mN ).,(~ 222 mN
),;,;,(~),( 222211 rmmN若 有下述结论成立：
1,每个分量服从正态分布
2,正态随机变量的线性函数服从正态分布
);,(~ 2121 abamNba (P155例 2.4.4)
);,;,(~),( 222211 rmmN
(P125例 2.2.4)
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3,正态分布具有可加性
),(~ 222121 mmN
问题 将 2和 3合起来得到什么结论？
4,正态分布的数字特征：;)(,)( 211 DmE;)(,)( 222 DmE
,),c o v ( 2112 rb
5,正态随机变量 (ξ,η)的协方差和相关系数分别为
.r
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21),( rC o v?
（证明见 P210）
.
)()(
),(
21
21 rr
DD
C o v
6,正态随机变量 (ξ,η)相互独立的充分必要条件是 r = 0.
.0)()(),( ryxyx
由第 1条知从而 不相关与相互独立与
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记
M
m
m
E
E
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2
1
)(
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2
221
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2
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);,;,(~),( 222211 rmmN
均值向量协方差矩阵其中 σ1>0,σ2>0,
| r |<1,故协方差矩阵满足 |Σ|≠0.
y
x
X
7,密度函数的矩阵表示多维正态随机变量电子科技大学
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,),(,
)())((
2
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12
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2
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联合概率密度为
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2
1
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1 1
2
1 MM XX
记为 (ξ,η ) ～ N(M,Σ).
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二,多维正态随机变量定义 3.3.5 设 n维随机变量 (ξ1,ξ2,…,ξn) 联合概率密度为
),...,,( 21 nxxx?
)()(
2
1
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),...,(,),...,( 2121 nn mmmMxxxX
其中 Σ=(σij)是 n 阶 正定对称 矩阵,是其行列式，?
称 (ξ1,ξ2,…,ξn)服从 n维正态分布,
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是概率密度；),...,,(.1 21 nxxx?
证明 Σ是正定阵，存在正交矩阵 T 使
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c
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,,2,1,0,
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令,有YTMX
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注 若式中行列式,n元概率密度无意义,(ξ1,ξ2,…,ξn)可能服从 退化正态分布 或 奇异正态分布,
0;,,2,1,)(
,
),,,(),...,,(.2 2121
nimE
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ii
nn
即向量的均值是多维正态随机变量电子科技大学
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3,Σ=(σij)是 (ξ1,ξ2,…,ξn)的协方差矩阵，即
njiEEE jjiiij,,2,1,)]},()][({[
注 n维正态随机变量的分布由一阶矩和二阶矩完全确定,
定理 3.4.2 设 (ξ1,ξ2,…,ξn)服从 n维正态分布,且 D(ξi)>0,i=1,2,…,n,以下命题等价：
1,ξ1,ξ2,…,ξn相互独立；
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2,ξ1,ξ2,…,ξn线性无关 (两两不相关 ),即
njijiij,,2,1,;,,0
3,ξ1,ξ2,…,ξn的协方差矩阵是对角矩阵,
njijiij,,2,1,;,,0
证明 31?
)(,0)]([)]([
)]}()][({[
jiEEEE
EEE
jjii
jjiiij
ξ1,ξ2,…,ξn相互独立则两两独立，故多维正态随机变量电子科技大学
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32? 因
),,2,1,(,
)()(
nji
DD ii
ij
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13? 因有
ni
n
,,2,1,
0
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),...,,( 21 nxxx?
ξ1,ξ2,…,ξn联合概率密度
)
2
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1
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1 i
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n
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1
)(
即有 ξ1,ξ2,…,ξn相互独立,
推论 3.4.1 设 (ξ1,ξ2,…,ξn?1) 服从 n?1维正态分布,且 D(ξi)>0,i=1,2,…,n?1.另有一个随机变量,D(ξn)=0,以下命题等价,
1,ξ1,ξ2,…,ξn相互独立；
3,ξ1,ξ2,…,ξn?1线性无关 (两两不相关 ).
2,ξ1,ξ2,…,ξn?1的协方差矩阵是对角矩阵,
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证明 显然有,21? 32?
仅需证,12?
.1)}({0)( EPD nn因
)(,1
);(,0
}{
nn
nn
nn Ex
Ex
xP
E(ξn)
时当 )( nn Ex
}{},,,{ 1111 nnnnnn xxxx
0}{},,,{0 1111 nnnnnn xPxxxP
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0},,,{ 1111 nnnn xxxP
}{}{}{ 1111 nnnn xPxPxP
},,,{ 1111 nnnn xxxP
}{},,{ 1111 nnnn xPxxP
}{}{}{ 11111 nnn xPxPxP
即 ξ1,ξ2,…,ξn相互独立,
时当 )( nn Ex 证明见 C4.2例 4.2.5
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三,多维正态随机变量的补充结论以下总假定随机向量 (ξ1,ξ2,…,ξn)服从 n维正态分布 N(M,Σ).
定理 3.4.3 n维正态分布随机变量的任一子向量
)(),,,( 21 nmmkkk
也服从正态分布 其中,)~,~(?MN
,),,,(~ 21 mkkk mmmM
~ 是 Σ保留第 k1,k2,…,k m 行及列所得的 m阶矩阵,
多元正态分布的边缘分布仍是正态分布多维正态随机变量电子科技大学
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服从正态分布的随机向量在线性变换下具有一些特殊性质，有很大的理论价值与实用价值,
定理 3.4.4 (ξ1,ξ2,…,ξn)服从 n 维正态分布的充要条件是它的任何一个非零线性组合服从一维正态分布,
n
j
jjl
1
,? 见 P257定理 4.2.1
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定理 3.4.5 设 X=(ξ1,ξ2,…,ξn)τ服从 n 维正态分布 N(M,Σ),C=(cjk)m× n是任意矩阵,则 Y=CX 服从
m维正态分布 N(CM,CBCτ).
正态随机变量的线性变换不变性
1) 当 |CBCτ|≠0时,随机向量 Y 服从正态分布 (非退化 ),从而多维正态随机变量电子科技大学
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2) 一般不能保证结论成立,
结论 非退化正态分布随机向量 X的 满秩 线性变换仍服从非退化正态分布,
例如 (ξ1,ξ2,ξ3)是三维正态随机变量,则
ξ1+ξ2－ ξ3,ξ1－ ξ2 服从正态分布,
(ξ1+ξ2,ξ1－ ξ2 )是二维正态随机变量,
若 ξ1,ξ2,ξ3两两独立,则 ξ1,ξ2,ξ3相互独立,
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例 3.6.1 例 3.6.2
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例 3.6.1 设随机变量 ξ,η相互独立,
ξ ~ N(1,2),η ~ N(0,1),求 ζ = 2ξ－ η + 3
的概率密度,
解 ζ是相互独立的正态分布随机变量 ξ、
η 的线性组合,故 ζ也服从正态分布 ; 计算
ζ的均值和方差,有
E(ζ) = 2 E(ξ)－ E(η)+3 = 2－ 0 + 3 = 5
D(ζ) = 4 D(ξ) + D(η) = 4× 2 + 1 = 9
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zezf
z
18
)5( 2
23
1
)(
因此,ζ ~ N( 5,32 ),其概率密度为
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例 3.6.2 设二维随机变量 ( X,Y ) ~ N( 1,32;
0,42;? 0.5 ),并且试求
(1) Z 的数学期望和方差 ;
(2) X与 Z 的相关系数?XZ ;
(3) X与 Z 是否相互独立?
23
YXZ
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解
3
10
3
1
2
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3
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)()(213122 )(3 )()( 22 YDXDYDXDZD XY
？ 343)5.0(3
1
2
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2
2
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2
(2) 为计算 X与 Z 的相关系数?XZ,先求协方差
)23,(),( YXXC o vZXC o v
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)2,()3,(),( YXC o vXXC o vZXC o v
),(21),(31 YXC o vXXC o v
)()(21)(31 YDXDXD XY
043)5.0(21931
因而?XZ = 0.
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(3) 由二维正态 ( X,Y )的线性组合构成的 随机向量 ( X,Z ),也服从 二维 正态分布,
二维正态分布相互独立的充分必要条件是其相关系数为零,因?XZ = 0,故 X与 Z 相互独立,
