电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
例子定义 2.1.4 设随机变量 ξ的分布函数为 F( x ),
若存在非负函数 f ( x ),对于任意实数 x,均有称随机变量 ξ有 (绝对 )连续型 分布,称函数 f
( x ) 为 ξ 的 密度函数,
x dttfxF )()(
射击试验 仪器寿命问题
§ 2.1 随机变量的直观意义与定义五、连续型随机变量与密度函数电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
注 连续型随机变量 ξ的分布函数 F(x)是 绝对连续函数,P98
另一定义 若存在非负可积函数 f(x),x∈ R，
ba dxxfbaP )(}{?
称随机变量 ξ有连续型分布,P97
dxxf )(
使随机变量 ξ 取值于任一区间 (a,b)的概率可表示为电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
)(,),(}{ xfbabaP 则上的质量理解为若将
.可理解为质量密度
a b
注 (1)ξ是连续型随机变量，则对任意实数
x0∈ R,有
P{ξ= x0 } =0
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
有当证,0 x
}{}{ xxxx
}{}{0 xxxPxP
)()( xFxxF
令?x→ 0,由 F(x)的连续性有
0)()(}{0 xFxxFxP?
故 P{ξ= x } = 0.
（ 2） P( f ) = 0,但是其逆不真,
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
概率密度函数的性质;0)()1(?xf
1)()2(
dtxf
概率曲线下总面积为 1
若函数 f (x)满足上述 (1)和 (2),则它必是某个概率空间上连续型随机变量的概率密度,
}{}{)3( 2121 xxPxxP
}{}{ 2121 xxPxxP
}{}{}{ 22121 xxxxx如电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
(4) 若 f ( x )在点 x 处连续,则有
),()( xfdx xdF?
).(])([)( xfdttfdx xdF x
因性质的应用实例概率密度判定函数参数确定概率的计算电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
(1) 均匀分布设随机变量 ξ的密度函数为称随机变量 ξ在区间 (a,b ) 上服从 均匀分布,
记为 ξ~ U( a,b ).
.,0;,
1
)(
其他
bxa
abxf
六、常用连续型分布特点 1 随机变量 ξ概率为 1在 (a,b ) 上取值；
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
特点 2 随机变量 ξ落在 (a,b ) 的子区间的概率与位置无关，仅与长度成正比,
o a b
即对于 ( c,c + l ) (a,b ),有∪
lcc dxablccP 1}{? ab
l
c d c+l d+l
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
应用 (1) 大量试验服从均匀分布 ;
(2) 是计算机摸拟的基础,
例如 参见例子设随机变量 ξ的概率密度函数为
j( x; a,s2 ) = Rxe ax,
2
1 2
2
2
)(
s
s?
(2) 正态分布电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
其中 a,s ( s? 0)是常数,则称随机变量 ξ服从参数为 a,s2 的 正态分布 (高斯 ),记为 ξ~ N(a,
s2 )
特别当 a? 0,s? 1时,其概率密度为
Rx ∈,j( x ) = j( x; 0,1 ) =
称随机变量 ξ服从 标准正态分布,即 ξ~ N(0,1).
2
2
2
1 x
e
注 可证明 是密度函数 (P101).j( x; a,s2 )
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
(2)曲线关于直线 x = a 对称,即对任意实数 x 有
j(a － x; a,s 2 ) = j(a+ x; a,s 2 )
曲线下直线两侧的面积各为 1/2,并且
P{a–x < ξ≤ a}
= P{a <ξ≤ a + x}
μ
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
正态分布密度曲线的特征,
即概率曲线下总面积为 1.
1),;()1( 2
dxax sj
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
σ较小
σ较大
m
(3)曲线 x = a 处取得最大值,固定 a,
s2 越大，曲线越趋于平坦,?s 2
1
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
1,若 ξ～ N(2,σ2),且 P{2＜ ξ＜ 4}=0.3，
则 P{0＜ ξ}=,
2,若 ξ～ N(?,σ2),且 P{3＜ ξ}=P{ξ＜ 1}
则?=？
正态分布概率的计算若随机变量 ξ~ N( m,s2 ),其分布函数记为
Rx ∈,
2
1 2
2
2
)(
x
t
dte s
m
s?
sm ),;( 2x?
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
若随机变量 ξ服从 标准正态分布,其分布函数记为
(－ x ) = 1－?( x ) 查表
Rxdtex
x
x
,
2
1
)( 2
2
P381的附表 3,标准正态分布表,给出了
x≥0的标准正态分布函数值,
（ 1） 若随机变量 ξ~ N( 0,1 ),则
P{ x1 ≤ξ< x2 } =?(x2 ) －?(x1 )
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
（ 2） 若随机变量 ξ~ N( m,s2 ),则证明
( x; m,s2 ) =
x
t
dte
2
2
2
)(
2
1 s
m
s?
)()(}{ 1221 s ms m xxxxP
dt = s d y
s
m ty
)(
2
1 2
2
s
m
s
m?
x
dye
yx
故电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
参见例子 正态分布概率计算
),;(),;(}{ 212221 smsm? xxxxP
)()( 12
s
m
s
m xx
分位数电池可靠性估计电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
(3) 韦布尔分布韦布尔分布的物理模型设随机变量 ξ的密度函数为
.,,0;,)(
)(
0
)(
1
0
n
nn
n
x
xex
x
m
xf
x
x
m
m
其中参数 m>0,x0>0,称 ξ服从 韦布尔分布,
分布中参数的几何意义见 P109.
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
n个同类型环构成链的两端受到大小相等，
方向相反力 x的作用
xx
用 ξ表示单环能承受的最大拉力，则整条链失效的概率为
}{ xP
,}{1 )( xgexP
假定单环不被拉断的概率满足
.,0)( 且严格单增其中?xg
合理吗？
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
设环的最大承受力为?，不妨取
.,0;,
)(
)(
0
n
n
n
x
x
x
x
xg
m
惟一吗？
可得
.,0;,11}{ 0)(
)(
n
n?
n
x
xeexP
x
x m
xg
其中 m,x0是常数,
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
.,,0;,)(
)()(
0
)(
1
0
n
nn
n
x
xex
x
m
xFxf
x
x
m
m
从而思考 该模型还可以描述哪些物理现象？
(4) 指数分布指数分布是韦布尔分布的特例，常用来描述各类系统的寿命，排队系统中的等待时间、服务时间等随机变量,
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
称随机变量 ξ服从参数为 l 的 指数分布,
( l? 0)
特点 指数分布具有 无后效性,即
P{ X > t + s | X > t } = P{ X > s }
.,0;0,
)(
其他
xe
xf
xll
参见例子设随机变量 ξ 的概率密度函数为仪器寿命问题电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
(5) Γ分布设随机变量 ξ的概率密度函数为
.,0;0,
)1(
1
)( 1
其他
xex
xf
x
其中 α>－ 1,β>0,称 ξ服从 Γ分布,记为
],[~
Γ函数定义如下电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
dxex x
0
1)(
dyey y 2
0
122
含参积分含参积分
Γ函数满足
),1()1()(,1)1(
00
2
1
2
2)
2
1( dxedxex xx
)!1()1()1()( nnnn?
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
(6) 对数正态分布 (自学 )，注意其物理模型,
七、随机变量的分类离散型,F(x)是阶梯形跳跃函数；
随机变量按照分布函数 F(x)进行分类,
连续型,F(x)是绝对连续函数；
P103~107内容放第 4章介绍,
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
因单调函数一定是有界变差函数，故分布函数可进行以下分解：
)()()()( xsxrxxF j
其中是绝对连续函数；)( xj
是阶梯形跳跃函数；)( xs
是奇异函数；)( xr
P119例 2.1.27所给分布函数既非连续型又非离散型,
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
例 1 一个靶子是半径为 2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，
射击均能中靶，用 ξ 表示弹着点与圆心的距离。
解,ξ的分布函数为
X
x
考虑函数 f ( x )= x/2,0 < x < 2;0,其它
.2,1;20,
4;0,0
)(
2
x
x
x
x
xF
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
f (x)的变上限积分为
x1O 2
F(x)
1
x1O 2
f (x)
1
0,x < 0；
#
x dttf )( ;20,420
2
xxdttx
20,2,12 xdtt
)( xF?
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
例 2 使用了 t 小时的电子管在以后的 Δt 小时内损坏的概率等于 λΔt + o(Δt ),其中 λ > 0 为一常数,试写出电子管的寿命 T 的分布函数,
解：由题意当 t≤ 0 时,F(t) = P{ T＜ t } = 0。
当 t ＞ 0 时,设 Δt > 0,由题设条件有
P{ T＜ t + Δt |T > t } = λΔt + o(Δt ),
F( t +?t ) = P{T ＜ t +?t }
= P{T ＜ t } + P{t ≤ T ＜ t +?t }
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
从而有
F = F( t +?t ) － F( t ) = P(t ≤ T ＜ t +?t )
t t+Δt
))[
又因为
{ t ≤ T ＜ t +?t }={ T ≥ t }{ T ＜ t +?t }
t t+Δt
)[
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
F = P{T ≥ t }P{T ＜ t +?t | T ≥ t }
=[1 － F(t )][l?t + o(?t )]
求解方程得分布函数令?t →0 时，得到关于函数 F(t )的微分方程
.0)0(
) ] ;(1[
)(
F
tF
dt
tdF
l
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
是函数的变上限积分,
#
.0,0;0,
)(
t
te
tf
tll
.0,0;0,1
)(
t
te
tF
tl
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
例 3 设证 (1) j( x ) > 0,x ∈ R 显然成立，
证明 j( x ) 是概率密度函数,
dyedxeI
yx
222
22
dxeI
x
2
2
令
Rxex
x
,
2
1
)( 2
2
j
,1)()2( dxxj
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
x = r cosq
y = r sinq
所以
#
d x d ye
yx
2
22
q
2
0 0
2
2
r d red
r
2][2 02
2
r
e?2?I
dxedxx
x
2
2
2
1
)(
j
.12
2
1
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
例 4 设随机变量 ξ 的概率密度函数为解 因试确定常数 k,
.,0;,)(
q
x
xkexf
x
dxkedttf
x
q)(1
q
q q
q
q
xx
kexdek )(
q
q ke q
q
ek 1? #
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
例 5 已知随机变量 ξ的概率密度函数为解
η表示对进行 ξ三次独立重复观测中,事件 {ξ
≤? } 出现的次数,求 P{ η= 2 } =?
所以? ~ B( 3,1/4 ),从而
#
.,0;10,2
)(
其他
xx
xf
4
12)(}
2
1{ 21
0
2
1
x d xdxxfP?
.649)43()41(}2{ 223 CP?
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
例 6 设随机变量 ξ~ U( 0,5 ),求方程 4 r2 + 4ξ r
+ξ+ 2 = 0 有实根的概率 p,
解,p = P{ ( 4 X )2 – 4× 4 ( X+ 2 ) ≥ 0 }
= P{ξ 2 – (ξ+ 2)≥0 } = P{ (ξ– 2 )(ξ+ 1 )≥0 }
#
= P({ξ≤ － 1 } ∪ {ξ≥ 2 })
= P{ξ≤ － 1 } + P{ξ≥ 2 }
= P{ 2 ≤ξ≤ 5 }
5 － 2
5=
3
5=
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
例 7.某电子元件发生故障则不可修复，它的寿命 ξ服从 参数为 λ=1/2000的指数分布,它工作了 1000小时后 能再工作 1000小时的概率为多少？
解 P{ξ≥2000︱ ξ≥1000 }= P{ξ ≥1000 }
=1－ P{ξ＜ 1000}=1－ F(1000)
=1－ [1－ e－ 1000/2000]=e－
1/2.其中
#
.0,0;0,1
)(
x
xe
xF
xl
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
例 8 已知随机变量 ξ~ N( m,s 2 ),证明
}{}{ xxPxP m?mm? 1)(2
s
x
)()(}{ s mms mmm?m xxxxP证
)()( ss xx
)](1[)( ss xx
1)(2 sx
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
特别地，有
#
P{| ξ?m | < s } = 2?( 1 )?1 = 0.6826
P{| ξ?m | < 2s } = 2?(2 )?1 = 0.9544
P{| ξ?m | < 3s } = 2?( 3 )?1 = 0.9974
表明 ξ以很大的概率密集在 x = m 的附近,
3σ原则电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
分位数 ξ ~ N( 0,1),若实数 u?使
P{ ξ > u? } =?
则称 u?为标准正态分布的对应于? 的 上侧分位数 。
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
例 9 设 ξ ~ N( 10,22 ),求?使
P{ | ξ – 10 | <? } 解
#
9.0}10{P
9.01)2(2
95.0)2(
645.1
2
29.3
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
例 10 某种电池的寿命是 ξ小时,ξ ~ N( 300,352 )，
计算
(1) p1 = P{ξ > 335 } = 1 － P{ξ≤ 335 }解
= 1 － 0.8413 = 0.1587
(1) 电池寿命在 335小时以上的概率 p1?
(2) 求允许时限 x,使电池寿命在
(300 – x,300 + x)内的概率不小于 0.9.
)1(1)35 300335(1
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
(2) 0.9 ≤ P{ 300 – x < ξ< 300 + x }
x≥57.75
#
1)35(2 x
95.0)35( x
645.135?x
例子定义 2.1.4 设随机变量 ξ的分布函数为 F( x ),
若存在非负函数 f ( x ),对于任意实数 x,均有称随机变量 ξ有 (绝对 )连续型 分布,称函数 f
( x ) 为 ξ 的 密度函数,
x dttfxF )()(
射击试验 仪器寿命问题
§ 2.1 随机变量的直观意义与定义五、连续型随机变量与密度函数电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
注 连续型随机变量 ξ的分布函数 F(x)是 绝对连续函数,P98
另一定义 若存在非负可积函数 f(x),x∈ R，
ba dxxfbaP )(}{?
称随机变量 ξ有连续型分布,P97
dxxf )(
使随机变量 ξ 取值于任一区间 (a,b)的概率可表示为电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
)(,),(}{ xfbabaP 则上的质量理解为若将
.可理解为质量密度
a b
注 (1)ξ是连续型随机变量，则对任意实数
x0∈ R,有
P{ξ= x0 } =0
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
有当证,0 x
}{}{ xxxx
}{}{0 xxxPxP
)()( xFxxF
令?x→ 0,由 F(x)的连续性有
0)()(}{0 xFxxFxP?
故 P{ξ= x } = 0.
（ 2） P( f ) = 0,但是其逆不真,
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
概率密度函数的性质;0)()1(?xf
1)()2(
dtxf
概率曲线下总面积为 1
若函数 f (x)满足上述 (1)和 (2),则它必是某个概率空间上连续型随机变量的概率密度,
}{}{)3( 2121 xxPxxP
}{}{ 2121 xxPxxP
}{}{}{ 22121 xxxxx如电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
(4) 若 f ( x )在点 x 处连续,则有
),()( xfdx xdF?
).(])([)( xfdttfdx xdF x
因性质的应用实例概率密度判定函数参数确定概率的计算电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
(1) 均匀分布设随机变量 ξ的密度函数为称随机变量 ξ在区间 (a,b ) 上服从 均匀分布,
记为 ξ~ U( a,b ).
.,0;,
1
)(
其他
bxa
abxf
六、常用连续型分布特点 1 随机变量 ξ概率为 1在 (a,b ) 上取值；
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
特点 2 随机变量 ξ落在 (a,b ) 的子区间的概率与位置无关，仅与长度成正比,
o a b
即对于 ( c,c + l ) (a,b ),有∪
lcc dxablccP 1}{? ab
l
c d c+l d+l
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
应用 (1) 大量试验服从均匀分布 ;
(2) 是计算机摸拟的基础,
例如 参见例子设随机变量 ξ的概率密度函数为
j( x; a,s2 ) = Rxe ax,
2
1 2
2
2
)(
s
s?
(2) 正态分布电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
其中 a,s ( s? 0)是常数,则称随机变量 ξ服从参数为 a,s2 的 正态分布 (高斯 ),记为 ξ~ N(a,
s2 )
特别当 a? 0,s? 1时,其概率密度为
Rx ∈,j( x ) = j( x; 0,1 ) =
称随机变量 ξ服从 标准正态分布,即 ξ~ N(0,1).
2
2
2
1 x
e
注 可证明 是密度函数 (P101).j( x; a,s2 )
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
(2)曲线关于直线 x = a 对称,即对任意实数 x 有
j(a － x; a,s 2 ) = j(a+ x; a,s 2 )
曲线下直线两侧的面积各为 1/2,并且
P{a–x < ξ≤ a}
= P{a <ξ≤ a + x}
μ
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
正态分布密度曲线的特征,
即概率曲线下总面积为 1.
1),;()1( 2
dxax sj
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
σ较小
σ较大
m
(3)曲线 x = a 处取得最大值,固定 a,
s2 越大，曲线越趋于平坦,?s 2
1
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
1,若 ξ～ N(2,σ2),且 P{2＜ ξ＜ 4}=0.3，
则 P{0＜ ξ}=,
2,若 ξ～ N(?,σ2),且 P{3＜ ξ}=P{ξ＜ 1}
则?=？
正态分布概率的计算若随机变量 ξ~ N( m,s2 ),其分布函数记为
Rx ∈,
2
1 2
2
2
)(
x
t
dte s
m
s?
sm ),;( 2x?
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
若随机变量 ξ服从 标准正态分布,其分布函数记为
(－ x ) = 1－?( x ) 查表
Rxdtex
x
x
,
2
1
)( 2
2
P381的附表 3,标准正态分布表,给出了
x≥0的标准正态分布函数值,
（ 1） 若随机变量 ξ~ N( 0,1 ),则
P{ x1 ≤ξ< x2 } =?(x2 ) －?(x1 )
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
（ 2） 若随机变量 ξ~ N( m,s2 ),则证明
( x; m,s2 ) =
x
t
dte
2
2
2
)(
2
1 s
m
s?
)()(}{ 1221 s ms m xxxxP
dt = s d y
s
m ty
)(
2
1 2
2
s
m
s
m?
x
dye
yx
故电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
参见例子 正态分布概率计算
),;(),;(}{ 212221 smsm? xxxxP
)()( 12
s
m
s
m xx
分位数电池可靠性估计电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
(3) 韦布尔分布韦布尔分布的物理模型设随机变量 ξ的密度函数为
.,,0;,)(
)(
0
)(
1
0
n
nn
n
x
xex
x
m
xf
x
x
m
m
其中参数 m>0,x0>0,称 ξ服从 韦布尔分布,
分布中参数的几何意义见 P109.
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
n个同类型环构成链的两端受到大小相等，
方向相反力 x的作用
xx
用 ξ表示单环能承受的最大拉力，则整条链失效的概率为
}{ xP
,}{1 )( xgexP
假定单环不被拉断的概率满足
.,0)( 且严格单增其中?xg
合理吗？
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
设环的最大承受力为?，不妨取
.,0;,
)(
)(
0
n
n
n
x
x
x
x
xg
m
惟一吗？
可得
.,0;,11}{ 0)(
)(
n
n?
n
x
xeexP
x
x m
xg
其中 m,x0是常数,
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
.,,0;,)(
)()(
0
)(
1
0
n
nn
n
x
xex
x
m
xFxf
x
x
m
m
从而思考 该模型还可以描述哪些物理现象？
(4) 指数分布指数分布是韦布尔分布的特例，常用来描述各类系统的寿命，排队系统中的等待时间、服务时间等随机变量,
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
称随机变量 ξ服从参数为 l 的 指数分布,
( l? 0)
特点 指数分布具有 无后效性,即
P{ X > t + s | X > t } = P{ X > s }
.,0;0,
)(
其他
xe
xf
xll
参见例子设随机变量 ξ 的概率密度函数为仪器寿命问题电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
(5) Γ分布设随机变量 ξ的概率密度函数为
.,0;0,
)1(
1
)( 1
其他
xex
xf
x
其中 α>－ 1,β>0,称 ξ服从 Γ分布,记为
],[~
Γ函数定义如下电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
dxex x
0
1)(
dyey y 2
0
122
含参积分含参积分
Γ函数满足
),1()1()(,1)1(
00
2
1
2
2)
2
1( dxedxex xx
)!1()1()1()( nnnn?
电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
(6) 对数正态分布 (自学 )，注意其物理模型,
七、随机变量的分类离散型,F(x)是阶梯形跳跃函数；
随机变量按照分布函数 F(x)进行分类,
连续型,F(x)是绝对连续函数；
P103~107内容放第 4章介绍,
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因单调函数一定是有界变差函数，故分布函数可进行以下分解：
)()()()( xsxrxxF j
其中是绝对连续函数；)( xj
是阶梯形跳跃函数；)( xs
是奇异函数；)( xr
P119例 2.1.27所给分布函数既非连续型又非离散型,
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例 1 一个靶子是半径为 2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，
射击均能中靶，用 ξ 表示弹着点与圆心的距离。
解,ξ的分布函数为
X
x
考虑函数 f ( x )= x/2,0 < x < 2;0,其它
.2,1;20,
4;0,0
)(
2
x
x
x
x
xF
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f (x)的变上限积分为
x1O 2
F(x)
1
x1O 2
f (x)
1
0,x < 0；
#
x dttf )( ;20,420
2
xxdttx
20,2,12 xdtt
)( xF?
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例 2 使用了 t 小时的电子管在以后的 Δt 小时内损坏的概率等于 λΔt + o(Δt ),其中 λ > 0 为一常数,试写出电子管的寿命 T 的分布函数,
解：由题意当 t≤ 0 时,F(t) = P{ T＜ t } = 0。
当 t ＞ 0 时,设 Δt > 0,由题设条件有
P{ T＜ t + Δt |T > t } = λΔt + o(Δt ),
F( t +?t ) = P{T ＜ t +?t }
= P{T ＜ t } + P{t ≤ T ＜ t +?t }
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从而有
F = F( t +?t ) － F( t ) = P(t ≤ T ＜ t +?t )
t t+Δt
))[
又因为
{ t ≤ T ＜ t +?t }={ T ≥ t }{ T ＜ t +?t }
t t+Δt
)[
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F = P{T ≥ t }P{T ＜ t +?t | T ≥ t }
=[1 － F(t )][l?t + o(?t )]
求解方程得分布函数令?t →0 时，得到关于函数 F(t )的微分方程
.0)0(
) ] ;(1[
)(
F
tF
dt
tdF
l
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是函数的变上限积分,
#
.0,0;0,
)(
t
te
tf
tll
.0,0;0,1
)(
t
te
tF
tl
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例 3 设证 (1) j( x ) > 0,x ∈ R 显然成立，
证明 j( x ) 是概率密度函数,
dyedxeI
yx
222
22
dxeI
x
2
2
令
Rxex
x
,
2
1
)( 2
2
j
,1)()2( dxxj
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x = r cosq
y = r sinq
所以
#
d x d ye
yx
2
22
q
2
0 0
2
2
r d red
r
2][2 02
2
r
e?2?I
dxedxx
x
2
2
2
1
)(
j
.12
2
1
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例 4 设随机变量 ξ 的概率密度函数为解 因试确定常数 k,
.,0;,)(
q
x
xkexf
x
dxkedttf
x
q)(1
q
q q
q
q
xx
kexdek )(
q
q ke q
q
ek 1? #
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例 5 已知随机变量 ξ的概率密度函数为解
η表示对进行 ξ三次独立重复观测中,事件 {ξ
≤? } 出现的次数,求 P{ η= 2 } =?
所以? ~ B( 3,1/4 ),从而
#
.,0;10,2
)(
其他
xx
xf
4
12)(}
2
1{ 21
0
2
1
x d xdxxfP?
.649)43()41(}2{ 223 CP?
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例 6 设随机变量 ξ~ U( 0,5 ),求方程 4 r2 + 4ξ r
+ξ+ 2 = 0 有实根的概率 p,
解,p = P{ ( 4 X )2 – 4× 4 ( X+ 2 ) ≥ 0 }
= P{ξ 2 – (ξ+ 2)≥0 } = P{ (ξ– 2 )(ξ+ 1 )≥0 }
#
= P({ξ≤ － 1 } ∪ {ξ≥ 2 })
= P{ξ≤ － 1 } + P{ξ≥ 2 }
= P{ 2 ≤ξ≤ 5 }
5 － 2
5=
3
5=
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例 7.某电子元件发生故障则不可修复，它的寿命 ξ服从 参数为 λ=1/2000的指数分布,它工作了 1000小时后 能再工作 1000小时的概率为多少？
解 P{ξ≥2000︱ ξ≥1000 }= P{ξ ≥1000 }
=1－ P{ξ＜ 1000}=1－ F(1000)
=1－ [1－ e－ 1000/2000]=e－
1/2.其中
#
.0,0;0,1
)(
x
xe
xF
xl
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例 8 已知随机变量 ξ~ N( m,s 2 ),证明
}{}{ xxPxP m?mm? 1)(2
s
x
)()(}{ s mms mmm?m xxxxP证
)()( ss xx
)](1[)( ss xx
1)(2 sx
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特别地，有
#
P{| ξ?m | < s } = 2?( 1 )?1 = 0.6826
P{| ξ?m | < 2s } = 2?(2 )?1 = 0.9544
P{| ξ?m | < 3s } = 2?( 3 )?1 = 0.9974
表明 ξ以很大的概率密集在 x = m 的附近,
3σ原则电子科技大学连续型随机变量 09.7.27
分位数 ξ ~ N( 0,1),若实数 u?使
P{ ξ > u? } =?
则称 u?为标准正态分布的对应于? 的 上侧分位数 。
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例 9 设 ξ ~ N( 10,22 ),求?使
P{ | ξ – 10 | <? } 解
#
9.0}10{P
9.01)2(2
95.0)2(
645.1
2
29.3
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例 10 某种电池的寿命是 ξ小时,ξ ~ N( 300,352 )，
计算
(1) p1 = P{ξ > 335 } = 1 － P{ξ≤ 335 }解
= 1 － 0.8413 = 0.1587
(1) 电池寿命在 335小时以上的概率 p1?
(2) 求允许时限 x,使电池寿命在
(300 – x,300 + x)内的概率不小于 0.9.
)1(1)35 300335(1
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(2) 0.9 ≤ P{ 300 – x < ξ< 300 + x }
x≥57.75
#
1)35(2 x
95.0)35( x
645.135?x
