数字期望和方差电子科技大学三,R-S (黎曼 -斯蒂阶 )积分简介定义 3.1.3 设 f(x),g(x)为定义在 [a,b]上的实值函数,做一剖分,a =x0< x1<… < xn=b,并任取点
1.,0,1,2,,],[ 1 +* nkxxx kkk?
xk
[
xk＋ 1
]
*kx
做和式
+
1
0
1
* )](g)()[(ζ
n
k
kkk xxgxf
数字期望和方差电子科技大学若存在实数 I,使对,只要 0δ0,ε
δ)(m a xλ 1
10
kknk
xx
εIζ
对任意分点及任意 的取法均有*kx
ba xdgxfR ζlim)()()( 0λ记为
I)]()()[(lim
1
0
k1k
*
0λ
+?
n
k
k xgxgxf
数字期望和方差电子科技大学称 I 为 f(x)关于 g(x)在 [a,b]上 的 R-S积分,简记为
ba xdgxf,)()(I
ba dxxf )(黎曼积分 是 R-S积分的特例,注
+?
+
b
a
b
a
xdgxfxdgxf )()(lim?)()(若存在,称为 广义 R-S积分,
数字期望和方差电子科技大学
R-S积分性质,
ba xdgxfxf )()]()([)1 21
ba ba xdgxfxdgxf )()()()( 21
ba xgxgdxf )]()([)()2 21
3) 设 α,β是任意常数，则
ba ba xdgxfxdgxf,)()()()( 21
.)]([)()]([)(ba ba xgdxfxgdxf
数字期望和方差电子科技大学
4) 若 a < c <b,则有以上三个等式成立的意义是,当等号右边存在时,左边也存在并相等,
ba xdgxf )()(
+? bcca xdgxfxdgxf )()()()(
ba baba xfxgxgxfxgxf )(d)()]()([)(d)()5
以上 1～ 5条性质可全部推广到广义 R-S积分,
如注数字期望和方差电子科技大学
+ )()()5 xdgxf
b
a
b
a
xgxf )]()([lim
+
+? +?
)(d)( xfxg
6) （ 施瓦兹不等式 ）设 f1(x)和 f2(x)平方可积，
即
)2,1()()(2 +?
ixdgxf i
+ )()()( 21 xdgxfxf则
+ 221 ])()()([ xdgxfxf +?
+?
)()()()(
2
2
2
1 xdgxfxdgxf
是单调不减函数，且 )( xg
存在，并且数字期望和方差电子科技大学证明 存在性因 ][
2
1 2
2
2
121 ffff +
建立关于?的二次式，因
+ )()]()([0 221 xdgxfxf?
+
+?
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xdgxfxfxdgxf
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2
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21
+
+
+?
xdgxfxdgxf
xdgxfxf
数字期望和方差电子科技大学广义 R-S积分定理 若 f(x)在 R上连续且有界,g(x)在 R上单调有界,则积分
+ )()( xdgxf
存在，并且参见 P364
定理 2.1-2.3
1) 若 在 R上 存在,在任意有限区间 [a,b]
上黎曼可积,则
)( xg?
++ dxxgxfxdgxf )()()()(
数字期望和方差电子科技大学
2) 若存在实数列 Ck,k=0,使
…< C－ 1<C0<C1<…
,1,
.)0()0()()()(+
+?
k
kkk CgCgCfxdgxf
且 g(x) 在 (Ck,Ck-1)上取常数，则问题 1 若 g(x)是离散型随机变量的分布函数，
f(x)关于 g(x) 的广义 R-S积分形式？
设 ξ 是离散型随机变量,其分布律为
....3,2,1,}{ kpxP kk?
数字期望和方差电子科技大学其分布函数是有界、单调不降的阶梯函数，有
+
kk
k
xxp
xx
xgxg
,;,0
)0()0(
+? 11 kkk xxx
,)0()0()()()(+
+?
k
kkk xgxgxfxdgxf
k
kk pxf )(
数字期望和方差电子科技大学特别当 f (x)=x 时，有
+
k
kk pxxxd g )(
.的数学期望为离散型随机变量?
问题 2 若 g(x)是连续型随机变量的分布函数，
f(x)关于 g(x) 的广义 R-S积分形式？
因连续型随机变量的分布函数绝对连续，有
,0)()( xgdx xdg
数字期望和方差电子科技大学
++ dxxgxfxdgxf )()()()(
若 R-S积分存在则四、数学期望与方差的一般定义定义 3.1.3 随机变量 ξ 的分布函数为 F(x),若则? ++,)( xdFx
.)(?)(? + xx d FE?
数字期望和方差电子科技大学
+ + dxxxfdxxFxE )()()(?
注 若 ξ是连续型随机变量,则若 ξ是离散型随机变量,则
1
}{)(
i
ii xPxE
问题 设 ξ 是随机变量,η=g (ξ)也是随机变量,如何计算 E[g(ξ)]？
思路先确定 g(ξ)的分布 E[g(ξ)]=?
数字期望和方差电子科技大学定理 3.1.1设 F(x)是随机变量 ξ的分布函数,
g(x)在 R上连续,若则 η=g(ξ)的数学期望存在,且
,)()(+ xdFxg
)()()]([)( xFdxggEE? +
证明 仅证 g(x)是 x的严格下降函数的情形
),( g?令
})({}{)( ygPyPyF
本章核心定理数字期望和方差电子科技大学
)}({ 1 ygP
)(1 ygx
y
)]([1 1 ygF
+
)(
)]([)(
yy d F
gEE
+ )]((1[ 1 ygFyd
)( xgy?令
+ )]([)()( xFdxgE + )()( xdFxg
数字期望和方差电子科技大学例 3.1.2 例 3.1.3 例 3.1.4
定义 3.1.4随机变量 ξ的分布函数为 F(x),则其方差
+ )()]([?)( 2 xdFExD
2)]([)( EED注例 3.1.5
思考 随机变量函数的数学期望公式是一般的结论，对于连续型和离散型随机变量的形式？
数字期望和方差电子科技大学五、数学期望与方差的性质性质 3.1.1 若随机变量 ξ的数学期望存在，则
.)(,)(][ bbEbaEbaE?+?+
性质 3.1.2 若随机变量 ξ的方差存在，则数学期望一定存在，且
22 ])([)()( EED
从而
++ )(])([ 22 xdFxxxdF
见例 3.1.2
例 3.1.6
数字期望和方差电子科技大学性质 3.1.3 若随机变量 ξ的方差存在，则
.0)(),(][ 2+ bDDabaD
证明
2)]([][ baEbaEbaD +?+?+
2)]}([{ EaE
+ )()]([ 22 xdFExa?
)(2?Da?
思考,D()?？ 例 3.1.7
数字期望和方差电子科技大学有的方差存在，则若随机变量 0
2
)(})({
DEP
定理 3.1.2 chebyshev不等式
)(:
)(})({
Exx
xdFEP
证
)(
2
2
)(
)(
Exx
xdF
Ex
数字期望和方差电子科技大学方差刻划了随机变量 ξ相对数学期望的偏离程度！
+ )()]([1 22 xdFEx 2 )(D?
思考 给予什么启示？
给出方差与数学期望之间的关系,
数字期望和方差电子科技大学物理解释 质量随机分布于直线上的物体相对于质量重心的纵轴的转动惯量最小,
方差是随机变量 ξ 关于所有值中偏离程度的最小值！
定理 3.1.2推论,1)}({,0)( EPD 则若证明 先证 0)}({ EP
数字期望和方差电子科技大学
}0|)({|)}({ EE因
1
}1)({|
n n
E
1
}1)({)}({
n n
EPEP
1
2)/1(
)(
n n
D? 0?
1)}({1)}({ EPEP
数字期望和方差电子科技大学六、矩定义 3.1.5设 ξ为 随机变量,若 E(|ξ|k) < +∞,称
k= E(ξk),αk =E(|ξ|k),k=1,2,3,…
为 ξ的 k 阶原点矩,称 αk 为 ξ的 k 阶绝对原点矩,
定义 3.1.6 设 ξ为随机变量,若 E[|ξ－ E(ξ)|k] <
+∞,称
μk= E{[ξ－ E(ξ)]k},k=1,2,3,…
为 ξ的 k 阶中心矩,
数字期望和方差电子科技大学称?k =E[|ξ－ E(ξ)|k],k=1,2,3….,为 ξ的 k 阶绝对中心矩,
有 μ0=1,μ1= 0,μ2 = D(ξ),
ν0=1,ν1=E(ξ),ν2=E(ξ2)
公式 D(ξ)=E(ξ2) － [E(ξ)]2 即
2122
更一般的,因 μ1=0,可得 的关系：与
kk
数字期望和方差电子科技大学
}]){[(
})]()({[)(
11
k
kk
k
E
EEEE
+
+
k
i
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k EC
0
11 ])[(
k
i
ik
ii
kC
0
1
数学期望线性性质
( )?
k
i
k
iki
k
ik
k C
0
11同理随机变量的矩是数！！！
数字期望和方差电子科技大学例 3.1.2 设随机变量 ξ 的数学期望存在,
证明,E{[ξ－ E(ξ)]2}=E(ξ2) － [E(ξ)]2
的概率密度为设随机变量?
+
.,0;10,1;01,1
)(
其它
xx
xx
xf
}.)]({[ 2 EE?试求
+ )()]([})]({[ 22 xdFExEE证明数字期望和方差电子科技大学
+ + )(})]([)(2{ 22 xdFExEx
22 )]([)( EE
0)(E?
)()]([)(})]({[ 2222 EEEEE
+++ 10 20 1 22 )1()1()( dxxxdxxxdxxfx
.6/1?
为什么？
数字期望和方差电子科技大学例 3.1.3 设球的直径 ξ～ U(a,b),求球的体积的数学期望 E(ξ).
解 体积 V=(π/6)ξ3,可得
.,0;66,9 21)( 333 3
2
其它
byay
abyf V
.))((24)()( 22+ ++ babadyyyfVE V?则数字期望和方差电子科技大学
))((24 22 babaπ ++?
dxxba πabdxxfxgVE X 361)()()(+
另解
数字期望和方差电子科技大学例 3.1.4过半径为 R的圆周上的已知点,与圆周上的任意点相连,求这样得到的弦的平均长度。
解 以已知点为原点,过已知点的直径为 x 轴正向,如图所示。
o x
设弦与直径的夹角为 Θ
Θ则 Θ 均匀分布于区间
2R
设弦长为 L,则有
L = 2R cosΘ (如图所示 )
数字期望和方差电子科技大学所以,平均弦长为
dfRLE )()c o s2()(? +由于
其它0
22
,
1
)(
f
因此
RdRLE 41)c o s2()( 2
2
若是先求出 L 的概率密度,再计算数学期望,
将是很繁杂的过程,采用定理直接求解来得快捷简单,
数字期望和方差电子科技大学例 3.1.5 设随机变量 ξ具有概率密度
,,
)1(
1)(
2 Rxxxf?+
试求 E[min(︱ ξ︱,1)].
.1,1;1,
)1,m i n ()(
x
xx
xxg解
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++? +++? 1 211 2 )1()1( x
dxdx
x
x
2ln
1
2
1
+
数字期望和方差电子科技大学例 3.1.6 证明
E{[ξ－ E(ξ)][η－ E(η)]}=E(ξη) － E(ξ)E(η)
)}()()()({ EEEEE +左边证明
)()()()()()()( EEEEEEE +
)()()( EEE
数字期望和方差电子科技大学
0)()(),( DDE 存在，的随机变量
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,0)]([
)(
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D
E证
,1
)(
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)(
1)( *
D
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D
D
例 3.1.7
)(
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D
E令数字期望和方差电子科技大学称 ξ* 为 ξ的标准化随机变量,
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数字期望和方差电子科技大学
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3) 设 α,β是任意常数，则
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数字期望和方差电子科技大学
4) 若 a < c <b,则有以上三个等式成立的意义是,当等号右边存在时,左边也存在并相等,
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以上 1～ 5条性质可全部推广到广义 R-S积分,
如注数字期望和方差电子科技大学
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数字期望和方差电子科技大学广义 R-S积分定理 若 f(x)在 R上连续且有界,g(x)在 R上单调有界,则积分
+ )()( xdgxf
存在，并且参见 P364
定理 2.1-2.3
1) 若 在 R上 存在,在任意有限区间 [a,b]
上黎曼可积,则
)( xg?
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数字期望和方差电子科技大学
2) 若存在实数列 Ck,k=0,使
…< C－ 1<C0<C1<…
,1,
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且 g(x) 在 (Ck,Ck-1)上取常数，则问题 1 若 g(x)是离散型随机变量的分布函数，
f(x)关于 g(x) 的广义 R-S积分形式？
设 ξ 是离散型随机变量,其分布律为
....3,2,1,}{ kpxP kk?
数字期望和方差电子科技大学其分布函数是有界、单调不降的阶梯函数，有
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数字期望和方差电子科技大学特别当 f (x)=x 时，有
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.的数学期望为离散型随机变量?
问题 2 若 g(x)是连续型随机变量的分布函数，
f(x)关于 g(x) 的广义 R-S积分形式？
因连续型随机变量的分布函数绝对连续，有
,0)()( xgdx xdg
数字期望和方差电子科技大学
++ dxxgxfxdgxf )()()()(
若 R-S积分存在则四、数学期望与方差的一般定义定义 3.1.3 随机变量 ξ 的分布函数为 F(x),若则? ++,)( xdFx
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数字期望和方差电子科技大学
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注 若 ξ是连续型随机变量,则若 ξ是离散型随机变量,则
1
}{)(
i
ii xPxE
问题 设 ξ 是随机变量,η=g (ξ)也是随机变量,如何计算 E[g(ξ)]？
思路先确定 g(ξ)的分布 E[g(ξ)]=?
数字期望和方差电子科技大学定理 3.1.1设 F(x)是随机变量 ξ的分布函数,
g(x)在 R上连续,若则 η=g(ξ)的数学期望存在,且
,)()(+ xdFxg
)()()]([)( xFdxggEE? +
证明 仅证 g(x)是 x的严格下降函数的情形
),( g?令
})({}{)( ygPyPyF
本章核心定理数字期望和方差电子科技大学
)}({ 1 ygP
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数字期望和方差电子科技大学例 3.1.2 例 3.1.3 例 3.1.4
定义 3.1.4随机变量 ξ的分布函数为 F(x),则其方差
+ )()]([?)( 2 xdFExD
2)]([)( EED注例 3.1.5
思考 随机变量函数的数学期望公式是一般的结论，对于连续型和离散型随机变量的形式？
数字期望和方差电子科技大学五、数学期望与方差的性质性质 3.1.1 若随机变量 ξ的数学期望存在，则
.)(,)(][ bbEbaEbaE?+?+
性质 3.1.2 若随机变量 ξ的方差存在，则数学期望一定存在，且
22 ])([)()( EED
从而
++ )(])([ 22 xdFxxxdF
见例 3.1.2
例 3.1.6
数字期望和方差电子科技大学性质 3.1.3 若随机变量 ξ的方差存在，则
.0)(),(][ 2+ bDDabaD
证明
2)]([][ baEbaEbaD +?+?+
2)]}([{ EaE
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思考,D()?？ 例 3.1.7
数字期望和方差电子科技大学有的方差存在，则若随机变量 0
2
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DEP
定理 3.1.2 chebyshev不等式
)(:
)(})({
Exx
xdFEP
证
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2
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数字期望和方差电子科技大学方差刻划了随机变量 ξ相对数学期望的偏离程度！
+ )()]([1 22 xdFEx 2 )(D?
思考 给予什么启示？
给出方差与数学期望之间的关系,
数字期望和方差电子科技大学物理解释 质量随机分布于直线上的物体相对于质量重心的纵轴的转动惯量最小,
方差是随机变量 ξ 关于所有值中偏离程度的最小值！
定理 3.1.2推论,1)}({,0)( EPD 则若证明 先证 0)}({ EP
数字期望和方差电子科技大学
}0|)({|)}({ EE因
1
}1)({|
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}1)({)}({
n n
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1
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)(
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1)}({1)}({ EPEP
数字期望和方差电子科技大学六、矩定义 3.1.5设 ξ为 随机变量,若 E(|ξ|k) < +∞,称
k= E(ξk),αk =E(|ξ|k),k=1,2,3,…
为 ξ的 k 阶原点矩,称 αk 为 ξ的 k 阶绝对原点矩,
定义 3.1.6 设 ξ为随机变量,若 E[|ξ－ E(ξ)|k] <
+∞,称
μk= E{[ξ－ E(ξ)]k},k=1,2,3,…
为 ξ的 k 阶中心矩,
数字期望和方差电子科技大学称?k =E[|ξ－ E(ξ)|k],k=1,2,3….,为 ξ的 k 阶绝对中心矩,
有 μ0=1,μ1= 0,μ2 = D(ξ),
ν0=1,ν1=E(ξ),ν2=E(ξ2)
公式 D(ξ)=E(ξ2) － [E(ξ)]2 即
2122
更一般的,因 μ1=0,可得 的关系：与
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数字期望和方差电子科技大学
}]){[(
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k
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数学期望线性性质
( )?
k
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0
11同理随机变量的矩是数！！！
数字期望和方差电子科技大学例 3.1.2 设随机变量 ξ 的数学期望存在,
证明,E{[ξ－ E(ξ)]2}=E(ξ2) － [E(ξ)]2
的概率密度为设随机变量?
+
.,0;10,1;01,1
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其它
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}.)]({[ 2 EE?试求
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+ + )(})]([)(2{ 22 xdFExEx
22 )]([)( EE
0)(E?
)()]([)(})]({[ 2222 EEEEE
+++ 10 20 1 22 )1()1()( dxxxdxxxdxxfx
.6/1?
为什么？
数字期望和方差电子科技大学例 3.1.3 设球的直径 ξ～ U(a,b),求球的体积的数学期望 E(ξ).
解 体积 V=(π/6)ξ3,可得
.,0;66,9 21)( 333 3
2
其它
byay
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.))((24)()( 22+ ++ babadyyyfVE V?则数字期望和方差电子科技大学
))((24 22 babaπ ++?
dxxba πabdxxfxgVE X 361)()()(+
另解
数字期望和方差电子科技大学例 3.1.4过半径为 R的圆周上的已知点,与圆周上的任意点相连,求这样得到的弦的平均长度。
解 以已知点为原点,过已知点的直径为 x 轴正向,如图所示。
o x
设弦与直径的夹角为 Θ
Θ则 Θ 均匀分布于区间
2R
设弦长为 L,则有
L = 2R cosΘ (如图所示 )
数字期望和方差电子科技大学所以,平均弦长为
dfRLE )()c o s2()(? +由于
其它0
22
,
1
)(
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因此
RdRLE 41)c o s2()( 2
2
若是先求出 L 的概率密度,再计算数学期望,
将是很繁杂的过程,采用定理直接求解来得快捷简单,
数字期望和方差电子科技大学例 3.1.5 设随机变量 ξ具有概率密度
,,
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1)(
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试求 E[min(︱ ξ︱,1)].
.1,1;1,
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数字期望和方差电子科技大学例 3.1.6 证明
E{[ξ－ E(ξ)][η－ E(η)]}=E(ξη) － E(ξ)E(η)
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数字期望和方差电子科技大学
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例 3.1.7
)(
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E令数字期望和方差电子科技大学称 ξ* 为 ξ的标准化随机变量,
)1,0(~),,(~ 2 NN则特别地
