随机变量的函数及其分布 09.7.27
§ 2.4 随机变量的函数及其分布问题的由来很多实际问题中需要研究 以随机变量为自变量的函数,
一般，若 (ξ1,ξ2,…,ξn)是已知联合分布的 n维随机变量，则一、随机变量的函数随机变量的函数及其分布 09.7.27
),,2,1(),,,,( 21 kih nii
都是随机变量，其中
.
),,2,1(),,,,( 21
元连续函数是 n
kixxxh ni
问题
1）如何确定 (η1,η2,…,ηn)的联合分布？
2）如何确定 (η1,η2,…,ηn)的每一个分量的分布？
随机变量的函数及其分布 09.7.27
基本解答
},,,{),,,( 221121,,,21 nnn yyyPyyyF n
}),,(,
,),,(,),,({
21
22121211
nnn
nn
yh
yhyhP
}{)( yPyF })({ yhP ) ] },[({ 1 yhP
特别若当 ξ是连续型随机变量，有
)( h?
随机变量的函数及其分布 09.7.27
})({ )(})({)( yxgx dxxfyhPyF
.,0;)(),()(
其他的连续点yfxFyf
例 3.4.1 例 3.4.2
,...2,1,}{ ipxP ii?
离散型 随机变量 ξ的分布列为二、离散型随机变量的函数及其分布列随机变量的函数及其分布 09.7.27
})({}{ ii yhPyP
})({ jiij yxhxS其中
,...2,1,}{
jxP
ji Sx
i?
满足 h(xi) =yj
的全体 xi
η= h(ξ )是随机变量,则二维离散型 随机变量 (ξ,η )的联合分布列为
,...2,1},{ ipyxP ijji
随机变量的函数及其分布 09.7.27
ζ =g(ξ,η) 是随机变量,则
}),({}{ kk zgPzP
}),(),{( kjik zyxgyxT其中
,...2,1},,{
),(
kyxP
kji Tyx
ji
例 3.4.4例 3.4.3
随机变量的函数及其分布 09.7.27
定理 2.4.1-1 设随机变量 (ξ,η )是离散型随机变量,ξ,η相互独立,其分布律分别为
,...2,1,0)(}{ kkpkP?
,.,,2,1,0)(}{ rrqrP?
则 ξ+η的分布律为例 3.4.5
,..2,1,)()(}{
0
mkmqkpmP
m
k
离散卷积公式随机变量的函数及其分布 09.7.27
结论 若 ξ1,ξ2,…,ξn相互独立,且 ξi~ B(1,p)则
ξ1+ξ2 +… +ξn ~ B(n,p)
反之若 ξ~ B(n,p),则存在相互独立的
ξi~ B(1,p),使
ξ = ξ1+ξ2 +…+ ξn
一般 1） 随机变量 ξ1,ξ2,…,ξn 相互独立 ；
2） 具有相同类型的分布 ；
令?
n
k
k
1
随机变量的函数及其分布 09.7.27
二项分布具有可加性泊松分布具有可加性的分布除参数变化,而分布类型不变,称分布具有 可加性,
自证随机变量的函数及其分布 09.7.27
二、连续型随机变量和的分布设随机变量 (ξ,η)的联合概率密度为 f(x1,x2)
}{)( 2121 xPxF
21
21
21 ),( dxdxxxf
xxx
x1+x2 = x
x1
x2
o
21
11
xxz
xx
令随机变量的函数及其分布 09.7.27
,1
11
01
J
2
1
2
1
1
1
z
x
x
x
z
x
x
x
}{)( 2121 xPxF
x dzdxxzxf ]),([ 111
111 ),()()( 2121 dxxxxfxFxf?
从而
x1+x2 = x
x2
o x
1
随机变量的函数及其分布 09.7.27
类似可得
222 ),( dxxxxf?
若随机变量 ξ,η相互独立,则
)(21 xf 111 )()( dxxxfxf
222 )()( dxxfxxf
)(21 xf
)(21 xf
随机变量的函数及其分布 09.7.27
定理 2.4.1-2 若随机变量 ξ1和 ξ2 相互独立均为连续型随机变量，则 ξ1 +ξ2 也是连续型随机变量，而且其概率密度是两个密度函数的卷积,
111 )()()()( dxxxfxfxfxf
例 3.4.6 例 3.4.7
例 3.4.8 例 3.4.9
随机变量的函数及其分布 09.7.27
解题步骤：
1） 在 XOZ平面上作出 f (x,z－ x) 的非零区域 G；
2） 从区域 G 中确定 f z ( z )非零区间 ;
3） 在 f z ( z )非零区间内，逐段确定 f z ( z )
的表达式；
4） 写出 f z ( z )的完整表达式,
随机变量的函数及其分布 09.7.27
定理 2.4.2 (Γ分布的可加性 ) 若随机变量
ξ1,ξ2,…,ξn 相互独立,ξi~Γ(αi,β) (i=1,2,…,k),
则和 ξ1 +ξ2 + … + ξk服从 Γ(α1+α2+ … +αk+k?
1,β).
三、连续型随机变量商的分布设随机变量 (ξ1,ξ2)的联合概率密度为 f(x,y),
的密度函数为)0( 2
2
1
随机变量的函数及其分布 09.7.27
2222 ),()(
2
1
dxxxxfxxf?
}{)(
2
1
2
1
xPxF
x1
x2
xxx?
2
1
证
21/
21
),( dxdxyxf
xxx
o
22
2
1
xx
x
x
z
令
2
2
2
21
10),(
),( xzx
xz
xx
随机变量的函数及其分布 09.7.27
)(
2
1 xF
x dzdxxxzxf ]),([
2222
例 3.4.10
2222 ),()(
2
1
dxxxxfxxf?
例 3.4.11
四、随机变量的线性变换已知随机变量 ξ的分布函数 Fξ (x),η =
aξ+ b (a≠0) 的分布函数为随机变量的函数及其分布 09.7.27
当 a＞ 0 时,
}{)( ybaPyF )(}{ a byFa byP
当 a＜ 0 时,
若 ξ是连续型随机变量对 y 求导得到
)0(1}{ a byFa byP }{)( ybaPyF
0),(1)()( aa byf
a
yFyf
例 3.4.12
随机变量的函数及其分布 09.7.27
结论 正态分布具有可加性；
正态随机向量具有线性不变性,
五、随机变量的函数分布的一般求法定理 2.4.6 设 (ξ1,ξ2)的联合密度为 f(x1,x2),若函数
).,(;),(
2122
2111
xxgy
xxgy
满足下述条件,
.),(
);,(
2122
2111
yyxx
yyxx① 存在惟一反函数随机变量的函数及其分布 09.7.27
② 有连续的一阶偏导数；
③ Jacobi行列式 0J
2
2
1
2
2
1
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
则 η1=g1(ξ1,ξ2),η2=g2(ξ1,ξ2)的联合概率密度为
J)],(,),([ 212211 yyxyyxf
随机变量的函数及其分布 09.7.27
证 ξ1,ξ2是随机变量，其联合分布函数为
D
12121 2),(),( dxdxxxfyyF
}),(,),(:),{( 2212121121 yxxgyxxgxxD其中
.),(;),(
2122
2111
yyxx
yyxx
做积分变换
1 2
2121221121 J),(,),(),(
y y dydyyyxyyxfyyF
随机变量的函数及其分布 09.7.27
21
21
2
21
),(),(
yy
yyFyyf
J)],(),,([ 212211 yyxyyxf?
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 1 炮击某一目标 O,已知弹着点 (ξ,η )服从二维正态分布,点 ( X,Y ) 与目标 O 的距离
22 YXZ
服从什么分布?
例 2 由统计物理学,气体分子运动速率服从马克斯维尔分布,
)0(
.0,0;0,4)(
2
2
3
2
x
x
x
exxf
分子运动动能 服从什么分布?2
2
1 mv
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.1 设 ξ~N(0,1),求 η=ξ2 的概率密度解
,0}{)(,0 2 yPyFy当
},{}{)(,0 2 yyPyPyFy当
y? y
y=x2
随机变量的函数及其分布 09.7.27
)()( yFyf
y
y
dxe
x
2
2
2
1
}{ yyP
])()([ 2
2)(
2
2)(
2
1
yeye
yy
22
1
2
1
y
ey
.0,;0,
2
1
)(
22
1
yo
yey
yf
y
称 η 服从自由度为 1的 χ2分布
P155
例 2.4.5
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.2 （ 本题满分 9分）设随机变量 ξ的概率密度为令 η=ξ2,F(x,y)为二维随机变量 (ξ,η)的联合分布函数,
(Ⅰ ) 求 η 的概率密度 fη(y);
(Ⅱ )
.,0;20,
4
1;01,
2
1
)(
其他
x
x
xf
)4,21(?F
随机变量的函数及其分布 09.7.27
[分析 ] 该题本质上是求一个随机变量的函数分布和概率计算问题。
[解 ] （ I） 设 ξ的分布函数为
}{ yyP
1）当 y<0,Fη(y)=0;
2）当 0≤y<1,
}{}{)( 2 yPyPyF
ydxdxyF y
y 4
3
4
1
2
1)(
0
0
－ 1
4
1
随机变量的函数及其分布 09.7.27
3）当 1≤y<4,
4）当 4≤y,Fη(y)=1;
.,0;41,
8
1;10,
8
3
)()(
其他
y
y
y
y
yFyf
最后
2
1
4
1
4
1
2
1)(
0
0
1
ydxdxyF y?
随机变量的函数及其分布 09.7.27
（ II） )4,
2
1(?F
}4,
2
1{}4,
2
1{ 2 PP
}
2
12{}22,
2
1{ PP
2
1
1 4
1
2
1 dx
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.3 设随机变量 ξ具有分布律求,η = 2ξ 以及 ζ = sinξ的分布律。
解,首先由 ξ的可能取值确定 η及 ζ的取值,
η = 2ξ
ξ
ζ = sin ξ － 1 0 1 0
ξ
ξ
随机变量的函数及其分布 09.7.27
得到随机变量函数 η及 ζ 的分布律为,
η
P{η = yj }
ζ － 1 0 1
P{ζ = zk }
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.4 设 (ξ,η)的联合分布律为
ξ η 0 1
0 3/10 3/10
1 3/10 1/10
试求 1) sinξ,2) ξ +η,3)ξη,
4) Max (ξ,η)的分布律,
解,由 (ξ,η)的分布律得随机变量的函数及其分布 09.7.27
P 3/10 3/10 3/10 1/10
(ξ,η) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1)
ξ 0 1
sin ξ 0 sin1
ξ+η 0 1 1 2
ξη 0 0 0 1
Max (ξ,η) 0 1 1 1
随机变量的函数及其分布 09.7.27
sinξ 0 sin1
P 0.6 0.4
ξ+η 0 1 2
P 0.3 0.6 0.1
ξη 0 1
P 0.9 0.1
Max (ξ,η) 0 1
P 0.3 0.7
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.5 设 ξ,η 相互独立,且 ξ~B(n1,p),η~
B(n2,p) 则
),..,1,0(,)1(}{ 111 nkppCkP knkkn证
),..,1,0(,)1(}{ 222 nrppCrP rnrrn
m
k
kmnkmkm
n
knkk
n ppCppC
0
2
2
1
1
)1()1(
ξ +η ~B(n1+ n2,p)
m
k
kmqkpmP
0
)()(}{
随机变量的函数及其分布 09.7.27
),..1,0(,)1( 212121 nnmCpp m nnmnnm
二项分布具有可加性
m
k
km
n
k
n
mnnm CCpp
0
21
21)1(
求和为 m
nnC 21?
m
k
kmnkmkm
n
knkk
n ppCppC
0
2
2
1
1
)1()1(
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.6设二维随机变量 (ξ,η)的联合概率密度为,
.,0;0,,2),( )2(
其它
yxeyxf yx
求随机变量 ζ=ξ+2η的分布函数和概率密度,
解 Fζ(z)=P{ζ<z}
= P{ξ+2η< z}
zyx
d x d yyxf
2
),( x
y
f(x,y)的非零区域
x+2y=z
随机变量的函数及其分布 09.7.27
x
y
x+2y=z
f(x,y)的非 0区域
;0,0 z
.0,]2[
0 0
)2(2
zdxdyez
xz
yx
.0,1;0.0
zzee
z
zz
.0,;0,0
)()(
zze
z
zFzf
z
ZZ
zyx
dxdyyxf
2
),(
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.7 设随机变量 ξ,η 相互独立,均服从区间 (0,1) 上的均匀分布,求,ζ = ξ +η 的概率密度 fζ(z).
解,,相互独立随机变量
dxxzfxfzf )()()(
在 XOZ平面上作出区域 G
}10,10),{( xzxzxG
Gzx
Gzx
xzfxf
),(1
),(0
)()(则随机变量的函数及其分布 09.7.27
x
z
1
1
z = x
z = 1+x
（ 1,2）
（ 1,1）
当 0≤z ＜ 1时
,1)( 0 zdxzf z
当 z <0 或 z ≥ 2 时 fζ(z) ＝ 0,
当 1≤z ＜ 2时
,21)( 1 1 zdxzf z
的概率密度为：综上得
}10,10),{( xzxzxG
随机变量的函数及其分布 09.7.27
.,0;21,2;10,
)(
其他
zz
zz
zf z
概率密度曲线为
z
fζ(z)
1
1
2
称为辛普生分布
o?
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.8 已知二维随机变量 (ξ,η)的联合概率密度为
.,0;10),(2
),(
其他
yxyx
yxf
求 ζ=ξ+η的概率密度,
解
}10),{( xzxzxG
}12,10),{( xzxxzx
dxxzxfzf ),()(
在 XOZ平面上作出区域随机变量的函数及其分布 09.7.27
x
z
(1,2)
(0,1)
z =2x
z =1+x?
.,0;),(,2
),(
其他
Gzxz
xzxf
O
当 z＜ 0 或 z≥ 2 时 fζ(z) ＝ 0
当 0≤z ＜ 1时
,2)( 22
0
zdxzzf
z
当 1≤z ＜ 2时
21 2)( z z dxzzf?
}12,10),{( xzxxzx
随机变量的函数及其分布 09.7.27
的概率密度为：综上得
,2 2zz
.,0;21,2;10,
)(
2
2
其他
zzz
zz
zf
z
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.9 若随机变量 ξ,η相互独立,),1,0(~ N?
),1,0(~ N? 求 ξ+η的概率密度解
dxxzfxfzf )()()(
dxee
xzx
2
22 )(
2
2
1
dxee
xzz
2
4
2 )
2
(
2
1
dtee t
z
24
2
2
1
随机变量的函数及其分布 09.7.27
Rxe
z
,
2
1 4
2
).2,0(~ N即一般若随机变量 ξ,η相互独立,),,(~ 211 aN
),,(~ 222 aN ).,(~ 222121 aaN则正态分布分布具有可加性,
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.10 已知随机变量 ξ,η 相互独立同分布,
.,0;0,)()(
其它
xexfxf x
求 ξ/η 的分布,
}0,0:),{(
}0,0:),{(
zyzy
yyzzyG令
)()(),( yfyzfyyzf y
z
O
dyzyzfyzf ),()(
解随机变量的函数及其分布 09.7.27
dyzyzfyzf ),()(
0 ),( dyzyzyf
.,0;),(,
其它
Gzye yyz
y
z
O
.,0;0,0
其它
zdyye yyz
)()(),( yfyzfyyzf
随机变量的函数及其分布 09.7.27
分部积分?
.,0;0,
)1(
1
2
其它
z
z
.,0;0,0
其它
zdyye yyz
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.11 已知随机变量 ξ,η 相互独立，密度函数如下：
.,0
];3,1[,
2
1
)(
其它
xxf
.,0;2,
)(
)2(
其它
ye
yf
y
P151例 2.4.3
dyzyzfyzf ),()(
解
}2,31:),{( yyzzyG令随机变量的函数及其分布 09.7.27
.,0;),(,
2
1 )2(
其它
Gzye y
)()(),( yfyzfyyzf
dyzyzfyzf ),()(
2 ),( dyzyzyf O y
z
2
yz=3yz=1
1/2
3/2
随机变量的函数及其分布 09.7.27
.,0;
2
1
0,
2
1
3
1
)2(
其它
zdyye
z
z
y
O y
z
2
yz=3yz=1
1/2
3/2;
2
3
2
1,
2
13
2
)2( zdyyez y
随机变量的函数及其分布 09.7.27
.,0;
2
3
2
1
),3(
22
3;
2
1
0)],3()1([
2
1
32
31
2
其它
zze
z
e
zzezee
z
z
zz
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.12若 ξ~N(?,? 2),则 ξ的线性函数 η =
aξ+ b (a≠0) 服从正态分布 N(a? +b,a 2? 2).
)(
1
)( a byf
a
yf
2
2
2
)(
2
1?
a
by
e
a
证
Rxe
a
a
bay
,
2
1 22
2
2
)]([
随机变量的函数及其分布 09.7.27
即 η ~ N(a? +b,a 2? 2).
特别
则取,,1 ba
标准化变换有 η服从标准正态分布 N(0,1)，其概率密度为
Rxex
x
,
2
1)( 2
2
◆ 结论,正态分布的线性函数仍然服从正态分布 ;
§ 2.4 随机变量的函数及其分布问题的由来很多实际问题中需要研究 以随机变量为自变量的函数,
一般，若 (ξ1,ξ2,…,ξn)是已知联合分布的 n维随机变量，则一、随机变量的函数随机变量的函数及其分布 09.7.27
),,2,1(),,,,( 21 kih nii
都是随机变量，其中
.
),,2,1(),,,,( 21
元连续函数是 n
kixxxh ni
问题
1）如何确定 (η1,η2,…,ηn)的联合分布？
2）如何确定 (η1,η2,…,ηn)的每一个分量的分布？
随机变量的函数及其分布 09.7.27
基本解答
},,,{),,,( 221121,,,21 nnn yyyPyyyF n
}),,(,
,),,(,),,({
21
22121211
nnn
nn
yh
yhyhP
}{)( yPyF })({ yhP ) ] },[({ 1 yhP
特别若当 ξ是连续型随机变量，有
)( h?
随机变量的函数及其分布 09.7.27
})({ )(})({)( yxgx dxxfyhPyF
.,0;)(),()(
其他的连续点yfxFyf
例 3.4.1 例 3.4.2
,...2,1,}{ ipxP ii?
离散型 随机变量 ξ的分布列为二、离散型随机变量的函数及其分布列随机变量的函数及其分布 09.7.27
})({}{ ii yhPyP
})({ jiij yxhxS其中
,...2,1,}{
jxP
ji Sx
i?
满足 h(xi) =yj
的全体 xi
η= h(ξ )是随机变量,则二维离散型 随机变量 (ξ,η )的联合分布列为
,...2,1},{ ipyxP ijji
随机变量的函数及其分布 09.7.27
ζ =g(ξ,η) 是随机变量,则
}),({}{ kk zgPzP
}),(),{( kjik zyxgyxT其中
,...2,1},,{
),(
kyxP
kji Tyx
ji
例 3.4.4例 3.4.3
随机变量的函数及其分布 09.7.27
定理 2.4.1-1 设随机变量 (ξ,η )是离散型随机变量,ξ,η相互独立,其分布律分别为
,...2,1,0)(}{ kkpkP?
,.,,2,1,0)(}{ rrqrP?
则 ξ+η的分布律为例 3.4.5
,..2,1,)()(}{
0
mkmqkpmP
m
k
离散卷积公式随机变量的函数及其分布 09.7.27
结论 若 ξ1,ξ2,…,ξn相互独立,且 ξi~ B(1,p)则
ξ1+ξ2 +… +ξn ~ B(n,p)
反之若 ξ~ B(n,p),则存在相互独立的
ξi~ B(1,p),使
ξ = ξ1+ξ2 +…+ ξn
一般 1） 随机变量 ξ1,ξ2,…,ξn 相互独立 ；
2） 具有相同类型的分布 ；
令?
n
k
k
1
随机变量的函数及其分布 09.7.27
二项分布具有可加性泊松分布具有可加性的分布除参数变化,而分布类型不变,称分布具有 可加性,
自证随机变量的函数及其分布 09.7.27
二、连续型随机变量和的分布设随机变量 (ξ,η)的联合概率密度为 f(x1,x2)
}{)( 2121 xPxF
21
21
21 ),( dxdxxxf
xxx
x1+x2 = x
x1
x2
o
21
11
xxz
xx
令随机变量的函数及其分布 09.7.27
,1
11
01
J
2
1
2
1
1
1
z
x
x
x
z
x
x
x
}{)( 2121 xPxF
x dzdxxzxf ]),([ 111
111 ),()()( 2121 dxxxxfxFxf?
从而
x1+x2 = x
x2
o x
1
随机变量的函数及其分布 09.7.27
类似可得
222 ),( dxxxxf?
若随机变量 ξ,η相互独立,则
)(21 xf 111 )()( dxxxfxf
222 )()( dxxfxxf
)(21 xf
)(21 xf
随机变量的函数及其分布 09.7.27
定理 2.4.1-2 若随机变量 ξ1和 ξ2 相互独立均为连续型随机变量，则 ξ1 +ξ2 也是连续型随机变量，而且其概率密度是两个密度函数的卷积,
111 )()()()( dxxxfxfxfxf
例 3.4.6 例 3.4.7
例 3.4.8 例 3.4.9
随机变量的函数及其分布 09.7.27
解题步骤：
1） 在 XOZ平面上作出 f (x,z－ x) 的非零区域 G；
2） 从区域 G 中确定 f z ( z )非零区间 ;
3） 在 f z ( z )非零区间内，逐段确定 f z ( z )
的表达式；
4） 写出 f z ( z )的完整表达式,
随机变量的函数及其分布 09.7.27
定理 2.4.2 (Γ分布的可加性 ) 若随机变量
ξ1,ξ2,…,ξn 相互独立,ξi~Γ(αi,β) (i=1,2,…,k),
则和 ξ1 +ξ2 + … + ξk服从 Γ(α1+α2+ … +αk+k?
1,β).
三、连续型随机变量商的分布设随机变量 (ξ1,ξ2)的联合概率密度为 f(x,y),
的密度函数为)0( 2
2
1
随机变量的函数及其分布 09.7.27
2222 ),()(
2
1
dxxxxfxxf?
}{)(
2
1
2
1
xPxF
x1
x2
xxx?
2
1
证
21/
21
),( dxdxyxf
xxx
o
22
2
1
xx
x
x
z
令
2
2
2
21
10),(
),( xzx
xz
xx
随机变量的函数及其分布 09.7.27
)(
2
1 xF
x dzdxxxzxf ]),([
2222
例 3.4.10
2222 ),()(
2
1
dxxxxfxxf?
例 3.4.11
四、随机变量的线性变换已知随机变量 ξ的分布函数 Fξ (x),η =
aξ+ b (a≠0) 的分布函数为随机变量的函数及其分布 09.7.27
当 a＞ 0 时,
}{)( ybaPyF )(}{ a byFa byP
当 a＜ 0 时,
若 ξ是连续型随机变量对 y 求导得到
)0(1}{ a byFa byP }{)( ybaPyF
0),(1)()( aa byf
a
yFyf
例 3.4.12
随机变量的函数及其分布 09.7.27
结论 正态分布具有可加性；
正态随机向量具有线性不变性,
五、随机变量的函数分布的一般求法定理 2.4.6 设 (ξ1,ξ2)的联合密度为 f(x1,x2),若函数
).,(;),(
2122
2111
xxgy
xxgy
满足下述条件,
.),(
);,(
2122
2111
yyxx
yyxx① 存在惟一反函数随机变量的函数及其分布 09.7.27
② 有连续的一阶偏导数；
③ Jacobi行列式 0J
2
2
1
2
2
1
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
则 η1=g1(ξ1,ξ2),η2=g2(ξ1,ξ2)的联合概率密度为
J)],(,),([ 212211 yyxyyxf
随机变量的函数及其分布 09.7.27
证 ξ1,ξ2是随机变量，其联合分布函数为
D
12121 2),(),( dxdxxxfyyF
}),(,),(:),{( 2212121121 yxxgyxxgxxD其中
.),(;),(
2122
2111
yyxx
yyxx
做积分变换
1 2
2121221121 J),(,),(),(
y y dydyyyxyyxfyyF
随机变量的函数及其分布 09.7.27
21
21
2
21
),(),(
yy
yyFyyf
J)],(),,([ 212211 yyxyyxf?
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 1 炮击某一目标 O,已知弹着点 (ξ,η )服从二维正态分布,点 ( X,Y ) 与目标 O 的距离
22 YXZ
服从什么分布?
例 2 由统计物理学,气体分子运动速率服从马克斯维尔分布,
)0(
.0,0;0,4)(
2
2
3
2
x
x
x
exxf
分子运动动能 服从什么分布?2
2
1 mv
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.1 设 ξ~N(0,1),求 η=ξ2 的概率密度解
,0}{)(,0 2 yPyFy当
},{}{)(,0 2 yyPyPyFy当
y? y
y=x2
随机变量的函数及其分布 09.7.27
)()( yFyf
y
y
dxe
x
2
2
2
1
}{ yyP
])()([ 2
2)(
2
2)(
2
1
yeye
yy
22
1
2
1
y
ey
.0,;0,
2
1
)(
22
1
yo
yey
yf
y
称 η 服从自由度为 1的 χ2分布
P155
例 2.4.5
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.2 （ 本题满分 9分）设随机变量 ξ的概率密度为令 η=ξ2,F(x,y)为二维随机变量 (ξ,η)的联合分布函数,
(Ⅰ ) 求 η 的概率密度 fη(y);
(Ⅱ )
.,0;20,
4
1;01,
2
1
)(
其他
x
x
xf
)4,21(?F
随机变量的函数及其分布 09.7.27
[分析 ] 该题本质上是求一个随机变量的函数分布和概率计算问题。
[解 ] （ I） 设 ξ的分布函数为
}{ yyP
1）当 y<0,Fη(y)=0;
2）当 0≤y<1,
}{}{)( 2 yPyPyF
ydxdxyF y
y 4
3
4
1
2
1)(
0
0
－ 1
4
1
随机变量的函数及其分布 09.7.27
3）当 1≤y<4,
4）当 4≤y,Fη(y)=1;
.,0;41,
8
1;10,
8
3
)()(
其他
y
y
y
y
yFyf
最后
2
1
4
1
4
1
2
1)(
0
0
1
ydxdxyF y?
随机变量的函数及其分布 09.7.27
（ II） )4,
2
1(?F
}4,
2
1{}4,
2
1{ 2 PP
}
2
12{}22,
2
1{ PP
2
1
1 4
1
2
1 dx
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.3 设随机变量 ξ具有分布律求,η = 2ξ 以及 ζ = sinξ的分布律。
解,首先由 ξ的可能取值确定 η及 ζ的取值,
η = 2ξ
ξ
ζ = sin ξ － 1 0 1 0
ξ
ξ
随机变量的函数及其分布 09.7.27
得到随机变量函数 η及 ζ 的分布律为,
η
P{η = yj }
ζ － 1 0 1
P{ζ = zk }
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.4 设 (ξ,η)的联合分布律为
ξ η 0 1
0 3/10 3/10
1 3/10 1/10
试求 1) sinξ,2) ξ +η,3)ξη,
4) Max (ξ,η)的分布律,
解,由 (ξ,η)的分布律得随机变量的函数及其分布 09.7.27
P 3/10 3/10 3/10 1/10
(ξ,η) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1)
ξ 0 1
sin ξ 0 sin1
ξ+η 0 1 1 2
ξη 0 0 0 1
Max (ξ,η) 0 1 1 1
随机变量的函数及其分布 09.7.27
sinξ 0 sin1
P 0.6 0.4
ξ+η 0 1 2
P 0.3 0.6 0.1
ξη 0 1
P 0.9 0.1
Max (ξ,η) 0 1
P 0.3 0.7
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.5 设 ξ,η 相互独立,且 ξ~B(n1,p),η~
B(n2,p) 则
),..,1,0(,)1(}{ 111 nkppCkP knkkn证
),..,1,0(,)1(}{ 222 nrppCrP rnrrn
m
k
kmnkmkm
n
knkk
n ppCppC
0
2
2
1
1
)1()1(
ξ +η ~B(n1+ n2,p)
m
k
kmqkpmP
0
)()(}{
随机变量的函数及其分布 09.7.27
),..1,0(,)1( 212121 nnmCpp m nnmnnm
二项分布具有可加性
m
k
km
n
k
n
mnnm CCpp
0
21
21)1(
求和为 m
nnC 21?
m
k
kmnkmkm
n
knkk
n ppCppC
0
2
2
1
1
)1()1(
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.6设二维随机变量 (ξ,η)的联合概率密度为,
.,0;0,,2),( )2(
其它
yxeyxf yx
求随机变量 ζ=ξ+2η的分布函数和概率密度,
解 Fζ(z)=P{ζ<z}
= P{ξ+2η< z}
zyx
d x d yyxf
2
),( x
y
f(x,y)的非零区域
x+2y=z
随机变量的函数及其分布 09.7.27
x
y
x+2y=z
f(x,y)的非 0区域
;0,0 z
.0,]2[
0 0
)2(2
zdxdyez
xz
yx
.0,1;0.0
zzee
z
zz
.0,;0,0
)()(
zze
z
zFzf
z
ZZ
zyx
dxdyyxf
2
),(
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.7 设随机变量 ξ,η 相互独立,均服从区间 (0,1) 上的均匀分布,求,ζ = ξ +η 的概率密度 fζ(z).
解,,相互独立随机变量
dxxzfxfzf )()()(
在 XOZ平面上作出区域 G
}10,10),{( xzxzxG
Gzx
Gzx
xzfxf
),(1
),(0
)()(则随机变量的函数及其分布 09.7.27
x
z
1
1
z = x
z = 1+x
（ 1,2）
（ 1,1）
当 0≤z ＜ 1时
,1)( 0 zdxzf z
当 z <0 或 z ≥ 2 时 fζ(z) ＝ 0,
当 1≤z ＜ 2时
,21)( 1 1 zdxzf z
的概率密度为：综上得
}10,10),{( xzxzxG
随机变量的函数及其分布 09.7.27
.,0;21,2;10,
)(
其他
zz
zz
zf z
概率密度曲线为
z
fζ(z)
1
1
2
称为辛普生分布
o?
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.8 已知二维随机变量 (ξ,η)的联合概率密度为
.,0;10),(2
),(
其他
yxyx
yxf
求 ζ=ξ+η的概率密度,
解
}10),{( xzxzxG
}12,10),{( xzxxzx
dxxzxfzf ),()(
在 XOZ平面上作出区域随机变量的函数及其分布 09.7.27
x
z
(1,2)
(0,1)
z =2x
z =1+x?
.,0;),(,2
),(
其他
Gzxz
xzxf
O
当 z＜ 0 或 z≥ 2 时 fζ(z) ＝ 0
当 0≤z ＜ 1时
,2)( 22
0
zdxzzf
z
当 1≤z ＜ 2时
21 2)( z z dxzzf?
}12,10),{( xzxxzx
随机变量的函数及其分布 09.7.27
的概率密度为：综上得
,2 2zz
.,0;21,2;10,
)(
2
2
其他
zzz
zz
zf
z
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.9 若随机变量 ξ,η相互独立,),1,0(~ N?
),1,0(~ N? 求 ξ+η的概率密度解
dxxzfxfzf )()()(
dxee
xzx
2
22 )(
2
2
1
dxee
xzz
2
4
2 )
2
(
2
1
dtee t
z
24
2
2
1
随机变量的函数及其分布 09.7.27
Rxe
z
,
2
1 4
2
).2,0(~ N即一般若随机变量 ξ,η相互独立,),,(~ 211 aN
),,(~ 222 aN ).,(~ 222121 aaN则正态分布分布具有可加性,
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.10 已知随机变量 ξ,η 相互独立同分布,
.,0;0,)()(
其它
xexfxf x
求 ξ/η 的分布,
}0,0:),{(
}0,0:),{(
zyzy
yyzzyG令
)()(),( yfyzfyyzf y
z
O
dyzyzfyzf ),()(
解随机变量的函数及其分布 09.7.27
dyzyzfyzf ),()(
0 ),( dyzyzyf
.,0;),(,
其它
Gzye yyz
y
z
O
.,0;0,0
其它
zdyye yyz
)()(),( yfyzfyyzf
随机变量的函数及其分布 09.7.27
分部积分?
.,0;0,
)1(
1
2
其它
z
z
.,0;0,0
其它
zdyye yyz
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.11 已知随机变量 ξ,η 相互独立，密度函数如下：
.,0
];3,1[,
2
1
)(
其它
xxf
.,0;2,
)(
)2(
其它
ye
yf
y
P151例 2.4.3
dyzyzfyzf ),()(
解
}2,31:),{( yyzzyG令随机变量的函数及其分布 09.7.27
.,0;),(,
2
1 )2(
其它
Gzye y
)()(),( yfyzfyyzf
dyzyzfyzf ),()(
2 ),( dyzyzyf O y
z
2
yz=3yz=1
1/2
3/2
随机变量的函数及其分布 09.7.27
.,0;
2
1
0,
2
1
3
1
)2(
其它
zdyye
z
z
y
O y
z
2
yz=3yz=1
1/2
3/2;
2
3
2
1,
2
13
2
)2( zdyyez y
随机变量的函数及其分布 09.7.27
.,0;
2
3
2
1
),3(
22
3;
2
1
0)],3()1([
2
1
32
31
2
其它
zze
z
e
zzezee
z
z
zz
随机变量的函数及其分布 09.7.27
例 3.4.12若 ξ~N(?,? 2),则 ξ的线性函数 η =
aξ+ b (a≠0) 服从正态分布 N(a? +b,a 2? 2).
)(
1
)( a byf
a
yf
2
2
2
)(
2
1?
a
by
e
a
证
Rxe
a
a
bay
,
2
1 22
2
2
)]([
随机变量的函数及其分布 09.7.27
即 η ~ N(a? +b,a 2? 2).
特别
则取,,1 ba
标准化变换有 η服从标准正态分布 N(0,1)，其概率密度为
Rxex
x
,
2
1)( 2
2
◆ 结论,正态分布的线性函数仍然服从正态分布 ;
