随机变量的独立性电子科技大学
09.7.27
§ 2.3 独立随机变量，条件分布定义 2.3.1 设 (ξ,η )是二维随机变量,若对任意实数对 ( x,y )均有随机事件 A 与 B 相互独立，若
P(AB)=P(A)P(B)
}{}{},{ yPxPyxP
成立，称 ξ与 η相互独立,
一、相互独立随机变量随机变量的独立性电子科技大学
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意义 对任意实数对 ( x,y ),随机事件
{ξ< x },{η < y}
在给定概率空间上都 相互独立,
例 3.2.1
等价条件
1.ξ与 η相互独立对任意实数 (x,y )均成立,
)()(),( yFxFyxF
若 ξ与 η不独立的，称它们是 相依 的,
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2,(离散型 )ξ与 η 相互独立
}{}{},{ jiji yPxPyxP
对所有 (xi,yj )均成立,
注 若否定结论,只需找到一个点或 p(i,j) = p(i,·)p(·,j )
p(i,j)≠ p(i,·)p(·,j )
充分性证明见
P132
必要性证明
)()(),( yFxFyxF
处处成立,则对任意实数,因2121,yyxx
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)()(}{ 1221 xFxFxxP
)()(}{ 1221 yFyFyyP
同时成立,两式相乘可得
}{}{ 2121 yyPxxP
},{ 2121 yyxxP
构造事件列
},1{ 11
n
xx },1{
11 nyy
,2,1},1,1{ 1111 nnyynxx
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,}{}1{
1
111?

n
x
n
xx
对 n=1,2,… 满足
},
1
1{}1{
1111 nxxnxx
根据概率的连续性定理
},{}1{lim 111 xP
n
xx
n



同理
},{}1{lim 111 yP
n
yy
n



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},{}1,1{lim 111111 yxPnyynxx
n



}{}{},{ 1111 yPxPyxP
由 x和 y的任意性,必要性得证,
3,(连续型 )ξ与 η相互独立在平面上除去“面积”为 0 的集合外成立,
)()(),( yfxfyxf
证明见
P133
例 3.2.2 例 3.2.3 例 3.2.4 练习随机变量的独立性电子科技大学
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多维随机变量的独立性定义 2.3.2 设 n 维随机变量 (ξ1,ξ2,…,ξn )的 联合分布函数 为 F(x1,x2,…,xn ),若对任意实数 x1,x2,…,xn 均有称 ξ1,ξ2,…,ξn 相互独立,
,)(),,,(
1
21
n
i
iin xFxxxF?
思考 与以下 n个随机事件的独立性有矛盾吗?
nix ii,,2,1},{
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定义 2.3.3 设 ξ1,ξ2,…,ξn,… 为随机变量序列,
若其任意有限维随机向量 (1<k)都相互独立，称该序列是相互独立随机变量序列,
),,,( 21 kiii
定理 2.3.1 若 n维随机变量 (ξ1,ξ2,…,ξn ) 相互独立，则
1) 其中任意 k个随机变量 ( 2? k?n )也相互独立,
2) 随机变量 g1(ξ1),g2(ξ2),…,gn(ξn)也相互独立,
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注 随机变量相互独立则一定两两独立，逆不真,
反例多维随机向量间的独立性见 P136.
定理 2.3.2 若 n维随机变量 (ξ1,ξ2,…,ξn ) 相互独立，则
1) m维 随机向量 (ξ1,ξ2,…,ξm ) 与 n维随机向量 (ξm+1,ξm+2,…,ξn ) 也相互独立,
.
),,2,1(),,,,()2 21
独立随机变量，而且也相互必为kih
iiniiii

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其中 nnnn
k21
.
),,2,1(),,,,( 21
是实变实值连续函数
kixxxh
iiniii

随机变量的独立性本质上是事件的独立性随机变量的独立性电子科技大学
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例 3.2.1 设随机变量 ξ 的概率密度为

x
x
exf,21)(
问 ξ 与 ︱ ξ︱ 是否相互独立,
分析 1) 判定 ξ与 ︱ ξ︱ 相互独立，则需验证
}{}{}{ bPaPb,aP
对所有实数对 (a,b) 均成立,
2) 随机事件 { ξ<a } 与 {︱ ξ︱ < a } 有下述关系：
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}{}{}{ aaaa
}{},{ aPaaP从而解 对于任意给定的实数 a > 0 有
}{}{}{ aaaa
)1(}{},{ aPaaP从而
1}{01}{0 aPaP,又
)2(},{}{}{ aPaPaP
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}{}{},{ aPaPaaP
即 ξ与 ︱ ξ︱ 不相互独立,
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例 3.2.2设随机变量 ( ξ,η ) 具有联合概率密度其他
xyx
yxf

0,10
0
2
),(
问,ξ,η 是否相互独立？
分析,f (x,y) 在如图所示区域内不等于 0,在其余区域均等于 0。 o x
y
1
1
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因为
xdyyxfxf,),()(?
o x
y
1
1
当 x≤0 或 x≥1时,
在整个积分路径上被积函数 f (x,y) 始终为 0; 因此
y = x
00)( dyxf?
当 0< x <1 时,xdyxf x 22)(
0

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类似地,
ydxyxfyf,),()(?
o x
y
1
1
当 y≤0 或 y≥1时,
00)(

dxyf?
当 0< y <1 时,
y = x
)1(22)( 1 ydxyf y
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于是,
其他
10
0
2
)(

xx
xf?
其他
10
0
)1(2
)(

yyyf
故当 0< x <1 且 0< y < x 时,
f (x,y) = 2≠fx(x) fy(y) = 4x(1-y)
因此,ξ与 η不相互独立,
找出了一个面积不为 0
的区域随机变量的独立性电子科技大学
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例 3.2.3 已知二维随机变量 ( ξ,η )的概率密度为

.,0;10,8
),(
其他
xyxy
yxf
问 ξ,η 是否相互独立？
解
dyyxfxf ),()(?



,10,8;10,0
0
xx y d y
xorx
x
x
0
1
( 1,1 )
y
G
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.10,4;10,0
3 xx
xorx


.10,44;10,0
)( 3
yyy
yory
yf?
)()(),( yfxfyxfG中在区域
}10),{( xyyxG ＝记
.,不相互独立故
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例 3.2.4设随机变量 ξ,η 相互独立,ξ~U( 0,a ),
η~ U(0,?/ 2)且 0 < b < a 试求
P { ξ < b cosη }
解

;,0;0,1)(
其他
axaxf


.,0;20,2)(
其他
yyf
因为随机变量 ξ,η 相互独立，则
)()(),( yfxfyxf YX
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x
0 y
a
b
π/2
x = b cosy
D
d x d y
a
bP
D
2c o s
,22 a bDSa



.,0;20,,2
其他
yaxoa
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练习 设随机变量 ξ 与 η 相互独立,填出空白处的数值,
11/6
1/8x2
1/8x1
y3y2y1ξ η ),(?ip
),( jp?
3/4
1/4
1/2
1/24
3/8
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例 3.2.5 将一枚均匀硬币独立地掷两次，引进随机事件如下
}{1 掷第一次出现正面?A
}{2 掷第二次出现正面?A
}{3 正、反面各出现一次?A
令

.0
,1 1
1
否则，
发生；当事件 A

.0
,1 2
2
否则，
发生；当事件 A
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.0
,1 3
3
否则，
发生；当事件 A
有
}0{}0{41)(}0,0{ 212121 PPAAPP
}0{}1{41)(}0,1{ 212121 PPAAPP
}1{}0{41)(}1,0{ 212121 PPAAPP
}1{}1{41)(}1,1{ 212121 PPAAPP
即 ξ1与 ξ2相互独立，同理可验证 ξ1与 ξ3,ξ2与 ξ2
也分别相互独立,
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但因
}0{}0{}0{
2
1
0)(}0,0,0{
3213
321




PPP
PP
即 ξ1,ξ2,ξ3不相互独立,