多维特征函数电子科技大学
§ 4.2 多维随机变量的特征函数一,多维随机变量的特征函数定义 4.2.1 n维随机向量 (ξ1,ξ2,…,ξn)的分布函数为 F(x1,x2,…,xn),则它的特征函数为
][),,,( )(21 11 nnttjn eEttt
),,()( 111 nnn xxdFxtxtje



多维特征函数电子科技大学

r s
srpett
ytrxtj,),(
,
21
21
)s(?
离散型二维随机变量 (ξ1,ξ2)的特征函数定义为
),(][),( )(( 21)221121 yxdFeeEtt ytxtttj j
连续型
dxdyyxfett ytxtj ),(),( )(21 21?
多维特征函数电子科技大学性质 4.2.1 设二维随机变量 (ξ1,ξ2)的特征函数为,则 ),(
21 tt?;1)0,0(φ),(φ
,,,1)0,0()1
21
21


tt
Rtt 有对任意?;),(φ),()2 2121 tttt
在实平面上一致连续；),()3 21 tt?
).(),0(),(φ)0,()4 222111 tttt
多维特征函数电子科技大学例 4.2.1 2维正态随机变量的特征函数为
)2(
2
1)(
21
2
2
2
22121
2
1
2
12211),( ttrttttjett
221 ),( Rtt?
Rtett ttj 12
1
111,)0,()(
2
1
2
111

有
Rtett ttj 22
1
222,),0()(
2
2
2
222

，和即有 ),(~),(~ 22222111 NN
正态随机变量的边缘分布也是正态分布,
多维特征函数电子科技大学性质 4.2.2 设二维随机变量 (ξ1,ξ2)的特征函数为 则),,(
21 tt?
1）随机变量 的特征函数为 ),(
222111 baba
),( 22112211 )( tatae btbtj
2）则随机变量 Z=aξ1+bξ2+c 的特征函数的特征函数为
.),,(φ)(φ Rtbtatet jtcZ
),(φ)(φ 21 ttt
特别有多维特征函数电子科技大学
][][)(φ )()( 2121 bajtjtccbajtZ eEeeEt证
][ 21 )()( btjatjjtc ee
).,( btate jtc
例 4.2.2 设随机变量 (X1,X2)服从二维正态分布,且 E(Xk)= k,k = 1,2,记
1,2,,,),(o ikikXXvCK jkki
求 Y=X1+X2的特征函数,
多维特征函数电子科技大学
),(φ 21,21 ttXX解
)4322(
2
1)2( 2
221
2
121 ttttttje
]σσ2σ[
2
1)( 2
2
2
22121
2
1
2
12211 tttrtttje
其中因
,321),( 2121 XXC o vr
)1,2,,(
.,2;,),(o
2



jk
jkk
jkjkXXvC
K
k
jk
ij?
多维特征函数电子科技大学
),(φ)( 21,ttt XXY得
263t tje,,
212
2
1
3 Rtee ttj
由唯一性定理知 Y=X1+X2～ N(3,12).
)4322(
2
1)2( 2
221
2
121 ttttttje
在下式中令 t1=t2
),(φ 21,21 ttXX
多维特征函数电子科技大学五,独立随机变量和的特征函数定理 4.2.3 n维 随机变量 ξ1,ξ2,…,ξn相互独立的充要条件是
),,,( 21 nttt )(
1 k
n
k
t
k?

ξ1,ξ2,…,ξn相互独立推知
nkjt kke,,2,1，?
也相互独立，从而仅证充分性多维特征函数电子科技大学
][),,,(φ )(21 11 nnttjn eEttt
)(
1
kkjt
n
k
eE
)(φ
1 k
n
k
t
k

推论 1 设随机变量 ξ1,ξ2,…,ξn相互独立，令则,
1
n
i
i
)(φ)(
1
tt
i
n
i

证 在定理中特别取 ti=t,i=1,2,…,n
多维特征函数电子科技大学
),,,( ttt )(
1
t
i
n
k?

由特征函数定义
][),,,( )( 1 nttjeEttt
][ )( 1 ntjeE
)()(
1
ttn
i
i

注 此推论的逆命题不一定成立，参见 261例
4.2.11.
多维特征函数电子科技大学
ntt )](φ[)(
推论 2 设随机变量 ξ1,ξ2,…,ξn相互独立并同分布，其特征函数均为,则的特征函数为
n
i
i
1
)(t?
例 4.2.3 下册 p9例 6.2.1 设随机变量 ξ1,ξ2,…,ξn
相互独立同服从 N(μ,σ2 ),求
n
i
in
1
1
的分布,
多维特征函数电子科技大学解 因正态随机变量 N(μ,σ2 )的特征函数为
]2e x p [)( 2
2
tjtt
n
n
t
n
tt )](φ[)()(

则
n
n
tj
n
t ]})(
2{ e x p [
2
2

])(
2
{ e x p [ 2
2
tj
n
t
即有
).,(~
2
nN

多维特征函数电子科技大学解 二项分布随机变量 η可表示为
n
k
k
1

ξk～ B(1,p),k=1,2,…,n,相互独立,故 η的特征函数为
nit
n
k
peqtt
k
)()(φ)(φ
1


例 4.2.5 设随机变量 ξ1,ξ2,…,ξn相互独立,
P{ξi=?1}=p,P{ξi= 1}=1?p = q,试求例 4.2.4 随机变量 η～ B(n,p),写出其特征函数,
多维特征函数电子科技大学
1） η2=ξ1+ξ2的分布律；
2） ηn=ξ1+ξ2+…+ ξn的分布律,
2)( ][)()( 21
2
jtjtjt qepeeEt

解
jtjt eqpqep 2222 2
η2 － 2 0 2
prob,q2 2pq p2
由特征函数与分布的惟一性定理知
.
k
k
jtx pe k
多维特征函数电子科技大学

n
k
jtjtjt knn
n
eEeEeEt
1
( )()()()( 21

)2(
0
][ nkjt
n
k
knkk
n
njtjt eqpCqepe?

由特征函数与分布函数的惟一性定理知



.,0
,2,,2,,}{ 222
其他
nnnnmqpCmP
mnnmnm
n
n

2
2 nmknkm其中多维特征函数电子科技大学例 4.2.6 推论 3.4.1（ P229）中推得条件：
1） ξ1,ξ2,…,ξn?1相互独立 ;
证明 ξ1,ξ2,…,ξn相互独立,
.1}{)2 cP n?
证明 随机变量 ξ1,ξ2,…,ξn的特征函数为
][),,,(φ )(21 11 nnttjn eEttt
][ )( 1111 nnnn jtttj eeE
]}[{ )( 1111 njtttj nnnn eeEE
全数学期望公式多维特征函数电子科技大学
}{][ )( 1111 cPceeE nnjtttj nnnn
][ )( 1111 nnn ttjcjt eEe
因 ξ1,ξ2,…,ξn?1相互独立，故


n
k
k
n
k
xjtcjt teEe
k
kkn
1
1
1
)()(
),,,(φ 21 nttt?
定理 4.2.3证得 ξ1,ξ2,…,ξn相互独立,
多维特征函数电子科技大学重要命题：
二项分布、泊松分布、正态分布,Γ?分布具有可加性,
自学,例 4.2.8，例 4.2.9，例 4.2.10.