随机变量的直观意义与定义电子科技大学
09.7.27
第二章随机变量及其分布随机变量的直观意义与定义电子科技大学
09.7.27
§ 2.1 随机变量的直观意义与定义
§ 2.2 多维随机变量及其分布函数
§ 2.3 独立随机变量、条件分布
§ 2.4 随机变量的函数及其分布函数随机变量的直观意义与定义电子科技大学
09.7.27
§ 2.1 随机变量的直观意义与定义上述变量都定义在样本空间上,具有以下特点：
(1) 变量的取值由随机试验的结果来确定 ;
(2) 取各数值的可能性大小有确定的统计规律性,
随机变量的实例一、随机变量定义随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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定义 2.1.1设 (Ω,F,P)是概率空间,ξ(ω)是定义在 Ω上的单值实函数,若对于任意实数
x∈ R,有称 ξ(ω)是随机变量,
注 1
使 P{ξ<x}总有意义,
}{})ω(:ω{ xx F
})(:{ x F
注 2 同一概率空间上可定义不同的随机变量,
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注 3 通常 F 是包含全体 {ξ<x} 的最小代数,
而且由 σ代数性质,有
}{}{}{ xxxF;
}{1}{
1
x
k
xx
k
F;
,}{Ω}{ xx F
以及
、}{ x
等都属于 F.
、}{ 1 xx }{ 21 xx
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摸彩赌博例子随机变量等价定义,若对于任意实数 x∈ R,有注 4
})(:{ x F
随机变量 将样本空间数值化、变量化 (但不同于通常变量 ),是对随机现象进行量化分析的重要手段,
随机变量 完整地描述试验结果，从而可用量化分析方法 来研究 随机现象的统计规律性,
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随机变量的引进是概率论发展进程中的一次飞跃二、离散型随机变量与分布列定义 2.1.2 如果随机变量 ξ至多取可列无穷个 数值,x1,x2,…,记 pn = P{ξn= xn },且满足;,0)1( np n
1
.1)2(
i
np
（ 2.1.1）
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称 ξ 是 离散型 随机变量，称表示为
pn = P{ξ = xi },n = 1,2,…
为 ξ 的 分布列 （ 概率函数 ）,
ξ x1 x2 … xn …
P{ξ = xi } p1 p2 … pn …
注
)m a x (,)( 000 nnnn pppxP
离散型随机变量 ξ存在最大可能值,即0nx
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分布列的两种直观描述：
1）质量分布图
x1
质量为 p1 质量为 p
n
总质量为 1
x2 … xn …
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2）概率函数图 P(x)
p1
x1 x2 … xn …
p2 p3 p
n
例 1中赌博彩金 ξ是离散型随机变量，其 分布列为：
ξ 0 0.05 0.2 2
P{ξ= yi } 0.5001 0.3589 0.1282 0.0128
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注 必须满足
1
.1
i
np
产品检验试验例子三、常用离散型分布贝努里试验仅有两个基本事件 A 和,且
P(A) = p（ 0<p<1）
A
1,两点分布随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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.0
,1
不发生若事件，
发生；若事件令
A
A
ξ是 一次
B试验事件 A出现的次数
ξ 0 1
P{ξ =xi} 1－ p p
则 ξ的分布律为称 ξ 服从两点分布质量分布图：
质量为 1－ p 质量为 p
0 1
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2,二项分布根据 定理 1.5.1知 n 重贝努里试验中事件 A
发生 k次的概率为
,)1()( knkknn ppCkP,,,2,1,0k
且 1)(
0
n
k
n kP
若随机变量 ξ的分布列为
,)1()( knkkn ppCkP,,,2,1,0 nk
称随机变量 ξ 服从 二项分布,记为 ξ～ B(n,p).
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例子疫苗效果试验设备排障试验两点分布可以看作 ξ～ B(1,p).
二项分布的概率计算较困难，需寻求近似计算方法,
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若随机变量 ξ的分布律为
lk
k!P{ξ=k}= e?l,k =1,2,… ；（ l? 0）
ξ 服从参数为 l的 泊松分布,记为 ξ~ P(l ).
泊松分布的重要性在于,
(1) 现实中大量随机变量服从泊松分布 ;
(2) 泊松分布可视为二项分布的极限分布,
nkppCpnkb knkkn,,2,1,0,)1(),;(记
3.泊松分布随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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定理 2.1.1 泊松定理则有，若 )0(lim llnn np
nke
k
ppCpnkb
k
kn
n
k
n
k
n
n
n
n
,,2,1,0,
!
)1(lim),;(lim
ll
证 当 k≥1，
kn
n
k
nn ppk
knnnpnkb )1(
!
)1()1(),;(?
则，令 nn np?l
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n
knn
n
k
n
n nn
k
nnk
pnkb
)1)(11()21)(11(
!
),;( ll?
llll?
e
n
nn
n
k
n
n
)1(limlim,因
)(,1)11()21)(11(lim 成立对任意固定 knknn
n
nke
k
pnkb
k
nn,,2,1,0,!),;(lim
ll故推论 有，若 )2,1,0(0 nnp
n l
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思考 你能从条件 lim npn = l? 0,n→∞
中分析出什么结论吗？
nke
k
pnkb
k
nn,,2,1,0,!),;(lim
ll
注 lim npn = l n→∞
即数列 { pn } 与 { } 是同阶的无穷小,故1n
lim = ln→∞ pn1
n
(1) 当 n 够大,p 较小时 (如 n>50,np<5)有随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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(2) 实际问题中,n 次独立重复试验中,,稀有事件,出现的次数可认为服从泊松分布,
b ( k;n,p ) = C pk ( 1－ p )n－ k ≈ e－ l.kn lkk!
其中 l? n p,
例子存储问题设备排障试验随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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4、二项分布与泊松分布的最大可能值
1）二项分布
)1(
)1(
)1(
)1(
),;1(
),;(
111 pk
kn
ppC
ppC
pnkb
pnkb
knkk
n
knkk
n
因
nkpk kpn,,3,2,)1( )1(1
最大可能值
.])1[(
)1(1)1()1(
0 否则，
为整数；若，和
pn
pnpnpnk
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5）泊松分布最大可能值：
.][
1
0 否则，
为整数；若，和
l
lllk
kkP
kP l
l
l?
);1(
);(因例子疫苗效果试验设备排障试验存储问题随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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5、超几何分布模型 设袋中有 N个球，其中有 M个红球，
N－ M个白球，从袋中任取 n 个球，其中的红球个数 ξ 的分布列为
,}{ n
N
mn
MN
m
M
C
CC
mP
m=0,1,2,…,n ; n=min(N,M)
称 ξ服从 超几何分布,
注 超几何分布的极限分布是二项分布,（ P96）
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6、几何分布
,2,1,)1(}{ 1 kppkP k?
随机变量 ξ的分布列为称 ξ服从 几何分布,
贝努里试验随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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E2 测量某零件长度 x和直径 y产生的误差,
E1 抛一枚硬币,观察其出现正面 H和反面 T
的情况,
用 ξ 表示抛一次硬币时出现正面的次数,记
ξ(H ) = 1,ξ(T ) = 0.
生的误差,记分别表示测量零件长度和直径产用 和eX eY
},),{(2 YXYX eeee
YYXXYX eeeeee ),(,),(令随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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#
用 ξ表示检查 N 件产品中的次品数，有
E3 检验 N 件产品中的次品
ξ(k)=k,k∈ Ω3,Ω3={0,1,2,…,N}.
E4 用 ξ表示人的身高,有
ξ(x) = x,x ∈ Ω4=(0,＋ ∞)
共同特点,以上变量都是定义在样本空间上的变量,
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例 1 一个庄家在一个签袋中放有 8个白,8个黑的围棋子,规定：每个摸彩者交一角钱作“手续费”，然后从袋中摸出五个棋子，按下面
“摸子中彩表”给“彩金”,
摸到 五个白 四个白 三个白 其它彩金 2元 2角 5分 共乐一次解：用,i”表示模出的五个棋子中有 i 个白子，
则试验的样本空间为
Ω = {0,1,2,3,4,5}
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用 ξ (单位,元 )表示赌徒摸一次得到的彩金，
则有
ξ(i) = 0,i = 0,1,2
ξ 是定义在 Ω上的随机变量,对于每一个 i,
都有一个实数与之对应,
并且
3 5 8 9.0/}3{}05.0{ 5163828 CCCPP?
1 2 8 2.0/}4{}2.0{ 5164818 CCCPP?
ξ(3) = 0.05,ξ(4) =0.2,ξ(5) = 2
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对于任意实数 x,{ξ(ω) ≤ x }是一个随机事件，
从而有确定的概率,
例如
51658 /}5{}2{ CCPP
0 1 2 8.01 2 8 2.03 5 8 9.01}2,1,0{}0{ PP?;0}{}5.0{ PP;9 8 7 2.00 1 2 8.01}4,3,2,1,0{}2.1{ PP?;1}{}2{ PP?
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总结 从本例中可看到，随机变量 ξ完整地描述了试验的全过程，而不必对每一个事件进行重复讨论,进一步，可以把微积分等数学工具用于对随机试验的分析,
#
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例 2 某种产品在生产过程中的废品率为 p
（ 0<p<1）,对产品逐个检查，直到检查出
5个不合格品为止，试写出停止检查时已检查的产品个数 ξ的分布律,
解 关键是分析随机事件 {ξ= k},
事件 {ξ= k }相当于第 k 次检查到的产品必为不合格品，而前 k– 1 次检查中查出 4 件不合格品,
如指定前 4次：
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1 2 …3 4 k－ 1 k
不合格 不合格合格进行 k 次检查，指定的 5次检查出现不合格品的概率为 p5（ 1 – p ) k – 5.
从前 k－ 1次检查中选出 4 次出现不合格产品共有 种不同的方式,
故分布律为
4
1?kC
,6,5,)1(}{ 554 1 kppCkP kk? #
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例 3 有 300台独立运转的同类机床，每台机床发生故障的概率都是 0.01，若一人排除一台的故障,问至少需要多少名工人，才能保证不能及时排除故障的概率小于 0.01.
解 设 ξ 表示同一时刻发生故障的机床数,则
ξ ~ B( 300,0.01 ).
若 配 N 个工人,应使
0.01 > P{ξ > N } = 1 – P{ ξ≤ N }
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即求使上述不等式成立的最小 N 值,
kk
N
k
kC?
300
0
300 )01.01()01.0(1
#
续例 3
解 因 300× 0.01 = 3 (n较大,p较小 ),故可认为 ξ近似服从 λ= 3 的泊松分布，即 ξ ~ P( 3 ).
值成立的最小求使
N
e
k
NP
Nk
k
3
1 !
3
}{01.0?
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查附表 2 可得
P{ ξ > 7 } = 0.11905 > 0.01
P{ ξ> 8 } = 0.003803 < 0.01
所以，至少需要配备 8 个修理工人,
续例 3 设 ξ表示同一时刻发生故障的机床数,则
ξ ~ B( 300,0.01 ).
ξ的最可能取值为
3]01.0)1300[(])1[(0 pnk
即同一时刻损坏 3台设备的可能性最大,#
#
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例 4 药效试验 设某种鸭在正常情况下感染一种传染病的概率为 20%,现用疫苗 A给 9只健康鸭子注射后无一例感染；用疫苗 B给 25只健康鸭子注射后仅有一例感染，试评价两种疫苗的有效性,
分析 假定疫苗 A无效，给 9只健康鸭子注射相当于做 9重贝努里试验；假定疫苗 B无效，则相当于做 25重贝努里试验,
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解 假定疫苗无效，设 ξ是 9只鸭子中感染疾病的只数，则 ξ~B(9,0.2),有
21 3 4.0)8.0(}0{ 9Pp A
设 η是 25只鸭子中感染疾病的只数，则 η
~B(25,0.2),有
4027.0)8.0()2.0()8.0(
}1{}0{}1{
2411
25
25
C
PPPp B
因 pA与 pB 都是小概率事件,可以认为两种疫苗都有一定疗效，而且可能 B疫苗更有效,
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#
续例 4 药效试验 求在正常情况下，没有注射疫苗时 9只健康鸭与 25只健康鸭当中分别最可能感染传染病的只数,
9只的情形，因 ξ~B(9,0.2),
22.0)19()1(0 pnk
最可能感染传染病的只数为 1只或 2只,
25只的情形，因 η ~B(25,0.2),则
（只）5]2.5[]2.0)125[(])1[(0 pnk
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例 5 某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月销售量可以用参数为 λ=10的泊松分布来描述。为了以 95%的概率保证不脱销，
问商店在月底应存多少该种商品 (设只在月底进货 )？
解 设该商店每月销售件数为 ξ，月底存货为 a件,需求 a使
95.0}{ aP?
95.0
!
10}{
0
10
a
k
k
e
k
aP?即随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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95.09166.0
!
1014
0
10
k
k
e
k
查表可得
95.09513.0
!
1015
0
10
k
k
e
k
这家商店在月底保证存货不少于 15件就能以 95%的概率保证下个月该种商品不会脱销,
续例 5 最可能销售件数为 )(10
0 件 lk
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练习题问题一 从学校乘汽车到火车站的途中有
3个交通岗,假定设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 2/5，设 X
为途中遇到的红灯的次数，试写出随机变量
X 的分布律,
成功的总次数 服从二项分布随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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问题二 在一条汽车通道上有四盏信号灯，
每盏灯各以 1/2的概率允许或禁止汽车通行，
试求汽车停止前进时已通过的信号灯盏数 Y
的分布律,
首次成功时的试验次数什么分布？
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第二章随机变量及其分布随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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§ 2.1 随机变量的直观意义与定义
§ 2.2 多维随机变量及其分布函数
§ 2.3 独立随机变量、条件分布
§ 2.4 随机变量的函数及其分布函数随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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§ 2.1 随机变量的直观意义与定义上述变量都定义在样本空间上,具有以下特点：
(1) 变量的取值由随机试验的结果来确定 ;
(2) 取各数值的可能性大小有确定的统计规律性,
随机变量的实例一、随机变量定义随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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定义 2.1.1设 (Ω,F,P)是概率空间,ξ(ω)是定义在 Ω上的单值实函数,若对于任意实数
x∈ R,有称 ξ(ω)是随机变量,
注 1
使 P{ξ<x}总有意义,
}{})ω(:ω{ xx F
})(:{ x F
注 2 同一概率空间上可定义不同的随机变量,
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注 3 通常 F 是包含全体 {ξ<x} 的最小代数,
而且由 σ代数性质,有
}{}{}{ xxxF;
}{1}{
1
x
k
xx
k
F;
,}{Ω}{ xx F
以及
、}{ x
等都属于 F.
、}{ 1 xx }{ 21 xx
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摸彩赌博例子随机变量等价定义,若对于任意实数 x∈ R,有注 4
})(:{ x F
随机变量 将样本空间数值化、变量化 (但不同于通常变量 ),是对随机现象进行量化分析的重要手段,
随机变量 完整地描述试验结果，从而可用量化分析方法 来研究 随机现象的统计规律性,
随机变量的直观意义与定义电子科技大学
09.7.27
随机变量的引进是概率论发展进程中的一次飞跃二、离散型随机变量与分布列定义 2.1.2 如果随机变量 ξ至多取可列无穷个 数值,x1,x2,…,记 pn = P{ξn= xn },且满足;,0)1( np n
1
.1)2(
i
np
（ 2.1.1）
随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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称 ξ 是 离散型 随机变量，称表示为
pn = P{ξ = xi },n = 1,2,…
为 ξ 的 分布列 （ 概率函数 ）,
ξ x1 x2 … xn …
P{ξ = xi } p1 p2 … pn …
注
)m a x (,)( 000 nnnn pppxP
离散型随机变量 ξ存在最大可能值,即0nx
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分布列的两种直观描述：
1）质量分布图
x1
质量为 p1 质量为 p
n
总质量为 1
x2 … xn …
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2）概率函数图 P(x)
p1
x1 x2 … xn …
p2 p3 p
n
例 1中赌博彩金 ξ是离散型随机变量，其 分布列为：
ξ 0 0.05 0.2 2
P{ξ= yi } 0.5001 0.3589 0.1282 0.0128
随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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注 必须满足
1
.1
i
np
产品检验试验例子三、常用离散型分布贝努里试验仅有两个基本事件 A 和,且
P(A) = p（ 0<p<1）
A
1,两点分布随机变量的直观意义与定义电子科技大学
09.7.27
.0
,1
不发生若事件，
发生；若事件令
A
A
ξ是 一次
B试验事件 A出现的次数
ξ 0 1
P{ξ =xi} 1－ p p
则 ξ的分布律为称 ξ 服从两点分布质量分布图：
质量为 1－ p 质量为 p
0 1
随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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2,二项分布根据 定理 1.5.1知 n 重贝努里试验中事件 A
发生 k次的概率为
,)1()( knkknn ppCkP,,,2,1,0k
且 1)(
0
n
k
n kP
若随机变量 ξ的分布列为
,)1()( knkkn ppCkP,,,2,1,0 nk
称随机变量 ξ 服从 二项分布,记为 ξ～ B(n,p).
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例子疫苗效果试验设备排障试验两点分布可以看作 ξ～ B(1,p).
二项分布的概率计算较困难，需寻求近似计算方法,
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若随机变量 ξ的分布律为
lk
k!P{ξ=k}= e?l,k =1,2,… ；（ l? 0）
ξ 服从参数为 l的 泊松分布,记为 ξ~ P(l ).
泊松分布的重要性在于,
(1) 现实中大量随机变量服从泊松分布 ;
(2) 泊松分布可视为二项分布的极限分布,
nkppCpnkb knkkn,,2,1,0,)1(),;(记
3.泊松分布随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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定理 2.1.1 泊松定理则有，若 )0(lim llnn np
nke
k
ppCpnkb
k
kn
n
k
n
k
n
n
n
n
,,2,1,0,
!
)1(lim),;(lim
ll
证 当 k≥1，
kn
n
k
nn ppk
knnnpnkb )1(
!
)1()1(),;(?
则，令 nn np?l
随机变量的直观意义与定义电子科技大学
09.7.27
n
knn
n
k
n
n nn
k
nnk
pnkb
)1)(11()21)(11(
!
),;( ll?
llll?
e
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k
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)(,1)11()21)(11(lim 成立对任意固定 knknn
n
nke
k
pnkb
k
nn,,2,1,0,!),;(lim
ll故推论 有，若 )2,1,0(0 nnp
n l
随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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思考 你能从条件 lim npn = l? 0,n→∞
中分析出什么结论吗？
nke
k
pnkb
k
nn,,2,1,0,!),;(lim
ll
注 lim npn = l n→∞
即数列 { pn } 与 { } 是同阶的无穷小,故1n
lim = ln→∞ pn1
n
(1) 当 n 够大,p 较小时 (如 n>50,np<5)有随机变量的直观意义与定义电子科技大学
09.7.27
(2) 实际问题中,n 次独立重复试验中,,稀有事件,出现的次数可认为服从泊松分布,
b ( k;n,p ) = C pk ( 1－ p )n－ k ≈ e－ l.kn lkk!
其中 l? n p,
例子存储问题设备排障试验随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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4、二项分布与泊松分布的最大可能值
1）二项分布
)1(
)1(
)1(
)1(
),;1(
),;(
111 pk
kn
ppC
ppC
pnkb
pnkb
knkk
n
knkk
n
因
nkpk kpn,,3,2,)1( )1(1
最大可能值
.])1[(
)1(1)1()1(
0 否则，
为整数；若，和
pn
pnpnpnk
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5）泊松分布最大可能值：
.][
1
0 否则，
为整数；若，和
l
lllk
kkP
kP l
l
l?
);1(
);(因例子疫苗效果试验设备排障试验存储问题随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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5、超几何分布模型 设袋中有 N个球，其中有 M个红球，
N－ M个白球，从袋中任取 n 个球，其中的红球个数 ξ 的分布列为
,}{ n
N
mn
MN
m
M
C
CC
mP
m=0,1,2,…,n ; n=min(N,M)
称 ξ服从 超几何分布,
注 超几何分布的极限分布是二项分布,（ P96）
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6、几何分布
,2,1,)1(}{ 1 kppkP k?
随机变量 ξ的分布列为称 ξ服从 几何分布,
贝努里试验随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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E2 测量某零件长度 x和直径 y产生的误差,
E1 抛一枚硬币,观察其出现正面 H和反面 T
的情况,
用 ξ 表示抛一次硬币时出现正面的次数,记
ξ(H ) = 1,ξ(T ) = 0.
生的误差,记分别表示测量零件长度和直径产用 和eX eY
},),{(2 YXYX eeee
YYXXYX eeeeee ),(,),(令随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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#
用 ξ表示检查 N 件产品中的次品数，有
E3 检验 N 件产品中的次品
ξ(k)=k,k∈ Ω3,Ω3={0,1,2,…,N}.
E4 用 ξ表示人的身高,有
ξ(x) = x,x ∈ Ω4=(0,＋ ∞)
共同特点,以上变量都是定义在样本空间上的变量,
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例 1 一个庄家在一个签袋中放有 8个白,8个黑的围棋子,规定：每个摸彩者交一角钱作“手续费”，然后从袋中摸出五个棋子，按下面
“摸子中彩表”给“彩金”,
摸到 五个白 四个白 三个白 其它彩金 2元 2角 5分 共乐一次解：用,i”表示模出的五个棋子中有 i 个白子，
则试验的样本空间为
Ω = {0,1,2,3,4,5}
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用 ξ (单位,元 )表示赌徒摸一次得到的彩金，
则有
ξ(i) = 0,i = 0,1,2
ξ 是定义在 Ω上的随机变量,对于每一个 i,
都有一个实数与之对应,
并且
3 5 8 9.0/}3{}05.0{ 5163828 CCCPP?
1 2 8 2.0/}4{}2.0{ 5164818 CCCPP?
ξ(3) = 0.05,ξ(4) =0.2,ξ(5) = 2
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对于任意实数 x,{ξ(ω) ≤ x }是一个随机事件，
从而有确定的概率,
例如
51658 /}5{}2{ CCPP
0 1 2 8.01 2 8 2.03 5 8 9.01}2,1,0{}0{ PP?;0}{}5.0{ PP;9 8 7 2.00 1 2 8.01}4,3,2,1,0{}2.1{ PP?;1}{}2{ PP?
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总结 从本例中可看到，随机变量 ξ完整地描述了试验的全过程，而不必对每一个事件进行重复讨论,进一步，可以把微积分等数学工具用于对随机试验的分析,
#
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例 2 某种产品在生产过程中的废品率为 p
（ 0<p<1）,对产品逐个检查，直到检查出
5个不合格品为止，试写出停止检查时已检查的产品个数 ξ的分布律,
解 关键是分析随机事件 {ξ= k},
事件 {ξ= k }相当于第 k 次检查到的产品必为不合格品，而前 k– 1 次检查中查出 4 件不合格品,
如指定前 4次：
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1 2 …3 4 k－ 1 k
不合格 不合格合格进行 k 次检查，指定的 5次检查出现不合格品的概率为 p5（ 1 – p ) k – 5.
从前 k－ 1次检查中选出 4 次出现不合格产品共有 种不同的方式,
故分布律为
4
1?kC
,6,5,)1(}{ 554 1 kppCkP kk? #
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例 3 有 300台独立运转的同类机床，每台机床发生故障的概率都是 0.01，若一人排除一台的故障,问至少需要多少名工人，才能保证不能及时排除故障的概率小于 0.01.
解 设 ξ 表示同一时刻发生故障的机床数,则
ξ ~ B( 300,0.01 ).
若 配 N 个工人,应使
0.01 > P{ξ > N } = 1 – P{ ξ≤ N }
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即求使上述不等式成立的最小 N 值,
kk
N
k
kC?
300
0
300 )01.01()01.0(1
#
续例 3
解 因 300× 0.01 = 3 (n较大,p较小 ),故可认为 ξ近似服从 λ= 3 的泊松分布，即 ξ ~ P( 3 ).
值成立的最小求使
N
e
k
NP
Nk
k
3
1 !
3
}{01.0?
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查附表 2 可得
P{ ξ > 7 } = 0.11905 > 0.01
P{ ξ> 8 } = 0.003803 < 0.01
所以，至少需要配备 8 个修理工人,
续例 3 设 ξ表示同一时刻发生故障的机床数,则
ξ ~ B( 300,0.01 ).
ξ的最可能取值为
3]01.0)1300[(])1[(0 pnk
即同一时刻损坏 3台设备的可能性最大,#
#
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例 4 药效试验 设某种鸭在正常情况下感染一种传染病的概率为 20%,现用疫苗 A给 9只健康鸭子注射后无一例感染；用疫苗 B给 25只健康鸭子注射后仅有一例感染，试评价两种疫苗的有效性,
分析 假定疫苗 A无效，给 9只健康鸭子注射相当于做 9重贝努里试验；假定疫苗 B无效，则相当于做 25重贝努里试验,
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解 假定疫苗无效，设 ξ是 9只鸭子中感染疾病的只数，则 ξ~B(9,0.2),有
21 3 4.0)8.0(}0{ 9Pp A
设 η是 25只鸭子中感染疾病的只数，则 η
~B(25,0.2),有
4027.0)8.0()2.0()8.0(
}1{}0{}1{
2411
25
25
C
PPPp B
因 pA与 pB 都是小概率事件,可以认为两种疫苗都有一定疗效，而且可能 B疫苗更有效,
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#
续例 4 药效试验 求在正常情况下，没有注射疫苗时 9只健康鸭与 25只健康鸭当中分别最可能感染传染病的只数,
9只的情形，因 ξ~B(9,0.2),
22.0)19()1(0 pnk
最可能感染传染病的只数为 1只或 2只,
25只的情形，因 η ~B(25,0.2),则
（只）5]2.5[]2.0)125[(])1[(0 pnk
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例 5 某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月销售量可以用参数为 λ=10的泊松分布来描述。为了以 95%的概率保证不脱销，
问商店在月底应存多少该种商品 (设只在月底进货 )？
解 设该商店每月销售件数为 ξ，月底存货为 a件,需求 a使
95.0}{ aP?
95.0
!
10}{
0
10
a
k
k
e
k
aP?即随机变量的直观意义与定义电子科技大学
09.7.27
95.09166.0
!
1014
0
10
k
k
e
k
查表可得
95.09513.0
!
1015
0
10
k
k
e
k
这家商店在月底保证存货不少于 15件就能以 95%的概率保证下个月该种商品不会脱销,
续例 5 最可能销售件数为 )(10
0 件 lk
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练习题问题一 从学校乘汽车到火车站的途中有
3个交通岗,假定设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 2/5，设 X
为途中遇到的红灯的次数，试写出随机变量
X 的分布律,
成功的总次数 服从二项分布随机变量的直观意义与定义电子科技大学
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问题二 在一条汽车通道上有四盏信号灯，
每盏灯各以 1/2的概率允许或禁止汽车通行，
试求汽车停止前进时已通过的信号灯盏数 Y
的分布律,
首次成功时的试验次数什么分布？
