电子科技大学条件分布率设 (ξ,η)的联合分布律为,
,....2,1,),(},{ jijipyxP ji
若 P {η=yj}>0,则在事件 {η=yj} 发生的条件下事件 {ξ=xi} i= 1,2,.,发生的 条件概率 为
( * ),....2,1}{
.
i
p
p
yxP
j
ij
ji
二、条件分布电子科技大学条件分布率
,.,,.2,10}{)1 iyxP ji
此概率数列具有分布律的性质,
1}{)2
1
i
ji yxP
称 (*)为在 η=yj的条件下,随机变量 ξ 的 条件分布律,
(*)式可以等价地改写为
},{}{},{ jijji yxPyPyxP
,.,,,),2,1,(?ji
现实乘法公式电子科技大学条件分布率射击问题 矿山事故问题思考 定义连续性随机变量的条件分布会遇到什么问题？
定义 2.3.3 给定 x?R,对任意?> 0,β > 0有
P{ x -α?η < x+β }>0
}{lim
0,
-
xxyP
且对任意 y?R,极限例电子科技大学条件分布率存在,称此极限函数为 在 ξ= x的条件下,随机变量 ξ的条件分布函数,记作 Fη|ξ(y |x).
),(),(
),(),(lim
0,?--
--
xFxF
yxFyxF
若 (ξ,η)是连续型随机变量,且满足 f(x,y),
fξ(x) 在 (x,y)附近连续,且 fξ(x) >0 则有
)(
),(
),(
),(
)(
xf
dvvxf
dvvxf
dvvxf
yxF
yy
-
-
-
y是自变量
x是固定值电子科技大学条件分布率
)(
),()()(
xf
yxfxyFxyf
称为 在 ξ=x 的条件下随机变量 η的条件概率密度,
同理在 η=y 的条件下随机变量 ξ 的条件概率密度为
)(
),()()(
yf
yxfyxFyxf
条件分布与一般分布具有几乎相同的概率性质,
例如：
-? x dvxvfxyF )()(
电子科技大学条件分布率在,ξ=c”的条件下，随机事件 {a ≤η＜ b} 的条件概率为条件密度例
1)(- dvxvf
条件概率计算问题 你能否给出随机变量 ξ 与 η 相互独立的另一等价条件？
ba dvcvfcbaP )(}{
例电子科技大学条件分布率
),( xFyxF ）（相互独立与对所有 (x,y)∈ R2成立,
},{}{ iji xPyxP 相互独立与
.,）成立对所有（ ji yx
)()( xfyxf相互独立与
.几乎处处成立电子科技大学条件分布率
P{ξ= i,η=j}= p2(1－ p) j－ 2,
( 1≤i＜ j＝ 2,3,…)
解
1 2 … i … j
例 1 某射手进行射击，击中目标两次则停止射击,每次的命中率为 p (0＜ p＜ 1),令 ξ 表示 第一次命中目标 的射击次数，令 ξ表示 第二次命中目标 的射击次数，求条件分布律 P{ξ=i η=j }.
电子科技大学条件分布率当 j＝ 2,3,… 时，条件分布律存在
-
-
-
-
1
1
22
1
1
)1(},{}{
j
i
j
j
i
ppjiPjP
),3,2(,)1()1( 22--? - jppj j
}{/},{}{ jPjiPjiP
2222 )1()1/()1( -- ---? jj ppjpp
)1,,2,1(,11 -?-? jij?
电子科技大学条件分布率例 2 某矿山一年内发生的事故总数 ξ～ P(λ),一个事故是致命的概率为 p (0＜ p＜ 1),设一年内发生致命事故的次数为 η,试写出 η的分布律,
解 已知在发生 k 次事故的条件下 (即 {ξ=k}已发生 ),η
的条件分布律为
),2,1,0(,
!
}{ - ke
k
kP
k
),,2,1,0(,)1(}{ kmppCkmP mkmmk- -
电子科技大学条件分布率故 (ξ,η ) 的联合分布律为
}{}{},{ kmPkPmkP
),2,10(,)1(
!
- -?- kmppCe
k
mkmm
k
k
η的分布律为
-- -
mk
mkmm
k
k
ppCe
k
mP )1(
!
}{
乘法公式电子科技大学条件分布率
)1(
!
)( pm ee
m
p --
),2,1,0(,
!
)(- me
m
p pm
-
-
-
-
mk
mkm
mk
pe
m
p
)!(
)]1([
!
)(
电子科技大学条件分布率例 3 设随机变量 (ξ,η)在 D上服从均匀分布试求 fξ︱ η(x︱ y) 和 fη︱ ξ( y︱ x),
解
.),(0
,),(,1
),(
Dyx
Dyx
yxf
}120,10:),{( yxxyxD
-? dyyxfxf ),()(?
-?
-
.,0;10),1(2)1(20
其它
x xxdy
x
y
1
1
f(x,y)的非零区域2
0
x＋ — =12y
电子科技大学条件分布率
x
y
1
1
f(x,y)的非零区域2
0
x＋ — =12y
-? dxyxfyf ),()(?
-?
-
.,0;20,
2
1210
其它
y
y
y
dx
当 0＜ x＜ 1 时
)(
),()(
xf
yxfxyf
-
-?
.,0
);1(20,
)1(2
1
其它
xy
x
电子科技大学条件分布率当 0＜ y＜ 2 时
-
-
.,0;
2
10,
2
1
1
)(
),(
)(
其它
y
x
y
yf
yxf
yxf
电子科技大学条件分布率例 4 设（ ξ,η） 的联合概率密度为
-
.,0
);,1m i n ()1,0m a x (,20,1
),(
其他
xyxx
yxf
并计算概率试求 ),( xyf 和}5.05.00{P
}.2.15.00{P
分析 解题困难
2）求条件概率,
1） 确定条件概率密度的存在区间,
0 x
y
1 2
1
y=x－ 1
y=x
电子科技大学条件分布率
-? dyyxfxf ),()(?
x
xxdy
0;10,
0 x
y
1 2
1
y=x－ 1
y=x
--?1 1 ;21,2x xxdy
.,0 其他电子科技大学条件分布率
,0)(10 xfx?时，当
)(
),()(
xf
yxfxyf
0 x
y
1 2
1
y=x－ 1
y=x
其它。,0;0,
1
xy
x
电子科技大学条件分布率
,02)(20?- xxfx?时，当
-
-
.,0;11,
2
1
)(
),(
)(
其它
yx
x
xf
yxf
xyf
.)(,0)()2,0( 不存在故时，当 xyfxfx
0 x
y
1 2
1
y=x－ 1
y=x
电子科技大学条件分布率
5.00 )5.0(}5.05.00{ dyyfP
5.00,15.0 1 dy
5.00 )2.1(}2.15.00{ dyyfP
5.0 2.0,3 7 5.08.0 1 dy
注意下限的确定?
电子科技大学条件分布率例,设随机变量 (ξ,η ) 具有如下联合分布律,
ξ
0
1
η 1 2 3 4
试求 η = 2 时,ξ的条件分布律。
电子科技大学条件分布率解 ξ的可能取值是 0,1; 当 η = 2 时,ξ 的条件分布,即是在条件 {η = 2}下计算 ξ分别取 0,1
的概率
P{ ξ= 0 |η = 2} 和 P{ ξ= 1 |η = 2}
由条件概率计算公式,有
}2{
}2,0{}20{
P
PP
}2{
}2,1{}21{
P
PP
电子科技大学条件分布率于是得到 η= 2 时,ξ的条件分布为
P{ ξ= 0 |η = 2} = =
P{ ξ= 1 |η = 2} = =
此外,不难算出 ξ的无条件分布 (边缘分布 ) 为
P{ ξ= 0} = P{ ξ= 1} =
电子科技大学条件分布率例 5 设随机变量 ξ~U(0,1),当 ξ=x(0<x<1)时，
η在 (1,x)上服从均匀分布，求 (ξ,η )的联合概率密度和关于 η的边缘概率密度,
解 ξ的概率密度为
.,0;10,1
)(
其他
x
xf
当 ξ=x的条件下,η的条件概率密度为
)10(
.,0;1,
1
1
)(
-? x
yx
xxyf
其他
电子科技大学条件分布率
(ξ,η)的联合概率密度是
-
.,0;10,
1
1
)()(),(
其他
yx
xxyfxfyxf
1
1
y=x
-
-
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1
1
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其他
ydx
xdxyxfyf
y
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其他
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若 P {η=yj}>0,则在事件 {η=yj} 发生的条件下事件 {ξ=xi} i= 1,2,.,发生的 条件概率 为
( * ),....2,1}{
.
i
p
p
yxP
j
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ji
二、条件分布电子科技大学条件分布率
,.,,.2,10}{)1 iyxP ji
此概率数列具有分布律的性质,
1}{)2
1
i
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称 (*)为在 η=yj的条件下,随机变量 ξ 的 条件分布律,
(*)式可以等价地改写为
},{}{},{ jijji yxPyPyxP
,.,,,),2,1,(?ji
现实乘法公式电子科技大学条件分布率射击问题 矿山事故问题思考 定义连续性随机变量的条件分布会遇到什么问题？
定义 2.3.3 给定 x?R,对任意?> 0,β > 0有
P{ x -α?η < x+β }>0
}{lim
0,
-
xxyP
且对任意 y?R,极限例电子科技大学条件分布率存在,称此极限函数为 在 ξ= x的条件下,随机变量 ξ的条件分布函数,记作 Fη|ξ(y |x).
),(),(
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0,?--
--
xFxF
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若 (ξ,η)是连续型随机变量,且满足 f(x,y),
fξ(x) 在 (x,y)附近连续,且 fξ(x) >0 则有
)(
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-
-
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y是自变量
x是固定值电子科技大学条件分布率
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称为 在 ξ=x 的条件下随机变量 η的条件概率密度,
同理在 η=y 的条件下随机变量 ξ 的条件概率密度为
)(
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yf
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条件分布与一般分布具有几乎相同的概率性质,
例如：
-? x dvxvfxyF )()(
电子科技大学条件分布率在,ξ=c”的条件下，随机事件 {a ≤η＜ b} 的条件概率为条件密度例
1)(- dvxvf
条件概率计算问题 你能否给出随机变量 ξ 与 η 相互独立的另一等价条件？
ba dvcvfcbaP )(}{
例电子科技大学条件分布率
),( xFyxF ）（相互独立与对所有 (x,y)∈ R2成立,
},{}{ iji xPyxP 相互独立与
.,）成立对所有（ ji yx
)()( xfyxf相互独立与
.几乎处处成立电子科技大学条件分布率
P{ξ= i,η=j}= p2(1－ p) j－ 2,
( 1≤i＜ j＝ 2,3,…)
解
1 2 … i … j
例 1 某射手进行射击，击中目标两次则停止射击,每次的命中率为 p (0＜ p＜ 1),令 ξ 表示 第一次命中目标 的射击次数，令 ξ表示 第二次命中目标 的射击次数，求条件分布律 P{ξ=i η=j }.
电子科技大学条件分布率当 j＝ 2,3,… 时，条件分布律存在
-
-
-
-
1
1
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j
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2222 )1()1/()1( -- ---? jj ppjpp
)1,,2,1(,11 -?-? jij?
电子科技大学条件分布率例 2 某矿山一年内发生的事故总数 ξ～ P(λ),一个事故是致命的概率为 p (0＜ p＜ 1),设一年内发生致命事故的次数为 η,试写出 η的分布律,
解 已知在发生 k 次事故的条件下 (即 {ξ=k}已发生 ),η
的条件分布律为
),2,1,0(,
!
}{ - ke
k
kP
k
),,2,1,0(,)1(}{ kmppCkmP mkmmk- -
电子科技大学条件分布率故 (ξ,η ) 的联合分布律为
}{}{},{ kmPkPmkP
),2,10(,)1(
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k
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k
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-- -
mk
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乘法公式电子科技大学条件分布率
)1(
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电子科技大学条件分布率例 3 设随机变量 (ξ,η)在 D上服从均匀分布试求 fξ︱ η(x︱ y) 和 fη︱ ξ( y︱ x),
解
.),(0
,),(,1
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Dyx
Dyx
yxf
}120,10:),{( yxxyxD
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-
.,0;10),1(2)1(20
其它
x xxdy
x
y
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f(x,y)的非零区域2
0
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电子科技大学条件分布率
x
y
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f(x,y)的非零区域2
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x＋ — =12y
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其它
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电子科技大学条件分布率当 0＜ y＜ 2 时
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电子科技大学条件分布率例 4 设（ ξ,η） 的联合概率密度为
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并计算概率试求 ),( xyf 和}5.05.00{P
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分析 解题困难
2）求条件概率,
1） 确定条件概率密度的存在区间,
0 x
y
1 2
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y=x－ 1
y=x
电子科技大学条件分布率
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y=x－ 1
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电子科技大学条件分布率
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其它
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1 2
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y=x－ 1
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电子科技大学条件分布率
5.00 )5.0(}5.05.00{ dyyfP
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5.00 )2.1(}2.15.00{ dyyfP
5.0 2.0,3 7 5.08.0 1 dy
注意下限的确定?
电子科技大学条件分布率例,设随机变量 (ξ,η ) 具有如下联合分布律,
ξ
0
1
η 1 2 3 4
试求 η = 2 时,ξ的条件分布律。
电子科技大学条件分布率解 ξ的可能取值是 0,1; 当 η = 2 时,ξ 的条件分布,即是在条件 {η = 2}下计算 ξ分别取 0,1
的概率
P{ ξ= 0 |η = 2} 和 P{ ξ= 1 |η = 2}
由条件概率计算公式,有
}2{
}2,0{}20{
P
PP
}2{
}2,1{}21{
P
PP
电子科技大学条件分布率于是得到 η= 2 时,ξ的条件分布为
P{ ξ= 0 |η = 2} = =
P{ ξ= 1 |η = 2} = =
此外,不难算出 ξ的无条件分布 (边缘分布 ) 为
P{ ξ= 0} = P{ ξ= 1} =
电子科技大学条件分布率例 5 设随机变量 ξ~U(0,1),当 ξ=x(0<x<1)时，
η在 (1,x)上服从均匀分布，求 (ξ,η )的联合概率密度和关于 η的边缘概率密度,
解 ξ的概率密度为
.,0;10,1
)(
其他
x
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当 ξ=x的条件下,η的条件概率密度为
)10(
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1
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其他
电子科技大学条件分布率
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