数学期望和方差电子科技大学第 三 章随机变量的数字特征数学期望和方差电子科技大学
§ 3.1— 3.2 数学期望、方差与矩
§ 3.3-3.4 多维随机变量的数字特征
§ 3.6 多 维正态随机变量
§ 3.5 条件数学期望数学期望和方差电子科技大学用概率分布描述随机变量的全面情况,但常常遇到无法确定随机变量的全部取值的统计规律性,或者根据实际问题的需要,只须给出随机变量的某些特征。
在本章,从数值的角度定义随机变量的统计特征,称为 随机变量的数字特征,
数学期望和方差电子科技大学
§ 3.1 数学期望与方差定义 3.1.1 设 ξ 是离散型随机变量,其分布律为
....3,2,1,}{ ipxP ii?
引 例一,随机变量的数学期望则称若
1i
ii px
).()(
1
均值的数学期望为
i
ii pxE
数学期望和方差电子科技大学设连续型随机变量 ξ的概率密度为 f (x),
dxxfx )(若注 2 部分随机变量 ξ的数学期望不存在,
dxxxfE )()(?称为 ξ 的 数学期望 (均值 ).
注 1 随机变量的数学期望是它所有可能取值的加权平均值,是一个数,
定义中要求条件无穷级数数学期望和方差电子科技大学绝对收敛,保证 数学期望有唯一的数值,
同样,对连续型随机变量的无穷广义积分要求绝对收敛也出于相同的考虑。
如果绝对收敛不能得到满足,称随机变量的数学期望不存在,
P195例 3.1.13
柯西分布数学期望和方差电子科技大学证 明证 明例 5.均匀分布
.,0
];,[1
)(
其它
bax
abxf
E(ξ)=(b+a)/2
例 1.ξ~P(l),则 E(ξ) = l; 证 明例 2,ξ~B(n,p),则 E(ξ) = np;
例 3,ξ~N(m,s 2 ),则 E(ξ) = m ;
数学期望和方差电子科技大学例 6 指数分布
)0(
.,0;0,
)(
其它
xe
xf
x
E(ξ)=λ－ 1
例 7 韦布尔分布证 明例 8 Γ— 分布例 9 对数正态分布
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.0,0;0,
2
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2
1
为常数
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x
自学自学数学期望和方差电子科技大学
10ln2
2
10)(
E
证 明二,随机变量的方差数学期望作为数字特征,仅说明了随机变量的平均特征,
平均值不能反映变量取值的其它特点,例如取值的范围、集中程度等,
现引进随机变量的 方差 描述随机变量取值的离散程度,引 例数学期望和方差电子科技大学定义 3.1.2 设 ξ 是离散型随机变量,其分布律为
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记若
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称 D(ξ)为 ξ的 方差,
称 为 ξ的 标准差 或 均方差,)()( D?
注 1 D(ξ)?0.
数学期望和方差电子科技大学
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类似地，若 ξ是连续型随机变量，有数学期望和方差电子科技大学
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重要分布的方差计算证 明1.ξ~P(λ),则 E(ξ) = λ,D(ξ) =λ ;
2,ξ~B(n,p),则 E(ξ) = np; D(ξ) = np(1－ p)
3,ξ~N(μ,σ 2 ),则 E(ξ) = μ ; D(ξ) =? 2
证 明数学期望和方差电子科技大学
6.指数分布
1)()( DE
5.均匀分布 E(ξ)=(b+a)/2,D(ξ)=(b－ a)2/12
例 3.1.1 练 习方差是随机变量 ξ关于所有值中偏离程度的最小值！
数学期望和方差电子科技大学方差刻划了 随机变量 ξ围绕其数学期望的偏离程度！
数学期望和方差电子科技大学一个庄家在一个签袋中放有 8个白,8个黑的围棋子,规定：每个摸彩者交一角钱作“手续费”，然后一个从袋中摸出五个棋子，按下面
“摸子中彩表”给“彩金”,
摸到 五个白 四个白 三个白 其它彩金 2元 2角 5分 共乐一次
Ex.1 摸彩赌博 问题庄家付出的彩金 Y 的分布律为数学期望和方差电子科技大学
Y 0 0.05 0.2 2
P{Y = yi } 0.5001 0.3589 0.1282 0.0128
假设进行了 100人次的赌博,则他可能需付出的彩金为,
0× 0.5001× 100+0.05× 0.3589× 100
+0.2× 0.1282× 100+2× 0.0128× 100
=1.7945+2.564+2.56=6.9185(元 )
平均每人次付出的彩金为数学期望和方差电子科技大学
4
1
}{
i
ii yYPy
0.06919(元 )=0× 0.5001+0.05× 0.3589+0.2
× 0.1282 +2× 0.0128
是随机变量的所有可能取值按概率大小的加权平均值,
加权平均
(0+0.05+0.2+2)/4=0.5625(元 )
与彩金的算术平均比较，哪个更合理？
数学期望和方差电子科技大学
,.,,,)2,1,0(,!}{ kk kekP证明
1 )!1(
1
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ke
k
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k
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1.ξ~P(l),则 E(ξ) = l;
数学期望和方差电子科技大学
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证明
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1
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1111
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n
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2,ξ~B(n,p),则 E(ξ) = np;
可利用二项分布的可加性证明,
数学期望和方差电子科技大学
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x
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数学期望和方差电子科技大学
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位置参数
数学期望和方差电子科技大学
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其它
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例 6 指数分布
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数学期望和方差电子科技大学
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10ln
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数学期望和方差电子科技大学谁的技术水平发挥的更高？
已知甲乙两名射击运动员的历史记录为：
00.050.050.10.10.20.5P(X=xi)
05678910X
00.10.10.030.020.050.7P(Y=yk)
05678910Y
甲乙
E(X)=10× 0.5+9× 0.2+8× 0.1+7× 0.1+6× 0.05
+ 5× 0.05=8.85(环 ）
E(Y)=10× 0.7+9× 0.05+8× 0.02+7× 0.03+6
× 0.1+ 5 × 0.1=8.92(环 ）
数学期望和方差电子科技大学从 平均水平 来看，乙的技术水平略高些,
考虑其平方偏差值的平均值甲：
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10
5
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乙,
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说明甲的技术水平发挥的更稳定一些,?
数学期望和方差电子科技大学
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数学期望和方差电子科技大学
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时达到最小当函数证明例
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,02)( )( Exx?又随机变量 ξ关于自身数学期望的偏离程度比相对其它任何值的偏离程度都小,?
.)()( 处取到最小值在故 Exx?
数学期望和方差电子科技大学练习,设一次试验成功的概率为 p,进行 100次独立重复试验，当 p = 时，成功次数的标准差的值最大，其值为,
),100(~ pB,则设成功次数为解
,)1(10)1(100)()( ppppD
,10),1()( pppp引入函数
1/2
5
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§ 3.1— 3.2 数学期望、方差与矩
§ 3.3-3.4 多维随机变量的数字特征
§ 3.6 多 维正态随机变量
§ 3.5 条件数学期望数学期望和方差电子科技大学用概率分布描述随机变量的全面情况,但常常遇到无法确定随机变量的全部取值的统计规律性,或者根据实际问题的需要,只须给出随机变量的某些特征。
在本章,从数值的角度定义随机变量的统计特征,称为 随机变量的数字特征,
数学期望和方差电子科技大学
§ 3.1 数学期望与方差定义 3.1.1 设 ξ 是离散型随机变量,其分布律为
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引 例一,随机变量的数学期望则称若
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1
均值的数学期望为
i
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注 1 随机变量的数学期望是它所有可能取值的加权平均值,是一个数,
定义中要求条件无穷级数数学期望和方差电子科技大学绝对收敛,保证 数学期望有唯一的数值,
同样,对连续型随机变量的无穷广义积分要求绝对收敛也出于相同的考虑。
如果绝对收敛不能得到满足,称随机变量的数学期望不存在,
P195例 3.1.13
柯西分布数学期望和方差电子科技大学证 明证 明例 5.均匀分布
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例 1.ξ~P(l),则 E(ξ) = l; 证 明例 2,ξ~B(n,p),则 E(ξ) = np;
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平均值不能反映变量取值的其它特点,例如取值的范围、集中程度等,
现引进随机变量的 方差 描述随机变量取值的离散程度,引 例数学期望和方差电子科技大学定义 3.1.2 设 ξ 是离散型随机变量,其分布律为
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3,ξ~N(μ,σ 2 ),则 E(ξ) = μ ; D(ξ) =? 2
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6.指数分布
1)()( DE
5.均匀分布 E(ξ)=(b+a)/2,D(ξ)=(b－ a)2/12
例 3.1.1 练 习方差是随机变量 ξ关于所有值中偏离程度的最小值！
数学期望和方差电子科技大学方差刻划了 随机变量 ξ围绕其数学期望的偏离程度！
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Ex.1 摸彩赌博 问题庄家付出的彩金 Y 的分布律为数学期望和方差电子科技大学
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假设进行了 100人次的赌博,则他可能需付出的彩金为,
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是随机变量的所有可能取值按概率大小的加权平均值,
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与彩金的算术平均比较，哪个更合理？
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00.050.050.10.10.20.5P(X=xi)
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考虑其平方偏差值的平均值甲：
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,)1(10)1(100)()( ppppD
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1/2
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.5110 ）（）（故 pp
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