电子科技大学概 率 09.7.27
§ 1.3 概率模型与公理化结构一、可测空间回顾古典概率、几何概率的定义，有如下问题：
对于随机试验 E的样本空间 Ω,是否 Ω 的每一个子集 (事件 )都能确定概率?
从古典概率、几何概率等共有基本属性出发，抽象并建立概率论的基础理论,
柯氏公理体系是现代概率论的基石,
电子科技大学概 率 09.7.27
定义 1.3.1设随机试验 E的样本空间为 Ω,F
是 Ω 的子集组成的集族，满足
(2) 若 A∈ F,则 F ;?A
(1) Ω ∈ F ;
(3) 若 F 则 F,),,2,1(,niA
i
n
i
iA
1?
称 F 为 代数 (体 ).
若将 (3)改为
(3′) 若 F 则 F,),,2,1(, iA
i?
1i
iA
称 F 为 σ -代数 (事件体 ).
电子科技大学概 率 09.7.27
Ex.1.3.1 在编号为 1,2,…,n 的 n个元件中任取一件,
样本空间为 },1,2,{Ω n
),,2,1(}{ nkkA k
1,考虑元件的编号，则全体基本事件为注 若 Ω 是有限样本空间，则 Ω 的代数 F
一定是 σ -代数,
电子科技大学概 率 09.7.27
构造如下事件,
),,1,2,,(,nskAAA sksk
),1,2,,,(,,nskiAAAA skiski
………
),1,2,,,,( 121
,,,1211n21
niii
AAAA
n
iiiiii n
},,,,,{ 121,,,, niiiskk AAA
可验证集族组成一个 σ-代数,
电子科技大学概 率 09.7.27
2,考虑元件是正品或次品，则基本事件为
A1={取到正品 },A2={取到次品 }
}Ω,,,{ 21 AA则 F 为一个 σ 代数,
.
}Ω,,,{
代数最简单产生的是由通常称
AAA
F
设随机试验 E的样本空间为 Ω,F 是 Ω 的全体子集组成的集族 (含 Ω 和 φ),F 也 是 σ -
代数,
电子科技大学概 率 09.7.27
Ex.1.3.2 测量一个零件,考虑其测量结果与实际长度的误差,
基本事件为 {x},样本空间为
11 }:{ RRxx
则 R1的子集全体：,单点集 { x }，一切开的,闭的，半开闭区间等组成的集族 F 是一个 σ－ 代数,
,?
另外，若令
}0:{
}0:{
2
1
xxA
xxA
={出现正误差 }
={出现负误差 }
电子科技大学概 率 09.7.27
则 F 为一个 σ－代数,}Ω,,,{ 21 AA
注 对同一研究对象的同一试验,试验目的不同,其样本空间和代数的结构会不同,
定义 1.3.2样本空间 Ω和 σ代数的二元体
(Ω,F ) 称为可测空间,具有 σ -代数结构的样本空间可测空间有如下 性质,
)(.1F ;
2,对可列交运算封闭,若则有
),1,2,( iA i F
电子科技大学概 率 09.7.27
证 且因
11 i
i
i
i AA
3,对有限并,有限交封闭,若则
niA i,1,2,,
1i
iA
F
ii AA F F
11 i
i
i
i AA
FF
F
n
i
i
n
i
i AA
11
,
或
FF
电子科技大学概 率 09.7.27
4,对差运算封闭,即 若 则F F BA,
F BA
BABA F
二、概率空间
F定义 1.3.3 设 (Ω,F )是一可测空间,对定义在 F 上的实值集函数 P (A),满足
A
2) 规范性,P(Ω) = 1;
1) 非负性：对 ;1)(0, APA F
电子科技大学概 率 09.7.27
3) 完全可加性,对有
11
)(
i
i
i
i APAP?
称 P是 (Ω,F )上的 概率 (测度 ),P(A)是事件 A
的概率,三元体 (Ω,F,P)称为 概率空间,
Ex.1.3.3 设某路口到达的车辆数为 m,基本事件为 {m},样本空间 F 是
Ω 的一切子集组成的集族,F 是一个 Ω 代数,
},0,1,2,{Ω;,;1,2,,jiAAiA jiiF
电子科技大学概 率 09.7.27
Ex.1.3.4 定义 P(φ)=0,并对 A∈ F 令
Ak
k
k
eAP 0λ,
!
λ)( λ
证明 P为可测空间 (Ω,F )上的概率测度,
证,1)
Ω 0
λλ 1
!
λ
!
λ)Ω(
k k
kk
k
e
k
eP
,0
!
λ0λ λ
k
ek
k
有，对
2) 因电子科技大学概 率 09.7.27;1
!
λ
!
λ)(0
Ω
λλ
Ak k
kk
k
e
k
eAP
3) 设
i
i
Ak
k
i
i keAP
1
!
λλ
1
.)(
!
λ
1 1
λ
i Ak i
i
k
i
AP
k
e
有
),(,,)1,2,(,jiAAiA jiiF
电子科技大学概 率 09.7.27
三、概率性质设 (Ω,F,P)是概率空间,则概率 P 有如下性质,
证明
1
)()(
k
PP P(? )=0.
1,P(φ)=0;
2,有限可加性 若
F )(,;,1,2,,jiAAniA
jii
电子科技大学概 率 09.7.27
推论 ;1)()()1 APAP;)(
11
n
i
i
n
i
i APAP?
则证 令 An+1= An+1=… =?,且 0)(P;)()(
1111
n
i
i
i
i
i
i
n
i
i APAPAPAP
注 由概率的的完全可加性可推得概率的有限可加性，但逆不真电子科技大学概 率 09.7.27
2） 若,则AB? P(A－ B)=P(A)－ P(B) 且
),()( BPAP?
证明
）（且） BABBABA ),(2
由概率的有限可加性，得
AAAA,Ω)1 因
)()()( BAPBPAP
A
B
0.)()()( BAPBPAP
电子科技大学概 率 09.7.27
有用结论：
);()()(( 1 ) ABPAPBAP
).()()(( 2 ) BPBAPBAP
3,概率的连续性
,
1
i
nA 且若,21 AA
.0)(lim?
nn
AP则
B A
电子科技大学概 率 09.7.27
A1
An
An+1
证 )()(
211 nnnnn AAAAA
1,2,,?)( 1
nBAA
nk
k
nk
kk
其中 B1,B2,… 互不相容，
由完全可加性有
0)(
)(1
1
1
1
1
k
kk
k
k
AAP
BPAP?
电子科技大学概 率 09.7.27
收敛级数的余项极限为 0,(as ),即n
.0,)()( 1
nasAAPAP
nk
kkn
则且若,,)1
1
21 AAAA
n
n
推论
).()(l i m APAP nn
则且若,,)2
1
21
n
n AAAA
).()(l i m APAP nn
电子科技大学概 率 09.7.27
证：在 2） 中
,,21 BBAAB nn 则令
0)(l i m nn BP
AAAA
n
n
1
11
)(
n
n
n
n AAB且
A
Bn= A － An
电子科技大学概 率 09.7.27
nasAPAP n ),()(
.0)()()( nn AAPAPAP
注 由概率的完全可加性推得概率的有限可加性和概率的连续性,
定理 1.3.1设 P为可测空间 ( Ω,F )上的非负实值集函数,P(Ω) =1,则 P完全可加 的充分必要条件是
1) P是有限可加的；
2) P是连续的,
电子科技大学概 率 09.7.27
4,多除少补原理
n
i
i
n
i
i APAP
11
)(?
.)1()(
1 1
1?
nki
n
i
i
n
ki APAAP
有设,,1,2,,niA iF
)()()()( ABPBPAPBAP
B AAB
特别电子科技大学概 率 09.7.27
)()()(
)()()()()(
A B CPBCPACP
ABPCPBPAPCBAP
B A
C
推论 概率具有次可加性
.)(
11
n
i
i
n
i
i APAP?
掷骰子问题电子科技大学概 率 09.7.27
概率的公理化定义及性质,为概率的计算提供了更完善的理论依据,
例如：
抽检试验道 -琼斯股票指数放球试验电子科技大学概 率 09.7.27
例 1 掷两个均匀骰子，设
A={点数之和为 10}，
B={两个骰子的点数均为大于 3的偶数 }，
有 A ={ (5,5),(4,6),(6,4),},
36
5)()()()( ABPBPAPBAP?
B={(4,4),(4,6),(6,4),(6,6)}，
A∪ B={(4,4),(4,6),(5,5),(6,4),(6,6)}，
AB={(4,6),(6,4)}，
,363)(?AP
,364)(?BP
,362)(?ABP
#
c
电子科技大学概 率 09.7.27
例 2 设今天道 -琼斯股票指数上升的概率为 0.54，明天上升的概率为 0.54，今明两天都上升的概率为 0.28。道 -琼斯指数在两天内都不上升的概率？
解 设 A={指数今天上升 }
B={指数明天上升 }
C = {指数两天都不上升 } BABA
)]()()([1)(1)( ABPBPAPBAPCP
2.08.01)28.054.054.0(1 #
电子科技大学概 率 09.7.27
例 13 设 50件产品中有 5件是次品，其余的是合格品，从中任取 3件，求选到的 3件产品中有次品的概率,
解法一 设 A={选到的 3件产品中有次品 }，
所以有有 A =A1∪ A2 ∪ A3,且 A1,A2,A3互不相容，
Ai ={选到的 3件产品中有 i 件次品 },i =1,2,3.
)()()()( 321 APAPAPAP
电子科技大学概 率 09.7.27
解法二 考虑 A的对立事件
A={选到的 3件产品全是合格品 }
从而
#
2761.03
50
3
5
3
50
1
45
2
5
3
50
2
45
1
5
C
C
C
CC
C
CC
有
7 2 3 9.0)( 3
50
3
45
C
C
AP
2 7 6 1.07 2 3 9.01)(1)( APAP
电子科技大学概 率 09.7.27
例 14 将 5个球随意地放入三只盒子，求每个盒子中至少有一个球的概率,
分析 此题直接采用古典概率定义去做会很困难，现借助于另一组事件来计算,
解 设 A=｛ 每个盒子中至少有一个球｝
则 A =
321 BBB
Bi =｛ 第 i 个盒子是空的｝,i =1,2,3.
P(A)=P( )=1－ P(B1 ∪ B2 ∪ B3)
321 BBB
321 BBB
电子科技大学概 率 09.7.27
=1－ P(B1) － P(B2) － P(B3) ＋ P(B1B2)
＋ P(B1B3) ＋ P(B2B3) － P(B1B2B3)
有 P(Bi) =25/35,i=1,2,3;
P(BiBj)=1/35,1≤i＜ j≤3;
P(B1B2B3)=0 (为什么？ )
故 P(A) =1－ 3× (2/3)5＋ 3× (1/3)5
=50/81=0.6173
#
§ 1.3 概率模型与公理化结构一、可测空间回顾古典概率、几何概率的定义，有如下问题：
对于随机试验 E的样本空间 Ω,是否 Ω 的每一个子集 (事件 )都能确定概率?
从古典概率、几何概率等共有基本属性出发，抽象并建立概率论的基础理论,
柯氏公理体系是现代概率论的基石,
电子科技大学概 率 09.7.27
定义 1.3.1设随机试验 E的样本空间为 Ω,F
是 Ω 的子集组成的集族，满足
(2) 若 A∈ F,则 F ;?A
(1) Ω ∈ F ;
(3) 若 F 则 F,),,2,1(,niA
i
n
i
iA
1?
称 F 为 代数 (体 ).
若将 (3)改为
(3′) 若 F 则 F,),,2,1(, iA
i?
1i
iA
称 F 为 σ -代数 (事件体 ).
电子科技大学概 率 09.7.27
Ex.1.3.1 在编号为 1,2,…,n 的 n个元件中任取一件,
样本空间为 },1,2,{Ω n
),,2,1(}{ nkkA k
1,考虑元件的编号，则全体基本事件为注 若 Ω 是有限样本空间，则 Ω 的代数 F
一定是 σ -代数,
电子科技大学概 率 09.7.27
构造如下事件,
),,1,2,,(,nskAAA sksk
),1,2,,,(,,nskiAAAA skiski
………
),1,2,,,,( 121
,,,1211n21
niii
AAAA
n
iiiiii n
},,,,,{ 121,,,, niiiskk AAA
可验证集族组成一个 σ-代数,
电子科技大学概 率 09.7.27
2,考虑元件是正品或次品，则基本事件为
A1={取到正品 },A2={取到次品 }
}Ω,,,{ 21 AA则 F 为一个 σ 代数,
.
}Ω,,,{
代数最简单产生的是由通常称
AAA
F
设随机试验 E的样本空间为 Ω,F 是 Ω 的全体子集组成的集族 (含 Ω 和 φ),F 也 是 σ -
代数,
电子科技大学概 率 09.7.27
Ex.1.3.2 测量一个零件,考虑其测量结果与实际长度的误差,
基本事件为 {x},样本空间为
11 }:{ RRxx
则 R1的子集全体：,单点集 { x }，一切开的,闭的，半开闭区间等组成的集族 F 是一个 σ－ 代数,
,?
另外，若令
}0:{
}0:{
2
1
xxA
xxA
={出现正误差 }
={出现负误差 }
电子科技大学概 率 09.7.27
则 F 为一个 σ－代数,}Ω,,,{ 21 AA
注 对同一研究对象的同一试验,试验目的不同,其样本空间和代数的结构会不同,
定义 1.3.2样本空间 Ω和 σ代数的二元体
(Ω,F ) 称为可测空间,具有 σ -代数结构的样本空间可测空间有如下 性质,
)(.1F ;
2,对可列交运算封闭,若则有
),1,2,( iA i F
电子科技大学概 率 09.7.27
证 且因
11 i
i
i
i AA
3,对有限并,有限交封闭,若则
niA i,1,2,,
1i
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F
ii AA F F
11 i
i
i
i AA
FF
F
n
i
i
n
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11
,
或
FF
电子科技大学概 率 09.7.27
4,对差运算封闭,即 若 则F F BA,
F BA
BABA F
二、概率空间
F定义 1.3.3 设 (Ω,F )是一可测空间,对定义在 F 上的实值集函数 P (A),满足
A
2) 规范性,P(Ω) = 1;
1) 非负性：对 ;1)(0, APA F
电子科技大学概 率 09.7.27
3) 完全可加性,对有
11
)(
i
i
i
i APAP?
称 P是 (Ω,F )上的 概率 (测度 ),P(A)是事件 A
的概率,三元体 (Ω,F,P)称为 概率空间,
Ex.1.3.3 设某路口到达的车辆数为 m,基本事件为 {m},样本空间 F 是
Ω 的一切子集组成的集族,F 是一个 Ω 代数,
},0,1,2,{Ω;,;1,2,,jiAAiA jiiF
电子科技大学概 率 09.7.27
Ex.1.3.4 定义 P(φ)=0,并对 A∈ F 令
Ak
k
k
eAP 0λ,
!
λ)( λ
证明 P为可测空间 (Ω,F )上的概率测度,
证,1)
Ω 0
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k k
kk
k
e
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2) 因电子科技大学概 率 09.7.27;1
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电子科技大学概 率 09.7.27
三、概率性质设 (Ω,F,P)是概率空间,则概率 P 有如下性质,
证明
1
)()(
k
PP P(? )=0.
1,P(φ)=0;
2,有限可加性 若
F )(,;,1,2,,jiAAniA
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电子科技大学概 率 09.7.27
推论 ;1)()()1 APAP;)(
11
n
i
i
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i APAP?
则证 令 An+1= An+1=… =?,且 0)(P;)()(
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i
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注 由概率的的完全可加性可推得概率的有限可加性，但逆不真电子科技大学概 率 09.7.27
2） 若,则AB? P(A－ B)=P(A)－ P(B) 且
),()( BPAP?
证明
）（且） BABBABA ),(2
由概率的有限可加性，得
AAAA,Ω)1 因
)()()( BAPBPAP
A
B
0.)()()( BAPBPAP
电子科技大学概 率 09.7.27
有用结论：
);()()(( 1 ) ABPAPBAP
).()()(( 2 ) BPBAPBAP
3,概率的连续性
,
1
i
nA 且若,21 AA
.0)(lim?
nn
AP则
B A
电子科技大学概 率 09.7.27
A1
An
An+1
证 )()(
211 nnnnn AAAAA
1,2,,?)( 1
nBAA
nk
k
nk
kk
其中 B1,B2,… 互不相容，
由完全可加性有
0)(
)(1
1
1
1
1
k
kk
k
k
AAP
BPAP?
电子科技大学概 率 09.7.27
收敛级数的余项极限为 0,(as ),即n
.0,)()( 1
nasAAPAP
nk
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则且若,,)1
1
21 AAAA
n
n
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).()(l i m APAP nn
则且若,,)2
1
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n
n AAAA
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电子科技大学概 率 09.7.27
证：在 2） 中
,,21 BBAAB nn 则令
0)(l i m nn BP
AAAA
n
n
1
11
)(
n
n
n
n AAB且
A
Bn= A － An
电子科技大学概 率 09.7.27
nasAPAP n ),()(
.0)()()( nn AAPAPAP
注 由概率的完全可加性推得概率的有限可加性和概率的连续性,
定理 1.3.1设 P为可测空间 ( Ω,F )上的非负实值集函数,P(Ω) =1,则 P完全可加 的充分必要条件是
1) P是有限可加的；
2) P是连续的,
电子科技大学概 率 09.7.27
4,多除少补原理
n
i
i
n
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i APAP
11
)(?
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1 1
1?
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有设,,1,2,,niA iF
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B AAB
特别电子科技大学概 率 09.7.27
)()()(
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A B CPBCPACP
ABPCPBPAPCBAP
B A
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推论 概率具有次可加性
.)(
11
n
i
i
n
i
i APAP?
掷骰子问题电子科技大学概 率 09.7.27
概率的公理化定义及性质,为概率的计算提供了更完善的理论依据,
例如：
抽检试验道 -琼斯股票指数放球试验电子科技大学概 率 09.7.27
例 1 掷两个均匀骰子，设
A={点数之和为 10}，
B={两个骰子的点数均为大于 3的偶数 }，
有 A ={ (5,5),(4,6),(6,4),},
36
5)()()()( ABPBPAPBAP?
B={(4,4),(4,6),(6,4),(6,6)}，
A∪ B={(4,4),(4,6),(5,5),(6,4),(6,6)}，
AB={(4,6),(6,4)}，
,363)(?AP
,364)(?BP
,362)(?ABP
#
c
电子科技大学概 率 09.7.27
例 2 设今天道 -琼斯股票指数上升的概率为 0.54，明天上升的概率为 0.54，今明两天都上升的概率为 0.28。道 -琼斯指数在两天内都不上升的概率？
解 设 A={指数今天上升 }
B={指数明天上升 }
C = {指数两天都不上升 } BABA
)]()()([1)(1)( ABPBPAPBAPCP
2.08.01)28.054.054.0(1 #
电子科技大学概 率 09.7.27
例 13 设 50件产品中有 5件是次品，其余的是合格品，从中任取 3件，求选到的 3件产品中有次品的概率,
解法一 设 A={选到的 3件产品中有次品 }，
所以有有 A =A1∪ A2 ∪ A3,且 A1,A2,A3互不相容，
Ai ={选到的 3件产品中有 i 件次品 },i =1,2,3.
)()()()( 321 APAPAPAP
电子科技大学概 率 09.7.27
解法二 考虑 A的对立事件
A={选到的 3件产品全是合格品 }
从而
#
2761.03
50
3
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3
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45
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C
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有
7 2 3 9.0)( 3
50
3
45
C
C
AP
2 7 6 1.07 2 3 9.01)(1)( APAP
电子科技大学概 率 09.7.27
例 14 将 5个球随意地放入三只盒子，求每个盒子中至少有一个球的概率,
分析 此题直接采用古典概率定义去做会很困难，现借助于另一组事件来计算,
解 设 A=｛ 每个盒子中至少有一个球｝
则 A =
321 BBB
Bi =｛ 第 i 个盒子是空的｝,i =1,2,3.
P(A)=P( )=1－ P(B1 ∪ B2 ∪ B3)
321 BBB
321 BBB
电子科技大学概 率 09.7.27
=1－ P(B1) － P(B2) － P(B3) ＋ P(B1B2)
＋ P(B1B3) ＋ P(B2B3) － P(B1B2B3)
有 P(Bi) =25/35,i=1,2,3;
P(BiBj)=1/35,1≤i＜ j≤3;
P(B1B2B3)=0 (为什么？ )
故 P(A) =1－ 3× (2/3)5＋ 3× (1/3)5
=50/81=0.6173
#
