电子科技大学概率直观意义及运算 09.7.27
§ 1.2 概率的直观意义及其运算随机事件发生的可能性大小是一个客观存在的量,
概率 是对随机事件发生可能性大小的客观度量,
例如 抛硬币试验 摸球试验一、概率直观意义事件 A出现的概率 ( Probability) 记为 P(A).
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如何计算概率?怎样客观量度随机事件发生可能性大小?
二、频率和统计概率定义,在相同条件下,进行 n 次试验,事件 A发生了 m次,称比值为事件 A 发生的频率,
频率 在一定程度上反映了事件发生可能性的大小,
n
mAf
n?)(
理想化电子科技大学概率直观意义及运算 09.7.27
抛硬币试验
π的小数频率例如,
频率的不确定性,不会随试验次数的增大,
“趋于”特定常数,( P19)
频率具有稳定性,在一定条件下,频率稳定于某个常数,( P17)
问题 2,频率是什么变量?
问题 1,频率是否是概率?
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定义 事件 A的频率 称为 统计概率,
统计概率 性质,
(1) 对任意事件 A,有 0≤P (A)≤1;
(2) P (W )=1;
(3) 若 A1,A2,…,Am互不相容,则
.)()(
11


m
i
i
m
i
i APAP?
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定义 设 E是一个随机试验,若它满足以下两个条件:
例如,抛硬币试验 产品抽检试验
(1) 仅有 有限多个 基本事件;
则称 E为 古典概型试验,
(2) 每个基本事件发生的 可能性相等,
事件的可能性分析 赌马问题三、古典概率电子科技大学概率直观意义及运算 09.7.27
定义 设试验 E为古典概型试验,Ai,
i=1,2,…,n是基本事件,则由样本空间的样本点总数所含样本点的数目A=
基本事件总数所含的基本事件个数AAP =)(
所确定的概率称为事件 A的 古典概率,
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摸球试验例如:
注,在古典概率的计算中常用到排列组合的知识,如乘法原理、加法原理等等。
摸彩试验鸽笼问题古典概率 性质,
(1) 对任意事件 A,有 0≤P (A)≤1;
(2) P (W )=1;
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四、几何概率古典概率局限性,有限性和等可能性对样本空间进行推广,
(3) 若 A1,A2,…,Am互不相容,则
.)()(
11


m
i
i
m
i
i APAP?
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SD1
欧氏空间的子集 S表示样本空间,D2
样本点落入子区域 D的概率与形状、位置等均无关,只与 D的面积有关,
均匀性电子科技大学概率直观意义及运算 09.7.27
)(
)()(
S
AAP

假定 S及其所有子集 A均可度量,则度量值之比称为事件 A发生的 几何概率,
注 如几何度量指标长度,面积,体积等,
抽数问题折棒问题例 1.2.9 (P20) 关键是假定抛针有“均匀性”,
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例 1.2.10 (P21) 贝特郎悖论在半径 r 的圆 C内任意作一弦,求此弦长度
l大于 的概率,r3
解法一 假定弦 AB的中点 M随机落入圆 C内
A={随机点 M落入子圆 C1内 }
三种解答的不同结论是因样本空间和随机事件各不相同:
M样本空间是圆,求得的是事件的概率,
A B
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解法二 假定弦 AB的端点 B在圆周上随机分布,
B={随机点 B落于圆弧 DE上 }
样本空间是圆周,求得的是事件的概率,
E
D
B
解法三 假定弦 AB 的中点 M在垂直直径上随机分布
M
A B
A
样本空间是垂直直径,事件是
C={随机点 M落于线段 GH上 }
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几何概率同样满足三条性质,还满足 完全可加性,
(3′) 若事件列 A1,A2,…,Am,… 互不相容,

.)()(
11
i
i
i
i APAP?
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例 1 抛一枚均匀硬币,观察其出现正面
H和反面 T的情况,
通过实践与分析可得:硬币出现正面的可能性等于它出现反面的可能性,
#
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例 2 从 10个标有号码 1,2,…,10 的小球中任取一个,记录所得小球的号码,
在一定条件下摸出任一号码的小球的可能性是相同的,
是客观存在的,
#
1
2
3
10 9
8
7
6 54
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例 3 抛一枚均匀硬币,观察其出现正面 H
和反面 T的情况,
质地均匀的硬币出现正反面具有等可能性,
历史上几位著名科学家实际实验记录结果如下:
实验者 抛掷次数 出现正面次数 m/n
德,摩根 2048 1061 0.5181
蒲 丰 4040 2048 0.5069
皮尔逊 24000 12012 0.5005
维 尼 30000 14994 0.4998
#
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例 4 圆周率 p的计算刘徽 (公元 263年,割圆术 )
p?3927/1250?3.1416.
祖冲之 (429~500)
3.1415926 < p < 3.1415927.
威廉,向克斯 用 20年时间于 1872年将 p
计 算到小数后 707位,
法格逊怀疑向克斯的结果,用了一年的时间,发现向克斯 π 只有前 527位是正确的,
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1937年,法国学者对 p 的前 100万位小数中各数码的频率统计结果表明,尽管各数字出,
现也有起伏,但频率都稳定于 1/10.
法格逊猜想:在 p 的数值中各数码 0,1,…9
出现的可能性大小应当相等,
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数码 出现次数 出现频率
0 60 0.099
1 62 0.102
2 67 0.110
3 68 0.112
4 64 0.105
5 56 0.092
6 62 0.102
7 44 0.072
8 58 0.095
9 67 0.110
向克斯 π的前 608位的各数码出现频率电子科技大学概率直观意义及运算 09.7.27
数码 出现次数 出现频率
0 99959 0.1000
1 99758 0.0998
2 100026 0.1000
3 100229 0.1002
4 100230 0.1002
5 100359 0.1003
6 99548 0.0995
7 99800 0.0998
8 99985 0.1000
9 100106 0.1001 #
π的前一百万位中各数码出现的频率电子科技大学概率直观意义及运算 09.7.27
例 5 抛一枚质量分布均匀的硬币,
观察其出现正面 H和反面 T的情况,
是一个古典概型的随机试验,
因为该试验的基本事件只有两个,
{w1}?{出现正面 H},
{w2}?{出现反面 T}.
而且基本事件 {w1},{w2}发生的可能性相等,#
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例 6 非古典概型试验
E5 检查 N件产品中的次品个数,因基本事件
Ai ={ 次品个数为 i},i= 0,1,2,…,N.
出现的可能性不均等,
E6,测量某团体人员的身高,有不可列无穷个基本事件 { ξ = x },x> 0.
故 E5,E6都不是古典概型试验,
#
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例 7 编号为 1,2,3的 3匹马进行赛马比赛,
1号马赢的可能性有多大?
分析 将比赛结果逐一列出:
(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3)、
(2,3,1),(3,2,1),(3,1,2)
不知道各匹马的实际状况,只能假定它们获胜机会均等,有
3
1
6
2)(
1AP
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例 8 一个鸽场养了 n只鸽子,每只鸽子都等可能的飞入 N个鸽笼中的任意一个去住 ( n≤N )
求下事件发生的概率,
1) 指定的 n个鸽笼各有一只鸽子去住;
2) 恰好有 n个鸽笼,每个各有一只鸽子,
分析,计算古典概率有两种思路:
1)列出全部样本点,计算所求事件包含的样本点数;
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2)利用排列组合的知识求出样本点总数和所求事件包含的样本点数,
解 设 A={指定的 n个鸽笼各有一只鸽子 }
由乘法原理可知,基本事件总数为 N n
指定的 n个鸽笼各有一只鸽子,有 n!个不同的住法,故
B={恰好有 n个鸽笼,每个各有只鸽子 }
nN
nAP !)(?
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从 N 个鸽笼中任意选出 n个,有 种不同的方法,
C nN
)!(
!!)(
nNN
N
N
nCBP
nn
n
N
-

#
指定的 n个鸽笼各有一只鸽子,有 n !个不同的住法,故电子科技大学概率直观意义及运算 09.7.27
例 9 设袋中有 N个球,其中有 M个红球,
N- M个白球,从袋中任取 n 个球,问其中恰有 m个红球的概率,
解 令 Am={ 抽出的 n个球中恰有 m个红球}
m=0,1,2,…,n ; n≤M.
从袋中取出 n 个球,将每一种组合方式看成一个样本点,则基本事件总数 = n
NC
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Am 所含样本数为从而
mn
MN
m
M CC
-
-
nNmn MNmM CCCAP /)( --?
一般模型,袋中有 n个球,第 1类有 n1个,第 2类有 n2个,…,第 k类有 nk个,并且 n1 +n2 +…+ nk = n,
从袋中取出 m( m≤n)个,求其中恰有 mi个第 i
类球的概率 P,其中 m1 +m2+…+ mk=m,mi≤ni
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#
m
n
m
n
m
n
m
n
C
CCC
p
k
k
2
2
1
1?
超几何概率参见教材 P14
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例 10 袋中有 10个小球,4个红的,6 个白的,求解:设想 10个球依次编号 1,2,3,…10.
1)有放回抽样样本点总数为 N=10× 10× 10=103
1)有放回地从中依次取 3球,取得,2红 1白”
的概率,
2)不放回地从中依次取 3 球,取得,2红 1白”
的概率,
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所求事件包含的样本点数为 是三次抽取中选出两次取到红球
2
3C
64 223 Cr
N
rAP?)(故,288.0
10
64
3
22
3 C
( 2)无放回抽样解法一 N=10× 9× 8=P 310
34 ××23Cr = 6×
3.0)( NrAP
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解法二注意 例子中的基本事件的结构有什么变化?
#
3.0)( NrAP
1624 CCr
3
10CN?
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例 11 掷两个均匀骰子,设
A={点数之和为 10},
B={两个骰子的点数均为大于 3的偶数 },
有 A ={ (5,5),(4,6),(6,4),},
36
5)()()()(?- ABPBPAPBAP?
B={(4,4),(4,6),(6,4),(6,6)},
A∪ B={(4,4),(4,6),(5,5),(6,4),(6,6)},
AB={(4,6),(6,4)},
,363)(?AP
,364)(?BP
,362)(?ABP
#
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例 12 设今天道 -琼斯股票指数上升的概率为 0.54,明天上升的概率为 0.54,今明两天都上升的概率为 0.28。道 -琼斯指数在两天内都不上升的概率?
解 设 A={指数今天上升 }
B={指数明天上升 }
C = {指数两天都不上升 } BABA
)]()()([1)(1)( ABPBPAPBAPCP -?-?-
2.08.01)28.054.054.0(1?-?-?-?
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例 13 把长为 l 的木棒,任意折成 3段,求它们能构成一个三角形的概率,
解 可设第一段的长度为 x,第二段的长度为 y
0 l
x y
},0,0),{( lyxlylxyxG
满足,均匀分布性,,
(x,y)在能构成三角形的充要条件为:
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x+y=l

<<
<<
2
2
2
0
0
l
l
l
yx
y
x l
lo
l /2
l /2
.
4
1
2
1
)
2
(
2
1
2
2

l
l
p
所求概率为电子科技大学概率直观意义及运算 09.7.27
例 14 在区间 [0,2]上任意取两个数 x,y,两数满足下不等式的概率,
xyx 442
分析,任意选取两个数”意味 x和 y在 [0,2]
上等可能被选取,即 ( x,y)在边长为 2的正方形上均匀分布 2
2
2
4
1 xy?
xy?
解 所求概率为
.31)41(41 2
0
2?- dxxxp