09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性
§ 1.5 事件的独立性、独立试验概型一,相互独立随机事件在一般情况下 P (A|B) ≠ P ( A )
成立，即事件 A发生的可能性大小不受事件 B
出现与否 的影响,
但若 P (A|B) = P ( A )
产品抽检试验
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性定义 1.5.1 设 (Ω,F,P ) 为概率空间,A ∈ F，
B∈ F,且 P(A)>0,若
P (B|A) = P ( B )
称事件 B独立于 事件 A.
性质 1.5.1 若事件 B 独立于事件 A,且 P(B)>0,
P(A)>0，事件 A独立于事件 B.
P (A|B) = P ( A )
注 事件的独立性是对称性质，称为相互独立,
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性性质 1.5.2 设 (Ω,F,P ) 为概率空间,A∈ F，
B∈ F,且 P(A)P(B)>0,则 A 与 B 相互独立的充分必要条件是
P (A∩B) = P ( A ) P ( B )
定义 1.5.2 设 (Ω,F,P ) 为概率空间,A ∈ F，
B∈ F,若
P (A∩B) = P ( A ) P ( B )
称 A与 B 相互独立,
等价定义
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性性质 1.5.3若事件 A 和 B 相互独立，则下列三对事件分别也相互独立,;,BA ;,BA,,BA
证 仅对第三种情形证明
)(1)()( BAPBAPBAP
)]()()([1 ABPBPAP
)()()()(1 BPAPBPAP
)](1) ] [(1[ BPAP
)()( BPAP?
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性答案因
A 和 B 相互独立,
,1)(0,, APBA 且是两个随机事件设是否相互独立？试问 BAABPABP,),()(?
)(
)(
)(
)()()(
AP
BAP
AP
ABPABPABP
)()()()( APBAPAPABP
)()]()([)](1)[( APABPBPAPABP
)()()( BPAPABP
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性定义 1.5.3 设 (Ω,F,P ) 为概率空间,Ai ∈ F
(i=1,2,…,n)，若对任意的 s（ 1 < s ≤ n） 及 1 ≤ i1
< i2 < … < is ≤ n,有若对一切 1 ≤ i1 < i2≤ n,有
P(Ai1 Ai2…A is） = P(Ai1 )P(Ai2) … P (Ais）
成立，则称事件 A1,A2,…,An 相互独立,
P(Ai1 Ai2） = P(Ai1 )P(Ai2)
成立，则称事件 A1,A2,…,An两两独立,
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性注 n 个事件 相互独立是比两两独立 更强的结论,
性质 1.5.4 若干个事件 A1,A2,…,An相互独立，则将 A1,A2,…,An中的任意多个事件换成它们的对立事件后，所得到的 n个事件仍然相互独立,
事件的独立性有着广泛的用途,
三个事件的独立性是上述定义的特例,
四面体问题
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性例如考虑 A1,A2,…,An至少有一个发生的概率，其中 0 < P(Ai) = pi < 1，
若 （ 1） A1,A2,…,An 互不相容 ;
（ 2） A1,A2,…,An相互独立,
“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”
“有志者事竟成”
系统的可靠性设计
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性
(1) 若 A1,A2,…,An 互不相容,由概率的有限可加性可得
p= P(A1)+ P(A2)+…+ P(An) = p1+p2+…+ pn
(2) 若 A1,A2,…,An 相互独立,由对偶原理可得
)(1 21 nAAAP
)()()(1 21 nAPAPAP
)( 21 nAAAPp
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性特别，当 P(Ai)= p,i=1,2,…,n,有
P(A1∪ A2∪ … ∪ An })= 1 – ( 1 － p)n
小米加步枪战胜敌人的理论解释,
1])(1[1lim}{ n21 nn pAAAP
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性二,独立试验概型随机现象的 统计规律性,在相同条件进行大量重复 观察时所呈现的规律性,
定义 1.5.4 将试验 E按下述条件重复进行 n次
(1) 每次试验的条件不变 ;
(2) 各次试验的结果互不影响,
称这 n次试验为 n次独立试验概型,
注 每次试验都对应相同的概率空间；
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性
E1,抛一枚硬币出现正反面
E2,检查一件产品是否合格
E3,射击，观察是否命中
E4,考一门课，是否通过特点 关注试验的两个结果,A 和,A
贝努里试验实际结果可能不止两个即贝努里试验仅有两个基本事件,A和 A
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性称 n 次独立贝努里试验试验为 n重贝努里试验,或称 贝努里概型,
对于 n重贝努里试验，可考察哪些变量？
(2) 事件 A首次发生时的试验次数,
(1) n次试验中事件 A发生的总次数 ；
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性定理 1.5.1 在 n 重贝努里概型中,记 P(A) = p
(0 < p < 1),事件 A在 n次试验中发生 k次的概率为
,)1()( knkknn ppCkP,,,2,1,0 nk
证 事件 A在指定的 k 次试验中出现的概率为
knk pp )1(
且
1)(
0
n
k
n kP
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性且各种方式的事件互不相容，由概率的有限可加性可得结论成立,
knP
n( k ) = C p k ( 1－ p )n－ k
例子 产品抽检试验强弱对抗试验从 n次试验中选出 k 次试验有 C 种不同的方式,
kn
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性练习题问题一 从学校乘汽车到火车站的途中有
3个交通岗,假定设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 2/5，设 X
为途中遇到的红灯的次数，试写出随机变量
X 的分布律,
成功的总次数 服从二项分布
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性问题二 在一条汽车通道上有四盏信号灯，
每盏灯各以 1/2的概率允许或禁止汽车通行，
试求汽车停止前进时已通过的信号灯盏数 Y
的分布律,
首次成功时的试验次数什么分布？
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性例 1 检查某种元件的两个指标 Iα和 Pβ,两个指标均合格才认为元件合格,有 100件产品，其中合格品有 30件，而 Iα指标合格的有 50件,从 Iα
指标合格品中任取一件，求它是合格品的概率,
解 设 A={抽出合格品 }，
B= {抽出产品 Iα指标合格 }
,1 0 030)()( ABPAP,50
30)(?BAP
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性例 2 设同时掷两个均匀的正四面体一次,每一个四面体的四面分别标有号码 1,2,3,4.
)4,4()3,4()2,4()1,4(
)4,3()3,3()2,3()1,3(
)4,2()3,2()2,2()1,2(
)4,1()3,1()2,1()1,1(
令 A={甲四面体向下的一面是偶数 }，
B={乙四面体向下的一面是奇数 }，
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性
C={两个四面体向下的一面同为奇数或偶数 }.
由古典概率定义有
P( AB ) = P( AC ) = P( BC ) = 1/4,
P( A ) = P( B ) = P( C ) = 8/16 = 1/2,
P( ABC ) = P( φ ) = 0，
从而有 P( AB ) = P( A ) P( B )
P( AC ) = P( A ) P( C ) (*)
P( BC ) = P( B ) P( C )
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性即 A,B,C 中任意两个都是相互独立的，
称 A,B,C 两两独立,
另一方面 P( A|BC ) = 0≠1/2=P( A)
说明事件 A发生的可能性大小会受到 B与 C
的“联合”影响,
若 A,B,C两两独立，并且
P( A|BC ) = P( A)，
则 P( ABC ) = P( A|BC ) P( BC )
= P( A ) P( B ) P( C )
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性
#
从而 P( AB ) = P( A ) P( B )
P( AC ) = P( A ) P( C )
P( BC ) = P( B ) P( C )
P(ABC） = P(A) P(B) P(C)
同时成立。
称 A,B,C 相互独立 。
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性例 3 三个人独立地向同一目标射击，命中率分别为 0.45,0.55,0.60,求目标被击中的概率 p
解：令 Ai={第 i 人命中目标 },i =1,2,3.
由加法定理可得则有 A1,A2,A3相互独立,
p = P(A1∪ A2∪ A3 )
= P(A1) ＋ P(A2 ) ＋ P(A3 ) － P(A1A2) －
P(A1A3 )－ P(A2 A3 ) ＋ P(A1A2A3 )
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性
= 0.45 ＋ 0.55 ＋ 0.60 － 0.45 × 0.55 － 0.45
× 0.60 － 0.60 × 0.55 ＋ 0.45 × 0.55 × 0.60
=0.901
#
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性例 4 某人做一次试验获得成功的概率仅为
0.2，他持之以恒，不断重复试验，求他做 10
次试验至少成功一次的概率？做 20次又怎样呢？
解 设他做 k次试验至少成功一次的概率为 pk，
则 p10 = P( A1 ∪ A2 ∪ … ∪ A10 )
= 1－ ( 1－ 0.2 )10 ≈0.8926
= 1 － P( A1 ) P( A2 ) … P( A10 )
Aj={第 j次试验成功 },j=1,2,…
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性
p20 = P( A1 ∪ A2 ∪ … ∪ A20 )
= 1 － ( 1 － 0.2 )20 ≈0.9885
= 1 － P( A1 ) P( A2 ) … P( A20 )
一般，将试验 E 重复进行 k次，每次试验中 A 出现的概率 p（ 0 < p < 1） 则 A 至少出现一次的概率为
kp )1(1
1])1(1[limlim
k
kkk
pp有 #
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性例 5 (可靠性问题 ) 设有 6个元件，每个元件在单位时间内能正常工作的概率均为 0.9，且各元件能否正常工作是相互独立，试求下面系统能正常工作的概率。
1
2 4
3
6
5
解 设 Ak={第 k个元件能正常工作 }，
k=1,2,…,6，
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性
A1,A2,…,A6相互独立，可以证明
A1∪ A2,A3 ∪ A4,A5 ∪ A6
也相互独立,
A ={整个系统能正常工作 }
=(A1∪ A2)(A3 ∪ A4)(A5 ∪ A6)
970299.0])9.01(1[ 32
)]()(1)][()(1)][()(1[ 654321 APAPAPAPAPAP
)](1)][(1)][(1[ 654321 AAPAAPAAP
)()()()( 654321? AAPAAPAAPAP
#
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性例 6 设有一批同类产品共有 N 个，其中次品有 M 个，现从中逐个有放回地取出 n个，
试求取出 n 件中所含的次品件数为 k的概率,
解 产品是逐件有放回取出，各次抽到次品与否是相互独立的，抽 n件产品相当于做
n 重贝努里试验，并关注事件发生的总次数，
故
nkCkP knNMkNMknn,,2,1,0,)1()()(
思考 将抽取方式改为无放回抽取,试求 n
件中所含的次品件数为 k的概率,
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性例 7 强弱两队进行乒乓球对抗赛，得胜人数多的一方获胜，已知强队每个队员获胜的概率为 0.6，下面两个方案中哪一个对弱队有利？
（ 1）双方各出 3人； （ 2）双方各出 7人,
解：设 A = {弱队获胜 }，
双方逐对较量独立进行，故为独立重复试验,
（ 1）当双方各出 3人时,是进行 3重贝努里试验,
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性
（ 2）当双方各出 7人时，是进行 7重贝努里试验,
故第一种方案对弱队更有利一些,#
P( A ) = ∑Pn(k)= ∑C (0.4)k (0.6)3-k
≈0.352
k
3
k=2
3
k=2
3
P( A ) = ∑Pn(k)= = ∑C (0.4)k (0.6)7-k
≈0.290
k
7k=4
7
k=4
7
电子科技大学随机事件的独立性
§ 1.5 事件的独立性、独立试验概型一,相互独立随机事件在一般情况下 P (A|B) ≠ P ( A )
成立，即事件 A发生的可能性大小不受事件 B
出现与否 的影响,
但若 P (A|B) = P ( A )
产品抽检试验
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性定义 1.5.1 设 (Ω,F,P ) 为概率空间,A ∈ F，
B∈ F,且 P(A)>0,若
P (B|A) = P ( B )
称事件 B独立于 事件 A.
性质 1.5.1 若事件 B 独立于事件 A,且 P(B)>0,
P(A)>0，事件 A独立于事件 B.
P (A|B) = P ( A )
注 事件的独立性是对称性质，称为相互独立,
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性性质 1.5.2 设 (Ω,F,P ) 为概率空间,A∈ F，
B∈ F,且 P(A)P(B)>0,则 A 与 B 相互独立的充分必要条件是
P (A∩B) = P ( A ) P ( B )
定义 1.5.2 设 (Ω,F,P ) 为概率空间,A ∈ F，
B∈ F,若
P (A∩B) = P ( A ) P ( B )
称 A与 B 相互独立,
等价定义
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性性质 1.5.3若事件 A 和 B 相互独立，则下列三对事件分别也相互独立,;,BA ;,BA,,BA
证 仅对第三种情形证明
)(1)()( BAPBAPBAP
)]()()([1 ABPBPAP
)()()()(1 BPAPBPAP
)](1) ] [(1[ BPAP
)()( BPAP?
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性答案因
A 和 B 相互独立,
,1)(0,, APBA 且是两个随机事件设是否相互独立？试问 BAABPABP,),()(?
)(
)(
)(
)()()(
AP
BAP
AP
ABPABPABP
)()()()( APBAPAPABP
)()]()([)](1)[( APABPBPAPABP
)()()( BPAPABP
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电子科技大学随机事件的独立性定义 1.5.3 设 (Ω,F,P ) 为概率空间,Ai ∈ F
(i=1,2,…,n)，若对任意的 s（ 1 < s ≤ n） 及 1 ≤ i1
< i2 < … < is ≤ n,有若对一切 1 ≤ i1 < i2≤ n,有
P(Ai1 Ai2…A is） = P(Ai1 )P(Ai2) … P (Ais）
成立，则称事件 A1,A2,…,An 相互独立,
P(Ai1 Ai2） = P(Ai1 )P(Ai2)
成立，则称事件 A1,A2,…,An两两独立,
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性注 n 个事件 相互独立是比两两独立 更强的结论,
性质 1.5.4 若干个事件 A1,A2,…,An相互独立，则将 A1,A2,…,An中的任意多个事件换成它们的对立事件后，所得到的 n个事件仍然相互独立,
事件的独立性有着广泛的用途,
三个事件的独立性是上述定义的特例,
四面体问题
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性例如考虑 A1,A2,…,An至少有一个发生的概率，其中 0 < P(Ai) = pi < 1，
若 （ 1） A1,A2,…,An 互不相容 ;
（ 2） A1,A2,…,An相互独立,
“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”
“有志者事竟成”
系统的可靠性设计
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性
(1) 若 A1,A2,…,An 互不相容,由概率的有限可加性可得
p= P(A1)+ P(A2)+…+ P(An) = p1+p2+…+ pn
(2) 若 A1,A2,…,An 相互独立,由对偶原理可得
)(1 21 nAAAP
)()()(1 21 nAPAPAP
)( 21 nAAAPp
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性特别，当 P(Ai)= p,i=1,2,…,n,有
P(A1∪ A2∪ … ∪ An })= 1 – ( 1 － p)n
小米加步枪战胜敌人的理论解释,
1])(1[1lim}{ n21 nn pAAAP
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性二,独立试验概型随机现象的 统计规律性,在相同条件进行大量重复 观察时所呈现的规律性,
定义 1.5.4 将试验 E按下述条件重复进行 n次
(1) 每次试验的条件不变 ;
(2) 各次试验的结果互不影响,
称这 n次试验为 n次独立试验概型,
注 每次试验都对应相同的概率空间；
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性
E1,抛一枚硬币出现正反面
E2,检查一件产品是否合格
E3,射击，观察是否命中
E4,考一门课，是否通过特点 关注试验的两个结果,A 和,A
贝努里试验实际结果可能不止两个即贝努里试验仅有两个基本事件,A和 A
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性称 n 次独立贝努里试验试验为 n重贝努里试验,或称 贝努里概型,
对于 n重贝努里试验，可考察哪些变量？
(2) 事件 A首次发生时的试验次数,
(1) n次试验中事件 A发生的总次数 ；
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性定理 1.5.1 在 n 重贝努里概型中,记 P(A) = p
(0 < p < 1),事件 A在 n次试验中发生 k次的概率为
,)1()( knkknn ppCkP,,,2,1,0 nk
证 事件 A在指定的 k 次试验中出现的概率为
knk pp )1(
且
1)(
0
n
k
n kP
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性且各种方式的事件互不相容，由概率的有限可加性可得结论成立,
knP
n( k ) = C p k ( 1－ p )n－ k
例子 产品抽检试验强弱对抗试验从 n次试验中选出 k 次试验有 C 种不同的方式,
kn
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性练习题问题一 从学校乘汽车到火车站的途中有
3个交通岗,假定设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 2/5，设 X
为途中遇到的红灯的次数，试写出随机变量
X 的分布律,
成功的总次数 服从二项分布
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性问题二 在一条汽车通道上有四盏信号灯，
每盏灯各以 1/2的概率允许或禁止汽车通行，
试求汽车停止前进时已通过的信号灯盏数 Y
的分布律,
首次成功时的试验次数什么分布？
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性例 1 检查某种元件的两个指标 Iα和 Pβ,两个指标均合格才认为元件合格,有 100件产品，其中合格品有 30件，而 Iα指标合格的有 50件,从 Iα
指标合格品中任取一件，求它是合格品的概率,
解 设 A={抽出合格品 }，
B= {抽出产品 Iα指标合格 }
,1 0 030)()( ABPAP,50
30)(?BAP
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性例 2 设同时掷两个均匀的正四面体一次,每一个四面体的四面分别标有号码 1,2,3,4.
)4,4()3,4()2,4()1,4(
)4,3()3,3()2,3()1,3(
)4,2()3,2()2,2()1,2(
)4,1()3,1()2,1()1,1(
令 A={甲四面体向下的一面是偶数 }，
B={乙四面体向下的一面是奇数 }，
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电子科技大学随机事件的独立性
C={两个四面体向下的一面同为奇数或偶数 }.
由古典概率定义有
P( AB ) = P( AC ) = P( BC ) = 1/4,
P( A ) = P( B ) = P( C ) = 8/16 = 1/2,
P( ABC ) = P( φ ) = 0，
从而有 P( AB ) = P( A ) P( B )
P( AC ) = P( A ) P( C ) (*)
P( BC ) = P( B ) P( C )
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性即 A,B,C 中任意两个都是相互独立的，
称 A,B,C 两两独立,
另一方面 P( A|BC ) = 0≠1/2=P( A)
说明事件 A发生的可能性大小会受到 B与 C
的“联合”影响,
若 A,B,C两两独立，并且
P( A|BC ) = P( A)，
则 P( ABC ) = P( A|BC ) P( BC )
= P( A ) P( B ) P( C )
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性
#
从而 P( AB ) = P( A ) P( B )
P( AC ) = P( A ) P( C )
P( BC ) = P( B ) P( C )
P(ABC） = P(A) P(B) P(C)
同时成立。
称 A,B,C 相互独立 。
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性例 3 三个人独立地向同一目标射击，命中率分别为 0.45,0.55,0.60,求目标被击中的概率 p
解：令 Ai={第 i 人命中目标 },i =1,2,3.
由加法定理可得则有 A1,A2,A3相互独立,
p = P(A1∪ A2∪ A3 )
= P(A1) ＋ P(A2 ) ＋ P(A3 ) － P(A1A2) －
P(A1A3 )－ P(A2 A3 ) ＋ P(A1A2A3 )
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性
= 0.45 ＋ 0.55 ＋ 0.60 － 0.45 × 0.55 － 0.45
× 0.60 － 0.60 × 0.55 ＋ 0.45 × 0.55 × 0.60
=0.901
#
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性例 4 某人做一次试验获得成功的概率仅为
0.2，他持之以恒，不断重复试验，求他做 10
次试验至少成功一次的概率？做 20次又怎样呢？
解 设他做 k次试验至少成功一次的概率为 pk，
则 p10 = P( A1 ∪ A2 ∪ … ∪ A10 )
= 1－ ( 1－ 0.2 )10 ≈0.8926
= 1 － P( A1 ) P( A2 ) … P( A10 )
Aj={第 j次试验成功 },j=1,2,…
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性
p20 = P( A1 ∪ A2 ∪ … ∪ A20 )
= 1 － ( 1 － 0.2 )20 ≈0.9885
= 1 － P( A1 ) P( A2 ) … P( A20 )
一般，将试验 E 重复进行 k次，每次试验中 A 出现的概率 p（ 0 < p < 1） 则 A 至少出现一次的概率为
kp )1(1
1])1(1[limlim
k
kkk
pp有 #
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电子科技大学随机事件的独立性例 5 (可靠性问题 ) 设有 6个元件，每个元件在单位时间内能正常工作的概率均为 0.9，且各元件能否正常工作是相互独立，试求下面系统能正常工作的概率。
1
2 4
3
6
5
解 设 Ak={第 k个元件能正常工作 }，
k=1,2,…,6，
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电子科技大学随机事件的独立性
A1,A2,…,A6相互独立，可以证明
A1∪ A2,A3 ∪ A4,A5 ∪ A6
也相互独立,
A ={整个系统能正常工作 }
=(A1∪ A2)(A3 ∪ A4)(A5 ∪ A6)
970299.0])9.01(1[ 32
)]()(1)][()(1)][()(1[ 654321 APAPAPAPAPAP
)](1)][(1)][(1[ 654321 AAPAAPAAP
)()()()( 654321? AAPAAPAAPAP
#
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性例 6 设有一批同类产品共有 N 个，其中次品有 M 个，现从中逐个有放回地取出 n个，
试求取出 n 件中所含的次品件数为 k的概率,
解 产品是逐件有放回取出，各次抽到次品与否是相互独立的，抽 n件产品相当于做
n 重贝努里试验，并关注事件发生的总次数，
故
nkCkP knNMkNMknn,,2,1,0,)1()()(
思考 将抽取方式改为无放回抽取,试求 n
件中所含的次品件数为 k的概率,
09.7.27
电子科技大学随机事件的独立性例 7 强弱两队进行乒乓球对抗赛，得胜人数多的一方获胜，已知强队每个队员获胜的概率为 0.6，下面两个方案中哪一个对弱队有利？
（ 1）双方各出 3人； （ 2）双方各出 7人,
解：设 A = {弱队获胜 }，
双方逐对较量独立进行，故为独立重复试验,
（ 1）当双方各出 3人时,是进行 3重贝努里试验,
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电子科技大学随机事件的独立性
（ 2）当双方各出 7人时，是进行 7重贝努里试验,
故第一种方案对弱队更有利一些,#
P( A ) = ∑Pn(k)= ∑C (0.4)k (0.6)3-k
≈0.352
k
3
k=2
3
k=2
3
P( A ) = ∑Pn(k)= = ∑C (0.4)k (0.6)7-k
≈0.290
k
7k=4
7
k=4
7
