多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
§ 3.3~3.4 多维随机变量的数字特征一,多维随机变量函数的数学期望二,多维随机变量方差和数学期望性质三,协方差与相关系数四,n 维随机变量的 协方差矩阵多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
一,多维随机变量函数的数学期望与一维随机变量的情形类似，关于多维随机变量函数的数学期望有以下定理,
定理 3.3.1 设随机向量 (ξ1,ξ2,…,ξn)的分布函数为 ),,,,(
21 nxxxF? 是),,,( 21 nxxxg?
连续函数，则
),,,(),,,( 2121 nn xxxdFxxxg
是 存在的充要条件,),,,(
21 ngE
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
),,,(),,,(
)],,,([
2121
21
nn
n
xxxdFxxxg
gE
若 (ξ1,ξ2,…,ξn)是连续型随机变量，则
n
nn
n
dxdxdx
xxxfxxxg
gE
,
),,,(),,,(
)],,,([
21
2121
21
若期望存在，则多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
若 (ξ1,ξ2,…,ξn)是离散型随机变量，则
),,,(
),,,()],,,([
)()2(
2
)1(
1
1 1 1
)()2()1(
21
21
1 2
21
n
inii
i i i
n
iiin
n
n
n
xxxP
xxxggE
例 3.3.1 例 3.3.2 例 3.3.3
二、多维随机变量方差和数学期望性质性质 3.3.1 设 n维随机变量 (ξ1,ξ2,…,ξn)的数学期望 E(ξi)都存在，则多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
(1)线性性质：对任意常数 ci (i=1,2,…,n)有
)()(
11
n
i
ii
n
i
ii EccE
(2) 若 ξ1,ξ2,…,ξn相互独立，则
)()(
11
n
i
i
n
i
i EE证明
),,,()()( 21
11
n
n
i
ii
n
i
ii xxxdFxccE
)(),,,(
1
21
1
n
i
iini
n
i
i EcxxxdFxc
自学多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
性质 3.3.2 设 n维随机变量 (ξ1,ξ2,…,ξn)的方差 D(ξi)都存在，则
n
ij
ji
jjii
n
i
i
n
i
i EEEDD
1,11
)]}()][({[2)()(
若 ξ1,ξ2,…,ξn相互独立,则
n
i
i
n
i
i DD
11
)()(
证明
}])({[)( 2
111
n
i
i
n
i
i
n
i
i EED
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
}]))(({[ 2
1
n
i
ii EE
n
ij
ji
jjii
n
i
ii EEEEE
1,1
2 )]}()][({[2})]({[
若 ξi,i=1,2,…n 相互独立，则
jiEEE jiji ),()()(
)]}()][({[ jjii EEE
jiEEE jiji,0)()()(
n
i
i
n
i
i DD
11
).()(故有多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
思考 条件,ξ1,ξ2,…,ξn相互独立”能否减弱？
注 将方差性质
)()( 2 DaaD?
例 3.3.4 例 3.3.5 例 3.3.6
应用于性质 3.2.2,可得讲义 P219中公式
（ 3.4.5）和（ 3.4.6）,
练习题例 3.3.7
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
三,协方差与相关系数下面介绍的协方差、相关系数是描述随机变量之间相互关系的数字特征,
D(ξ＋ η)=
D(ξ) ＋ D(η)+ 2E{[ξ－ E(ξ)][η － E(η)]}
D(ξ?η)=
D(ξ) ＋ D(η)?2E{[ξ－ E(ξ)][η－ E(η)]}
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
定义 3.3.1 若 E{[ξ－ E(ξ)][η－ E(η)]}存在，
称
Cov(ξ,η)=E{[ξ－ E(ξ)][η－ E(η)]}
为随机变量 (ξ,η)的 协方差 (二阶混合中心矩 ).
有 D(ξ)= Cov(ξ,ξ )；
D(ξ士 η)=D(ξ)+D(η)士 2Cov(ξ,η )
性质 3.3.3 协方差性质
1) 对称性 Cov(ξ,η )＝ Cov(η,ξ ) ；
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
2) 齐性 Cov( aξ,bη )＝ ab cov(ξ,η ),a,b是常数 ；
3) Cov(ξ1+ξ2,η )＝ Cov(ξ1,η )+Cov(ξ2,η ).
)]}()][({[),(2 bEbaEaEbaC o v）证
)]}()][({[ EEa b E
).,(a b C o v?
常用 计算公式,
)()()(),( EEEC o v
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
柯西 -许瓦兹不等式 随机变量 ξ,η的二阶矩存在，则
][][}][{ 222 EEE
),(),(]),([ 222 yxdFyyxdFxyxdFxy
即例 3.3.8 例 3.3.9
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
定义 3.4.1设二维随机变量 ξ,η 的方差存在，
且 D(ξ)>0,D(η)>0 称
)()(
)]}()][({[(
)()(
),(
DD
EEE
DD
C o v
为随机变量 ξ与 η 的 相关系数,
注 1） 是一个无量纲的量,
]
)(
)(
)(
)([)2
D
E
D
EE
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
),(][ **** C o vE
是标准化随机变量的协方差性质 3.4.4 相关系数性质设随机变量 ξ,η 的相关系数 ρ 存在，则
1） |ρ|?1;
2） |ρ|＝ 1 ξ与 η 依概率为 1线性相关,即 使存在 ),0(,,
证 明1}{P
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
相关系数 是衡量两个随机变量之间 线性相关程度 的数字特征,
设随机变量 ξ,η 的相关系数存在,
1）,称 ξ,η正相关；1?
1}{P
2）,称 ξ,η负相关；1
3）,称 ξ,η不相关,0?
（ α<0）
（ α= 0）
练习 将一枚硬币重复抛掷 n次,ξ,η分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则 ρXY＝?1
α>0
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
注 1 仅说明 ξ,η之间 没有线性关系,但可能有其他 非线性关系,
0
例 3.3.10
注 2 若二维随机变量 ξ与 η相互独立，则 ξ
与 η不相关，即有,0
逆不真 由 不能得到 ξ与 η 相互独立,0?
例 3.3.11 例 3.3.12
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
四,n维随机变量的 协方差矩阵定义 3.3.1 设 n 维随机变量 (ξ1,ξ2,…,ξn) 的协方差
)( ijb
均存在,称矩阵 为 (ξ1,ξ2,…,ξn)
的 协方差矩阵,
bij = Cov(ξi,ξj )
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
...
......
...
...
21
22221
11211
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
性质 3.3.1 协方差矩阵的元素满足;,.,,,2,1),(1 nkDb kkk）;,.,,,2,1,,2 njibb jiij）
njibb jjiiijb 1,2,.,,,,,3 2）
对称矩阵证;,...,2,1),(})]({[1 2 nkDEEb kkkkk）
.,2,1,
,)]}()][({[
)]}()][({[2
nji
bEEE
EEEb
jijiji
jijiij
）
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
3) 根据 R-S积分的施瓦兹不等式
22 )]},()]([)]([{
jijjiiij xxdFExExb
),()]([
),()]([
2
2
jijj
jiii
xxdFEx
xxdFEx
,
)()]([)()]([ 22
jjii
jjjiii
bb
xdFExxdFEx
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
性质 3.3.2 协方差矩阵是非负定矩阵，即对任意实数 有 ),2,1(,nit
i
0
1 1
ki
n
i
n
k
ik ttbTT
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
...
......
...
...
21
22221
11211
其中
nt
t
T?
1
),,( 1 nttT
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
),()]([)]([
1 1
jijj
n
i
n
k
iiki xxdFExExtt
ki
n
i
n
k
ik ttb
1 1
),,()]([)]([ 1
1 1
njj
n
i
n
k
iiki xxdFExExtt
0),,(})]([{ 12
1
nii
n
i
i xxdFExt
例 3.3.13
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
定义 3.4.1 设 n 维随机变量 (ξ1,ξ2,…,ξn) 的相关系数 存在，称 nji
ij,,2,1,,
nnnn
nn
n
bbb
R
...
......
...
...
21
2221
11211
为 相关 (系数 )矩阵,
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
.CCR有与协方差矩阵相同的性质,
注 记
)(
1
)(
1
1
n
D
D
C
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
1） |ρ|?1
),(2)()()(0 C o vDDD证明：
22 )1(2
,01,1
证明
2） |ρ|＝ 1 ξ与 η依概率为 1 线性相关，即
.1}{),0(, P使或直接用柯西 — 许瓦兹不等式证明 P225
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
必要性证明,""?
）有时由 11
.0)( **E,0)(D
由方差的性质得
,1)}({ EP
.1)()(
)(
)(
)(
)(
EE
D
D
X
D
D
P －
,1}0{P即
.1 同理可证对
或者多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
充分性""?
,1}{P若
,)()( EE ),()( 2 DD?
)]}()][({[),( EEECo v
)]}()][({[ EEE
).( D?
.1
)()(
),(
2
DD
C o v
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
1） |ρ|?1
),c o v (2)()()(0 DDD证明：
22 )1(2
,01,1
相关系数性质证明
2） |ρ|＝ 1 ξ与 η依概率为 1 线性相关，即
.1}{),0(, P使多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
必要性证明,""?
）有时由 11
.0)( **E,0)(D
由方差的性质得
,1)}({ EP
.1)()(
)(
)(
)(
)(
EE
D
D
D
D
P －
,1}0{P即
.1 同理可证对
或者多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
充分性""?
,1}{P若
,)()( EE ),()( 2 DD?
)]}()][({[),( EEECo v
)]}()][({[ EEE
).( D?
.1
)()(
),c o v (
2
DD
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.1 设随机变量 (ξ,η)在以 (0,1),(1,0)，
(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求 E[(ξ+η)2].
1
1
0
(1,1)
解 G
.),(,0;),(,2
),(
Gyx
Gyx
yxf
dyxfyxE
R
2
),()(])[( 22
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
10 11 22 )(2)(2 x
G
dyyxdxdyx
.611]1)1[(32 10 3 dxx
不必求出 (ξ+η)2的概率密度,
1
1
0
(1,1)
G
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.2 设随机变量 (ξ,η) 三角形区域
D={0<x<1,－ x <y <x}
上服从均匀分布，试求 E(2ξ+1).
10
y=x
y=? x
解
.),(,0;),(,1
),(
Dyx
Dyx
yxf
dyxfxE
R
2
),()12()12(
.
3
5)12()12( 1
0
x
x
D
dyxdxdx
不必求出关于 ξ的边缘 概率密度,?
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.3 设随机变量 ξ与 η相互独立，都服从 N(0,1),求 ) ],,[ m i n (E
解
d x d yyxfyxE ),(),m i n ()],[ m i n (
x yx
d y d xey 2
22
2
12
dxee x
yx
)(1 22
22
11 2
dxe x
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.4 设进行了 n次独立试验，事件 A在第 k次试验时出现的概率为 pk,求事件 A在 n次独立试验中出现的总次数 ξ的期望和方差,
解 设事件 A在第 k次试验时出现的次数为
ξk,则
nkpB kk,,2,1),,1(~
相互独立，且出现总次数为
nkppDpE kkkkk,,2,1),1()(,)(因
n
k
k
1
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
n
k
k
n
k
k pEE
11
)()(
n
k
kk
n
k
k ppDD
11
)1()()(
特别对于 n重贝努里试验，有
nkpp k,,2,1,
)1()(,)( pnpDnpE从而二项分布的数学期望和方差多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.5 （超几何分布）随机变量 ξ的分布为
NMnnmCCCmP nNmn MNmM ;,...,2,1,0,/}{?
试求 E(ξ).
原始模型 N个球中有 M个红球,余下为白球,
从中任取 n个球,n个球中的红球数为 ξ
分析,1）直接求解较困难,应利用数学期望的性质求解,
见 P96和 P185
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
令 ξi表示第 i 次取到红球的个数,有
ξ=ξ1+ξ2+….+ξ n
且 ξi～ B(1,p),i=1,2,…,n
3) 由抽签的公平性有 p = P{ξi=1}=M/N.
问题 随机变量 ξ是否服从二项分布？
为什么？
2）设想这 n个球是逐个不放回抽取的，共取了 n 次,
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
从而 E(ξi)=1× M/N+0 × (1－ M/N)= M/N
N
nMEE n
i
i
1
)()(
NMnnmCCCmP nNmn MNmM,...,2,1,0/}{?
试求 E(ξ).
解 设想这 n个球是逐个不放回抽取的,共取了 n
次,令 ξi表示第 i 次取到红球的个数,i=1,2,…,n
则
ξ=ξ1+ξ2+….+ξ n
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.6 向某一目标进行射击,直至命中 k次为止,已知命中率为 p >0.求射击次数 ξ 的数学期望,
分析 ξ的分布律为
kj
kjkk
j ppjCE )1()(
1
1?
用数学期望和的性质进行求解,
,1,,)1(}{ 11 kkjppCjP kjkkj?
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
1 2 k… i-1… … i … ……
ξi表示第 i－ 1次命中以后,到第 i 次命中的射击次数,则
ξ=ξ1+ξ2+….+ξ k
ξi的分布律为
ξi 1 2 ….,m ……
P{ξi=m} p (1?p)p ….,(1?p)m-1p ……
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
1
1)1()(
m
m
i ppmE?
'
111
1
1 px
m
m
pxm
m xpmxp
px
px
p
x
xp 1
2)1(
1
1
1
.1)(...)()()( 21 k
p
EEEE k从而
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
)21,0(~,,N 且相互独立与设随机变量练习
.)(E则
222 ),(,1)()(),( )( Ryxeyfxfyxf yx
解
2.,,,,,,,,),()(
2
R
dyxfyxE
)1,0(~
),0(~
,
2
1 NN
具有可加性正态分布相互独立另解多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
dyeyE
y
2
2
2
1
)(
0
2
2
2
dyye
y
2
][2 02
2
y
e
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
).(),(
,,)1,0(~,
2222 YXDYXE
YXNYX
求相互独立且设
,1)]([)()(
),1,0(~,
22 XEXDXE
NYX
由解?
例 3.3.7
,)]([)()( 2242 XEXEXD
.213124
2
dxex
x
,1)( 2?YE同理,2)( 22 YXE
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
.4)()()(
,
2222 YDXDYXD
YX 相互独立又?
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.8 (ξ,η)在以原点为圆心的单位圆内服从均匀分布
.,0;1,1),( 22
其它
yxyxf
求 Cov(ξ,η),
解 因
,012)()(
1
1
2
dxxxdxxfxE
122 yx
d xd y
xy
)()()()(),c o v ( EEEE故多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
.0c o ss i n1 1
0
2
0
3
drdr
例 3.3.9 设随机变量相互独立同 分布，且其方差为,令
)1(,,,21?nXXX n?
02
n
i
iXnY
1
1
计算协方差 ).,(
1 YXC o v
解 故相互独立，因,,
21 nXXX?
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
),(1),(
1
11?
n
i
iXXC o vnYXC o v
n
i
iXXC o vnXXC o vn
2
111 ),(
1),(1
.)(1
2
1 nXDn
),,3,2(,0)()()(),( 111 niXEXEXXEXXC o v iii
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.10 设随机变量 Θ~U(0,2π),ξ=cosΘ,
η=cos(Θ+π/2),讨论 ξ与 η的相关性,
解
2
0
0c o s2 1)(c o s)( ddxfE
2
0
0)
2
c os (
2
1
)()
2
c os ()(
d
dfE
2
0
0)
2
c os (c os
2
1
)()2c os (c os)(),(
d
dfEC ov
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
20 22 21c o s2 1)()( dED
20 22 21)2(c o s2 1)()( dED
0
)()(
),(
DD
C o v
即 ξ与 η不相关，但因
.1)
2
(c o sc o s 2222
ξ与 η有确定的函数关系,?
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.11(ξ,η)在以原点为圆心的单位圆内服从均匀分布
.,0;1,1
),(
22
其它
yx
yxf
其它,0;11,
1
2
1221
2
1
)(
xdyf
xx
x
x
.,0;11,
12
)(
2
其它同理
y
y
yf
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
,0)(,0)( DD可以验证已计算得 Cov(ξ,η)=0.
随机变量不相关不一定相互独立 !
),()(),( yfxfyxf当 x
2+y2≤1,
.0从而
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.12某集装箱中放有 100件产品,其中一、
二、三等品分别为 80,10,10件,现从中任取一件，记
21
)3,2,1(
.,0;,1
求其它等品抽到
i
i
i
)()(
)()()(
)()(
),(
21
2121
21
21
21
DD
EEE
DD
C o v
关键是求 E(ξ1ξ2) 求出 ξ1ξ2分布律分析 需求多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
解 由已知可得
16.0)8.01(8.0)( 1D
8.0}{1
}{0)( 1
抽到一等品抽到非一等品
P
PE?
09.0)(1.0)( 22 DE同理
.,0;,1
21 其它等品抽到一等品同时抽到二
E(ξ1ξ2)=1× P{ξ1ξ2=1}＋ 0× P{ξ1ξ2=0}
=1× 0 ＋ 0× 1=0
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
0
)()(
)()()(
)()(
),(
21
2121
21
21
21
DD
EEE
DD
C o v
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.13 设二维随机变量 (ξ,η) 的联合概率密度为求,(ξ,η)的协方差矩阵,
分析 计算 (ξ,η)的协方差矩阵,就是计算 ξ、
η的方差和协方差,
.,0
);1(20,10,6
),(
其它
xyxxy
yxf
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
解 计算 E(ξ),E(η)
dxdyyxxfE ),()(
)( x y d yxdx 12
0
21
0 6
5
21121
0
22 dxxx )(
dxdyyxyfE ),()(
)( x dyxydx 12
0
21
0 6
5
41161
0
3 dxxx )(
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
为计算方差,先计算 E(ξ 2),E(η 2)
d x d yyxfxE ),()( 22?
)1(20 310 6x y d yxdx 51)1(12
1
0
23 dxxx
d x d yyxfyE ),()( 22?
)1(20 310 6x dyxydx 5
4)1(241
0
4 dxxx
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
得到
22 )]([)()( EED 25
1)
5
2(
5
1 2
22 )]([)()( EED 25
4)
5
4(
5
4 2
dxdyyxx y fE ),()(
)1(20 2210 6x dyyxdx 15
4)1(161
0
32 dxxx
75
4
5
4
5
2
15
4
Cov(ξ,η)
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
于是,(ξ,η) 的协方差矩阵为
09.7.27
§ 3.3~3.4 多维随机变量的数字特征一,多维随机变量函数的数学期望二,多维随机变量方差和数学期望性质三,协方差与相关系数四,n 维随机变量的 协方差矩阵多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
一,多维随机变量函数的数学期望与一维随机变量的情形类似，关于多维随机变量函数的数学期望有以下定理,
定理 3.3.1 设随机向量 (ξ1,ξ2,…,ξn)的分布函数为 ),,,,(
21 nxxxF? 是),,,( 21 nxxxg?
连续函数，则
),,,(),,,( 2121 nn xxxdFxxxg
是 存在的充要条件,),,,(
21 ngE
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
),,,(),,,(
)],,,([
2121
21
nn
n
xxxdFxxxg
gE
若 (ξ1,ξ2,…,ξn)是连续型随机变量，则
n
nn
n
dxdxdx
xxxfxxxg
gE
,
),,,(),,,(
)],,,([
21
2121
21
若期望存在，则多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
若 (ξ1,ξ2,…,ξn)是离散型随机变量，则
),,,(
),,,()],,,([
)()2(
2
)1(
1
1 1 1
)()2()1(
21
21
1 2
21
n
inii
i i i
n
iiin
n
n
n
xxxP
xxxggE
例 3.3.1 例 3.3.2 例 3.3.3
二、多维随机变量方差和数学期望性质性质 3.3.1 设 n维随机变量 (ξ1,ξ2,…,ξn)的数学期望 E(ξi)都存在，则多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
(1)线性性质：对任意常数 ci (i=1,2,…,n)有
)()(
11
n
i
ii
n
i
ii EccE
(2) 若 ξ1,ξ2,…,ξn相互独立，则
)()(
11
n
i
i
n
i
i EE证明
),,,()()( 21
11
n
n
i
ii
n
i
ii xxxdFxccE
)(),,,(
1
21
1
n
i
iini
n
i
i EcxxxdFxc
自学多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
性质 3.3.2 设 n维随机变量 (ξ1,ξ2,…,ξn)的方差 D(ξi)都存在，则
n
ij
ji
jjii
n
i
i
n
i
i EEEDD
1,11
)]}()][({[2)()(
若 ξ1,ξ2,…,ξn相互独立,则
n
i
i
n
i
i DD
11
)()(
证明
}])({[)( 2
111
n
i
i
n
i
i
n
i
i EED
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
}]))(({[ 2
1
n
i
ii EE
n
ij
ji
jjii
n
i
ii EEEEE
1,1
2 )]}()][({[2})]({[
若 ξi,i=1,2,…n 相互独立，则
jiEEE jiji ),()()(
)]}()][({[ jjii EEE
jiEEE jiji,0)()()(
n
i
i
n
i
i DD
11
).()(故有多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
思考 条件,ξ1,ξ2,…,ξn相互独立”能否减弱？
注 将方差性质
)()( 2 DaaD?
例 3.3.4 例 3.3.5 例 3.3.6
应用于性质 3.2.2,可得讲义 P219中公式
（ 3.4.5）和（ 3.4.6）,
练习题例 3.3.7
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
三,协方差与相关系数下面介绍的协方差、相关系数是描述随机变量之间相互关系的数字特征,
D(ξ＋ η)=
D(ξ) ＋ D(η)+ 2E{[ξ－ E(ξ)][η － E(η)]}
D(ξ?η)=
D(ξ) ＋ D(η)?2E{[ξ－ E(ξ)][η－ E(η)]}
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
定义 3.3.1 若 E{[ξ－ E(ξ)][η－ E(η)]}存在，
称
Cov(ξ,η)=E{[ξ－ E(ξ)][η－ E(η)]}
为随机变量 (ξ,η)的 协方差 (二阶混合中心矩 ).
有 D(ξ)= Cov(ξ,ξ )；
D(ξ士 η)=D(ξ)+D(η)士 2Cov(ξ,η )
性质 3.3.3 协方差性质
1) 对称性 Cov(ξ,η )＝ Cov(η,ξ ) ；
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
2) 齐性 Cov( aξ,bη )＝ ab cov(ξ,η ),a,b是常数 ；
3) Cov(ξ1+ξ2,η )＝ Cov(ξ1,η )+Cov(ξ2,η ).
)]}()][({[),(2 bEbaEaEbaC o v）证
)]}()][({[ EEa b E
).,(a b C o v?
常用 计算公式,
)()()(),( EEEC o v
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
柯西 -许瓦兹不等式 随机变量 ξ,η的二阶矩存在，则
][][}][{ 222 EEE
),(),(]),([ 222 yxdFyyxdFxyxdFxy
即例 3.3.8 例 3.3.9
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
定义 3.4.1设二维随机变量 ξ,η 的方差存在，
且 D(ξ)>0,D(η)>0 称
)()(
)]}()][({[(
)()(
),(
DD
EEE
DD
C o v
为随机变量 ξ与 η 的 相关系数,
注 1） 是一个无量纲的量,
]
)(
)(
)(
)([)2
D
E
D
EE
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
),(][ **** C o vE
是标准化随机变量的协方差性质 3.4.4 相关系数性质设随机变量 ξ,η 的相关系数 ρ 存在，则
1） |ρ|?1;
2） |ρ|＝ 1 ξ与 η 依概率为 1线性相关,即 使存在 ),0(,,
证 明1}{P
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
相关系数 是衡量两个随机变量之间 线性相关程度 的数字特征,
设随机变量 ξ,η 的相关系数存在,
1）,称 ξ,η正相关；1?
1}{P
2）,称 ξ,η负相关；1
3）,称 ξ,η不相关,0?
（ α<0）
（ α= 0）
练习 将一枚硬币重复抛掷 n次,ξ,η分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则 ρXY＝?1
α>0
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
注 1 仅说明 ξ,η之间 没有线性关系,但可能有其他 非线性关系,
0
例 3.3.10
注 2 若二维随机变量 ξ与 η相互独立，则 ξ
与 η不相关，即有,0
逆不真 由 不能得到 ξ与 η 相互独立,0?
例 3.3.11 例 3.3.12
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
四,n维随机变量的 协方差矩阵定义 3.3.1 设 n 维随机变量 (ξ1,ξ2,…,ξn) 的协方差
)( ijb
均存在,称矩阵 为 (ξ1,ξ2,…,ξn)
的 协方差矩阵,
bij = Cov(ξi,ξj )
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
...
......
...
...
21
22221
11211
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
性质 3.3.1 协方差矩阵的元素满足;,.,,,2,1),(1 nkDb kkk）;,.,,,2,1,,2 njibb jiij）
njibb jjiiijb 1,2,.,,,,,3 2）
对称矩阵证;,...,2,1),(})]({[1 2 nkDEEb kkkkk）
.,2,1,
,)]}()][({[
)]}()][({[2
nji
bEEE
EEEb
jijiji
jijiij
）
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
3) 根据 R-S积分的施瓦兹不等式
22 )]},()]([)]([{
jijjiiij xxdFExExb
),()]([
),()]([
2
2
jijj
jiii
xxdFEx
xxdFEx
,
)()]([)()]([ 22
jjii
jjjiii
bb
xdFExxdFEx
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
性质 3.3.2 协方差矩阵是非负定矩阵，即对任意实数 有 ),2,1(,nit
i
0
1 1
ki
n
i
n
k
ik ttbTT
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
...
......
...
...
21
22221
11211
其中
nt
t
T?
1
),,( 1 nttT
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
),()]([)]([
1 1
jijj
n
i
n
k
iiki xxdFExExtt
ki
n
i
n
k
ik ttb
1 1
),,()]([)]([ 1
1 1
njj
n
i
n
k
iiki xxdFExExtt
0),,(})]([{ 12
1
nii
n
i
i xxdFExt
例 3.3.13
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
定义 3.4.1 设 n 维随机变量 (ξ1,ξ2,…,ξn) 的相关系数 存在，称 nji
ij,,2,1,,
nnnn
nn
n
bbb
R
...
......
...
...
21
2221
11211
为 相关 (系数 )矩阵,
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
.CCR有与协方差矩阵相同的性质,
注 记
)(
1
)(
1
1
n
D
D
C
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
1） |ρ|?1
),(2)()()(0 C o vDDD证明：
22 )1(2
,01,1
证明
2） |ρ|＝ 1 ξ与 η依概率为 1 线性相关，即
.1}{),0(, P使或直接用柯西 — 许瓦兹不等式证明 P225
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
必要性证明,""?
）有时由 11
.0)( **E,0)(D
由方差的性质得
,1)}({ EP
.1)()(
)(
)(
)(
)(
EE
D
D
X
D
D
P －
,1}0{P即
.1 同理可证对
或者多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
充分性""?
,1}{P若
,)()( EE ),()( 2 DD?
)]}()][({[),( EEECo v
)]}()][({[ EEE
).( D?
.1
)()(
),(
2
DD
C o v
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
1） |ρ|?1
),c o v (2)()()(0 DDD证明：
22 )1(2
,01,1
相关系数性质证明
2） |ρ|＝ 1 ξ与 η依概率为 1 线性相关，即
.1}{),0(, P使多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
必要性证明,""?
）有时由 11
.0)( **E,0)(D
由方差的性质得
,1)}({ EP
.1)()(
)(
)(
)(
)(
EE
D
D
D
D
P －
,1}0{P即
.1 同理可证对
或者多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
充分性""?
,1}{P若
,)()( EE ),()( 2 DD?
)]}()][({[),( EEECo v
)]}()][({[ EEE
).( D?
.1
)()(
),c o v (
2
DD
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.1 设随机变量 (ξ,η)在以 (0,1),(1,0)，
(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求 E[(ξ+η)2].
1
1
0
(1,1)
解 G
.),(,0;),(,2
),(
Gyx
Gyx
yxf
dyxfyxE
R
2
),()(])[( 22
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
10 11 22 )(2)(2 x
G
dyyxdxdyx
.611]1)1[(32 10 3 dxx
不必求出 (ξ+η)2的概率密度,
1
1
0
(1,1)
G
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.2 设随机变量 (ξ,η) 三角形区域
D={0<x<1,－ x <y <x}
上服从均匀分布，试求 E(2ξ+1).
10
y=x
y=? x
解
.),(,0;),(,1
),(
Dyx
Dyx
yxf
dyxfxE
R
2
),()12()12(
.
3
5)12()12( 1
0
x
x
D
dyxdxdx
不必求出关于 ξ的边缘 概率密度,?
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.3 设随机变量 ξ与 η相互独立，都服从 N(0,1),求 ) ],,[ m i n (E
解
d x d yyxfyxE ),(),m i n ()],[ m i n (
x yx
d y d xey 2
22
2
12
dxee x
yx
)(1 22
22
11 2
dxe x
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.4 设进行了 n次独立试验，事件 A在第 k次试验时出现的概率为 pk,求事件 A在 n次独立试验中出现的总次数 ξ的期望和方差,
解 设事件 A在第 k次试验时出现的次数为
ξk,则
nkpB kk,,2,1),,1(~
相互独立，且出现总次数为
nkppDpE kkkkk,,2,1),1()(,)(因
n
k
k
1
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
n
k
k
n
k
k pEE
11
)()(
n
k
kk
n
k
k ppDD
11
)1()()(
特别对于 n重贝努里试验，有
nkpp k,,2,1,
)1()(,)( pnpDnpE从而二项分布的数学期望和方差多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.5 （超几何分布）随机变量 ξ的分布为
NMnnmCCCmP nNmn MNmM ;,...,2,1,0,/}{?
试求 E(ξ).
原始模型 N个球中有 M个红球,余下为白球,
从中任取 n个球,n个球中的红球数为 ξ
分析,1）直接求解较困难,应利用数学期望的性质求解,
见 P96和 P185
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
令 ξi表示第 i 次取到红球的个数,有
ξ=ξ1+ξ2+….+ξ n
且 ξi～ B(1,p),i=1,2,…,n
3) 由抽签的公平性有 p = P{ξi=1}=M/N.
问题 随机变量 ξ是否服从二项分布？
为什么？
2）设想这 n个球是逐个不放回抽取的，共取了 n 次,
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
从而 E(ξi)=1× M/N+0 × (1－ M/N)= M/N
N
nMEE n
i
i
1
)()(
NMnnmCCCmP nNmn MNmM,...,2,1,0/}{?
试求 E(ξ).
解 设想这 n个球是逐个不放回抽取的,共取了 n
次,令 ξi表示第 i 次取到红球的个数,i=1,2,…,n
则
ξ=ξ1+ξ2+….+ξ n
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.6 向某一目标进行射击,直至命中 k次为止,已知命中率为 p >0.求射击次数 ξ 的数学期望,
分析 ξ的分布律为
kj
kjkk
j ppjCE )1()(
1
1?
用数学期望和的性质进行求解,
,1,,)1(}{ 11 kkjppCjP kjkkj?
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
1 2 k… i-1… … i … ……
ξi表示第 i－ 1次命中以后,到第 i 次命中的射击次数,则
ξ=ξ1+ξ2+….+ξ k
ξi的分布律为
ξi 1 2 ….,m ……
P{ξi=m} p (1?p)p ….,(1?p)m-1p ……
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
1
1)1()(
m
m
i ppmE?
'
111
1
1 px
m
m
pxm
m xpmxp
px
px
p
x
xp 1
2)1(
1
1
1
.1)(...)()()( 21 k
p
EEEE k从而
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
)21,0(~,,N 且相互独立与设随机变量练习
.)(E则
222 ),(,1)()(),( )( Ryxeyfxfyxf yx
解
2.,,,,,,,,),()(
2
R
dyxfyxE
)1,0(~
),0(~
,
2
1 NN
具有可加性正态分布相互独立另解多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
dyeyE
y
2
2
2
1
)(
0
2
2
2
dyye
y
2
][2 02
2
y
e
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
).(),(
,,)1,0(~,
2222 YXDYXE
YXNYX
求相互独立且设
,1)]([)()(
),1,0(~,
22 XEXDXE
NYX
由解?
例 3.3.7
,)]([)()( 2242 XEXEXD
.213124
2
dxex
x
,1)( 2?YE同理,2)( 22 YXE
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
.4)()()(
,
2222 YDXDYXD
YX 相互独立又?
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.8 (ξ,η)在以原点为圆心的单位圆内服从均匀分布
.,0;1,1),( 22
其它
yxyxf
求 Cov(ξ,η),
解 因
,012)()(
1
1
2
dxxxdxxfxE
122 yx
d xd y
xy
)()()()(),c o v ( EEEE故多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
.0c o ss i n1 1
0
2
0
3
drdr
例 3.3.9 设随机变量相互独立同 分布，且其方差为,令
)1(,,,21?nXXX n?
02
n
i
iXnY
1
1
计算协方差 ).,(
1 YXC o v
解 故相互独立，因,,
21 nXXX?
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
),(1),(
1
11?
n
i
iXXC o vnYXC o v
n
i
iXXC o vnXXC o vn
2
111 ),(
1),(1
.)(1
2
1 nXDn
),,3,2(,0)()()(),( 111 niXEXEXXEXXC o v iii
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.10 设随机变量 Θ~U(0,2π),ξ=cosΘ,
η=cos(Θ+π/2),讨论 ξ与 η的相关性,
解
2
0
0c o s2 1)(c o s)( ddxfE
2
0
0)
2
c os (
2
1
)()
2
c os ()(
d
dfE
2
0
0)
2
c os (c os
2
1
)()2c os (c os)(),(
d
dfEC ov
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
20 22 21c o s2 1)()( dED
20 22 21)2(c o s2 1)()( dED
0
)()(
),(
DD
C o v
即 ξ与 η不相关，但因
.1)
2
(c o sc o s 2222
ξ与 η有确定的函数关系,?
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.11(ξ,η)在以原点为圆心的单位圆内服从均匀分布
.,0;1,1
),(
22
其它
yx
yxf
其它,0;11,
1
2
1221
2
1
)(
xdyf
xx
x
x
.,0;11,
12
)(
2
其它同理
y
y
yf
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
,0)(,0)( DD可以验证已计算得 Cov(ξ,η)=0.
随机变量不相关不一定相互独立 !
),()(),( yfxfyxf当 x
2+y2≤1,
.0从而
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.12某集装箱中放有 100件产品,其中一、
二、三等品分别为 80,10,10件,现从中任取一件，记
21
)3,2,1(
.,0;,1
求其它等品抽到
i
i
i
)()(
)()()(
)()(
),(
21
2121
21
21
21
DD
EEE
DD
C o v
关键是求 E(ξ1ξ2) 求出 ξ1ξ2分布律分析 需求多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
解 由已知可得
16.0)8.01(8.0)( 1D
8.0}{1
}{0)( 1
抽到一等品抽到非一等品
P
PE?
09.0)(1.0)( 22 DE同理
.,0;,1
21 其它等品抽到一等品同时抽到二
E(ξ1ξ2)=1× P{ξ1ξ2=1}＋ 0× P{ξ1ξ2=0}
=1× 0 ＋ 0× 1=0
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
0
)()(
)()()(
)()(
),(
21
2121
21
21
21
DD
EEE
DD
C o v
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
例 3.3.13 设二维随机变量 (ξ,η) 的联合概率密度为求,(ξ,η)的协方差矩阵,
分析 计算 (ξ,η)的协方差矩阵,就是计算 ξ、
η的方差和协方差,
.,0
);1(20,10,6
),(
其它
xyxxy
yxf
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
解 计算 E(ξ),E(η)
dxdyyxxfE ),()(
)( x y d yxdx 12
0
21
0 6
5
21121
0
22 dxxx )(
dxdyyxyfE ),()(
)( x dyxydx 12
0
21
0 6
5
41161
0
3 dxxx )(
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
为计算方差,先计算 E(ξ 2),E(η 2)
d x d yyxfxE ),()( 22?
)1(20 310 6x y d yxdx 51)1(12
1
0
23 dxxx
d x d yyxfyE ),()( 22?
)1(20 310 6x dyxydx 5
4)1(241
0
4 dxxx
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
得到
22 )]([)()( EED 25
1)
5
2(
5
1 2
22 )]([)()( EED 25
4)
5
4(
5
4 2
dxdyyxx y fE ),()(
)1(20 2210 6x dyyxdx 15
4)1(161
0
32 dxxx
75
4
5
4
5
2
15
4
Cov(ξ,η)
多维随机变量的数字特征电子科技大学
09.7.27
于是,(ξ,η) 的协方差矩阵为
