随机变量的数字特征电子科技大学
§ 3.5 条件 数学期望与方差一,条件数学期望概念 引例
)( xyF )( yxF
定义 3.5.1设 (ξ,η)是二维随机变量,条件分布函数 或 存在，若
)( xydFy)( yxdFx或则
)(?)()( xydFyxExE
称为在 ξ=x的 条件下,随机变量 ξ的 条件数学期望,
随机变量的数字特征电子科技大学则
)(?)()( yxdFxyEyE
是在 η=y的 条件下,随机变量 ξ的 条件数学期望,
若 (ξ,η)是连续型随机变量,则
,)()( dyxyyfxE
dxyxxfyE )()(
例 3.6.1 例 3.6.2 例 3.6.3
随机变量的数字特征电子科技大学一般有
).(δ)(,)()( yyExμxE
注
ξ关于 η的回归函数定理 3.5.1设函数 g(x)在 R上连续,若
)()( yxdFxg
则随机变量 g(ξ)在,η=y”条件下的条件数期望为
])([ ygE
)()( yxdFxg
同理
])([ xgE
)()( xydFyg
随机变量的数字特征电子科技大学是实值函数,可以证明随机变量的函数
),()( Eμ?),()( Eδ?
仍是随机变量,有随机变量的概率性质,
).()(,)()( yδyExxE
定理 3.5.2 设 ξ,η,ζ是 (Ω,F,P)上的随机变量,g(·)为 R上连续函数,且各数学期望存在,有以下性质：
注随机变量的数字特征电子科技大学
1) 如果 ξ与 η相互独立,则 );()( EE?
.,)()( RyxFyxF
证,ξ与 η相互 独立,
)()(,yxxdFyERy对
,)()( ExxdF
.)()( EE
)];([)()2 EEE?
)()(),( yxFyFyxF证全数学期望公式随机变量的数字特征电子科技大学
)(])([ ydFyxxdF Y
)(]d[]}[{ yFyEEE
])()([ ydFyxdFx Y
.][),(?EyxFxd
;][)(])([)3 EggE?
证 Ry对随机变量的数字特征电子科技大学
)()(])([ yxdFxygygE
)()()()( yEygyxdFxyg;][)(])([ EggE
)].()([])([)4 EgEgE
证 用全数学期望公式 2）以及 3）
)].()([
]})([{])([
EgE
gEEgE
随机变量的数字特征电子科技大学
,)( ccE5) c 是常数 ;
,)()( cyxc d FycE证 对,y?
.)( ccE；]})([{)]([)6 gEEgE?
证 根据性质 3）
)]([)]1()([]}1)([{ gEEgEgEE
是常数；babEaEbaE,,)()(][)7
自证随机变量的数字特征电子科技大学
.)]([)]([)8 22 gEEE 自学 p234
定义 3.5.2 称
2)]([)( yEEyD
为,η=y”的条件下,随机变量 ξ的 条件方差,
为随机变量 ξ 相对于条件数学期望
)( yE
注的偏离程度的衡量指标,
随机变量的数字特征电子科技大学离散型全数学期望公式若 η是离散型随机变量：
1
1,1,2,(,}{
k
kkk pkpyP ),
,)()(,}{ kkkk yEAEyA记
.)()()(
1
k
kk APAEE则有例 3.6.4 例 3.6.5
随机变量的数字特征电子科技大学引例 设随机变量 (ξ,η)在 D上服从均匀分布分析
}120,10:),{( yxxyxD
x
y
1
1
f(x,y)的非零区域2
0
x＋ — =12y
已计算得当 0＜ x＜ 1 时
)(
),()(
xf
yxfxyf
.,0
);1(20,
)1(2
1
其它
xy
x
随机变量的数字特征电子科技大学即在 ξ=x,(0＜ x＜ 1)的条件下,η~U[0,2(1?x)],有
x 1)( xE
)1,0(,1)( xxxE
)1(20 )1(2 1x dyxy
得到函数
)()( xydFydxxyyf
随机变量的数字特征电子科技大学同理因当 0＜ y＜ 2 时
.,0;
2
10,
2
1
1
)(
),(
)(
其它
y
x
y
yf
yxf
yxf
有 )( xE
2
1
0
2
1
y
dx
y
x
dxyxxf )(
42
1 y
随机变量的数字特征电子科技大学例 3.6.1若 ),1ρ1(,)ρ0,1 ; 0,1 ;(~),(N;ρ1,2 xN在 ξ=x 的条件下,η～
.,
12
1
)(
2
2
]
1
[
2
1
2
Rxexyf
xy
因见讲义例
2.3.2
dyxyyfxE XY )()(则
xdyey
xy
2
2
]
1
[
2
1
212
1
随机变量的数字特征电子科技大学对于 ξ的不同取值 x1,x2,…,xn
x1 x2 x3 ……
η
ξ
方程 y=ρx
是关于变量 x的实值函数,)( xE
随机变量的数字特征电子科技大学
.)( yyE同理是关于变量 y
的实值函数,
).1,( 2ρyN
即在 η=y 的条件下,ξ～
随机变量的数字特征电子科技大学例 3.6.2 设随机变量 (ξ,η)的联合概率密度为
.0,;,,
2
1
),(
其它
xxye
yxf
y
试求 E(η︱ ξ= x).
解;,
2
1)( Rxexf x
在,ξ=x”的条件下,有条件概率密度为随机变量的数字特征电子科技大学
dyxyyfxE )()(
,1e xdyy
x
xy
是 x的实值函数,?
.,0;,
)(
其它
xye
xyf
xy
.Rx?
随机变量的数字特征电子科技大学例 6.3.3 设（ ξ,η）的联合概率密度为
.,0
);,1m i n ()1,0m a x (,20,1
),(
其他
xyxx
yxf
).(),( xExyf 并计算试求
0 x
y
1 2
1
y=x－ 1
y=x
解 已计算得随机变量的数字特征电子科技大学
dyyxfxf ),()(?
x
xxdy
0;10,
1 1 ;21,2x xxdy
.,0 其他
,0)(10 xfx?时，当
)(
),()(
xf
yxfxyf
.,0;0,
1
其它
xy
x
随机变量的数字特征电子科技大学
,02)(21 xxfx?时，当
.,0;11,
2
1
)(
),(
)(
其它
yx
x
xf
yxf
xyf
.)(,0)()2,0( 不存在故时，当 xyfxfx
0 x
y
1 2
1
y=x－ 1
y=x
随机变量的数字特征电子科技大学
21,
2
11;10,
2
)(
x
x
x
x
xE
是 x的实值函数,
)20(,2 xx
随机变量的数字特征电子科技大学例 3.6.4 设随机变量 η的 E(η)存在,且
N
k
k
1
,
及 N 都是随机变量,并且相互独立,N仅取自然数,E(N)存在,则
)1,2,(kk?
.)(}{)(
1
k
kEkNPE
证 由离散型全数学期望公式
1
)(}{)(
n
nNEnNPE
随机变量的数字特征电子科技大学
n
k
k
n
EnNP
11
)(}{?
knk
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1
1
}{P)(
k
k kNE?
)(1}{ 1?ENP?
])()([2}{ 21 EENP
……
)](
)()(}[{ 21
kE
EEkNP
……
又若 ξk 具有相 同分布,则
1
}{)()(
k
kNPEE
随机变量的数字特征电子科技大学
.)()(}{)(
1
NEEkNkPE
k
续 设某段时间内到达商场的顾客人数 N服从参数为 λ的泊松分布,每位顾客在该商场的消费额 ξ 服从 [a,b]上的均匀分布,各位顾客之间消费是相互独立的且与 N 独立,求顾客在该商场总的消费额,
解 设第 i 个顾客消费额为 ξi,全体顾客在该商场总消费额为随机变量的数字特征电子科技大学
N
i
iS
1
])([])([)(
1
N
i
i NEENSEESE?
n
k
k
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EnNP
10
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0
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nNnPE?
.λ2)()( baENE
.λ
2
)()()( baENESE有或者
随机变量的数字特征电子科技大学例 3.6.5 已知随机变量 ξ服从 [0,a]上的均匀分布,随机变量 η服从 [ξ,a] 上的均匀分布,试求
1) E(ηξ=x),0< x< a; 2) E(η).
解 1) 由条件知对 x > 0,有
其它0,;,
1
)(
ayx
xaxyf
对任意的 0 <x < a 有随机变量的数字特征电子科技大学
ax xadyxa yxE,2)(
.
4
3
2
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a
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§ 3.5 条件 数学期望与方差一,条件数学期望概念 引例
)( xyF )( yxF
定义 3.5.1设 (ξ,η)是二维随机变量,条件分布函数 或 存在，若
)( xydFy)( yxdFx或则
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称为在 ξ=x的 条件下,随机变量 ξ的 条件数学期望,
随机变量的数字特征电子科技大学则
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是在 η=y的 条件下,随机变量 ξ的 条件数学期望,
若 (ξ,η)是连续型随机变量,则
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例 3.6.1 例 3.6.2 例 3.6.3
随机变量的数字特征电子科技大学一般有
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注
ξ关于 η的回归函数定理 3.5.1设函数 g(x)在 R上连续,若
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则随机变量 g(ξ)在,η=y”条件下的条件数期望为
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同理
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随机变量的数字特征电子科技大学是实值函数,可以证明随机变量的函数
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仍是随机变量,有随机变量的概率性质,
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定理 3.5.2 设 ξ,η,ζ是 (Ω,F,P)上的随机变量,g(·)为 R上连续函数,且各数学期望存在,有以下性质：
注随机变量的数字特征电子科技大学
1) 如果 ξ与 η相互独立,则 );()( EE?
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证 用全数学期望公式 2）以及 3）
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随机变量的数字特征电子科技大学
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证 根据性质 3）
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为,η=y”的条件下,随机变量 ξ的 条件方差,
为随机变量 ξ 相对于条件数学期望
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随机变量的数字特征电子科技大学即在 ξ=x,(0＜ x＜ 1)的条件下,η~U[0,2(1?x)],有
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得到函数
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随机变量的数字特征电子科技大学例 3.6.1若 ),1ρ1(,)ρ0,1 ; 0,1 ;(~),(N;ρ1,2 xN在 ξ=x 的条件下,η～
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随机变量的数字特征电子科技大学对于 ξ的不同取值 x1,x2,…,xn
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是关于变量 x的实值函数,)( xE
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即在 η=y 的条件下,ξ～
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21,
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及 N 都是随机变量,并且相互独立,N仅取自然数,E(N)存在,则
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……
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又若 ξk 具有相 同分布,则
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续 设某段时间内到达商场的顾客人数 N服从参数为 λ的泊松分布,每位顾客在该商场的消费额 ξ 服从 [a,b]上的均匀分布,各位顾客之间消费是相互独立的且与 N 独立,求顾客在该商场总的消费额,
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解 1) 由条件知对 x > 0,有
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