09.7.27
电子科技大学条件概率
§ 1.4 条件概率对随机现象的研究中，常遇到另一类概率计算问题,
如：两个足球队比赛的胜负预测,
B={中国队上半场负 }，
A={中国队最终获胜 }
(1) 考虑事件 A发生的可能性大小？
一、条件概率
(2)事件 B已发生,问事件 A发生的可能性大小？
09.7.27
电子科技大学条件概率例如,产品抽检 试验将已知事件 B 发生的条件下，事件 A发生的可能性的客观度量称为 条件概率,记为 P(A|B).
)(
)(?)(
BP
ABPBAP?
定义 1.4.1 设 (Ω,F,P)是概率空间,A,B∈ F,
且 P(B)>0
称为已知事件 B发生的条件下，事件 A 发生的条件概率,
09.7.27
电子科技大学条件概率注 条件概率 与非条件概率 P(A)无必然的关系 （ P38）,
)( BAP
定理 1.4.1设 (Ω,F,P)是概率空间,B∈ F,且
P(B)>0,则对,有 对应,集函数 满足三条公理,
)( BAP A
)( BP?
F;1)(0,)1 BAPAF
1;)()2 BP
则且 ),(,,1,2,,)3 jiAAiA jiiF
09.7.27
电子科技大学条件概率
.)(
11
i
i
i
i BAPBAP?
证 )()(
11
BABA
i
i
i
i
jiAABABA jiji,））且 ((
)(
(
)(
)(
11
1 BP
BAP
BP
BAP
BAP i
i
i
i
i
i
.)()( )(
11
i
i
i
i BAP
BP
BAP?
09.7.27
电子科技大学条件概率注 条件概率是概率，可从两种观点理解：
1） 记 PB= P(·|B）,则 PB 是可测空间 (Ω,F )
上的概率,对任意 A ∈ F
)(
)(?)(
BP
BAPAP
B
称 (Ω,F,PB )是 条件概率空间,
2） 记 Ω1=Ω∩B=B,F1 ={C∩B,C∈ F }
缩减样本空间
)(
)(?)(
BP
APAP
B
对任意 A∈ F 1
09.7.27
电子科技大学条件概率则 是可测空间 (Ω 1,F 1)上的概率,得另一 概率空间 (Ω 1,F 1,).
BP?
BP?
ΩB=Ω1
A
1A
BA?
09.7.27
电子科技大学条件概率性质 1.4.1,设 A是概率空间 (Ω,F,P )上的正概率事件,B∈ F,且 PA(B)>0,则对任意 C∈ F
有
)()( BACPBCP A
)(
)(
)(
)()(
ABP
ACBP
BP
CBPBCP
A
A
A
证
.)(
)(
)(
)(
)(/
)(
)( BACP
ABP
A B CP
AP
ABP
AP
A B CP
09.7.27
电子科技大学条件概率抽签问题例如问题 (1) 判断所求的概率是否是条件概率？
(2) 判断题目中概率数据是否是条件概率？
解决问题的 关键词：试验、现实、可能。
例如 掷硬币试验射击试验
09.7.27
电子科技大学条件概率更一般地有,若 P ( A1 A2 … An-1 ) > 0,则
P (A1A2… An-1An) =
若 P ( A ) > 0,有
P ( AB ) = P ( A ) P ( B|A ).
条件概率定义的改写
P(A1)P(A2|A1)… P(An|A1A2… An-1 )
定理 1.4.2 设 P (B) > 0,则有
P ( AB ) = P (B) P (A|B )
二、乘法公式
09.7.27
电子科技大学条件概率注,乘法公式是概率计算中的重要公式,务必分清题目中所给数据是否为条件概率,
例如：
激烈空战抽签的公平性配对问题
09.7.27
电子科技大学条件概率事件的概率计算可能很复杂，有时可以采用借助于一组完备事件组的方法,
例如,摸球试验三、全概率公式定义 1.4.2 设 (Ω,F,P )是概率空间,若而且 A1∪ A2 ∪ … ∪ An=?
称 A1,A2,…,An 为? 的一个 有限划分（完备事件组）,
)(,,,2,1,jiAAniA jii
F
09.7.27
电子科技大学条件概率
1A
2A
3A
4A
5A
称 A1,A2,… 为? 的一个 可列无限划分,
满足以上条件，?,2,1, iA i若时间列
F
09.7.27
电子科技大学条件概率定理 1.4.3 (全概率公式 ) 设 (Ω,F,P)为概率空间,Ai ∈ F,i=1,2,,…,n 为? 的一个有限划分,且 P(Ai) > 0,i = 1,2,…,n,则对任意事件
B∈ F 有
n
i
ii BAPBPAP
1
)()()(
证 A1,A2,…,An 为? 的一个有限划分因? =A1∪ A2 ∪ … ∪ An
故 B = B∩ B A1∪ A2 ∪ … ∪ An?
吸收律
09.7.27
电子科技大学条件概率分配律又因为 (B?Ai) ∩ (B?Aj) = B ∩(Ai∩Aj)
= B? =?,i ≠ j
由概率的有限可加性
)]([)(
1
n
i
i BAPBP
因为 P(Ai) > 0,i = 1,2,…,n,利用乘法公式得
n
i
ii ABPAPBP
1
)()()(
n
i
iAB
1
)(
概率分解
09.7.27
电子科技大学条件概率
1AB
2AB
3AB
4AB
5AB
nAB
A
注 1 概率分解是一种重要的随机分析思想,
09.7.27
电子科技大学条件概率注 2 全概率公式对可列无穷划分也成立
1
)()()(
i
ii ABPAPBP
例如,抽检试验 抽签公平性练习 袋中有 50 个球,20个黄色的,30 个白色的两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，
则第二人取到黄球的概率是
09.7.27
电子科技大学条件概率推论 (条件全概率公式 ) 设 (Ω,F,P)为概率空间,Ai ∈ F,i=1,2,,…,n 为? 的一个有限 (或无限 )划分,则对固定的 D∈ F,对任意的
Ai∈ F,P(D∩Ai) > 0,以及任意事件 B∈ F 有
n
i
iDiDD ABPAPBPDBP
1
)()()()(
n
i
ii DABPDAP
1
)()(?
09.7.27
电子科技大学条件概率在抽检试验中,如果已抽到一件次品，需追究有关车间的责任,你如何考虑？
思考应计算以下概率：
P(Ai︱ B) =? i=1,2,3,4.
并比较其大小,
这类概率称为 事后概率,
追究责任问题
09.7.27
电子科技大学条件概率另一类应用问题：把事件 A看成,结果,,
把事件 B1,B2,…,Bn看成导致该结果的可能,原因,,在已知 A发生的条件下，去找出 最有可能导致 它发生的,原因,,
计算机通信问题例如：
这类问题称为 贝叶斯问题,
09.7.27
电子科技大学条件概率定理 1.4.4 (贝叶斯公式 ) 设 (Ω,F,P)为概率空间,Ai ∈ F,(i=1,2,,…,n) 为 Ω的一个有限划分,
且 P(Ai) > 0,(i = 1,2,…,n),则对任意 B ∈ F,
P(B)>0有四、贝叶斯公式
）（ ni
ABPAP
ABPAP
BAP
n
i
ii
jj
i,,2,1
)()(
)()(
)(
1
09.7.27
电子科技大学条件概率
),2,1(
)()(
)()(
)(
1
i
ABPAP
ABPAP
BAP
i
ii
jj
i
或证
)(
)()(
BP
BAPBAP i
i? )(
)()(
BP
ABPAP ii
n
i
ii
jj
ABPAP
ABPAP
1
)()(
)()(
乘法公式全概率公式
09.7.27
电子科技大学条件概率贝叶斯公式用来计算事后概率,
例如,病情诊断试验
09.7.27
电子科技大学条件概率例 1 100件产品中有 5件不合格，其中 3 件是次品,2 件是废品，现从中任取一件，试求
1）抽得废品的概率 p1;
2） 已知抽得不合格品，它是废品的概率 p2.
09.7.27
电子科技大学条件概率解 令 A={抽得废品 },B={抽得不合格品 }.
有,
1 0 0
2)(
1 APp
5
2)(
2 BAPp
100
5)(?BP
B成为现实
09.7.27
电子科技大学条件概率有
#
)(
)(
1 0 0/5
1 0 0/2
5
2)(
BP
ABPBAP
注意到
1 0 0
2)(?ABP
09.7.27
电子科技大学条件概率
Ex.2 10 张签中有三张幸运签,3人依次各抽一张签,第一个人抽到幸运签,假若第二人也抽到,问第三人抽到幸运签的概率,
解 设 Ai={第 i 人抽到幸运签 },i=1,2,3,
,)( 11 APP A记
,92)()( 122
1
AAPAP A有所求概率为
.81)()( 21323
1
AAAPAAP A
09.7.27
电子科技大学条件概率例 3 掷一枚硬币 直到出现三次正面才停止,
问正好 在第六次停止 的情况下,第五次也是正面 的概率？
解 令 Ak=｛ 第 k 次出现正面｝,k=1,2,…
则 P(B)= / 26C52 1 2 3 4 5 6正
B=｛ 第六次停止投掷｝
09.7.27
电子科技大学条件概率
P=P(A5︱ B)=P(A5B)/P(B)
5
2
10
4
/2C
/2C
62
5
61
4
#
09.7.27
电子科技大学条件概率例 4 甲乙两人 独立地对同一目标射击一次,
其命中率分别为 0.6和 0.5，现已知 目标被击中,
求它 被甲射中的 概率,
解：设 A={目标被甲击中 }，
B={目标被乙击中 }，
C={目标被击中 }.
)(
)(
)(
)()|(
CP
AP
CP
ACPCAPp
所求概率为
09.7.27
电子科技大学条件概率
8.05.06.05.06.0
)()()()()(
×-+?
-+ ABPBPAPBAPCP?
P =0.6/0.8=0.75
#
09.7.27
电子科技大学条件概率例 5 （抽签的公平性）
袋中有 10 个球,9 个白色的,1个红色的,10
个人依次不放回的各取一球，问第一个人，
第二个人，最后一人取到红球的概率各为多少？
解,设 Ai =｛ 第 i 人取到红球 ｝，
i =1,2,…,10.;101)( 1?AP
09.7.27
电子科技大学条件概率
)()( 212 AAPAP? )()( 121 AAPAP?
第一次第二次
212 AAA?
09.7.27
电子科技大学条件概率;10191109
)()( 1092110 AAAAPAP
)()()( 92110121 AAAAPAAPAP
10
11
2
1
8
7
9
8
10
9
有 P(A1) = P(A2)= … = P(A10),#
09.7.27
电子科技大学条件概率例 6 两架飞机进行空战,甲机首先开火,击落乙机的概率为 0.2；若乙机未被击落，进行还击，
击落甲机的 概率为 0.3；若甲机又未被击落，它再次向乙机开火，并击落它的 概率为 0.4,试求这几个回合中条件概率条件概率1）甲机被击落的概率 p1；
2）乙机被击落的概率 p2.
09.7.27
电子科技大学条件概率解：设 A={甲机首次攻击时击落乙机 }
甲机乙机
1
2
分析
B={乙机击落甲机 }
C={甲机第二次攻击时击落乙机 }
有 P(A)=0.2,4.0)|(,3.0)|( BACPABP
1）甲机被击落的概率
09.7.27
电子科技大学条件概率
24.03.08.0)|()()(1?× ABPAPBAPp
2）乙机被击落的概率
424.0?
4.0)3.01)(2.01(2.0 ×--+?
)|()]|(1)][(1[)( --+? BACPABPAPAP
)|()|()()( +? BACPABPAPAP
2 )()()( + CBAPAPCBAAPp?
#
09.7.27
电子科技大学条件概率例 7 配对问题 将 n封寄往不同地址的信随意放入 n只已写好地址（不重复）的信封，试求
1）没有一封信放正确的概率 q0;
2）恰有 r 封信放正确的概率 pr (r≤ n).
解 设 Ai ={第 i封信放正确 },i=1,2,…,n
)(1)1
1
0?
n
i
iAPq
-?
ninAP i,,2,1,1)(有
09.7.27
电子科技大学条件概率利用多除少补原理，
一般对任意的 k (2≤k≤n)及
!
)!2(
1
11)()()(
n
n
nnAAPAPAAP ijiji
-?
-
ji对
kiii21
!
)!(
1
1
1
11)(
21 n
kn
knnnAAAP kiii
-?
+-?-
-?
)(1
1
0?
n
i
iAPq
09.7.27
电子科技大学条件概率
--
n
i
iAP
1
)({1 +?
nii
ii AAP
21
21
1
)(
.)}()1(
1
1
n
i
i
n AP
+-++
niii
iii AAAP
321
321
1
)(
}!1)1(! )!3(! )!2(1{1 132 nnnCnnC nnn +-++-+---
-? n
k
k
k0 !
)1(
2） 分析 恰有 r 封信放正确
09.7.27
电子科技大学条件概率
(1) 从 n封信中选出 r封来 ( 种方式 )；r
nC
(2) 选定的 r封信放对信封的概率为
!
)!(
n
rn -
(3) 其余的 n－ r封信都没有放对信封的概率为
-
-?- rn
k
k
k
rnq
0
0 !
)1()(
所求概率
-
-?- rn
k
k
r
nr kn
rnCp
0 !
)1(
!
)!(
09.7.27
电子科技大学条件概率例 8 甲盒中有 5个红球,6个白球；乙盒中有 3个红球,4个白球,现抛一枚均匀硬币，
若出现正面，则从甲盒中任取一球，反之从乙盒中任取一球,试求取出白球的概率 p.
1
2
3
10 98 76
5 4
11
1
2
3
76
5 4
09.7.27
电子科技大学条件概率解 设 A={取出白球 }，
B={甲盒中任取一球 }={H}.
A={从甲盒中取出一白球 }
∪ {从乙盒中取出一白球 }.
于是有限可加从而
=(AB) ∪ (AB ).
)()()( BAPABPAPp +
09.7.27
电子科技大学条件概率
B B
A
5584.0217421116 ≈×+×= 乘法公式
#
)()()()( BPBAPBPBAP +?
09.7.27
电子科技大学条件概率例 7 某工厂有 4个车间生产同一种产品,其产品分别占总产量的 15%,20%,30%和 35%，
各车间的次品率依次为 0.05,0.04,0.03及 0.02.
现从出厂产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？
解 设 B=｛ 恰好取到次品 ｝,
Ai={恰好取到第 i 个车间的产品 }，
i=1,2,3,4
09.7.27
电子科技大学条件概率
P(A1)=0.15,P(A2)=0.2,
P(A3)=0.3,P(A1)=0.35,
题目中的条件概率如下构成一个样本空间的划分,且
P(B︱ A1)=0.05,P(B︱ A2)=0.04,
P(B︱ A3)=0.03,P(B︱ A4)=0.02,
由全概率公式可得
0315.0)|()()(
4
1
∑
i
ii ABPAPBP #
09.7.27
电子科技大学条件概率例 8 设袋中有 n个红球,m个白球,三人依次不放回地各取出一个球,求他们取得红球的概率各为多少？
解：设 Ai={第 i 个人取到红球 },i=1,2,3
,)( 1 nm nAP +?
nm
n
+?
nm
n
nm
m
nm
n
nm
n
-+×++-+
-×
+? 11
1
AAPAPAAPAPAP +? )|()()|()()( 1211212
09.7.27
电子科技大学条件概率划分，由全概率公式可得构成一个有限事件组 21212121,,,AAAAAAAA
AAAPAAPAAAPAAPAP +? )|()()|()()( 21321213213
AAAPAAPAAAPAAP ++ )|()()|()( 2132121321
AAAPAAPAPAAAPAAPAP +? )|()|()()|()|()( 213121213121
AAAPAAPAPAAAPAAPAP ++ )|()|()()|()|()( 213121213121
09.7.27
电子科技大学条件概率
---
nm
n
nmnm
mn
nm
n
nm
n
nm
n
-+-+++-+-++? 2
1
)1)((
2
2
2
1
1× × ×
nm
n
nm
n
nm
m
nm
m
+?-+-+
-
++ 21
1× ×
#
09.7.27
电子科技大学条件概率例 9 某工厂有 4个车间生产同一种产品,其产品分别占总产量的 15%,20%,30%和
35%，各车间的次品率依次为 0.05,0.04、
0.03及 0.02。 现从出厂产品中任取一件，发觉该产品 是次品 而且其标志已脱落，厂方应如何处理此事较为合理？
分析 关注次品来自哪个车间？可能性最大？
09.7.27
电子科技大学条件概率事件 B已成为现实，需考虑是哪一个,原因,
所致的可能性大小，即求条件概率 P(Ai B),
构成一个样本空间的划分,
第 1车间 第 2车间 第 3车间 第 4车间设 B=｛ 恰好取到次品 ｝，
Ai={恰好取到第 i 个车间的产品 },i=1,2,3,4
09.7.27
电子科技大学条件概率
#,6318)( 3?BAP,6314)( 4?BAP
同理
63
16
)(
)()()( 22
2 BP
ABPAPBAP
解
)(
)()(
)(
)()( 111
1 BP
ABPAP
BP
BAPBAP
63
15
0 3 1 5.0
05.015.0
09.7.27
电子科技大学条件概率例 10 设某医院用某一种方法诊断肝癌，由于各种原因，被诊断为患有肝癌的患者未必患有肝癌。
令 A={被检查者 确实 患有肝癌 }，
B={被检查者 诊断 为患有肝癌 }.
P(A)=0.0004（ 患者的比例很小） ;
P(B|A)=0.95(对肝癌病人的诊断准确率很高 );
P(B| A)=0.9（ 对非肝癌病人的诊断准确率也很高 ),
09.7.27
电子科技大学条件概率现有一病人被该方法诊断为肝癌，求此人确是患者的概率 P(A|B).
解 从题设可得根据贝叶斯公式有
.9.01)|(,0004.01)(1)( -?-?-? ABPAPAP
)|()()|()(
)|()()(
+? ABPAPABPAP
ABPAPBAP
09.7.27
电子科技大学条件概率
0038.0≈
)9.01()0004.01(95.00004.0
95.0×0004.0
--+? × ×
注 诊断有病的人确实患病的可能性很小,
#
09.7.27
电子科技大学条件概率例 13 某公司有 n个部门,每个部门配有一台计算机，各计算机之间需要传输数量不等的文件，
A
B
若语音信号已从 A 传输到 B,它是从哪一条通路传输过来的可能性最大？
电子科技大学条件概率
§ 1.4 条件概率对随机现象的研究中，常遇到另一类概率计算问题,
如：两个足球队比赛的胜负预测,
B={中国队上半场负 }，
A={中国队最终获胜 }
(1) 考虑事件 A发生的可能性大小？
一、条件概率
(2)事件 B已发生,问事件 A发生的可能性大小？
09.7.27
电子科技大学条件概率例如,产品抽检 试验将已知事件 B 发生的条件下，事件 A发生的可能性的客观度量称为 条件概率,记为 P(A|B).
)(
)(?)(
BP
ABPBAP?
定义 1.4.1 设 (Ω,F,P)是概率空间,A,B∈ F,
且 P(B)>0
称为已知事件 B发生的条件下，事件 A 发生的条件概率,
09.7.27
电子科技大学条件概率注 条件概率 与非条件概率 P(A)无必然的关系 （ P38）,
)( BAP
定理 1.4.1设 (Ω,F,P)是概率空间,B∈ F,且
P(B)>0,则对,有 对应,集函数 满足三条公理,
)( BAP A
)( BP?
F;1)(0,)1 BAPAF
1;)()2 BP
则且 ),(,,1,2,,)3 jiAAiA jiiF
09.7.27
电子科技大学条件概率
.)(
11
i
i
i
i BAPBAP?
证 )()(
11
BABA
i
i
i
i
jiAABABA jiji,））且 ((
)(
(
)(
)(
11
1 BP
BAP
BP
BAP
BAP i
i
i
i
i
i
.)()( )(
11
i
i
i
i BAP
BP
BAP?
09.7.27
电子科技大学条件概率注 条件概率是概率，可从两种观点理解：
1） 记 PB= P(·|B）,则 PB 是可测空间 (Ω,F )
上的概率,对任意 A ∈ F
)(
)(?)(
BP
BAPAP
B
称 (Ω,F,PB )是 条件概率空间,
2） 记 Ω1=Ω∩B=B,F1 ={C∩B,C∈ F }
缩减样本空间
)(
)(?)(
BP
APAP
B
对任意 A∈ F 1
09.7.27
电子科技大学条件概率则 是可测空间 (Ω 1,F 1)上的概率,得另一 概率空间 (Ω 1,F 1,).
BP?
BP?
ΩB=Ω1
A
1A
BA?
09.7.27
电子科技大学条件概率性质 1.4.1,设 A是概率空间 (Ω,F,P )上的正概率事件,B∈ F,且 PA(B)>0,则对任意 C∈ F
有
)()( BACPBCP A
)(
)(
)(
)()(
ABP
ACBP
BP
CBPBCP
A
A
A
证
.)(
)(
)(
)(
)(/
)(
)( BACP
ABP
A B CP
AP
ABP
AP
A B CP
09.7.27
电子科技大学条件概率抽签问题例如问题 (1) 判断所求的概率是否是条件概率？
(2) 判断题目中概率数据是否是条件概率？
解决问题的 关键词：试验、现实、可能。
例如 掷硬币试验射击试验
09.7.27
电子科技大学条件概率更一般地有,若 P ( A1 A2 … An-1 ) > 0,则
P (A1A2… An-1An) =
若 P ( A ) > 0,有
P ( AB ) = P ( A ) P ( B|A ).
条件概率定义的改写
P(A1)P(A2|A1)… P(An|A1A2… An-1 )
定理 1.4.2 设 P (B) > 0,则有
P ( AB ) = P (B) P (A|B )
二、乘法公式
09.7.27
电子科技大学条件概率注,乘法公式是概率计算中的重要公式,务必分清题目中所给数据是否为条件概率,
例如：
激烈空战抽签的公平性配对问题
09.7.27
电子科技大学条件概率事件的概率计算可能很复杂，有时可以采用借助于一组完备事件组的方法,
例如,摸球试验三、全概率公式定义 1.4.2 设 (Ω,F,P )是概率空间,若而且 A1∪ A2 ∪ … ∪ An=?
称 A1,A2,…,An 为? 的一个 有限划分（完备事件组）,
)(,,,2,1,jiAAniA jii
F
09.7.27
电子科技大学条件概率
1A
2A
3A
4A
5A
称 A1,A2,… 为? 的一个 可列无限划分,
满足以上条件，?,2,1, iA i若时间列
F
09.7.27
电子科技大学条件概率定理 1.4.3 (全概率公式 ) 设 (Ω,F,P)为概率空间,Ai ∈ F,i=1,2,,…,n 为? 的一个有限划分,且 P(Ai) > 0,i = 1,2,…,n,则对任意事件
B∈ F 有
n
i
ii BAPBPAP
1
)()()(
证 A1,A2,…,An 为? 的一个有限划分因? =A1∪ A2 ∪ … ∪ An
故 B = B∩ B A1∪ A2 ∪ … ∪ An?
吸收律
09.7.27
电子科技大学条件概率分配律又因为 (B?Ai) ∩ (B?Aj) = B ∩(Ai∩Aj)
= B? =?,i ≠ j
由概率的有限可加性
)]([)(
1
n
i
i BAPBP
因为 P(Ai) > 0,i = 1,2,…,n,利用乘法公式得
n
i
ii ABPAPBP
1
)()()(
n
i
iAB
1
)(
概率分解
09.7.27
电子科技大学条件概率
1AB
2AB
3AB
4AB
5AB
nAB
A
注 1 概率分解是一种重要的随机分析思想,
09.7.27
电子科技大学条件概率注 2 全概率公式对可列无穷划分也成立
1
)()()(
i
ii ABPAPBP
例如,抽检试验 抽签公平性练习 袋中有 50 个球,20个黄色的,30 个白色的两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，
则第二人取到黄球的概率是
09.7.27
电子科技大学条件概率推论 (条件全概率公式 ) 设 (Ω,F,P)为概率空间,Ai ∈ F,i=1,2,,…,n 为? 的一个有限 (或无限 )划分,则对固定的 D∈ F,对任意的
Ai∈ F,P(D∩Ai) > 0,以及任意事件 B∈ F 有
n
i
iDiDD ABPAPBPDBP
1
)()()()(
n
i
ii DABPDAP
1
)()(?
09.7.27
电子科技大学条件概率在抽检试验中,如果已抽到一件次品，需追究有关车间的责任,你如何考虑？
思考应计算以下概率：
P(Ai︱ B) =? i=1,2,3,4.
并比较其大小,
这类概率称为 事后概率,
追究责任问题
09.7.27
电子科技大学条件概率另一类应用问题：把事件 A看成,结果,,
把事件 B1,B2,…,Bn看成导致该结果的可能,原因,,在已知 A发生的条件下，去找出 最有可能导致 它发生的,原因,,
计算机通信问题例如：
这类问题称为 贝叶斯问题,
09.7.27
电子科技大学条件概率定理 1.4.4 (贝叶斯公式 ) 设 (Ω,F,P)为概率空间,Ai ∈ F,(i=1,2,,…,n) 为 Ω的一个有限划分,
且 P(Ai) > 0,(i = 1,2,…,n),则对任意 B ∈ F,
P(B)>0有四、贝叶斯公式
）（ ni
ABPAP
ABPAP
BAP
n
i
ii
jj
i,,2,1
)()(
)()(
)(
1
09.7.27
电子科技大学条件概率
),2,1(
)()(
)()(
)(
1
i
ABPAP
ABPAP
BAP
i
ii
jj
i
或证
)(
)()(
BP
BAPBAP i
i? )(
)()(
BP
ABPAP ii
n
i
ii
jj
ABPAP
ABPAP
1
)()(
)()(
乘法公式全概率公式
09.7.27
电子科技大学条件概率贝叶斯公式用来计算事后概率,
例如,病情诊断试验
09.7.27
电子科技大学条件概率例 1 100件产品中有 5件不合格，其中 3 件是次品,2 件是废品，现从中任取一件，试求
1）抽得废品的概率 p1;
2） 已知抽得不合格品，它是废品的概率 p2.
09.7.27
电子科技大学条件概率解 令 A={抽得废品 },B={抽得不合格品 }.
有,
1 0 0
2)(
1 APp
5
2)(
2 BAPp
100
5)(?BP
B成为现实
09.7.27
电子科技大学条件概率有
#
)(
)(
1 0 0/5
1 0 0/2
5
2)(
BP
ABPBAP
注意到
1 0 0
2)(?ABP
09.7.27
电子科技大学条件概率
Ex.2 10 张签中有三张幸运签,3人依次各抽一张签,第一个人抽到幸运签,假若第二人也抽到,问第三人抽到幸运签的概率,
解 设 Ai={第 i 人抽到幸运签 },i=1,2,3,
,)( 11 APP A记
,92)()( 122
1
AAPAP A有所求概率为
.81)()( 21323
1
AAAPAAP A
09.7.27
电子科技大学条件概率例 3 掷一枚硬币 直到出现三次正面才停止,
问正好 在第六次停止 的情况下,第五次也是正面 的概率？
解 令 Ak=｛ 第 k 次出现正面｝,k=1,2,…
则 P(B)= / 26C52 1 2 3 4 5 6正
B=｛ 第六次停止投掷｝
09.7.27
电子科技大学条件概率
P=P(A5︱ B)=P(A5B)/P(B)
5
2
10
4
/2C
/2C
62
5
61
4
#
09.7.27
电子科技大学条件概率例 4 甲乙两人 独立地对同一目标射击一次,
其命中率分别为 0.6和 0.5，现已知 目标被击中,
求它 被甲射中的 概率,
解：设 A={目标被甲击中 }，
B={目标被乙击中 }，
C={目标被击中 }.
)(
)(
)(
)()|(
CP
AP
CP
ACPCAPp
所求概率为
09.7.27
电子科技大学条件概率
8.05.06.05.06.0
)()()()()(
×-+?
-+ ABPBPAPBAPCP?
P =0.6/0.8=0.75
#
09.7.27
电子科技大学条件概率例 5 （抽签的公平性）
袋中有 10 个球,9 个白色的,1个红色的,10
个人依次不放回的各取一球，问第一个人，
第二个人，最后一人取到红球的概率各为多少？
解,设 Ai =｛ 第 i 人取到红球 ｝，
i =1,2,…,10.;101)( 1?AP
09.7.27
电子科技大学条件概率
)()( 212 AAPAP? )()( 121 AAPAP?
第一次第二次
212 AAA?
09.7.27
电子科技大学条件概率;10191109
)()( 1092110 AAAAPAP
)()()( 92110121 AAAAPAAPAP
10
11
2
1
8
7
9
8
10
9
有 P(A1) = P(A2)= … = P(A10),#
09.7.27
电子科技大学条件概率例 6 两架飞机进行空战,甲机首先开火,击落乙机的概率为 0.2；若乙机未被击落，进行还击，
击落甲机的 概率为 0.3；若甲机又未被击落，它再次向乙机开火，并击落它的 概率为 0.4,试求这几个回合中条件概率条件概率1）甲机被击落的概率 p1；
2）乙机被击落的概率 p2.
09.7.27
电子科技大学条件概率解：设 A={甲机首次攻击时击落乙机 }
甲机乙机
1
2
分析
B={乙机击落甲机 }
C={甲机第二次攻击时击落乙机 }
有 P(A)=0.2,4.0)|(,3.0)|( BACPABP
1）甲机被击落的概率
09.7.27
电子科技大学条件概率
24.03.08.0)|()()(1?× ABPAPBAPp
2）乙机被击落的概率
424.0?
4.0)3.01)(2.01(2.0 ×--+?
)|()]|(1)][(1[)( --+? BACPABPAPAP
)|()|()()( +? BACPABPAPAP
2 )()()( + CBAPAPCBAAPp?
#
09.7.27
电子科技大学条件概率例 7 配对问题 将 n封寄往不同地址的信随意放入 n只已写好地址（不重复）的信封，试求
1）没有一封信放正确的概率 q0;
2）恰有 r 封信放正确的概率 pr (r≤ n).
解 设 Ai ={第 i封信放正确 },i=1,2,…,n
)(1)1
1
0?
n
i
iAPq
-?
ninAP i,,2,1,1)(有
09.7.27
电子科技大学条件概率利用多除少补原理，
一般对任意的 k (2≤k≤n)及
!
)!2(
1
11)()()(
n
n
nnAAPAPAAP ijiji
-?
-
ji对
kiii21
!
)!(
1
1
1
11)(
21 n
kn
knnnAAAP kiii
-?
+-?-
-?
)(1
1
0?
n
i
iAPq
09.7.27
电子科技大学条件概率
--
n
i
iAP
1
)({1 +?
nii
ii AAP
21
21
1
)(
.)}()1(
1
1
n
i
i
n AP
+-++
niii
iii AAAP
321
321
1
)(
}!1)1(! )!3(! )!2(1{1 132 nnnCnnC nnn +-++-+---
-? n
k
k
k0 !
)1(
2） 分析 恰有 r 封信放正确
09.7.27
电子科技大学条件概率
(1) 从 n封信中选出 r封来 ( 种方式 )；r
nC
(2) 选定的 r封信放对信封的概率为
!
)!(
n
rn -
(3) 其余的 n－ r封信都没有放对信封的概率为
-
-?- rn
k
k
k
rnq
0
0 !
)1()(
所求概率
-
-?- rn
k
k
r
nr kn
rnCp
0 !
)1(
!
)!(
09.7.27
电子科技大学条件概率例 8 甲盒中有 5个红球,6个白球；乙盒中有 3个红球,4个白球,现抛一枚均匀硬币，
若出现正面，则从甲盒中任取一球，反之从乙盒中任取一球,试求取出白球的概率 p.
1
2
3
10 98 76
5 4
11
1
2
3
76
5 4
09.7.27
电子科技大学条件概率解 设 A={取出白球 }，
B={甲盒中任取一球 }={H}.
A={从甲盒中取出一白球 }
∪ {从乙盒中取出一白球 }.
于是有限可加从而
=(AB) ∪ (AB ).
)()()( BAPABPAPp +
09.7.27
电子科技大学条件概率
B B
A
5584.0217421116 ≈×+×= 乘法公式
#
)()()()( BPBAPBPBAP +?
09.7.27
电子科技大学条件概率例 7 某工厂有 4个车间生产同一种产品,其产品分别占总产量的 15%,20%,30%和 35%，
各车间的次品率依次为 0.05,0.04,0.03及 0.02.
现从出厂产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？
解 设 B=｛ 恰好取到次品 ｝,
Ai={恰好取到第 i 个车间的产品 }，
i=1,2,3,4
09.7.27
电子科技大学条件概率
P(A1)=0.15,P(A2)=0.2,
P(A3)=0.3,P(A1)=0.35,
题目中的条件概率如下构成一个样本空间的划分,且
P(B︱ A1)=0.05,P(B︱ A2)=0.04,
P(B︱ A3)=0.03,P(B︱ A4)=0.02,
由全概率公式可得
0315.0)|()()(
4
1
∑
i
ii ABPAPBP #
09.7.27
电子科技大学条件概率例 8 设袋中有 n个红球,m个白球,三人依次不放回地各取出一个球,求他们取得红球的概率各为多少？
解：设 Ai={第 i 个人取到红球 },i=1,2,3
,)( 1 nm nAP +?
nm
n
+?
nm
n
nm
m
nm
n
nm
n
-+×++-+
-×
+? 11
1
AAPAPAAPAPAP +? )|()()|()()( 1211212
09.7.27
电子科技大学条件概率划分，由全概率公式可得构成一个有限事件组 21212121,,,AAAAAAAA
AAAPAAPAAAPAAPAP +? )|()()|()()( 21321213213
AAAPAAPAAAPAAP ++ )|()()|()( 2132121321
AAAPAAPAPAAAPAAPAP +? )|()|()()|()|()( 213121213121
AAAPAAPAPAAAPAAPAP ++ )|()|()()|()|()( 213121213121
09.7.27
电子科技大学条件概率
---
nm
n
nmnm
mn
nm
n
nm
n
nm
n
-+-+++-+-++? 2
1
)1)((
2
2
2
1
1× × ×
nm
n
nm
n
nm
m
nm
m
+?-+-+
-
++ 21
1× ×
#
09.7.27
电子科技大学条件概率例 9 某工厂有 4个车间生产同一种产品,其产品分别占总产量的 15%,20%,30%和
35%，各车间的次品率依次为 0.05,0.04、
0.03及 0.02。 现从出厂产品中任取一件，发觉该产品 是次品 而且其标志已脱落，厂方应如何处理此事较为合理？
分析 关注次品来自哪个车间？可能性最大？
09.7.27
电子科技大学条件概率事件 B已成为现实，需考虑是哪一个,原因,
所致的可能性大小，即求条件概率 P(Ai B),
构成一个样本空间的划分,
第 1车间 第 2车间 第 3车间 第 4车间设 B=｛ 恰好取到次品 ｝，
Ai={恰好取到第 i 个车间的产品 },i=1,2,3,4
09.7.27
电子科技大学条件概率
#,6318)( 3?BAP,6314)( 4?BAP
同理
63
16
)(
)()()( 22
2 BP
ABPAPBAP
解
)(
)()(
)(
)()( 111
1 BP
ABPAP
BP
BAPBAP
63
15
0 3 1 5.0
05.015.0
09.7.27
电子科技大学条件概率例 10 设某医院用某一种方法诊断肝癌，由于各种原因，被诊断为患有肝癌的患者未必患有肝癌。
令 A={被检查者 确实 患有肝癌 }，
B={被检查者 诊断 为患有肝癌 }.
P(A)=0.0004（ 患者的比例很小） ;
P(B|A)=0.95(对肝癌病人的诊断准确率很高 );
P(B| A)=0.9（ 对非肝癌病人的诊断准确率也很高 ),
09.7.27
电子科技大学条件概率现有一病人被该方法诊断为肝癌，求此人确是患者的概率 P(A|B).
解 从题设可得根据贝叶斯公式有
.9.01)|(,0004.01)(1)( -?-?-? ABPAPAP
)|()()|()(
)|()()(
+? ABPAPABPAP
ABPAPBAP
09.7.27
电子科技大学条件概率
0038.0≈
)9.01()0004.01(95.00004.0
95.0×0004.0
--+? × ×
注 诊断有病的人确实患病的可能性很小,
#
09.7.27
电子科技大学条件概率例 13 某公司有 n个部门,每个部门配有一台计算机，各计算机之间需要传输数量不等的文件，
A
B
若语音信号已从 A 传输到 B,它是从哪一条通路传输过来的可能性最大？
