离散型 随机变量电子科技大学
09.7.27
由随机变量定义知对任一实数 x 都有四、分布函数及其基本性质
§ 2.1 随机变量的直观意义与定义
}{})ω(:ω{ xx F
定义 2.1.3 设 ξ(ω)是定义在概率空间 (Ω,F,P)上的随机变量,x 是任意实数，称函数
F( x ) = P{ξ < x } = P{w,ξ(w) < x },
为随机变量 ξ的分布函数,F( x ) 也记为 Fξ( x ).
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注 （ 1） 分布函数 F( x )的函数值表示事件
“随机点 ξ落在 (－ ∞,x ) 内” 的概率,
O xx
ξ
（ 2） F( x )的改变量
DF = F( x +Dx) － F( x ) = P{x ≤ξ＜ x +Dx }
O xx x+Dx
ξ
是事件“随机点 ξ落在 (x,x +Dx ]内”概率,
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对于离散型随机变量 ξ,由概率可加性，
因
}{}{ i
xx
xx
i


}{)( xPxF故
}{ i
xx
xP
i

}]{[
ixx xP
i


x1 x2 … xn …
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x1 x2 … xn …
离散型随机变量的分布函数图如下
p1
p2
p3
pn
1
由分布函数 F(x)确定 ξ的分布列
,2,1)],()([lim 1 nxFxFP nnkn k
见 P117
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例如摸球试验射击试验
1) F(x)是单调不减函数；
定理 2.1.1 分布函数性质;1)(lim0,)(lim1,)(0)3 xFxFxF xx
2） F(x)是左连续函数,即对
).()0( xFxF
,Rx
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证 2） 由于 F(x)单调不减，根据单调性原理仅需证,对任意的 x∈ R,有
).(1lim xF
n
xF
n




) ) )
x－ 1 x－ 1/2 x


}
1
{
}
2
1
{}1{
n
x
xx
因离散型 随机变量电子科技大学
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由概率的连续性定理知
.)(}{}1{mli)1(lim xFxPnxPnxF
nn







1
}{
)}1({}{)3
n
n
nnn
且有对因
，且 }{1
1
x
n
x
n



0)(}{lim)(lim PnPnF nn
概率连续性离散型 随机变量电子科技大学
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0)(}{lim)(lim PxPxF xx
同理因


1
}{
)}1({}{
n
n
nnn

且有
1)(}{lim)(lim PnPnF nn?
1)(}{lim)(lim PxPxF xx?
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注 定理 2.1.1的逆定理也成立，即若函数
F(x),x∈ R满足性质 1） ~3）,则一定存在一个概率空间上的随机变量 ξ以 F(x)为分布函数,
例如常用分布函数的性质确定其参数,
分布函数 的确定问题 如何根据分布函数 F(x)计算以下概率
}{ xP
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例 2 一袋中有依次标有?1,2,2,2,3、
3数字的六个球，从中任取一球，试写出球上号码 ξ 的分布函数,
解：由题意有当 x ≤? 1时,
F(x) = P{ ξ＜ x } = P(? ) = 0.
x1O-1 2 3x
ξ
,31}3{,21}2{,61}1{ PPP
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当?1 ＜ x ≤ 2时,
F(x) = P{ξ＜ x } = P{ξ =? 1 } = 1/6,
x1O?1 2 3x
ξ
当 2 ＜ x ≤ 3时,
F(x) = P{ ξ＜ x } = P{ξ = -1 } + P{ξ = 2 } =2/3,
x1O?1 2 3x
ξ
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当 3 ＜ x 时,
F(x) = P{ξ＜ x } = P{ Ω } = 1,
x1O-1 2 3 x
ξ
综上所述,可得
＞
＜
＜?

31
3232
2161
10
)(
x
x
x
x
xF
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x1O-1 2 3
F(x)
1
是左连续的单调不降阶梯函数，在不连续点处的阶跃值恰为 P{ξ = k},k=? 1,2,3.
#
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例 3 一个靶子是半径为 2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能中靶，用 ξ 表示弹着点与圆心的距离。试求 ξ 的分布函数,
解：由题意有当 x ≤ 0时,F(x)
= P{ ξ＜ x } = P( φ ) = 0.
当 x ＞ 2时,F(x) =
P{ξ＜ x } = P( Ω ) = 1.
ξ
x
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当 0 ＜ x ≤2时,由题意知
P{ 0 ≤ ξ＜ x } = k x2
其中 k为一常数,
另一方面
1 = P{ 0 ≤ ξ＜ 2 } = 4 k → k =?,
F(x) = P{ ξ＜ x } =
P{ξ＜ 0 } + P{ 0 ≤ ξ＜ x }= 241 x
分布函数为,
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x1O 2
F(x)
1
#
单调不降有界函数

.2,1;20,
4;0,0
)(
2
x
x
x
x
xF
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解：分布函数 F(x)在 x = b 处左连续，
F(b) =1
例 4 随机变量 ξ的分布函数为求 k =?
#

.,1;),(;,0
)(
xb
bxaaxk
ax
xF
)()(lim abkxFbx
abk
1