电子科技大学联合分布多维随机变量的引入定义 2.2.1 如果 ξ和 η是定义在同一概率空间 (Ω,F,P)上的两个随机变量,称 (ξ,η )为 二维 随机变量 (向量 ).
§ 2.2 多维随机变量及其分布函数一、二维分布函数及其基本性质电子科技大学联合分布注 1ξ,η 都是定义在?上的随机变量，有
}{)(},{)( yPxFxPxF
ω
Ω
x=ξ(ω)
y=η(ω)
RR
RR
电子科技大学联合分布例如,为描述一个人的身材特征,用身高
H 和体重 W 来描述,
假设? = {电子科大全体男生 },任选 1 名男生?∈?,相应的身高和体重是 H(?) 与
W(?),
即一个样本点?对应着两个变量,(H,W)
是定义在?上的二维随机变量,
电子科技大学联合分布有,),( 2Ryx?
注 2 (ξ,η)是可测空间 (Ω,F )上的实向量，
对任意
})(:ω{})(:ω{
})(,)(:ω{
yx
yx
因 ξ 定义在 (Ω,F)上因 η 定义在 (Ω,F )上
}ω{ x)(, F
})(:ω{ y F
})(,)(:ω{ yx F
电子科技大学联合分布定义 2.2.2对任意实数对 (x,y ) ∈ R 2,称二元函数
F (x,y) = P {ξ < x,η < y }
为 (ξ,η) 的 联合分布函数,
一维随机变量 ξ,η的分布函数 Fξ(x)与 Fη(y)
称为 (ξ,η) 的边缘分布函数,
电子科技大学联合分布
),(lim},{}{)( yxFxPyPyF y
1.由联合分布函数可确定边缘分布函数
x
y
0
y
x
联合分布函数 几何意义
),(lim},{}{)( yxFyPyPyF x
电子科技大学联合分布
},{.2 2121 yyxxP
xx1 x2
y2
y1
0
y
),(),(),(),( 11122122 yxFyxFyxFyxF
思考,能否由 边缘分布函数确定联合分布函数？
电子科技大学联合分布练习 (ξ,η)的联合分布函数为
其他,0
0,0),1)(1(),( 32 yxeeyxF yx
)( xF?
)( yF?
其他0
01 2 xe x
其他0
01 3 ye y
电子科技大学联合分布定理 2.2.1联合分布函数的性质：
1.单调不减性,F(x,y)分别对 x,y单调不减,；当 RyyxFyxFxx ),,(),(,2121
RxyxFyxFyy ),,(),(,2121当
o x
y
1x 2x
),( 2 yxF
),( 1 yxF
电子科技大学联合分布
,),(lim 0 yxFx
),( yx
x
y
0
2.有界性,0≤F(x,y) ≤1
1?
),(lim yxF
y
x
3.左连续性,F(x,y) 分别关于 x 或 y左连续,
),(),(lim),,(),(lim 0
0
0
0
yxFyxFyxFyxF
yyxx
,),(lim 0 yxFy
电子科技大学联合分布参见教材 P112例 2.2.1
011122122 ),(),(),(),( yxFyxFyxFyxF
4.相容性,对任意 x1 < x2,y1 < y2,有注 如果二元函数 F( x,y ) 满足上述 4个性质，
则必存在二维随机变量 ( ξ,η )以 F( x,y ) 为分布函数,
思考,一维分布函数与二维分布函数的联系与区别？
电子科技大学联合分布定义 2.2.3 n维随机变量 ( ξ1,ξ2,…,ξ n )的联合分布函数为
},...,{),...,( 221121 nnn xxxPxxxF
（ x1,x2,…,xn） ∈ Rn.
由 ( ξ1,ξ2,…,ξ n )的联合分布函数，可确定其中任意 k 个分量的联合分布函数，称为 k
维边缘分布函数,
),,,,()( 111xFxF?
),,,,(),( 2121,21xxFxxF
电子科技大学联合分布定义 2.2.4 设二维随机变量 ( ξ,η )至多取可列对数值：
记,.,,,2,1,),,(?jiyx ji
( * ),....2,1,},{ jipyxP ijji
,.,,,,2,1,01 jip ij）若称 (ξ,η )为 二维离散型随机变量,称式 (*)为
(ξ,η )的联合分布律,
12
i j ij
p）
电子科技大学联合分布
xx yy
ij
i j
pyxPyxF },{),(
由联合分布律可确定随机变量 ξ,η的分布列
,...2,1),(}{
1
iippxP
j
iji?
,...2,1),(}{
1
jjppyP
i
ijj?
联合分布函数为电子科技大学联合分布联合分布列和边缘分布列的表格表示
i
x
x
x
2
1
jyyy 21
ijii
j
j
ppp
ppp
ppp
21
22221
11211
)1,(?p
),1(?p
),2(?p
),(?ip
)2,(?p ),( jp?
电子科技大学联合分布思考,能否用 边缘分布列 来确定联合分布列,原因是什么？
多维随机变量的 联合分布 不仅与每个分量的 边缘分布 有关，而且还与每个 分量之间的联系 有关！
例 3.1.2例 3.1.1
电子科技大学联合分布定义 2.2.5 二维随机变量 ( ξ,η )的联合分布函数为 F(x,y),如果存在非负的函数 f (x,y)
使得对任意实数对 (x,y),有
d u d vvufyxF y x ),(),(
称 (ξ,η )是 连续型随机变量,称 f (x,y )
为 (ξ,η )的 联合密度函数,
电子科技大学联合分布密度函数性质;0),()1?yxf
.1),()2 d x d yyxf
绝对可积函数存在的邻域内连续在若
)(
,),(),()3
xg
yxyxf
这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准
),(
),(2
yxf
yx
yxF
则
，且 dxxg )(
)(),( xgyxf?
电子科技大学联合分布
G
dyxfGp
RG
),(),(
,)4 2 有若
5) 关于 ξ 和 η 的边缘概率密度为
,),()( dyyxfxf
dxyxfyf ),()(?
带参变量的积分
dudvvufxFxF x ]),([),()(?证：
dvvxfxFxf
),()()(
电子科技大学联合分布例 3.1.3 例 3.1.4 例 3.1.5
二维均匀分布设 G? R2,面积为 S( G ),若二维随机变量
(ξ,η )的联合概率密度为
其他0
),(
)(
1
),(
Gyx
GSyxf
则称 (ξ,η )在 G上服从 均匀分布,
见 P124
例 2.2.3
电子科技大学联合分布若 (ξ,η )在 G上服从均匀分布,设 D? G 则
)(
)(
)(
1}),{(
GS
DSd
GS
DP
D
二维正态分布设二维随机变量 (ξ,η )的联合概率密度为
,),(,
)())((
2
)(
)1(2
1
e xp
12
1
),(
2
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
Ryx
mymymx
r
mx
rr
yxf
电子科技大学联合分布
,,0,0,,2121 均为常数其中mm
称 (ξ,η)服从 二维正态分布,记为
,1?r
),,(~ 211 mN则
～),( );,;,( 2
22211 rmmN
).,(~ 222 mN
命题 若 ～),( );,;,( 2
22211 rmmN
参见 P125 证明
1),( d x d yyxf
电子科技大学联合分布
,),()()( 1 dyyxfxfxf?
实际证得
,,
2
1 2
1
2)
1(
1
Rxe
mx
即 ),,(~ 2
11 mN
,),()()( 2 dxyxfxfxf同理电子科技大学联合分布
,,
2
1 2
2
2)
2(
2
Rye
mx
).,(~ 222 mN即
,),()()( 2 dxyxfxfxf
电子科技大学联合分布例,炮弹发射 试验炮弹在地面的命中点位置要由 两个随机变量 ( ξ,η )来确定,
电子科技大学联合分布例：飞机在空中的位置要由 三个随机变量 ( ξ,
η,ζ )来确定,
例：电子放大器的干扰电流由其 振幅 和相位 两个随机变量来确定,
电子科技大学联合分布例 3.1.1在 1,2,3,4 中随机取出一数 ξ,再随机地从 1~ξ中取 一数 η,求 (ξ,η )的联合分布律,
解,ξ的分布律为
4321ξ
P{ξ = x }
4
1
4
1
4
1
4
1
}){}({},{ jiPjiPp ij
}{}{ ijPiP
,,1
4
1;,0
ij
i
ij i,j =1,2,3,4.
电子科技大学联合分布
1/167/4813/4825/48 1
1/41/161/161/161/164
1/401/121/121/123
1/4001/81/82
1/40001/41
4321ηξ
ξ
η
电子科技大学联合分布例 3.1.2 ( 二维两点分布 )
用剪刀随机的去剪一次悬挂有小球的绳子,
剪中的概率为 p (0< p<1),
ξ η 0 1
0 1－ p 0
1 0 p
设 ξ 表示剪中绳子的次数 ; η 表示小球下落的次数,求 ( ξ,η )的联合分布函数,
电子科技大学联合分布
(1,1)
x
y
O
称 ( ξ,η )服从 二维两点分布电子科技大学联合分布例 3.1.3已知二维随机变量 (ξ,η )的联合概率密度为
.,0;10,10,4),(
其他
yxxyyxf
试写出 ( ξ,η )的联合分布函数。
y1 f(x,y)的非零区域
),( yxF
x
0
1
),( yxF
),( yxF ),( yxF
电子科技大学联合分布
22
0 0
4),(
yx
d u d vuvyxF
x y
解：
F ( x,y )=0
1 ) 当 x <0,或 y <0 时
2 ) 当 0≤x,y <1 时
x
y
0
1
1
f(x,y)的非零区域
3 ) 当 0≤x <1,y≥1 时
2
0
1
04),( xd u d vuvyxF
x
),( yxF
),( yxF
),( yxF
),( yxF
),( yxF
电子科技大学联合分布
21
0 04),( yd u d vuvyxF
y
4 ) 当 0≤y <1,x≥1 时
x
y
0
1
1
f(x,y)的非零区域
5 ) 当 1≤y,x≥1 时
.14),( 10 10 d u d vuvyxF
),( yxF
),( yxF
电子科技大学联合分布综上所叙得：
;
.1,,1;10,1,
1,10,
1,0,;00,0
,
2
2
22
yx
yxy
yxx
yxyx
yx
yxF
或
电子科技大学联合分布例 3.1.4 已知二维随机变量 ( ξ,η )的联合概率密度为
.,0;
1
,1,
2
1
),( 2
其他
xy
x
x
yxyxf
求关于 η的边缘概率密度 fη ( y ),
dxyxfyf ),()(?分析：
求 η的边缘概率密度，需固定 y 对 x 求积分,
实质上是求 含参变量的积分,
电子科技大学联合分布
x
0
y xy =1
x =1
y = x
对 y 的不同值，
f Y ( y )的 积分上下限不相同,
.,0;
1
,1,
2
1
),( 2
其他
xy
x
x
yxyxf
电子科技大学联合分布
x
0
y y = xxy =1
x =1
dxyxfyf Y ),()(解
;0,0?y;10,
2
1
1 2
ydx
yx
y
.1,
2
1
2 ydxyxy
.,0;
1
,1,
2
1
),( 2
其他
xy
x
x
yxyxf
电子科技大学联合分布
;10,21 y;0,0?y
.1,21 2 yy?
电子科技大学联合分布例 3.1.5 已知二维随机变量 ( ξ,η )的联合概率密度为
.,0;20,10),3(,2
其他
yxxyxayxf
求,1 ) a,2 ) 边缘概率密度,
3 ) P{ ξ+η >1}.
分析,1 ) 利用性质 1),(
d x d yyxf
2 ) 利用含参变量积分；
3 ) 利用联合概率密度的性质：
电子科技大学联合分布
f(x,y)的非零区域
x
y
O
1
2
G
dyxfGyxp
RG
),(),(
,2 有若
.,0;20,10),3(),( 2
其他
yxxyxayxf
1]),([)1 dydxyxf由解
1])3([20 10 2 dydxxyxa
.31 a
电子科技大学联合分布
f(x,y)的非零区域
x
y
O
1
2
dyyxfxf X ),()()2
.10.2;10.0
3
22 xxx
xx 或
1
),(}1{3
yx
d x d yyxfP
.
72
65
])([
1
0
2
1 3
12
dxdyxyxx
§ 2.2 多维随机变量及其分布函数一、二维分布函数及其基本性质电子科技大学联合分布注 1ξ,η 都是定义在?上的随机变量，有
}{)(},{)( yPxFxPxF
ω
Ω
x=ξ(ω)
y=η(ω)
RR
RR
电子科技大学联合分布例如,为描述一个人的身材特征,用身高
H 和体重 W 来描述,
假设? = {电子科大全体男生 },任选 1 名男生?∈?,相应的身高和体重是 H(?) 与
W(?),
即一个样本点?对应着两个变量,(H,W)
是定义在?上的二维随机变量,
电子科技大学联合分布有,),( 2Ryx?
注 2 (ξ,η)是可测空间 (Ω,F )上的实向量，
对任意
})(:ω{})(:ω{
})(,)(:ω{
yx
yx
因 ξ 定义在 (Ω,F)上因 η 定义在 (Ω,F )上
}ω{ x)(, F
})(:ω{ y F
})(,)(:ω{ yx F
电子科技大学联合分布定义 2.2.2对任意实数对 (x,y ) ∈ R 2,称二元函数
F (x,y) = P {ξ < x,η < y }
为 (ξ,η) 的 联合分布函数,
一维随机变量 ξ,η的分布函数 Fξ(x)与 Fη(y)
称为 (ξ,η) 的边缘分布函数,
电子科技大学联合分布
),(lim},{}{)( yxFxPyPyF y
1.由联合分布函数可确定边缘分布函数
x
y
0
y
x
联合分布函数 几何意义
),(lim},{}{)( yxFyPyPyF x
电子科技大学联合分布
},{.2 2121 yyxxP
xx1 x2
y2
y1
0
y
),(),(),(),( 11122122 yxFyxFyxFyxF
思考,能否由 边缘分布函数确定联合分布函数？
电子科技大学联合分布练习 (ξ,η)的联合分布函数为
其他,0
0,0),1)(1(),( 32 yxeeyxF yx
)( xF?
)( yF?
其他0
01 2 xe x
其他0
01 3 ye y
电子科技大学联合分布定理 2.2.1联合分布函数的性质：
1.单调不减性,F(x,y)分别对 x,y单调不减,；当 RyyxFyxFxx ),,(),(,2121
RxyxFyxFyy ),,(),(,2121当
o x
y
1x 2x
),( 2 yxF
),( 1 yxF
电子科技大学联合分布
,),(lim 0 yxFx
),( yx
x
y
0
2.有界性,0≤F(x,y) ≤1
1?
),(lim yxF
y
x
3.左连续性,F(x,y) 分别关于 x 或 y左连续,
),(),(lim),,(),(lim 0
0
0
0
yxFyxFyxFyxF
yyxx
,),(lim 0 yxFy
电子科技大学联合分布参见教材 P112例 2.2.1
011122122 ),(),(),(),( yxFyxFyxFyxF
4.相容性,对任意 x1 < x2,y1 < y2,有注 如果二元函数 F( x,y ) 满足上述 4个性质，
则必存在二维随机变量 ( ξ,η )以 F( x,y ) 为分布函数,
思考,一维分布函数与二维分布函数的联系与区别？
电子科技大学联合分布定义 2.2.3 n维随机变量 ( ξ1,ξ2,…,ξ n )的联合分布函数为
},...,{),...,( 221121 nnn xxxPxxxF
（ x1,x2,…,xn） ∈ Rn.
由 ( ξ1,ξ2,…,ξ n )的联合分布函数，可确定其中任意 k 个分量的联合分布函数，称为 k
维边缘分布函数,
),,,,()( 111xFxF?
),,,,(),( 2121,21xxFxxF
电子科技大学联合分布定义 2.2.4 设二维随机变量 ( ξ,η )至多取可列对数值：
记,.,,,2,1,),,(?jiyx ji
( * ),....2,1,},{ jipyxP ijji
,.,,,,2,1,01 jip ij）若称 (ξ,η )为 二维离散型随机变量,称式 (*)为
(ξ,η )的联合分布律,
12
i j ij
p）
电子科技大学联合分布
xx yy
ij
i j
pyxPyxF },{),(
由联合分布律可确定随机变量 ξ,η的分布列
,...2,1),(}{
1
iippxP
j
iji?
,...2,1),(}{
1
jjppyP
i
ijj?
联合分布函数为电子科技大学联合分布联合分布列和边缘分布列的表格表示
i
x
x
x
2
1
jyyy 21
ijii
j
j
ppp
ppp
ppp
21
22221
11211
)1,(?p
),1(?p
),2(?p
),(?ip
)2,(?p ),( jp?
电子科技大学联合分布思考,能否用 边缘分布列 来确定联合分布列,原因是什么？
多维随机变量的 联合分布 不仅与每个分量的 边缘分布 有关，而且还与每个 分量之间的联系 有关！
例 3.1.2例 3.1.1
电子科技大学联合分布定义 2.2.5 二维随机变量 ( ξ,η )的联合分布函数为 F(x,y),如果存在非负的函数 f (x,y)
使得对任意实数对 (x,y),有
d u d vvufyxF y x ),(),(
称 (ξ,η )是 连续型随机变量,称 f (x,y )
为 (ξ,η )的 联合密度函数,
电子科技大学联合分布密度函数性质;0),()1?yxf
.1),()2 d x d yyxf
绝对可积函数存在的邻域内连续在若
)(
,),(),()3
xg
yxyxf
这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准
),(
),(2
yxf
yx
yxF
则
，且 dxxg )(
)(),( xgyxf?
电子科技大学联合分布
G
dyxfGp
RG
),(),(
,)4 2 有若
5) 关于 ξ 和 η 的边缘概率密度为
,),()( dyyxfxf
dxyxfyf ),()(?
带参变量的积分
dudvvufxFxF x ]),([),()(?证：
dvvxfxFxf
),()()(
电子科技大学联合分布例 3.1.3 例 3.1.4 例 3.1.5
二维均匀分布设 G? R2,面积为 S( G ),若二维随机变量
(ξ,η )的联合概率密度为
其他0
),(
)(
1
),(
Gyx
GSyxf
则称 (ξ,η )在 G上服从 均匀分布,
见 P124
例 2.2.3
电子科技大学联合分布若 (ξ,η )在 G上服从均匀分布,设 D? G 则
)(
)(
)(
1}),{(
GS
DSd
GS
DP
D
二维正态分布设二维随机变量 (ξ,η )的联合概率密度为
,),(,
)())((
2
)(
)1(2
1
e xp
12
1
),(
2
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
Ryx
mymymx
r
mx
rr
yxf
电子科技大学联合分布
,,0,0,,2121 均为常数其中mm
称 (ξ,η)服从 二维正态分布,记为
,1?r
),,(~ 211 mN则
～),( );,;,( 2
22211 rmmN
).,(~ 222 mN
命题 若 ～),( );,;,( 2
22211 rmmN
参见 P125 证明
1),( d x d yyxf
电子科技大学联合分布
,),()()( 1 dyyxfxfxf?
实际证得
,,
2
1 2
1
2)
1(
1
Rxe
mx
即 ),,(~ 2
11 mN
,),()()( 2 dxyxfxfxf同理电子科技大学联合分布
,,
2
1 2
2
2)
2(
2
Rye
mx
).,(~ 222 mN即
,),()()( 2 dxyxfxfxf
电子科技大学联合分布例,炮弹发射 试验炮弹在地面的命中点位置要由 两个随机变量 ( ξ,η )来确定,
电子科技大学联合分布例：飞机在空中的位置要由 三个随机变量 ( ξ,
η,ζ )来确定,
例：电子放大器的干扰电流由其 振幅 和相位 两个随机变量来确定,
电子科技大学联合分布例 3.1.1在 1,2,3,4 中随机取出一数 ξ,再随机地从 1~ξ中取 一数 η,求 (ξ,η )的联合分布律,
解,ξ的分布律为
4321ξ
P{ξ = x }
4
1
4
1
4
1
4
1
}){}({},{ jiPjiPp ij
}{}{ ijPiP
,,1
4
1;,0
ij
i
ij i,j =1,2,3,4.
电子科技大学联合分布
1/167/4813/4825/48 1
1/41/161/161/161/164
1/401/121/121/123
1/4001/81/82
1/40001/41
4321ηξ
ξ
η
电子科技大学联合分布例 3.1.2 ( 二维两点分布 )
用剪刀随机的去剪一次悬挂有小球的绳子,
剪中的概率为 p (0< p<1),
ξ η 0 1
0 1－ p 0
1 0 p
设 ξ 表示剪中绳子的次数 ; η 表示小球下落的次数,求 ( ξ,η )的联合分布函数,
电子科技大学联合分布
(1,1)
x
y
O
称 ( ξ,η )服从 二维两点分布电子科技大学联合分布例 3.1.3已知二维随机变量 (ξ,η )的联合概率密度为
.,0;10,10,4),(
其他
yxxyyxf
试写出 ( ξ,η )的联合分布函数。
y1 f(x,y)的非零区域
),( yxF
x
0
1
),( yxF
),( yxF ),( yxF
电子科技大学联合分布
22
0 0
4),(
yx
d u d vuvyxF
x y
解：
F ( x,y )=0
1 ) 当 x <0,或 y <0 时
2 ) 当 0≤x,y <1 时
x
y
0
1
1
f(x,y)的非零区域
3 ) 当 0≤x <1,y≥1 时
2
0
1
04),( xd u d vuvyxF
x
),( yxF
),( yxF
),( yxF
),( yxF
),( yxF
电子科技大学联合分布
21
0 04),( yd u d vuvyxF
y
4 ) 当 0≤y <1,x≥1 时
x
y
0
1
1
f(x,y)的非零区域
5 ) 当 1≤y,x≥1 时
.14),( 10 10 d u d vuvyxF
),( yxF
),( yxF
电子科技大学联合分布综上所叙得：
;
.1,,1;10,1,
1,10,
1,0,;00,0
,
2
2
22
yx
yxy
yxx
yxyx
yx
yxF
或
电子科技大学联合分布例 3.1.4 已知二维随机变量 ( ξ,η )的联合概率密度为
.,0;
1
,1,
2
1
),( 2
其他
xy
x
x
yxyxf
求关于 η的边缘概率密度 fη ( y ),
dxyxfyf ),()(?分析：
求 η的边缘概率密度，需固定 y 对 x 求积分,
实质上是求 含参变量的积分,
电子科技大学联合分布
x
0
y xy =1
x =1
y = x
对 y 的不同值，
f Y ( y )的 积分上下限不相同,
.,0;
1
,1,
2
1
),( 2
其他
xy
x
x
yxyxf
电子科技大学联合分布
x
0
y y = xxy =1
x =1
dxyxfyf Y ),()(解
;0,0?y;10,
2
1
1 2
ydx
yx
y
.1,
2
1
2 ydxyxy
.,0;
1
,1,
2
1
),( 2
其他
xy
x
x
yxyxf
电子科技大学联合分布
;10,21 y;0,0?y
.1,21 2 yy?
电子科技大学联合分布例 3.1.5 已知二维随机变量 ( ξ,η )的联合概率密度为
.,0;20,10),3(,2
其他
yxxyxayxf
求,1 ) a,2 ) 边缘概率密度,
3 ) P{ ξ+η >1}.
分析,1 ) 利用性质 1),(
d x d yyxf
2 ) 利用含参变量积分；
3 ) 利用联合概率密度的性质：
电子科技大学联合分布
f(x,y)的非零区域
x
y
O
1
2
G
dyxfGyxp
RG
),(),(
,2 有若
.,0;20,10),3(),( 2
其他
yxxyxayxf
1]),([)1 dydxyxf由解
1])3([20 10 2 dydxxyxa
.31 a
电子科技大学联合分布
f(x,y)的非零区域
x
y
O
1
2
dyyxfxf X ),()()2
.10.2;10.0
3
22 xxx
xx 或
1
),(}1{3
yx
d x d yyxfP
.
72
65
])([
1
0
2
1 3
12
dxdyxyxx
