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概率论与数理统计第一章随机事件与概率
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引 言
概率论是研究 随机现象 的 数量规律 的数学分支,
所谓随机现象，是相对于 决定性现象 而言的,
一定条件下必然 发生 (或 出现 )某一结果的现象称为决定性现象,
例如，在没有外力作用下，作匀速直线运动的物体必然继续作匀速直线运动；
又如在标准大气压下，纯水加热到 100℃ 时必然会沸腾等等,
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这些 条件 和 结果 之间存在着 必然联系 的现象就是 决定性现象,
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在自然现象和社会现象中还广泛存在着与决定性现象有着本质区别的一类现象，例如,
当掷一枚硬币时，可能出现正面朝上，也可能出现反面朝上；
每天上午 8:00—9:00记录一个电话交换台收到用户的呼叫次数，可能是 0次,1次,2次 …… ；
再如，同一门炮向同一目标发射用同一工艺过程生产的炮弹；
因为炮弹制造时种种偶然因素对炮弹质量有影响、
炮筒位置有差异、空气中气流的变化 …… 都影响着弹着点的位置，使弹着点在不同次发射中落在不同的位置,
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这些现象的特点是：
（ 1） 在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果,
（ 2） 每一次试验或观察之前，不能完全肯定会出现哪种结果,
（ 3） 究竟出现哪种结果，呈现出偶然性,
这种现象称为 随机现象,
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概率论研究随机现象有其独特的方法,
它不是企图追索出现每一结果的物理因素，从而象研究确定性现象那样确定无疑地预报在哪些条件下出现某一确定的结果，而是通过对随机现象的大量观察，揭示其规律性,
例如连续多次掷一枚硬币，随着投掷次数的增加，
出现正面的频率 (出现正面的次数与投掷次数之比 )
逐渐稳定于 1/2，从而揭示,出现正面,这一结果发生的可能性大小为 1/2；
又如多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐稳定于一个常数等等,
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概率论有悠久的历史，它的起源与赌博问题有关,
16世纪，意大利的学者开始研究掷色子 (骰子 )等赌博中的一些简单问题，例如比较两个色子出现点数之和为 9与 10的可能性大小,
17世纪中叶，法国数学家帕斯卡、费马 (P.de
Fermat)及荷兰数学家惠更斯基于排列组合方法，研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了,分赌注问题,,,赌徒输光问题,等,
随着 18,19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有一种相似，
从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，
同时也大大推动了概率论本身的发展,
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使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家伯努利 (J.I.Bernoulli)，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率,
随后棣莫弗 (A.de Moivre)和拉普拉斯 (P.S.Laplace)
又导出了第二个基本极限定理 (中心极限定理 )的原始形式,
拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了,分析的概率理论,,明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有利的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段,
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19世纪末，俄国数学家切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布,
20世纪初受物理学的刺激，人们又开始研究随机过程,这方面柯尔莫哥洛夫、维纳 (N.Wiener)、马尔可夫、辛钦、莱维及费勒 (W.Feller)等人做了杰出的贡献,
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如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了三个世纪,
二十世纪初完成的勒贝格测度 (H.L.Lebesgue)与积分理论及随后发展的抽象测度与积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础,
在这种背景下苏联数学家柯尔莫哥洛夫 1933年在他的,概率论基础,一书中第一次给出了概率的 测度论式 的定义和一套严密的公理体系,他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对近几十年概率论的迅速发展起了积极的作用,
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数理统计学是概率论的一个姐妹学科，研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性质的数据，以对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议,
统计学自古有之，例如人口统计、社会调查等,但它不是现代意义下的数理统计学，只是数据的记录和整理,
数理统计学是随着概率论的发展而发展起来的,
当人们认识到必须把数据看成是来自一定概率分布的总体，所研究的对象是这个总体而不能局限于数据本身之日，也就是数理统计诞生之时,
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在 19世纪中叶以前已出现了若干重要的工作，特别是高斯 (C.F.Gauss)和勒让德关于观测数据的误差分析和最小二乘法,
但数理统计学发展成为一门成熟的学科，则是 20世纪上半叶的事,
皮尔森 (K.Pearson)、费希尔 (R.A.Fisher)作出了重大贡献,1946年，克拉默发表的,统计学的数学方法,是第一部严谨且比较系统的数理统计著作，
可以把它作为数理统计学进入成熟阶段的标志,
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数理统计学用到很多近代数学知识，但与其关系最密切的是概率论,
在很大程度上可以说概率论是数理统计的理论基础，
数理统计是概率论的一种应用，并且补充和丰富了概率论,它们是两个并列的数学分支，并无从属关系,
目前，概率论与数理统计的理论与方法已广泛的用于自然科学、技术科学、社会科学及人文科学的各个领域,
近年来随着科学技术的迅速发展，它在经济、管理、
工程、技术、物理、气象、海洋、地质等领域中的作用愈益显著,
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随着计算机的发展与普及，概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法,
概率论与数理统计向各个领域渗透，产生了许多新的分支和边缘科学，如生物统计、统计物理、数学地质、教育统计等,
同时概率论与数理统计又是许多新的重要学科的基础，如信息论、控制论、排队论、预测论、可靠性理论及人工智能等,
概率论与数理统计，作为理论严谨、应用广泛、发展迅速的数学分支正日益受到人们的重视并发挥着重大的作用,
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第一章 随机事件与概率
1.1 随机事件
1.1.1 必然现象和随机现象
人们在实践活动中所遇到的现象，一般来说可以分为两类：一类是 必然现象,或称 确定性现象 ；另一类是 随机现象,或称 不确定性现象,
必然现象是指在相同条件下重复试验，所得结果总是确定的现象；只要条件不变，试验结果在试验之前是可以预言的,
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必然现象是指在相同条件下重复试验，所得结果总是确定的现象,
例如：
在标准大气压下，将纯水加热到 100℃,水必然沸腾；
用手向空中抛出的石子，必然下落；
作匀速直线运动的物体，如果没有外力的作用，必然继续作匀速直线运动等等，
这些现象都是必然现象,
对这种现象来说，只要条件不变，试验结果在试验之前是可以预言的,
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随机现象是指在相同条件下重复试验，所得结果不一定相同的现象，即试验结果是不确定的现象：
对这种现象来说，在每次试验之前哪一个结果发生，
是无法预言的,
例如：
新生婴儿，可能是男孩，也可能是女孩；
向一个目标进行射击，可能命中目标，也可能不命中目标；
测量某个物理量，由于许多偶然因素的影响，各次测量的结果不一定相同等等，
这些现象都是随机现象,
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对随机现象，是否有规律可寻呢？
人们经过长期的反复实践，发现这类现象虽然就每次试验结果来说，具有不确定性，但大量重复试验，
所得的结果却呈现出某种规律性,
例如：
(1)掷一枚质量均匀的硬币，当投掷次数很大时，
就会发现正面和反面出现的次数几乎各占 1/2.
历史上，蒲丰 (Buffon) 掷过 4040次，得到 2048次正面；皮尔逊 (K.Pearson) 掷过 24000次，得到
12012次正面,
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(2)对一个目标进行射击，当射击次数不多时，弹孔的分布看不出有什么规律性；
但当射击次数非常多时，就可以发现弹孔的分布呈现出一定的规律性：
弹孔关于目标的分布略呈对称性，且越靠近目标的地方弹孔越密，越远离目标的地方弹孔越稀,
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xO
y
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(3)从分子物理学的观点来看，气体分子对器壁的压力是气体分子对器壁碰撞的结果,
由于分子是时刻不停地、杂乱无章地运动着地，运动的速度和轨道都是随机的，因而气体分子对器壁也是随机的,
初看起来器壁所受的压力是不稳定的；
可是实验证明，由于分子的数目非常大，各分子运动所具有的随机性在集体中互相抵消、互相平衡了，
使得器壁所受的总压力呈现一种稳定性,
分子的数目越大，压力就越稳定,
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从上述的几个例子可以看到，随机现象也具有规律性，这种规律性可在相同条件下的大量重复试验或观察中呈现出来,这种规律性称为 随机现象的统计规律性,
概率论和数理统计就是研究随机现象统计规律的一门数学学科,
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第一章 随机事件与概率
1.1 随机事件
1.1.2 随机试验与事件、样本空间
对随机现象的研究，总是要进行观察、测量或做各种科学实验 (为了叙述方便，统称为试验 ).
例如，掷一枚硬币，观察哪面朝上；
向一个目标进行射击，观察是否命中；
从一批产品中随机抽取一个产品，检查它是否合格；
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向坐标平面内任投一银针，测量此针的针尖指向与 x
轴正向之间的交角等等；
这些都是试验,通过仔细的分析，可以发现，这些试验具有如下的共同特点：
（ a）试验可以在相同的条件下重复进行；
（ b）试验的所有可能的结果不止一个，而且是事先已知的；
（ c）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，
但究竟出现哪一个结果，试验之前是不能确切预言的,
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如掷硬币的例子，试验是可以在相同的条件下重复进行的，试验的可能的结果有两个，即正面和反面；
每次试验必出现其中之一，但投掷之前是不可能预言正面出现还是反面出现,
人们将满足上述 （ a）、（ b ）、（ c ） 三个条件的试验，称为 随机试验,简称为 试验,以字母 E来表示,
为了研究随机试验,首先要知道这个 试验的所有可能的结果是哪些,
随机试验的每一个可能的结果称为 基本事件,也称作 样本点,用字母 e表示,
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随机试验 E的全体基本事件 所构成的集合,称为 E的的 样本空间,记为 S.
在讨论一个随机试验时，首先要明确它的样本空间 。
对一个具体的 试验来说，其样本空间可以由试验的具体内容确定,
下面看几个例子,
例 1 掷一枚质量均匀对称的硬币，观察正反面出现情况，这是个随机试验,
可能的结果有两个：正 (正面朝上 )，反 (反面朝上 ).
故样本空间
S={正，反 }
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例 2 将 一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反面出现情况，这也是个随机试验,
可能的结果有四个：
(正，正 ),(正，反 ),(反，正 ),(反，反 ).
这里括号内的第一个和第二个字，分别表示第一次和第二次掷的结果,
故样本空间
S={(正，正 ),(正，反 ),(反，正 ),(反，反 )}.
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例 3 记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数,这是个随机试验,
它的基本事件 (记录的 结果 )是一个非负的整数，
由于难以确定一个呼叫的上界，所以样本空间
S={0,1,2,… }
例 4 从一批灯泡中抽取一只灯泡，测试它的使用寿命,这是个随机试验,
设 t表示灯泡的使用寿命，则 样本空间
S={t|t≥ 0}.
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例 5 观察某个地区一昼夜的最低温度 x和 最高温度 y.
设这个地区的温度不会小于 T0也不会大于 T1，则 样本空间
S={(x,y):T0≤ x<y≤ T1}.
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在 试验中可能发生也可能不发生的事情称为随机事件,简称为 事件,以字母 A,B,C,…
等 来表示,
有了样本空间的概念便可以用集合的语言来定义事件,
下面先从一个例子来分析,
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例 6 将 一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反面出现情况，这是个随机试验,
在这个随机试验 中，若设
A表示事件,第一次出现正面,,
在一次试验 中,A发生当且仅当在这次试验中出现基本事件
(正，正 ),(正，反 )
中的一个,
这样可以认为 A是由 (正，正 ),(正，反 )组成的，
而将 A定义为它们 组成的集合
A={(正，正 ),(正，反 )}.
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又如
事件 B表示,两次出现同一面,
在一次试验 中,B发生当且仅当在这次试验中基本事件
(正，正 ),(反，反 )
中的一个 出现,
这样可以认为 B是由 (正，正 ),(反，反 )组成的，
而将 B定义为它们 组成的集合
B={(正，正 ),(反，反 )}.
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类似地,事件 C=“至少有一次出现正面,,可 定义为 集合
C={(正，正 ),(正，反 ),(反，正 )}.
事件 D=“第一次出现反面,,可 定义为 集合
D={(反，正 ),(反，反 )}.
一般地，人们将 事件 定义为基本事件的某个集合，即样本空间的某个子集，称事件 A发生，
当且仅当 A中的某一个基本事件出现,
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特殊 事件
样本空间 S和空集 Φ 作为 S的子集也看作 事件,
由于 S包含所有的 基本事件，故在每次 试验中，必有一个 基本事件 e?S发生，即在 试验中,事件 S必然发生；因此,S是 必然 事件,
又因在 Φ 中不包含任何一个 基本事件，故在任何一次 试验中,Φ 永远不会 发生；因此,Φ 是不可能 事件,
常用 S,Φ 分别表示必然 事件与 不可能 事件,
必然事件与不可能事件可以说不是随机事件，但是为了研究的方便，还是把它们作为随机事件的两个极端情形来处理,
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再看几个 事件的例子
例 7 在例 3的,记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数,这个随机试验中，若设
A=“呼叫次数 不超过三次,,
B=“呼叫次数 大于五次,,
则
A={0,1,2,3}，
B={6,7,8,… }.
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例 8 在例 4的,从一批灯泡中抽取一只灯泡，测试它的使用寿命,这个随机试验中，若设
A=“灯泡 的 寿命 小于五小时,
则
A={t:0≤ t<5}.
例 9 在例 5的,观察某个地区一昼夜的最低温度 和 最高温度,这个随机试验中，若设
A=“最高温度 与 最低温度 之差不超过 10℃,，
则
A={(x,y):y?x ≤ 10,T0≤ x<y≤ T1}.
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第一章 随机事件与概率
1.2 事件的关系和运算
在实际问题中，往往要在同一个试验中同时研究几个事件以及它们之间的联系,
详细分析事件之间的关系，不仅可以帮助人们更深入地认识事件的本质，而且可以大大简化一些复杂的事件,
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在下面的叙述中，为直观起见，用平面上的一个矩形域表示样本空间 S.
S
样本空间
S
矩形内的每一点表示样本点 e(基本事件 ).
样本点 e
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在下面的叙述中，为直观起见，用平面上的一个矩形域表示样本空间 S.
S
用矩形 S内的个圆表示 事件 A,
A
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在下面的叙述中，为直观起见，用平面上的一个矩形域表示样本空间 S,矩形内的每一点 e表示样本点
(基本事件 )，并用矩形内的两个圆分别表示 事件 A
和 事件 B,
A
B
S
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1.事件的包含和相等
若事件 A中的每一个样本点都属于事件 B(图 1.1 )，
S
BA
图 1.1 A? B
则称 事件 B包含 事件 A，
记作
A?B
或
B?A.
42
显然，这时事件 A发生必然导致事件 B发生,
故 B包含 A，也常定义为：,若 A发生必然导致 B发生，则称 B包含 A”.
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例如，在 1.1节 例 6将 一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反面出现情况，这个随机试验 中，若
设
A表示事件,第一次出现正面,
C表示事件,至少有一次出现正面,
由于
A={(正，正 ),(正，反 )}
C={(正，正 ),(正，反 ),(反，正 )}
故有
A?C.
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对任意的 事件 A，有 Φ?A?S.
S
A
如果 A?B,且 B?A,则称 A与 B相等,记作
A=B.
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2.事件的积 (或交 )
同时属于 A和 B的样本点的集合 (图 1.2)，
S
A
B
AB
图 1.2 A ∩ B
称为 A与 B之 积 (或 交 )，
记作
A ∩ B
或
AB.
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显然，事件 AB发生等价于事件 A与事件 B同时 发生，
常称 AB为 A与 B同时 发生的事件,
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在 1.1节 例 7的,记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数,这个随机试验中，若设
A=“呼叫次数 不超过三次,,
B=“呼叫次数 大于五次,,
则
由于
A={0,1,2,3}，
B={6,7,8,…},
从而
AB=Φ.
48
对任意的 事件 A，有
SA=A；
若 A?B，则有
AB=A.
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3.互不相容事件
若 AB=Φ，即 A与 B不能 同时 发生 (图 1.3)，
S
A
B
图 1.3 AB=Φ
则称 A与 B为 互不相容的 事件 (或 互斥 事件 ).
Incompatible events
或
Mutually exclusive
events
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例如，在 1.1节 例 7的,记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数,这个随机试验中，若设
A=“呼叫次数 不超过三次,,
B=“呼叫次数 大于五次,,
则
由于
A={0,1,2,3}，
B={6,7,8,… }，
从而
AB=Φ，
因此 A与 B为 互不相容的事件,
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再如必然 事件 S与不可能 事件 Φ 是 互不相容的事件,
如果 A1,A2,…,An中的任意两个 事件 是 互不相容的，
则称 A1,A2,…,An是 互不相容的,
如果 A1,A2,…,An,… 中的任意两个 事件 是 互不相容的,则称 A1,A2,…,An,… 是 互不相容的,
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4.事件的和 (或并 )
至少属于 A和 B二者之一的所有样本点组成的集合
(图 1.4)，
S
A BAB
图 1.4 A ∪ B
称为 A与 B之和 (或 并 )，
记作
A∪ B
或
Union.
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显然，事件 A∪ B发生，表示 A发生或 B发生或 A与 B
同时 发生，即 A与 B中至少有一个 发生,
因此，常称 A∪ B为 A与 B中 至少有一个 发生的事件,
若 A与 B是 互不相容的事件,则它们的和 A∪ B也记为 A+B.
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例如，在 1.1节 例 6的,将 一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反面出现情况,这个随机试验 中，
若设 A表示事件,第一次出现正面,,B表示事件
,两次出现同一面,,D表示事件,第一次出现反面,,则由于
A={(正，正 ),(正，反 )}
B={(正，正 ),(反，反 )}
D={(反，正 ),(反，反 )}
故有
A∪ B={(正，正 ),(正，反 ),(反，反 )}
A+D={(正，正 ),(正，反 ),(反，正 ),(反，反 )}.
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5.事件的差
包含在 A中而不 包含在 B中的所有样本点组成的集合
(图 1.4)，
S
A-B
B
A
图 1.5 A -B
称为 A与 B之 差,
记作
A?B.
显然，事件 A?B发生，
表示事件 A发生而 B不发生,
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例如，在 1.1节 例 6的,将 一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反面出现情况,这个随机试验 中，
若设 A表示事件,第一次出现正面,,B表示事件
,两次出现同一面,,C表示事件,至少有一次出现正面,,D表示事件,第一次出现反面,,则由于? A={(正，正 ),(正，反 )}
B={(正，正 ),(反，反 )}
C={(正，正 ),(正，反 ),(反，正 )}
D={(反，正 ),(反，反 )}
故有
A?B={(正，反 )},A?C=Φ,A?D=A.
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对任意的 事件 A，有
A?A=Φ，
A?Φ=A，
A?S=Φ.
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6.对立事件
S与 A之 差 S?A (图 1.6)，
S
A
Ac
A
图 1.6 Ac
称为 A的 对立事件,
记作
Ac.
或
A
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由定义可知，在任意一次试验中,A与 Ac不可能同时发生，但 它们 二者之中必然有一个发生,
因而,Ac就是,A不发生,,且 (Ac)c=A,即
.AA?
显然，若事件 A,B满足
AB=Φ,A∪ B=S，
则 A,B互为 对立事件：
B=Ac,A=Bc，
即
.,BAAB
60
此外，对任意两事件 A,B有,
A?B=ABc
即
.BABA
61
事件的和与事件的积可以推广到 n个事件及可列无限多个事件上去,
用 A1∪ A2∪ … ∪ An或
n
i
iA
1?
表示,A1,A2,…,An中至少有一个发生,的 事件，称之为 A1,A2,…,An的 和,
当 A1,A2,…,An互不相容 时,它们的和可以写成
A1+A2+…+ An或
.
1
n
i
iA
62
用
1i
iA
表示,A1,A2,…,An,… 中至少有一个发生,的 事件，
称之为 A1,A2,…,An,… 的 和,
用
n
i
iA
1?
表示,A1,A2,…,An同时发生,的 事件，称之为
A1,A2,…,An的 积,
63
用
1i
iA
表示,A1,A2,…,An,… 同时发生,的 事件，称之为
A1,A2,…,An,… 的 积,
64
上面利用集合的概念描述了 事件的 概念、关系及运算，为了将它们与集合论中的相应的部分对照，列表如下,
65
表符 号 概 率 论 集 合 论
S
Φ
e
A
Ac
A?B
A=B
A∪ B
A∩B
A?B
AB=Φ
样本空间，必然事件不可能事件基本事件 (样本点 )
事件
A的对立事件事件 A发生必然导致事件 B发生事件 A与 事件 B相等事件 A与 事件 B至少有一个 发生事件 A与 事件 B同时 发生事件 A发生而事件 B不发生事件 A与 事件 B互不相容空间 (全集 )
空集元素子集
A的余集
A是 B的子集
A与 B相等
A与 B的 并集
A与 B的 交集
A与 B的 差集
A与 B没有公共元素
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事件 与集合 的 概念、关系及运算对照 表符 号 概 率 论 集 合 论
S
Φ
e
A
Ac
A?B
样本空间，必然事件不可能事件基本事件 (样本点 )
事件
A的对立事件事件 A发生必然导致事件 B发生空间 (全集 )
空集元素子集
A的余集
A是 B的子集
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事件 与集合 的 概念、关系及运算对照 表续符 号 概 率 论 集 合 论
A=B 事件 A与 事件 B相等 A与 B相等
A∪ B 事件 A与 事件 B至少有一个 发生
A与 B的 并集
A∩ B 事件 A与 事件 B同时 发生 A与 B的 交集
A?B 事件 A发生而事件 B不发生 A与 B的 差集
AB=Φ 事件 A与 事件 B互不相容 A与 B没有公共元素
68
由于事件、事件的关系及运算与集合、集合的关系及运算是相当的，故根据集合的运算性质可以推得事件的运算性质 如下：
（ 1） 交换律,
A∪ B=B∪ A,AB=BA ；
（ 2）结合律：
(A∪ B)∪ C=A∪ (B∪ C),
(AB)C=A(BC) ；
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（ 3） 分配律,
(A∪ B)∩ C=(A∩ C)∪ (B∩ C),
(A∩ B)∪ C=(A∪ C)∩ (B∪ C)；
（ 4）对偶原理：
(AB)c=Ac∪ Bc，
(A∪ B)c=Ac∩ Bc ；
即
.,BABABAAB
都发生的对立事件是至少一个不发生；至少一个发生的对立事件是都不发生,
70
对偶原理在事件的运算中经常用到，它可以推广到更多个事件的情况，即
n
i
i
n
i
i AA
11
n
i
i
n
i
i AA
11
11 i
i
i
i AA
11 i
i
i
i AA
用语言表述为：事件和的对立事件等于对立事件的积，事件积的对立事件等于对立事件的和,
71
例 1 在检查某种圆柱形零件时，要求它的长度和直径都必须合格,
设 A,B,C分别表示事件,直径合格,,,长度合格,,,产品合格,,则
(a)C?A,C?B；
(b) Cc,Bc,Ac分别表示,产品不合格,,,长度不合格,,,直径不合格,；
(c) C=A∩ B；
(d) Cc=Ac∪ Bc；
(e) C=A?Bc.
72
例 2 某射手向一个目标进行三次射击，令
,次射击命中目标”“第 iA i? ;3,2,1?i
,次”“在三次射击中，命中 jB j? ;3,2,1,0?j
,次”命中“在三次射击中，至少 kC k?,3,2,1,0?k
则;3213210 AAAAAAB;3213213211 AAAAAAAAAB;3213213212 AAAAAAAAAB;3213 AAAB?
73;3211 BBBC;322 BBC
.32133 AAABC
74
再看几个 事件的例子
例 3选择题：
若随机事件 A,B满足
AB =AcBc
则 ( ).
(A) A∪ B=Φ； (B) A∪ B=S；
(C) A∪ B=A； (D) A∪ B=B.
（ 答案,(B))
75
解,由对称性知 (C),(D)不成立，否则两个都成立；
若 (A)成立，则 A=B=Φ，与已知矛盾，故排除法只能选 (B).
事实上，由于
BABAAB
故
SBABAABBABA )()()(
76
77
概率论与数理统计第一章随机事件与概率
78
将一颗构造均匀的色子投掷一次,求事件 A=“掷得奇数点,,B=“掷得偶数点,,C=“掷得么 (幺 )点,
的概率,
解 因 样本空间 S={1,2,3,4,5,6},事件 A={1,3,5}，
B={2,4,6},C={1},故
P(A)= 3/6= 1/2，
同理
P(B)= 1/2,P(C)= 1/6.
79
第一章 随机事件与概率
1.3 古典概率
当做一个随机试验时，常常会发现有些事件出现的可能性大些，有些事件出现的可能性小些，有些事件出现的可能性彼此大致相同,
事件出现的可能性的大小，是客观存在的，它揭示了这些事件的内在的统计规律,
在生产实际中，了解和掌握事件发生的可能性的大小是有重要意义的,
80
例如，知道了某电话交换台在 24小时内出现某些呼唤次数的可能性的大小，就可以根据要求，合理地配置一定的线路设施以及管理人员等,
为了研究事件发生的可能性的大小，就需要用一个数字来描述这种可能性的大小，人们就把刻画这种可能性大小的数值叫做事件的概率,
事件 A,B,C,… 的概率 分别 用
P(A),P(B),P(C),…
来表示,
由此可知，概率是随机事件的函数,
81
对于一个给定的事件，概率到底是一个什么数？怎样求？
下面先对一种最简单的情况加以讨论,
82
第一章 随机事件与概率
1.3 古典概率
1.3.1 古典概率的定义与计算
先看一个简单的例子，投掷一枚均匀的硬币，考虑出现正面和出现反面这两个事件的概率,
由于 硬币是均匀的，因而出现正面和出现反面的可能性是一样的,故人们有理由认为出现正面和出现反面这两个事件的概率都是 1/2.
83
这个例子具有下面两个特点：
(ⅰ) 样本空间包含的基本事件的个数是有限的；
(ⅱ) 每个基本事件发生的 可能性是相等的,
第一个特点是显然的；
第二个特点，严格说来，是很难具备的,
因为实际的硬币两面的花纹不同，凹凸分布不同，
故硬币不是绝对均匀对称的,
不过花纹、凹凸这些因素对出现正面或反面的影响很小，可以把它们忽略，而认为出现正面和出现反面是等可能的,
84
具有上述两个特点的试验，叫做古典概型试验，它是概率论初期研究的主要对象，一般有下面的定义,
定义 1.1 设 E是一个随机试验，若它的样本空间 S满足下面两个条件：
(ⅰ) 只有有限个基本事件；
(ⅱ) 每个基本事件发生的 可能性是相等，
则称 E为 古典概型的试验,
在古典概型的情况下,事件 A的概率定义为
() APA? 所 包 含 的 基 本 事 件 的 个 数样 本 空 间 中 基 本 事 件 的 总 数
85
在古典概型的情况下,事件 A的概率定义为
P(A)=A所 包 含的基本事件个数 /S所包含的 基本事件总数
= #(A)/#(S) (1.3)
即
#()
#
AAPA
S
所 包 含 的 基 本 事 件 的 个 数样 本 空 间 中 基 本 事 件 的 总 数
用这个公式计算古典概率时，必须计算样本空间中的基本事件总数以及事件 A中包含的基本事件的个数,这种计算常常要用到排列与组合的知识,
86
排列与组合
1.两个基本原理
(a)加法原理
完成一件事，有两类不同的办法,在第一类办法中有
m种方法，在第二类办法中有 n种方法，两类办法中的每一中方法都能完成这件事，那么完成这件事共有 m+n种不同的方法,
(b)乘法原理
完成一件事，必须通过两个步骤,第一步骤有 m种方法，第二步骤有 n种方法，那么完成这件事共有 mn
种不同的方法,
87
显然，加法原理,乘法原理这两条原理可以推广到多个过程的场合,
2.排列
(a)有重复排列
从 n个不同的元素中，每次取 m个元素按一定顺序排成一列，并且每个元素可以重复抽取 (列如有放回的抽取：取一个后，放回去，再取一个，然后又放回去，这样进行 m次 )这样的排列叫做有重复排列,
所有不同的排列个数为
N=nm(这里的 m可以大于 n)
88
(b)无 重复排列
从 n个不同的元素中，每次取 m(m≤ n)个元素按一定顺序排成一列，每个元素不能重复,这样的排列称为无重复排列,
所有不同的排列个数为
Pnm=n(n-1)(n-2)…( n-m+1)
当 m=n时,式 Pnm=n(n-1)(n-2)… (n-m+1)变为
Pnn=n(n-1)(n-2)…3*2*1= n!
Pnn称为 n个元素的全排列数，而 Pnm (m<n)称为由 n
个元素中取 m个元素的选排列数,
89
3.组合
(a)从 n个不同的元素中，每次取 m(m≤ n)个元素 (每个元素不能重复 )不记次序并成一组，称为组合,
所有不同的组合个数为
Cnm,
Cnm= Pnm/m!
=n(n-1)(n-2)…( n-m+1)/m!
=n!/m!/(n-m)!= Cnn-m
规定 Cn0=1.
90
(b)常用的组合公式
1
1
m
n
m
n
m
n CCC
k
i
ik
n
i
m
k
nm CCC
0
n
n
i
i
nC 2
0
91
例 1 设电话号码由八位数码组成，每位数码可以是
0,1,2,…,9中的任意一个,设 A1表示事件,8个数码全相同,,A2表示事件,8个数码全不相同,,A3表示事件,8个数码有两个 3”，求这些事件的概率,
解 将每一个可能的电话号码作为基本事件，它们可以被认为是等可能的,
由于不同位置上的数码是可以重复的，故基本事件的总数为 108.
显然,A1中包含的基本事件数为
10110?C
故
92
781 10
1
10
10)(AP
A2中包含的基本事件数为
345678910810P
故
0 1 8 1 4 4.0
10
345678910
)(
82
AP
93
A3中包含的基本事件数为
62
8 9?C
这是因为数码 3要在电话号码中占两个位置的方法有
C82种，而其余 6个数码中的每一个都可以从剩余的 9
个数码 0,1,2,4,…,9中重复选取，有 9种方法，故
1 4 8 8 0 3 4 8.0
10
9
)(
8
62
8
3
C
AP
94
例 2 设有一批产品共有 100件，其中有 5件次品，其余均为正品,今从中任取 50件，求事件 A=“取出的 50
件恰有 2件次品,的概率,
解 将从 100件产品中任取 50件为一组的每一种可能的组合作为基本事件，总数为 C10050.
导致事件 A发生的基本事件为从 5件次品中取出两件，
从 95件正品中取出 48件构成的组合，有
48
95
2
5 CC?
个，故所求的概率为
32.0)( 50
1 0 0
48
95
2
5
C
CC
AP
95
例 3 将 10本书任意放在书架上，求其中指定的 3本书靠在一起的概率,
解 将 10本书的每一种排列看作基本事件，则基本事件的总数为
!101010?P
设 A表示指定的 3本书靠在一起的事件，如果将这 3
本书看作一本书将其与剩下的 7本书进行排列，则有
8!种排列方法，而 3本书靠在一起的排列方法有 3!种，
故中包含的基本事件的个数为，所以
067.0
15
1
!10
!3!8)(AP
96
例 4 将 r个人随机地分配到 n(r ≤ n)个房间里,设
A=“某指定的 r个房间中各有一人,,
B=“恰有 r个房间中各有一人,,
C=“某指定房间恰有 k(k ≤ r)人,,
求 A,B,C的概率,
解,由于每一个人都可以分配到 n个房间的任意一个房间,所以将 r个人分配到 n个房间去共有 nr种分法,
将每种分法当作一个基本事件,那么基本事件总数为 nr.
97
(1)将 r个人分配到某指定的 r个房间,每个房间中各有一人,共有 r!种分法,故
rn
rAP !)(?
(2)由于 r个房间可以是任意的，即可以从 n个房间中任意选出 r个来，这种选法共有 Cnr种,对于每种选定的 r个房间，每个房间分配一个人的方法有 r!种,故 B
中包含的基本事件数为 Cnr× r!.因此
r
r
n
n
rCBP !)(
98
(3)由于某指定房间分配 k个人的分法有 Crk种,而其余 r-k个人任意分配到 n-1个房间的分法有 (n-1)r-k种,
所以 C中包含的基本事件数为 Crk× (n-1)r-k.因此
r
krk
r
n
nCCP )1()(
99
例 5 袋中有 a个黑球,b个白球,若随机地把球一个接一个地摸出来,求 A=“第 k次摸出的球是黑球,的概率 (k ≤ a+b).
解一,把 a个黑球与 b个白球都看作是不同的 (比如，
设想它们都编了号 )，且把 a+b个球的每一种排列看作基本事件，于是，基本事件总数为 (a+b)!.
由于第 k次摸得黑球有 a种可能，而另外 a+b?1次摸得球的排列有 (a+b?1)!种可能,所以 A中包含的基本事件数为 a× (a+b?1)!.因此
ba
a
ba
baaAP
)!(
)!1()(
100
值得注意的是,这个结果与 k无关,这表明无论那一次取得黑球的概率都是一样的,或者说取得黑球的概率与先后次序无关,这从理论上说明了平常人们采用的,抓阄儿,的办法是公平合理的,
101
解二,把 a个黑球看作是没有区别的,b个白球也看作是没有区别的,仍把摸出的球依次放在排列成一条直线的 a+b个位置上,把 a个黑球位置固定其它位置必放白球,黑球位置有 Ca+ba种放法,以这种放法作为样本点,这时有利的场合有 Ca+b-1a-1,这是由于第 k次摸得黑球,这个位置必须放黑球,剩下的黑球可以在 a+b-1个位置上任取 a?1个位置,因此共有
Ca+b-1a-1种放法,
所以所求的概率为
ba
a
C
C
AP
a
ba
a
ba
1
1)(
102
例 6 (1997,试卷一,3分 ) 填空题
袋中有 50个乒乓球,其中 20个黄球,30个白球,今有两人依次从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率为 ( ).
（ 答案,2/5)
解：抓阄问题
5
2
3020
20?
103
第一章 随机事件与概率
1.3 古典概率
1.3.2 古典概率的性质
定理 1.1 事件的古典概率具有如下的性质：
(ⅰ) 对任一事件 A，有 0≤ P(A)≤ 1；
(ⅱ) P(S)=1；
(ⅲ) 若事件 A,B互不相容,则
P(A+B)= P(A)+P(B)
104
证明 由于 任何 事件 A包含的基本事件数不超过基本事件的总数,故 (ⅰ) 成立,
又由于必然事件 S包含一切基本事件,故 (ⅱ) 成立,
现在证明 (ⅲ),
设
},,,{ 21 neeeS
},,,{ 21 riii eeeA
},,,{ 21 tkkk eeeB
由于 A,B互斥，它们不包含相同的基本事件,故
},,,,,{ 11 tr kkii eeeeBA
105
由古典概率的计算公式,有
)()(
#
)(#
)(
BPAP
n
t
n
r
n
tr
S
BA
BAP
性质 (ⅲ) 不难推广到任意 n个事件上去,即
若事件 A1,A2,…,An是互不相容的,则
P(A1+A2+…+ An)=P(A1)+P(A2)+…+ P(An).
性质 (ⅲ) 及上式 称为概率的加法公式,性质 (ⅲ) 也称为概率的有限可加性,
106
由性质 (ⅰ) ~ (ⅲ),又可推得以下的结果,
(ⅳ ) P(Ac)=1?P(A).
证明 因 A,Ac互不相容,由性质 (ⅲ),有
P(A+Ac)=P(A)+P(Ac).
又因 A+ Ac=S,故
P(A+Ac)=1.
带入式 P(A+Ac)=P(A)+P(Ac),则得性质 (ⅳ ).
(ⅴ) P(Φ)=0.
证明 在性质 (ⅳ) 中，令 A=S，则得 Ac=Φ，于是
P(Φ)=1?P(S)=0.
107
(ⅵ) 若 A?B，则 P(A)≤ P(B)，且
P(B?A)=P(B)?P(A).
证明 因 A?B,故
B=A+(B?A),
其中 A与 B?A互斥 (见图 1.7).由性质 (ⅲ),有
P(B)=P(A)+P(B?A).
故得
P(B?A)=P(B)?P(A).
因为 P(B?A)≥ 0,所以由上式又可得
P(A)≤ P(B),
108
S
B
A
B-A
图 1.7
S
B
A
B-A
图 1.8
109
推论 设 A,B为任意两个事件，则
P(A?B)=P(A)?P(AB).
证明 因 A?B=A?AB,AB?A(见图 ).
S
A
B
AB
故 由性质 (ⅵ) 有
P(A?B)= P(A?AB)
=P(A)?P(AB).
110
(ⅶ) (一般概率的加法公式 ) 对任二事件 A,B有
P(A∪ B)=P(A)+P(B)?P(AB).
证明 因 A∪ B=A+(B?A),A与 B?A互斥 (见图 1.8).
S
B
A
B-A
图 1.8
由性质 (ⅲ) 及 上面的 推论,有
P(A∪ B)
=P(A)+P(B?A)
=P(A)+P(B)?P(AB)
111
性质 (ⅶ) 可以推广到任意 n个事件上去,
由性质 (ⅶ) P(A∪ B)=P(A)+P(B)?P(AB),又可得
P(A∪ B)≤ P(A)+P(B),
当 n=3时，有
P(A1∪ A2∪ A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)
P(A1A2)?P(A2A3)?P(A1A3)
+P(A1A2A3).
112
一般地,设 A1,A2,A3,…,An为 n个事件,则
)()(
1
21
n
i
in APAAAP
)()1(
)()()(
21
1
111
n
n
nkji
kji
nji
ji
n
i
i
AAAP
AAAPAAPAP
上式可用数学归纳法证明,
113
上述概率的各个性质，对计算事件的概率很有好处,
例如当计算 P(A)比较麻烦而计算 P(Ac)比较方便时，
就可先求 P(Ac)，然后利用性质 (ⅳ )求 P(A).
例 6 设电话号码由八位数码组成，每位数码可以是
0,1,2,…,9中的任意一个,设 A表示事件,八位数码中至少有两个相同,,求 P(A).
解 事件 A比较复杂，它包括,八位数码两个相同,,
,八位数码三个相同,,…,,八位数码全相同,,
因此，直接计算 P(A)是比较麻烦的,
现在考虑事件 Ac=“八 位数码全不相同,,由例 1知
P(Ac)=0.018144,利用性质 (ⅳ )，即可算得
P(A)=1?P(Ac)= 0.981856.
114
例 7 设有 180只产品，其中含有 8只次品，今从中任取 4只，问,次品超过 1只,的概率是多少？
解 用 Ai表示,含有 i只次品,的事件 (i=0,1,2,3,4)，
则
4
1 8 0
4
1 7 28 /)( CCCAP
ii
i
对 i= 0,1，分别算得事件
P(A0)= 0.832，
P(A1)= 0.158.
用 A表示,次品超过 1只,的事件，则 Ac=A0+A1.故得
P(A)=1?P(Ac)= 1?P(A0+A1)= 0.010.
115
例 8 由 10,11,…,99中任取一个两位数，求这个数能被 2或 3整除的概率？
解 设 A=“这个数能被 2整除,,B=“这个数能被 3整除,,则
A∪ B=“这个数能被 2或 3整除,,
AB=“这个数能被 2和 3整除,,
由于 10到 99中的两位数有 90个，其中能被 2整除的有
45个，能被 3整除的有 30个，而能被 6整除的有 15个,
故
P(A)=45/90,P(B)=30/90,P(AB)=15/90.
由一般概率的加法公式得
P(A∪ B)=P(A)+P(B)?P(AB)=2/3.
116
古典概率 往届考题
例 1 (1990,试卷四,4分,试卷五,5分 )
从 0,1,2,…,9这十个数字中任意选出三个不同的数字，求下列事件的概率：
A1=“三个数字中不含 0和 5”； A2=“三个数字中不含 0
或 5”； A3=“三个数字中含 0但不含 5”.
（ 答 案,P(A1)=7/15 ； P(A2)=14/15 ；
P(A3)=7/30 )
117
解,三个数字中不含 0和 5的概率
15
7
!3/8910
!3/678)(
3
10
3
8
1
C
CAP
设 B表示 事件,三个数字中含 0”,C表示 事件,三个数字中含 5”,则
A2= Bc∪ Cc
从而
15
14
)()()()()(
3
10
3
8
3
10
3
9
3
10
3
9
2
C
C
C
C
C
C
CBPCPBPCBPAP
118
三个数字中含 0但不含 5的概率
30
7
!3/8910
!2/78)(
3
10
2
8
3
C
CAP
119
例 2 (1993,试卷一,3分 ) 填空题
一批产品共有 10个正品,2个次品,任意抽取两次,
每次抽 1个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为 ( ).
（ 答案,1/6)
解：抓阄问题
6
1
210
2?
120
概率论与数理统计第一章随机事件与概率
121
第一章 随机事件与概率
1.4 几何 概率
概率的古典定义是在 样本空间的基本事件只有有限个且等可能的情况下给出的；对于基本事件为无穷多个的情况,古典概率的定义就不适用了,
考虑如何把古典概率定义进一步推广，使适用于无穷 多个基本事件而又有某种等可能性的场合，从而引出了 几何概率的定义,
122
我们从简单的问题入手
引 例 某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，
想听电台报时，求他等待的时间不多于 10分钟的概率,
一种很自然的想法是所求的概率为 1/6.
123
设在平面 S上有某一区域,而区域 A是它的一部分
(如图 ).向区域 S内随机 掷一个质点，考虑质点落在区域 A内的概率,由于 质点可以落在 S内的每个点上，
故 S内的每个点都是 基本事件，它的全体有无限多个； A中包含的 基本事件也有无限多个,因此,古典定义公式不能用,
下面假设 质点落在 S内的 任何子区域内的概率只与这个子区域的面积成正比，而与 其 位置及形状无关。
在这种等可能的假设下，很自然地应将,向区域 S
内随机 掷一个质点而落在区域 A内,的概率定义为的面积的面积
S
AAP?)(
124
这就是几何概率的定义，一般叙述如下：
定义 1 向一个区域 S(如一维的区间，二维的平面区域,… )中掷一个质点 M，如果 M必落在 S内，且落在 S内任何子区域 A上的可能性只与 A的度量 (如长度，
面积,… )成正比，而与 A的位置及形状无关，则这个试验称为是 几何概型的试验 ；并定义 M落在 A中的概率 P(A)为
)(
)()(
SL
ALAP?
其中 L(S)是样本空间 S的度量,L(A)是子区域 A的度量,
125
例 1 (约会问题 )二人约定于 0到 T时内在某地见面，
先到者等 t(t≤ T)时后离去，求二人能会面的概率,
解 设 A表示事件,二人能会面,,以 x,y分别表示二人到达的时刻，则
0≤ x≤ T,0≤ y≤ T
满足此二不等式的点 (x,y)构成边长为 T的正方形
S(如图 1.10).
126
y
T
O T x
S
图 1.10
127
例 1 (约会问题 )二人约定于 0到 T时内在某地见面，
先到者等 t(t≤ T)时后离去，求二人能会面的概率,
解 设 A表示事件,二人能会面,,以 x,y分别表示二人到达的时刻，则
0≤ x≤ T,0≤ y≤ T
满足此二不等式的点 (x,y)构成边长为 T的正方形
S(如图 1.10).
二人能会面的条件是 | x?y | ≤ t.
这个条件决定了 S中的一个子集 A(图 1.10中的阴影部分 ).
128
y
T
t
O t T x
x-y=t
y-x=t
y=x
S
A
图 1.10
129
故二人能会面的概率为
2
2
22
11
)(
)(
T
t
T
tTT
AP
130
例 2 (1777法国科学家 蒲丰,投针 问题 )平面上有一簇平行线，其中任何相邻的的两线距离都是 a(a>0).
向平面任意投一长为 l(l<a)的针,求 针与一条平行线相交 的概率,
131
所求事件针与平行线相交的概率
a
l
a
d
l
AP
2
2
s i n
2
)(
0
假如有另外的方法可以求出 P(A)(或其近似值 ),我们就可以利用 蒲丰 投针试验求得 π 值 (或其近似值 ).
132
与古典概率一样，几何概率具有如下的概率性质
定理 1.2 事件的几何概率具有如下的性质：
(ⅰ) 对任一事件 A，有 0≤ P(A)≤ 1；
(ⅱ) P(S)=1；
(ⅲ) 若事件 A1,A2,…,An是互不相容的，则
P(A1+A2+…+ An)=P(A1)+P(A2)+…+ P(An).
证明 性质 (ⅰ),(ⅱ) 可由几何概率的定义直接推得,
现在证明性质 (ⅲ),
因事件 A1,A2,…,An是样本空间 S中的子区域,且
AiAj = Φ(i≠ j； i,j=0,1,2,…,n),故
133
L(A1+A2+…+ An)=L(A1)+L(A2)+…+ L(An).
这是根据度量的可加性得出来的,式中 L是区域的度量记号,
用 L(S)除 上面 式子的两端，得
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2121
SL
AL
SL
AL
SL
AL
SL
AAAL
n
n
从而，由几何概率的定义得到
P(A1+A2+…+ An)=P(A1)+P(A2)+…+ P(An),
134
与古典概率一样,可以证明古典概率的概率性质
(ⅳ )~(ⅶ),对 几何概率也都成立,
即
(ⅳ ) P(Ac)=1?P(A).
(ⅴ) P(Φ)=0.
(ⅵ) 若 A?B，则 P(A)≤ P(B)，且
P(B?A)=P(B)?P(A).
(ⅶ) (一般概率的加法公式 ) 对任二事件 A,B有
P(A∪ B)=P(A)+P(B)?P(AB),
135
第一章 随机事件与概率
1.5 统计概率
古典概率和几何概率都是以等可能性为基础的，有很大的局限性，实际中有很多试验，它们的试验结果是不具备等可能性质的,
例如，电话交换台在一段时间内接到呼叫的次数，
可能是,零次,,,1次,,,2次,,……,这些试验结果就不是等可能的,
在这里，古典概率和几何概率都不适用了,
136
本节介绍适用于一般试验的统计概率定义,它是以事件的频率具有稳定性为基础的,
下面先介绍事件频率的概念,
设 A为联系于某一试验的事件,将试验在相同条件下重复 n次,用 nA表示事件出现的次数,则比值
nA/n
称为事件 A的 相对频率,简称 频率,记为
fn(A)=nA/n.
n
n
n
mAf A
n)(
137
由于在任意 n次试验中,事件 A发生的次数具有偶然性,故对任意 n,频率 fn(A)都具有不确定性,
但当重复试验次数 n很大时,就呈现出明显的规律性 ——频率的稳定性,
例如,蒲丰和皮尔逊掷均匀硬币的试验 (蒲丰投掷
4040次,正面向上次数为 2048次,频率为 0.5069；
皮尔逊投掷 12000次,正面向上次数为 6019次,频率为 0.5016；皮尔逊投掷 24000次,正面向上次数为 12012次,频率为 0.5005).
138
如果用 A表示掷得正面的事件,则在蒲丰的试验中,
有
5069.0
4040
2048)(
4 0 4 0Af
在皮尔逊的试验中,有
5005.02400012012)(2 4 0 0 0Af
139
实验结果统计表实验者 投掷次数 正面向上次数 频率蒲丰
(Buffon) 4040 2048 0.5069
皮尔逊
(K.Pearson) 12000 6019 0.5016
皮尔逊
(K.Pearson) 24000 12012 0.5005
140
由此可见,当投掷次数 n很大时,硬币正面出现的频率 fn(A)接近 1/2.
频率的这种稳定性,说明了的事件发生的可能性有大小可言,
当频率稳定于较大的数值时,相应事件发生的可能性就大；反之,就较小,
从而频率所稳定的这个值就是相应的事件发生的可能性大小的一个客观的定量的度量,人们称之为相应事件的概率,
一般定义如下：
141
定义 1.3 在一组固定的条件下,重复作 n次试验,
如果当 n增大时,事件 A出现的频率 fn(A)围绕着某一个常数 p摆动；而且一般来说,随着 n的增大,这种摆动的幅度愈来愈小,则称常数 p为事件的概率,
即
P(A)=p.
这个定义适用于一切类型的试验,
定义中虽然没有提供直接确定概率的方法,但当 n
充分大时,频率 fn(A)=nA/n≈ P(A),故可用频率
fn(A)作为概率 P(A)的近似值；在许多情况下,这就足以满足实际需要了,
142
下面讨论这种统计概率是否具有古典概率的各种概率性质
按照统计概率的定义,概率实际是频率的数学抽象；
因此,人们根据频率所具有的性质,来推断统计概率具有的性质
定理 1.3 事件的频率具有如下的性质,
(ⅰ) 对任一事件 A,有 0≤ fn(A)≤ 1；
(ⅱ) fn(S)=1；
(ⅲ) 若事件 A1,A2,…,Ak是互不相容的,则
fn(A1+A2+…+ Ak)= fn(A1)+ fn(A2)+…+ fn(Ak).
143
证明 性质 (ⅰ),(ⅱ) 可由几何概率的定义直接推得,
现在证明性质 (ⅲ),
设在 n次试验中，事件 A1,A2,…,Ak发生的次数分别为
n1,n2,…,nk，
由于 A1,A2,…,Ak 是互不相容的,故 事 件
A1+A2+… +Ak发生的次数为
n1+n2+…+ nk.
144
从而得到
n
n
n
n
n
n
n
nnn
AAAf
k
k
kn
21
21
21
)(
)()()( 21 knnn AfAfAf
145
由上面的定理可知,统计概率应当具有如下的性质：
(ⅰ) 对任一事件 A,有 0≤ P(A)≤ 1；
(ⅱ) P(S)=1；
(ⅲ) 若事件 A1,A2,…,An是互不相容的，则
P(A1+A2+…+ An)=P(A1)+P(A2)+…+ P(An).
由此又可知,古典概率的性质 (ⅳ )~(ⅶ),对 统计概率也都是成立的,
146
第一章 随机事件与概率
1.6 概率的公理化定义
古典概率和几何概率的定义，都是以等可能性为基础的，它们的适用范围有很大的局限性,
概率的统计定义虽然适用于一般情况，但它的定义有不确切的地方,如定义中 n的,很大,,,围绕着某一个常数 p摆动,等术语，都不是严格的数学概念,
此外，统计概率的概率性质，是频率性质推出来的，
不是由统计概率定义证得的,
因此，以这些作为概率的理论基础是不够的,
147
由上述可见,三种定义不同的概率,具有相同的性质：
(ⅰ) 对任一事件 A,有 0≤ P(A)≤ 1；
(ⅱ) P(S)=1；
(ⅲ) 若事件 A1,A2,…,An是互不相容的，则
P(A1+A2+…+ An)=P(A1)+P(A2)+…+ P(An).
这说明这三条性质是概率的最基本的性质,是概率的固有属性,
由此人们想到直接用这些性质来作为一般的概率定义,近代概率论的公理结构中正是这样做的,
148
现在来陈述概率的公理化定义,
定义 1 设随机试验 E的样本空间为 S,如果对每个事件 A(S中的子集 ),都有一个实数 P(A)与之对应,且满足以下公理：
公 理 1 P(A)≥ 0；
公 理 2 P(S)=1；
公 理 3 对于互不相容的事件 A1,A2,…,An,…,有
P(A1+A2+…+ An +… )=P(A1)+P(A2)+…+ P(An)+…,
则称实数 P(A)为事件 A的 概率,
149
几点说明：
(1)由公理 1,2,3可以推出 P(A)≤ 1(见后面的推论
3)；
(2)公理 3称为 可列可加性 或 完全可加性公理,它包含着有限可加性 (见后面的推论 2).
(3)公理 3的设立,是为了适应样本空间为无限的情况,在那里不可避免的要考虑可列无限多个事件和的概率的运算问题,
(4)概率论的全部理论都是建立在上面的三条公理的基础之上的,
150
推论 1 P(Φ)=0.
证 S=S+Φ +…,由公理 3,得
P(S) = P(S) + P(Φ)+…,
因此
P(Φ)=0.
151
推论 2 设 A1,A2,…,An是互不相容的事件,则
P(A1+A2+…+ An)=P(A1)+P(A2)+…+ P(An),
证
P(A1+A2+… +An)=P(A1+A2+… +An +Φ +… )
由公理 3以及推论 1,得
P(A1+A2+… +An)
=P(A1)+P(A2)+… +P(An)+ P(Φ) +…
=P(A1)+P(A2)+… +P(An).
152
推论 3 0≤ P(A)≤ 1.
证 只需证 P(A)≤ 1.由于
1= P(S)=P(A+Ac)= P(A)+P(Ac)，
故得 P(A)≤ 1.
由推论 3的证明过程可得前面证明过的古典概率的性质：
P(Ac)=1?P(A).
根据公理 1和推论 2,就可像在古典概率性质中讨论的那样,证明古典概率的性质 (ⅵ) 和 (ⅶ) 成立,
由此,古典概率的性质也就是一般的公理化概率的性质,
153
由古典概率,几何概率和统计概率的性质可知,古典概率,几何概率和统计概率都满足三条公理,故它们都是公理化概率定义中的特殊情况,
公理化概率的定义中,没有给出概率的计算方法,
只是给了概率应满足哪些公理,为的是使定义能适用于各种不同的情况,
在实际问题中如何规定,要视具体情况而定,
而公理化概率定义则是它们的数学抽象,同时又避免了上述各种定义的不足之处,
154
例如,样本空间包含有限个样本点,即
},,,{ 21 neeeS
则只要规定满足
nieP i,,2,1,0)(
1)()()( 21 nePePeP?
的一组数
)(,),(),( 21 nePePeP?
就可以了,
155
这时,由概率的可加性,就可推得任一事件
},,{ 1 kii eeA
的概率
)()()()( 21 kiii ePePePAP
156
若基本事件的发生是等可能的,即
)()()( 21 nePePeP
则由第二个条件式，得
ni
n
eP i,,2,1,1)(
再由事件 A的概率公式,得
n
kAP?)(
这就是古典概率的计算公式,
157
两个事件 加法公式 往届考题
例 1 (1990,试卷一,3分 )填空题
设 随机事件 A,B 及和事件 A∪ B 的概率分别是
0.4,0.3和 0.6,若 Bc表示 B的 对立事件,那么积事件 ABc的概率 P(ABc)= ( ).
（ 答案,P(ABc)= 0.3 )
158
例 1 (1990,试卷一,3分 )填空题
设 随机事件 A,B 及和事件 A∪ B的概率分别是
0.4,0.3和 0.6,若 Bc表示 B的 对立事件,那么积事件 ABc的概率 P(ABc)= ( ).
（ 答案,P(ABc)= 0.3 )
解,)()( ABAPBAP
)()( ABPAP
)]()()([)( BAPBPAPAP
3.03.06.0)()( BPBAP
159
例 2 (1992,试卷四,3分 ) 选择题
设当 事件 A与 B同时发生时,事件 C必然发生,则下列式子正确的是 ( ).
(A)P(C)≤ P(A)+ P(B)?1；
(B)P(C)≥ P(A)+ P(B)?1；
(C)P(C)= P(AB)；
(D)P(C)=P(A∪ B).
（ 答案,(B))
160
三个事件 加法公式 往届考题
例 3 (1992,试卷一,3分 )填空题
已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=
P(BC)=1/16,则事件 A,B,C全不发生的概率为
( ).
（答案,3/8)
解,)(1)()( CBAPCBAPCBAP
)]()()()()()()([1 ABCPACPBCPABPCPBPAP
8
3
8
51]0
16
1
16
10
4
1
4
1
4
1[1
161
例 4 (1992,试卷五,3分 )填空题
设对于事件 A1,A2,A3有 P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/4，
P(A1A2)=P(A2A3)=0,P(A1A3)=1/8,则事件 A1、
A2,A3三个 事件中 至少出现一个的概率为 ( ).
（ 答案,5/8)
解,
)()()()( 321321 APAPAPAAAP
)()()()( 321323121 AAAPAAPAAPAAP
8
50
8
100
4
1
4
1
4
1
162
几何概率 例题
例 1 在时间间隔 T内的任何瞬间 （ T>0）,两个信号等可能的进入收音机,如果这两个信号的时间间隔小于 τ (0<τ <T),收音机会受到干扰,则收音机受到干扰的概率 P(A)为 ( ).
答案：
2
11?
T
163
解,设 x,y分别表示两个信号进入收音机的瞬间,
则 x,y的全部可能值区域
D={(x,y)|0≤ x≤ T,0≤ y≤ T},
其面积
2TS
D?
当 |x-y|≤ τ 时，收音机受到干扰，即事件 A发生，有利于 A发生的样本点的集合是 D子区域 D1(如图阴影 )，
其面积
2)(
1
TSS DD
164
y
T
τ
O τ T x
x-y=τ
y-x=τ
y=x
S
A
165
依几何概率公式
D
D
S
S
AP 1)(?
2
22 )(
T
TT
2
11?
T
166
例 2 将一段长为 a的木棒随机地截成三段,求三段能构成三角形的概率？
解,设 A表示,三段能构成三角形,,设 其中 两段的 长分别为 x,y则另一段长为 a?x?y,从而
0<x<a,0<y<a,0<x+y<a
它们确定了平面区域 S(如图 ).
事件 A发生的充分必要条件是
0<x<a/2,0<y<a/2,a/2<x+y<a
它们确定了区域 S的子区域 A(如图阴影 )，
167
y
a
O a x
y+x=a
S
168
y
a
O a x
y+x=a
S
a/2
a/2
y+x=a/2
A
169
y
a
O a x
x=a/2
y+x=a
y=x
S
A
a/2
a/2 y=a/2
y+x=a/2
170
依几何概率公式
)(
)()(
SL
ALAP?
aa
aa
2
1
222
1
4
1?
概率论与数理统计第一章随机事件与概率
2
引 言
概率论是研究 随机现象 的 数量规律 的数学分支,
所谓随机现象，是相对于 决定性现象 而言的,
一定条件下必然 发生 (或 出现 )某一结果的现象称为决定性现象,
例如，在没有外力作用下，作匀速直线运动的物体必然继续作匀速直线运动；
又如在标准大气压下，纯水加热到 100℃ 时必然会沸腾等等,
3
这些 条件 和 结果 之间存在着 必然联系 的现象就是 决定性现象,
4
在自然现象和社会现象中还广泛存在着与决定性现象有着本质区别的一类现象，例如,
当掷一枚硬币时，可能出现正面朝上，也可能出现反面朝上；
每天上午 8:00—9:00记录一个电话交换台收到用户的呼叫次数，可能是 0次,1次,2次 …… ；
再如，同一门炮向同一目标发射用同一工艺过程生产的炮弹；
因为炮弹制造时种种偶然因素对炮弹质量有影响、
炮筒位置有差异、空气中气流的变化 …… 都影响着弹着点的位置，使弹着点在不同次发射中落在不同的位置,
5
这些现象的特点是：
（ 1） 在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果,
（ 2） 每一次试验或观察之前，不能完全肯定会出现哪种结果,
（ 3） 究竟出现哪种结果，呈现出偶然性,
这种现象称为 随机现象,
6
概率论研究随机现象有其独特的方法,
它不是企图追索出现每一结果的物理因素，从而象研究确定性现象那样确定无疑地预报在哪些条件下出现某一确定的结果，而是通过对随机现象的大量观察，揭示其规律性,
例如连续多次掷一枚硬币，随着投掷次数的增加，
出现正面的频率 (出现正面的次数与投掷次数之比 )
逐渐稳定于 1/2，从而揭示,出现正面,这一结果发生的可能性大小为 1/2；
又如多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐稳定于一个常数等等,
7
概率论有悠久的历史，它的起源与赌博问题有关,
16世纪，意大利的学者开始研究掷色子 (骰子 )等赌博中的一些简单问题，例如比较两个色子出现点数之和为 9与 10的可能性大小,
17世纪中叶，法国数学家帕斯卡、费马 (P.de
Fermat)及荷兰数学家惠更斯基于排列组合方法，研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了,分赌注问题,,,赌徒输光问题,等,
随着 18,19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有一种相似，
从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，
同时也大大推动了概率论本身的发展,
8
使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家伯努利 (J.I.Bernoulli)，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率,
随后棣莫弗 (A.de Moivre)和拉普拉斯 (P.S.Laplace)
又导出了第二个基本极限定理 (中心极限定理 )的原始形式,
拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了,分析的概率理论,,明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有利的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段,
9
19世纪末，俄国数学家切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布,
20世纪初受物理学的刺激，人们又开始研究随机过程,这方面柯尔莫哥洛夫、维纳 (N.Wiener)、马尔可夫、辛钦、莱维及费勒 (W.Feller)等人做了杰出的贡献,
10
如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了三个世纪,
二十世纪初完成的勒贝格测度 (H.L.Lebesgue)与积分理论及随后发展的抽象测度与积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础,
在这种背景下苏联数学家柯尔莫哥洛夫 1933年在他的,概率论基础,一书中第一次给出了概率的 测度论式 的定义和一套严密的公理体系,他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对近几十年概率论的迅速发展起了积极的作用,
11
数理统计学是概率论的一个姐妹学科，研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性质的数据，以对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议,
统计学自古有之，例如人口统计、社会调查等,但它不是现代意义下的数理统计学，只是数据的记录和整理,
数理统计学是随着概率论的发展而发展起来的,
当人们认识到必须把数据看成是来自一定概率分布的总体，所研究的对象是这个总体而不能局限于数据本身之日，也就是数理统计诞生之时,
12
在 19世纪中叶以前已出现了若干重要的工作，特别是高斯 (C.F.Gauss)和勒让德关于观测数据的误差分析和最小二乘法,
但数理统计学发展成为一门成熟的学科，则是 20世纪上半叶的事,
皮尔森 (K.Pearson)、费希尔 (R.A.Fisher)作出了重大贡献,1946年，克拉默发表的,统计学的数学方法,是第一部严谨且比较系统的数理统计著作，
可以把它作为数理统计学进入成熟阶段的标志,
13
数理统计学用到很多近代数学知识，但与其关系最密切的是概率论,
在很大程度上可以说概率论是数理统计的理论基础，
数理统计是概率论的一种应用，并且补充和丰富了概率论,它们是两个并列的数学分支，并无从属关系,
目前，概率论与数理统计的理论与方法已广泛的用于自然科学、技术科学、社会科学及人文科学的各个领域,
近年来随着科学技术的迅速发展，它在经济、管理、
工程、技术、物理、气象、海洋、地质等领域中的作用愈益显著,
14
随着计算机的发展与普及，概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法,
概率论与数理统计向各个领域渗透，产生了许多新的分支和边缘科学，如生物统计、统计物理、数学地质、教育统计等,
同时概率论与数理统计又是许多新的重要学科的基础，如信息论、控制论、排队论、预测论、可靠性理论及人工智能等,
概率论与数理统计，作为理论严谨、应用广泛、发展迅速的数学分支正日益受到人们的重视并发挥着重大的作用,
15
第一章 随机事件与概率
1.1 随机事件
1.1.1 必然现象和随机现象
人们在实践活动中所遇到的现象，一般来说可以分为两类：一类是 必然现象,或称 确定性现象 ；另一类是 随机现象,或称 不确定性现象,
必然现象是指在相同条件下重复试验，所得结果总是确定的现象；只要条件不变，试验结果在试验之前是可以预言的,
16
必然现象是指在相同条件下重复试验，所得结果总是确定的现象,
例如：
在标准大气压下，将纯水加热到 100℃,水必然沸腾；
用手向空中抛出的石子，必然下落；
作匀速直线运动的物体，如果没有外力的作用，必然继续作匀速直线运动等等，
这些现象都是必然现象,
对这种现象来说，只要条件不变，试验结果在试验之前是可以预言的,
17
随机现象是指在相同条件下重复试验，所得结果不一定相同的现象，即试验结果是不确定的现象：
对这种现象来说，在每次试验之前哪一个结果发生，
是无法预言的,
例如：
新生婴儿，可能是男孩，也可能是女孩；
向一个目标进行射击，可能命中目标，也可能不命中目标；
测量某个物理量，由于许多偶然因素的影响，各次测量的结果不一定相同等等，
这些现象都是随机现象,
18
对随机现象，是否有规律可寻呢？
人们经过长期的反复实践，发现这类现象虽然就每次试验结果来说，具有不确定性，但大量重复试验，
所得的结果却呈现出某种规律性,
例如：
(1)掷一枚质量均匀的硬币，当投掷次数很大时，
就会发现正面和反面出现的次数几乎各占 1/2.
历史上，蒲丰 (Buffon) 掷过 4040次，得到 2048次正面；皮尔逊 (K.Pearson) 掷过 24000次，得到
12012次正面,
19
(2)对一个目标进行射击，当射击次数不多时，弹孔的分布看不出有什么规律性；
但当射击次数非常多时，就可以发现弹孔的分布呈现出一定的规律性：
弹孔关于目标的分布略呈对称性，且越靠近目标的地方弹孔越密，越远离目标的地方弹孔越稀,
20
xO
y
21
(3)从分子物理学的观点来看，气体分子对器壁的压力是气体分子对器壁碰撞的结果,
由于分子是时刻不停地、杂乱无章地运动着地，运动的速度和轨道都是随机的，因而气体分子对器壁也是随机的,
初看起来器壁所受的压力是不稳定的；
可是实验证明，由于分子的数目非常大，各分子运动所具有的随机性在集体中互相抵消、互相平衡了，
使得器壁所受的总压力呈现一种稳定性,
分子的数目越大，压力就越稳定,
22
从上述的几个例子可以看到，随机现象也具有规律性，这种规律性可在相同条件下的大量重复试验或观察中呈现出来,这种规律性称为 随机现象的统计规律性,
概率论和数理统计就是研究随机现象统计规律的一门数学学科,
23
第一章 随机事件与概率
1.1 随机事件
1.1.2 随机试验与事件、样本空间
对随机现象的研究，总是要进行观察、测量或做各种科学实验 (为了叙述方便，统称为试验 ).
例如，掷一枚硬币，观察哪面朝上；
向一个目标进行射击，观察是否命中；
从一批产品中随机抽取一个产品，检查它是否合格；
24
向坐标平面内任投一银针，测量此针的针尖指向与 x
轴正向之间的交角等等；
这些都是试验,通过仔细的分析，可以发现，这些试验具有如下的共同特点：
（ a）试验可以在相同的条件下重复进行；
（ b）试验的所有可能的结果不止一个，而且是事先已知的；
（ c）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，
但究竟出现哪一个结果，试验之前是不能确切预言的,
25
如掷硬币的例子，试验是可以在相同的条件下重复进行的，试验的可能的结果有两个，即正面和反面；
每次试验必出现其中之一，但投掷之前是不可能预言正面出现还是反面出现,
人们将满足上述 （ a）、（ b ）、（ c ） 三个条件的试验，称为 随机试验,简称为 试验,以字母 E来表示,
为了研究随机试验,首先要知道这个 试验的所有可能的结果是哪些,
随机试验的每一个可能的结果称为 基本事件,也称作 样本点,用字母 e表示,
26
随机试验 E的全体基本事件 所构成的集合,称为 E的的 样本空间,记为 S.
在讨论一个随机试验时，首先要明确它的样本空间 。
对一个具体的 试验来说，其样本空间可以由试验的具体内容确定,
下面看几个例子,
例 1 掷一枚质量均匀对称的硬币，观察正反面出现情况，这是个随机试验,
可能的结果有两个：正 (正面朝上 )，反 (反面朝上 ).
故样本空间
S={正，反 }
27
例 2 将 一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反面出现情况，这也是个随机试验,
可能的结果有四个：
(正，正 ),(正，反 ),(反，正 ),(反，反 ).
这里括号内的第一个和第二个字，分别表示第一次和第二次掷的结果,
故样本空间
S={(正，正 ),(正，反 ),(反，正 ),(反，反 )}.
28
例 3 记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数,这是个随机试验,
它的基本事件 (记录的 结果 )是一个非负的整数，
由于难以确定一个呼叫的上界，所以样本空间
S={0,1,2,… }
例 4 从一批灯泡中抽取一只灯泡，测试它的使用寿命,这是个随机试验,
设 t表示灯泡的使用寿命，则 样本空间
S={t|t≥ 0}.
29
例 5 观察某个地区一昼夜的最低温度 x和 最高温度 y.
设这个地区的温度不会小于 T0也不会大于 T1，则 样本空间
S={(x,y):T0≤ x<y≤ T1}.
30
在 试验中可能发生也可能不发生的事情称为随机事件,简称为 事件,以字母 A,B,C,…
等 来表示,
有了样本空间的概念便可以用集合的语言来定义事件,
下面先从一个例子来分析,
31
例 6 将 一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反面出现情况，这是个随机试验,
在这个随机试验 中，若设
A表示事件,第一次出现正面,,
在一次试验 中,A发生当且仅当在这次试验中出现基本事件
(正，正 ),(正，反 )
中的一个,
这样可以认为 A是由 (正，正 ),(正，反 )组成的，
而将 A定义为它们 组成的集合
A={(正，正 ),(正，反 )}.
32
又如
事件 B表示,两次出现同一面,
在一次试验 中,B发生当且仅当在这次试验中基本事件
(正，正 ),(反，反 )
中的一个 出现,
这样可以认为 B是由 (正，正 ),(反，反 )组成的，
而将 B定义为它们 组成的集合
B={(正，正 ),(反，反 )}.
33
类似地,事件 C=“至少有一次出现正面,,可 定义为 集合
C={(正，正 ),(正，反 ),(反，正 )}.
事件 D=“第一次出现反面,,可 定义为 集合
D={(反，正 ),(反，反 )}.
一般地，人们将 事件 定义为基本事件的某个集合，即样本空间的某个子集，称事件 A发生，
当且仅当 A中的某一个基本事件出现,
34
特殊 事件
样本空间 S和空集 Φ 作为 S的子集也看作 事件,
由于 S包含所有的 基本事件，故在每次 试验中，必有一个 基本事件 e?S发生，即在 试验中,事件 S必然发生；因此,S是 必然 事件,
又因在 Φ 中不包含任何一个 基本事件，故在任何一次 试验中,Φ 永远不会 发生；因此,Φ 是不可能 事件,
常用 S,Φ 分别表示必然 事件与 不可能 事件,
必然事件与不可能事件可以说不是随机事件，但是为了研究的方便，还是把它们作为随机事件的两个极端情形来处理,
35
再看几个 事件的例子
例 7 在例 3的,记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数,这个随机试验中，若设
A=“呼叫次数 不超过三次,,
B=“呼叫次数 大于五次,,
则
A={0,1,2,3}，
B={6,7,8,… }.
36
例 8 在例 4的,从一批灯泡中抽取一只灯泡，测试它的使用寿命,这个随机试验中，若设
A=“灯泡 的 寿命 小于五小时,
则
A={t:0≤ t<5}.
例 9 在例 5的,观察某个地区一昼夜的最低温度 和 最高温度,这个随机试验中，若设
A=“最高温度 与 最低温度 之差不超过 10℃,，
则
A={(x,y):y?x ≤ 10,T0≤ x<y≤ T1}.
37
第一章 随机事件与概率
1.2 事件的关系和运算
在实际问题中，往往要在同一个试验中同时研究几个事件以及它们之间的联系,
详细分析事件之间的关系，不仅可以帮助人们更深入地认识事件的本质，而且可以大大简化一些复杂的事件,
38
在下面的叙述中，为直观起见，用平面上的一个矩形域表示样本空间 S.
S
样本空间
S
矩形内的每一点表示样本点 e(基本事件 ).
样本点 e
39
在下面的叙述中，为直观起见，用平面上的一个矩形域表示样本空间 S.
S
用矩形 S内的个圆表示 事件 A,
A
40
在下面的叙述中，为直观起见，用平面上的一个矩形域表示样本空间 S,矩形内的每一点 e表示样本点
(基本事件 )，并用矩形内的两个圆分别表示 事件 A
和 事件 B,
A
B
S
41
1.事件的包含和相等
若事件 A中的每一个样本点都属于事件 B(图 1.1 )，
S
BA
图 1.1 A? B
则称 事件 B包含 事件 A，
记作
A?B
或
B?A.
42
显然，这时事件 A发生必然导致事件 B发生,
故 B包含 A，也常定义为：,若 A发生必然导致 B发生，则称 B包含 A”.
43
例如，在 1.1节 例 6将 一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反面出现情况，这个随机试验 中，若
设
A表示事件,第一次出现正面,
C表示事件,至少有一次出现正面,
由于
A={(正，正 ),(正，反 )}
C={(正，正 ),(正，反 ),(反，正 )}
故有
A?C.
44
对任意的 事件 A，有 Φ?A?S.
S
A
如果 A?B,且 B?A,则称 A与 B相等,记作
A=B.
45
2.事件的积 (或交 )
同时属于 A和 B的样本点的集合 (图 1.2)，
S
A
B
AB
图 1.2 A ∩ B
称为 A与 B之 积 (或 交 )，
记作
A ∩ B
或
AB.
46
显然，事件 AB发生等价于事件 A与事件 B同时 发生，
常称 AB为 A与 B同时 发生的事件,
47
在 1.1节 例 7的,记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数,这个随机试验中，若设
A=“呼叫次数 不超过三次,,
B=“呼叫次数 大于五次,,
则
由于
A={0,1,2,3}，
B={6,7,8,…},
从而
AB=Φ.
48
对任意的 事件 A，有
SA=A；
若 A?B，则有
AB=A.
49
3.互不相容事件
若 AB=Φ，即 A与 B不能 同时 发生 (图 1.3)，
S
A
B
图 1.3 AB=Φ
则称 A与 B为 互不相容的 事件 (或 互斥 事件 ).
Incompatible events
或
Mutually exclusive
events
50
例如，在 1.1节 例 7的,记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数,这个随机试验中，若设
A=“呼叫次数 不超过三次,,
B=“呼叫次数 大于五次,,
则
由于
A={0,1,2,3}，
B={6,7,8,… }，
从而
AB=Φ，
因此 A与 B为 互不相容的事件,
51
再如必然 事件 S与不可能 事件 Φ 是 互不相容的事件,
如果 A1,A2,…,An中的任意两个 事件 是 互不相容的，
则称 A1,A2,…,An是 互不相容的,
如果 A1,A2,…,An,… 中的任意两个 事件 是 互不相容的,则称 A1,A2,…,An,… 是 互不相容的,
52
4.事件的和 (或并 )
至少属于 A和 B二者之一的所有样本点组成的集合
(图 1.4)，
S
A BAB
图 1.4 A ∪ B
称为 A与 B之和 (或 并 )，
记作
A∪ B
或
Union.
53
显然，事件 A∪ B发生，表示 A发生或 B发生或 A与 B
同时 发生，即 A与 B中至少有一个 发生,
因此，常称 A∪ B为 A与 B中 至少有一个 发生的事件,
若 A与 B是 互不相容的事件,则它们的和 A∪ B也记为 A+B.
54
例如，在 1.1节 例 6的,将 一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反面出现情况,这个随机试验 中，
若设 A表示事件,第一次出现正面,,B表示事件
,两次出现同一面,,D表示事件,第一次出现反面,,则由于
A={(正，正 ),(正，反 )}
B={(正，正 ),(反，反 )}
D={(反，正 ),(反，反 )}
故有
A∪ B={(正，正 ),(正，反 ),(反，反 )}
A+D={(正，正 ),(正，反 ),(反，正 ),(反，反 )}.
55
5.事件的差
包含在 A中而不 包含在 B中的所有样本点组成的集合
(图 1.4)，
S
A-B
B
A
图 1.5 A -B
称为 A与 B之 差,
记作
A?B.
显然，事件 A?B发生，
表示事件 A发生而 B不发生,
56
例如，在 1.1节 例 6的,将 一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反面出现情况,这个随机试验 中，
若设 A表示事件,第一次出现正面,,B表示事件
,两次出现同一面,,C表示事件,至少有一次出现正面,,D表示事件,第一次出现反面,,则由于? A={(正，正 ),(正，反 )}
B={(正，正 ),(反，反 )}
C={(正，正 ),(正，反 ),(反，正 )}
D={(反，正 ),(反，反 )}
故有
A?B={(正，反 )},A?C=Φ,A?D=A.
57
对任意的 事件 A，有
A?A=Φ，
A?Φ=A，
A?S=Φ.
58
6.对立事件
S与 A之 差 S?A (图 1.6)，
S
A
Ac
A
图 1.6 Ac
称为 A的 对立事件,
记作
Ac.
或
A
59
由定义可知，在任意一次试验中,A与 Ac不可能同时发生，但 它们 二者之中必然有一个发生,
因而,Ac就是,A不发生,,且 (Ac)c=A,即
.AA?
显然，若事件 A,B满足
AB=Φ,A∪ B=S，
则 A,B互为 对立事件：
B=Ac,A=Bc，
即
.,BAAB
60
此外，对任意两事件 A,B有,
A?B=ABc
即
.BABA
61
事件的和与事件的积可以推广到 n个事件及可列无限多个事件上去,
用 A1∪ A2∪ … ∪ An或
n
i
iA
1?
表示,A1,A2,…,An中至少有一个发生,的 事件，称之为 A1,A2,…,An的 和,
当 A1,A2,…,An互不相容 时,它们的和可以写成
A1+A2+…+ An或
.
1
n
i
iA
62
用
1i
iA
表示,A1,A2,…,An,… 中至少有一个发生,的 事件，
称之为 A1,A2,…,An,… 的 和,
用
n
i
iA
1?
表示,A1,A2,…,An同时发生,的 事件，称之为
A1,A2,…,An的 积,
63
用
1i
iA
表示,A1,A2,…,An,… 同时发生,的 事件，称之为
A1,A2,…,An,… 的 积,
64
上面利用集合的概念描述了 事件的 概念、关系及运算，为了将它们与集合论中的相应的部分对照，列表如下,
65
表符 号 概 率 论 集 合 论
S
Φ
e
A
Ac
A?B
A=B
A∪ B
A∩B
A?B
AB=Φ
样本空间，必然事件不可能事件基本事件 (样本点 )
事件
A的对立事件事件 A发生必然导致事件 B发生事件 A与 事件 B相等事件 A与 事件 B至少有一个 发生事件 A与 事件 B同时 发生事件 A发生而事件 B不发生事件 A与 事件 B互不相容空间 (全集 )
空集元素子集
A的余集
A是 B的子集
A与 B相等
A与 B的 并集
A与 B的 交集
A与 B的 差集
A与 B没有公共元素
66
事件 与集合 的 概念、关系及运算对照 表符 号 概 率 论 集 合 论
S
Φ
e
A
Ac
A?B
样本空间，必然事件不可能事件基本事件 (样本点 )
事件
A的对立事件事件 A发生必然导致事件 B发生空间 (全集 )
空集元素子集
A的余集
A是 B的子集
67
事件 与集合 的 概念、关系及运算对照 表续符 号 概 率 论 集 合 论
A=B 事件 A与 事件 B相等 A与 B相等
A∪ B 事件 A与 事件 B至少有一个 发生
A与 B的 并集
A∩ B 事件 A与 事件 B同时 发生 A与 B的 交集
A?B 事件 A发生而事件 B不发生 A与 B的 差集
AB=Φ 事件 A与 事件 B互不相容 A与 B没有公共元素
68
由于事件、事件的关系及运算与集合、集合的关系及运算是相当的，故根据集合的运算性质可以推得事件的运算性质 如下：
（ 1） 交换律,
A∪ B=B∪ A,AB=BA ；
（ 2）结合律：
(A∪ B)∪ C=A∪ (B∪ C),
(AB)C=A(BC) ；
69
（ 3） 分配律,
(A∪ B)∩ C=(A∩ C)∪ (B∩ C),
(A∩ B)∪ C=(A∪ C)∩ (B∪ C)；
（ 4）对偶原理：
(AB)c=Ac∪ Bc，
(A∪ B)c=Ac∩ Bc ；
即
.,BABABAAB
都发生的对立事件是至少一个不发生；至少一个发生的对立事件是都不发生,
70
对偶原理在事件的运算中经常用到，它可以推广到更多个事件的情况，即
n
i
i
n
i
i AA
11
n
i
i
n
i
i AA
11
11 i
i
i
i AA
11 i
i
i
i AA
用语言表述为：事件和的对立事件等于对立事件的积，事件积的对立事件等于对立事件的和,
71
例 1 在检查某种圆柱形零件时，要求它的长度和直径都必须合格,
设 A,B,C分别表示事件,直径合格,,,长度合格,,,产品合格,,则
(a)C?A,C?B；
(b) Cc,Bc,Ac分别表示,产品不合格,,,长度不合格,,,直径不合格,；
(c) C=A∩ B；
(d) Cc=Ac∪ Bc；
(e) C=A?Bc.
72
例 2 某射手向一个目标进行三次射击，令
,次射击命中目标”“第 iA i? ;3,2,1?i
,次”“在三次射击中，命中 jB j? ;3,2,1,0?j
,次”命中“在三次射击中，至少 kC k?,3,2,1,0?k
则;3213210 AAAAAAB;3213213211 AAAAAAAAAB;3213213212 AAAAAAAAAB;3213 AAAB?
73;3211 BBBC;322 BBC
.32133 AAABC
74
再看几个 事件的例子
例 3选择题：
若随机事件 A,B满足
AB =AcBc
则 ( ).
(A) A∪ B=Φ； (B) A∪ B=S；
(C) A∪ B=A； (D) A∪ B=B.
（ 答案,(B))
75
解,由对称性知 (C),(D)不成立，否则两个都成立；
若 (A)成立，则 A=B=Φ，与已知矛盾，故排除法只能选 (B).
事实上，由于
BABAAB
故
SBABAABBABA )()()(
76
77
概率论与数理统计第一章随机事件与概率
78
将一颗构造均匀的色子投掷一次,求事件 A=“掷得奇数点,,B=“掷得偶数点,,C=“掷得么 (幺 )点,
的概率,
解 因 样本空间 S={1,2,3,4,5,6},事件 A={1,3,5}，
B={2,4,6},C={1},故
P(A)= 3/6= 1/2，
同理
P(B)= 1/2,P(C)= 1/6.
79
第一章 随机事件与概率
1.3 古典概率
当做一个随机试验时，常常会发现有些事件出现的可能性大些，有些事件出现的可能性小些，有些事件出现的可能性彼此大致相同,
事件出现的可能性的大小，是客观存在的，它揭示了这些事件的内在的统计规律,
在生产实际中，了解和掌握事件发生的可能性的大小是有重要意义的,
80
例如，知道了某电话交换台在 24小时内出现某些呼唤次数的可能性的大小，就可以根据要求，合理地配置一定的线路设施以及管理人员等,
为了研究事件发生的可能性的大小，就需要用一个数字来描述这种可能性的大小，人们就把刻画这种可能性大小的数值叫做事件的概率,
事件 A,B,C,… 的概率 分别 用
P(A),P(B),P(C),…
来表示,
由此可知，概率是随机事件的函数,
81
对于一个给定的事件，概率到底是一个什么数？怎样求？
下面先对一种最简单的情况加以讨论,
82
第一章 随机事件与概率
1.3 古典概率
1.3.1 古典概率的定义与计算
先看一个简单的例子，投掷一枚均匀的硬币，考虑出现正面和出现反面这两个事件的概率,
由于 硬币是均匀的，因而出现正面和出现反面的可能性是一样的,故人们有理由认为出现正面和出现反面这两个事件的概率都是 1/2.
83
这个例子具有下面两个特点：
(ⅰ) 样本空间包含的基本事件的个数是有限的；
(ⅱ) 每个基本事件发生的 可能性是相等的,
第一个特点是显然的；
第二个特点，严格说来，是很难具备的,
因为实际的硬币两面的花纹不同，凹凸分布不同，
故硬币不是绝对均匀对称的,
不过花纹、凹凸这些因素对出现正面或反面的影响很小，可以把它们忽略，而认为出现正面和出现反面是等可能的,
84
具有上述两个特点的试验，叫做古典概型试验，它是概率论初期研究的主要对象，一般有下面的定义,
定义 1.1 设 E是一个随机试验，若它的样本空间 S满足下面两个条件：
(ⅰ) 只有有限个基本事件；
(ⅱ) 每个基本事件发生的 可能性是相等，
则称 E为 古典概型的试验,
在古典概型的情况下,事件 A的概率定义为
() APA? 所 包 含 的 基 本 事 件 的 个 数样 本 空 间 中 基 本 事 件 的 总 数
85
在古典概型的情况下,事件 A的概率定义为
P(A)=A所 包 含的基本事件个数 /S所包含的 基本事件总数
= #(A)/#(S) (1.3)
即
#()
#
AAPA
S
所 包 含 的 基 本 事 件 的 个 数样 本 空 间 中 基 本 事 件 的 总 数
用这个公式计算古典概率时，必须计算样本空间中的基本事件总数以及事件 A中包含的基本事件的个数,这种计算常常要用到排列与组合的知识,
86
排列与组合
1.两个基本原理
(a)加法原理
完成一件事，有两类不同的办法,在第一类办法中有
m种方法，在第二类办法中有 n种方法，两类办法中的每一中方法都能完成这件事，那么完成这件事共有 m+n种不同的方法,
(b)乘法原理
完成一件事，必须通过两个步骤,第一步骤有 m种方法，第二步骤有 n种方法，那么完成这件事共有 mn
种不同的方法,
87
显然，加法原理,乘法原理这两条原理可以推广到多个过程的场合,
2.排列
(a)有重复排列
从 n个不同的元素中，每次取 m个元素按一定顺序排成一列，并且每个元素可以重复抽取 (列如有放回的抽取：取一个后，放回去，再取一个，然后又放回去，这样进行 m次 )这样的排列叫做有重复排列,
所有不同的排列个数为
N=nm(这里的 m可以大于 n)
88
(b)无 重复排列
从 n个不同的元素中，每次取 m(m≤ n)个元素按一定顺序排成一列，每个元素不能重复,这样的排列称为无重复排列,
所有不同的排列个数为
Pnm=n(n-1)(n-2)…( n-m+1)
当 m=n时,式 Pnm=n(n-1)(n-2)… (n-m+1)变为
Pnn=n(n-1)(n-2)…3*2*1= n!
Pnn称为 n个元素的全排列数，而 Pnm (m<n)称为由 n
个元素中取 m个元素的选排列数,
89
3.组合
(a)从 n个不同的元素中，每次取 m(m≤ n)个元素 (每个元素不能重复 )不记次序并成一组，称为组合,
所有不同的组合个数为
Cnm,
Cnm= Pnm/m!
=n(n-1)(n-2)…( n-m+1)/m!
=n!/m!/(n-m)!= Cnn-m
规定 Cn0=1.
90
(b)常用的组合公式
1
1
m
n
m
n
m
n CCC
k
i
ik
n
i
m
k
nm CCC
0
n
n
i
i
nC 2
0
91
例 1 设电话号码由八位数码组成，每位数码可以是
0,1,2,…,9中的任意一个,设 A1表示事件,8个数码全相同,,A2表示事件,8个数码全不相同,,A3表示事件,8个数码有两个 3”，求这些事件的概率,
解 将每一个可能的电话号码作为基本事件，它们可以被认为是等可能的,
由于不同位置上的数码是可以重复的，故基本事件的总数为 108.
显然,A1中包含的基本事件数为
10110?C
故
92
781 10
1
10
10)(AP
A2中包含的基本事件数为
345678910810P
故
0 1 8 1 4 4.0
10
345678910
)(
82
AP
93
A3中包含的基本事件数为
62
8 9?C
这是因为数码 3要在电话号码中占两个位置的方法有
C82种，而其余 6个数码中的每一个都可以从剩余的 9
个数码 0,1,2,4,…,9中重复选取，有 9种方法，故
1 4 8 8 0 3 4 8.0
10
9
)(
8
62
8
3
C
AP
94
例 2 设有一批产品共有 100件，其中有 5件次品，其余均为正品,今从中任取 50件，求事件 A=“取出的 50
件恰有 2件次品,的概率,
解 将从 100件产品中任取 50件为一组的每一种可能的组合作为基本事件，总数为 C10050.
导致事件 A发生的基本事件为从 5件次品中取出两件，
从 95件正品中取出 48件构成的组合，有
48
95
2
5 CC?
个，故所求的概率为
32.0)( 50
1 0 0
48
95
2
5
C
CC
AP
95
例 3 将 10本书任意放在书架上，求其中指定的 3本书靠在一起的概率,
解 将 10本书的每一种排列看作基本事件，则基本事件的总数为
!101010?P
设 A表示指定的 3本书靠在一起的事件，如果将这 3
本书看作一本书将其与剩下的 7本书进行排列，则有
8!种排列方法，而 3本书靠在一起的排列方法有 3!种，
故中包含的基本事件的个数为，所以
067.0
15
1
!10
!3!8)(AP
96
例 4 将 r个人随机地分配到 n(r ≤ n)个房间里,设
A=“某指定的 r个房间中各有一人,,
B=“恰有 r个房间中各有一人,,
C=“某指定房间恰有 k(k ≤ r)人,,
求 A,B,C的概率,
解,由于每一个人都可以分配到 n个房间的任意一个房间,所以将 r个人分配到 n个房间去共有 nr种分法,
将每种分法当作一个基本事件,那么基本事件总数为 nr.
97
(1)将 r个人分配到某指定的 r个房间,每个房间中各有一人,共有 r!种分法,故
rn
rAP !)(?
(2)由于 r个房间可以是任意的，即可以从 n个房间中任意选出 r个来，这种选法共有 Cnr种,对于每种选定的 r个房间，每个房间分配一个人的方法有 r!种,故 B
中包含的基本事件数为 Cnr× r!.因此
r
r
n
n
rCBP !)(
98
(3)由于某指定房间分配 k个人的分法有 Crk种,而其余 r-k个人任意分配到 n-1个房间的分法有 (n-1)r-k种,
所以 C中包含的基本事件数为 Crk× (n-1)r-k.因此
r
krk
r
n
nCCP )1()(
99
例 5 袋中有 a个黑球,b个白球,若随机地把球一个接一个地摸出来,求 A=“第 k次摸出的球是黑球,的概率 (k ≤ a+b).
解一,把 a个黑球与 b个白球都看作是不同的 (比如，
设想它们都编了号 )，且把 a+b个球的每一种排列看作基本事件，于是，基本事件总数为 (a+b)!.
由于第 k次摸得黑球有 a种可能，而另外 a+b?1次摸得球的排列有 (a+b?1)!种可能,所以 A中包含的基本事件数为 a× (a+b?1)!.因此
ba
a
ba
baaAP
)!(
)!1()(
100
值得注意的是,这个结果与 k无关,这表明无论那一次取得黑球的概率都是一样的,或者说取得黑球的概率与先后次序无关,这从理论上说明了平常人们采用的,抓阄儿,的办法是公平合理的,
101
解二,把 a个黑球看作是没有区别的,b个白球也看作是没有区别的,仍把摸出的球依次放在排列成一条直线的 a+b个位置上,把 a个黑球位置固定其它位置必放白球,黑球位置有 Ca+ba种放法,以这种放法作为样本点,这时有利的场合有 Ca+b-1a-1,这是由于第 k次摸得黑球,这个位置必须放黑球,剩下的黑球可以在 a+b-1个位置上任取 a?1个位置,因此共有
Ca+b-1a-1种放法,
所以所求的概率为
ba
a
C
C
AP
a
ba
a
ba
1
1)(
102
例 6 (1997,试卷一,3分 ) 填空题
袋中有 50个乒乓球,其中 20个黄球,30个白球,今有两人依次从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率为 ( ).
（ 答案,2/5)
解：抓阄问题
5
2
3020
20?
103
第一章 随机事件与概率
1.3 古典概率
1.3.2 古典概率的性质
定理 1.1 事件的古典概率具有如下的性质：
(ⅰ) 对任一事件 A，有 0≤ P(A)≤ 1；
(ⅱ) P(S)=1；
(ⅲ) 若事件 A,B互不相容,则
P(A+B)= P(A)+P(B)
104
证明 由于 任何 事件 A包含的基本事件数不超过基本事件的总数,故 (ⅰ) 成立,
又由于必然事件 S包含一切基本事件,故 (ⅱ) 成立,
现在证明 (ⅲ),
设
},,,{ 21 neeeS
},,,{ 21 riii eeeA
},,,{ 21 tkkk eeeB
由于 A,B互斥，它们不包含相同的基本事件,故
},,,,,{ 11 tr kkii eeeeBA
105
由古典概率的计算公式,有
)()(
#
)(#
)(
BPAP
n
t
n
r
n
tr
S
BA
BAP
性质 (ⅲ) 不难推广到任意 n个事件上去,即
若事件 A1,A2,…,An是互不相容的,则
P(A1+A2+…+ An)=P(A1)+P(A2)+…+ P(An).
性质 (ⅲ) 及上式 称为概率的加法公式,性质 (ⅲ) 也称为概率的有限可加性,
106
由性质 (ⅰ) ~ (ⅲ),又可推得以下的结果,
(ⅳ ) P(Ac)=1?P(A).
证明 因 A,Ac互不相容,由性质 (ⅲ),有
P(A+Ac)=P(A)+P(Ac).
又因 A+ Ac=S,故
P(A+Ac)=1.
带入式 P(A+Ac)=P(A)+P(Ac),则得性质 (ⅳ ).
(ⅴ) P(Φ)=0.
证明 在性质 (ⅳ) 中，令 A=S，则得 Ac=Φ，于是
P(Φ)=1?P(S)=0.
107
(ⅵ) 若 A?B，则 P(A)≤ P(B)，且
P(B?A)=P(B)?P(A).
证明 因 A?B,故
B=A+(B?A),
其中 A与 B?A互斥 (见图 1.7).由性质 (ⅲ),有
P(B)=P(A)+P(B?A).
故得
P(B?A)=P(B)?P(A).
因为 P(B?A)≥ 0,所以由上式又可得
P(A)≤ P(B),
108
S
B
A
B-A
图 1.7
S
B
A
B-A
图 1.8
109
推论 设 A,B为任意两个事件，则
P(A?B)=P(A)?P(AB).
证明 因 A?B=A?AB,AB?A(见图 ).
S
A
B
AB
故 由性质 (ⅵ) 有
P(A?B)= P(A?AB)
=P(A)?P(AB).
110
(ⅶ) (一般概率的加法公式 ) 对任二事件 A,B有
P(A∪ B)=P(A)+P(B)?P(AB).
证明 因 A∪ B=A+(B?A),A与 B?A互斥 (见图 1.8).
S
B
A
B-A
图 1.8
由性质 (ⅲ) 及 上面的 推论,有
P(A∪ B)
=P(A)+P(B?A)
=P(A)+P(B)?P(AB)
111
性质 (ⅶ) 可以推广到任意 n个事件上去,
由性质 (ⅶ) P(A∪ B)=P(A)+P(B)?P(AB),又可得
P(A∪ B)≤ P(A)+P(B),
当 n=3时，有
P(A1∪ A2∪ A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)
P(A1A2)?P(A2A3)?P(A1A3)
+P(A1A2A3).
112
一般地,设 A1,A2,A3,…,An为 n个事件,则
)()(
1
21
n
i
in APAAAP
)()1(
)()()(
21
1
111
n
n
nkji
kji
nji
ji
n
i
i
AAAP
AAAPAAPAP
上式可用数学归纳法证明,
113
上述概率的各个性质，对计算事件的概率很有好处,
例如当计算 P(A)比较麻烦而计算 P(Ac)比较方便时，
就可先求 P(Ac)，然后利用性质 (ⅳ )求 P(A).
例 6 设电话号码由八位数码组成，每位数码可以是
0,1,2,…,9中的任意一个,设 A表示事件,八位数码中至少有两个相同,,求 P(A).
解 事件 A比较复杂，它包括,八位数码两个相同,,
,八位数码三个相同,,…,,八位数码全相同,,
因此，直接计算 P(A)是比较麻烦的,
现在考虑事件 Ac=“八 位数码全不相同,,由例 1知
P(Ac)=0.018144,利用性质 (ⅳ )，即可算得
P(A)=1?P(Ac)= 0.981856.
114
例 7 设有 180只产品，其中含有 8只次品，今从中任取 4只，问,次品超过 1只,的概率是多少？
解 用 Ai表示,含有 i只次品,的事件 (i=0,1,2,3,4)，
则
4
1 8 0
4
1 7 28 /)( CCCAP
ii
i
对 i= 0,1，分别算得事件
P(A0)= 0.832，
P(A1)= 0.158.
用 A表示,次品超过 1只,的事件，则 Ac=A0+A1.故得
P(A)=1?P(Ac)= 1?P(A0+A1)= 0.010.
115
例 8 由 10,11,…,99中任取一个两位数，求这个数能被 2或 3整除的概率？
解 设 A=“这个数能被 2整除,,B=“这个数能被 3整除,,则
A∪ B=“这个数能被 2或 3整除,,
AB=“这个数能被 2和 3整除,,
由于 10到 99中的两位数有 90个，其中能被 2整除的有
45个，能被 3整除的有 30个，而能被 6整除的有 15个,
故
P(A)=45/90,P(B)=30/90,P(AB)=15/90.
由一般概率的加法公式得
P(A∪ B)=P(A)+P(B)?P(AB)=2/3.
116
古典概率 往届考题
例 1 (1990,试卷四,4分,试卷五,5分 )
从 0,1,2,…,9这十个数字中任意选出三个不同的数字，求下列事件的概率：
A1=“三个数字中不含 0和 5”； A2=“三个数字中不含 0
或 5”； A3=“三个数字中含 0但不含 5”.
（ 答 案,P(A1)=7/15 ； P(A2)=14/15 ；
P(A3)=7/30 )
117
解,三个数字中不含 0和 5的概率
15
7
!3/8910
!3/678)(
3
10
3
8
1
C
CAP
设 B表示 事件,三个数字中含 0”,C表示 事件,三个数字中含 5”,则
A2= Bc∪ Cc
从而
15
14
)()()()()(
3
10
3
8
3
10
3
9
3
10
3
9
2
C
C
C
C
C
C
CBPCPBPCBPAP
118
三个数字中含 0但不含 5的概率
30
7
!3/8910
!2/78)(
3
10
2
8
3
C
CAP
119
例 2 (1993,试卷一,3分 ) 填空题
一批产品共有 10个正品,2个次品,任意抽取两次,
每次抽 1个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为 ( ).
（ 答案,1/6)
解：抓阄问题
6
1
210
2?
120
概率论与数理统计第一章随机事件与概率
121
第一章 随机事件与概率
1.4 几何 概率
概率的古典定义是在 样本空间的基本事件只有有限个且等可能的情况下给出的；对于基本事件为无穷多个的情况,古典概率的定义就不适用了,
考虑如何把古典概率定义进一步推广，使适用于无穷 多个基本事件而又有某种等可能性的场合，从而引出了 几何概率的定义,
122
我们从简单的问题入手
引 例 某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，
想听电台报时，求他等待的时间不多于 10分钟的概率,
一种很自然的想法是所求的概率为 1/6.
123
设在平面 S上有某一区域,而区域 A是它的一部分
(如图 ).向区域 S内随机 掷一个质点，考虑质点落在区域 A内的概率,由于 质点可以落在 S内的每个点上，
故 S内的每个点都是 基本事件，它的全体有无限多个； A中包含的 基本事件也有无限多个,因此,古典定义公式不能用,
下面假设 质点落在 S内的 任何子区域内的概率只与这个子区域的面积成正比，而与 其 位置及形状无关。
在这种等可能的假设下，很自然地应将,向区域 S
内随机 掷一个质点而落在区域 A内,的概率定义为的面积的面积
S
AAP?)(
124
这就是几何概率的定义，一般叙述如下：
定义 1 向一个区域 S(如一维的区间，二维的平面区域,… )中掷一个质点 M，如果 M必落在 S内，且落在 S内任何子区域 A上的可能性只与 A的度量 (如长度，
面积,… )成正比，而与 A的位置及形状无关，则这个试验称为是 几何概型的试验 ；并定义 M落在 A中的概率 P(A)为
)(
)()(
SL
ALAP?
其中 L(S)是样本空间 S的度量,L(A)是子区域 A的度量,
125
例 1 (约会问题 )二人约定于 0到 T时内在某地见面，
先到者等 t(t≤ T)时后离去，求二人能会面的概率,
解 设 A表示事件,二人能会面,,以 x,y分别表示二人到达的时刻，则
0≤ x≤ T,0≤ y≤ T
满足此二不等式的点 (x,y)构成边长为 T的正方形
S(如图 1.10).
126
y
T
O T x
S
图 1.10
127
例 1 (约会问题 )二人约定于 0到 T时内在某地见面，
先到者等 t(t≤ T)时后离去，求二人能会面的概率,
解 设 A表示事件,二人能会面,,以 x,y分别表示二人到达的时刻，则
0≤ x≤ T,0≤ y≤ T
满足此二不等式的点 (x,y)构成边长为 T的正方形
S(如图 1.10).
二人能会面的条件是 | x?y | ≤ t.
这个条件决定了 S中的一个子集 A(图 1.10中的阴影部分 ).
128
y
T
t
O t T x
x-y=t
y-x=t
y=x
S
A
图 1.10
129
故二人能会面的概率为
2
2
22
11
)(
)(
T
t
T
tTT
AP
130
例 2 (1777法国科学家 蒲丰,投针 问题 )平面上有一簇平行线，其中任何相邻的的两线距离都是 a(a>0).
向平面任意投一长为 l(l<a)的针,求 针与一条平行线相交 的概率,
131
所求事件针与平行线相交的概率
a
l
a
d
l
AP
2
2
s i n
2
)(
0
假如有另外的方法可以求出 P(A)(或其近似值 ),我们就可以利用 蒲丰 投针试验求得 π 值 (或其近似值 ).
132
与古典概率一样，几何概率具有如下的概率性质
定理 1.2 事件的几何概率具有如下的性质：
(ⅰ) 对任一事件 A，有 0≤ P(A)≤ 1；
(ⅱ) P(S)=1；
(ⅲ) 若事件 A1,A2,…,An是互不相容的，则
P(A1+A2+…+ An)=P(A1)+P(A2)+…+ P(An).
证明 性质 (ⅰ),(ⅱ) 可由几何概率的定义直接推得,
现在证明性质 (ⅲ),
因事件 A1,A2,…,An是样本空间 S中的子区域,且
AiAj = Φ(i≠ j； i,j=0,1,2,…,n),故
133
L(A1+A2+…+ An)=L(A1)+L(A2)+…+ L(An).
这是根据度量的可加性得出来的,式中 L是区域的度量记号,
用 L(S)除 上面 式子的两端，得
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2121
SL
AL
SL
AL
SL
AL
SL
AAAL
n
n
从而，由几何概率的定义得到
P(A1+A2+…+ An)=P(A1)+P(A2)+…+ P(An),
134
与古典概率一样,可以证明古典概率的概率性质
(ⅳ )~(ⅶ),对 几何概率也都成立,
即
(ⅳ ) P(Ac)=1?P(A).
(ⅴ) P(Φ)=0.
(ⅵ) 若 A?B，则 P(A)≤ P(B)，且
P(B?A)=P(B)?P(A).
(ⅶ) (一般概率的加法公式 ) 对任二事件 A,B有
P(A∪ B)=P(A)+P(B)?P(AB),
135
第一章 随机事件与概率
1.5 统计概率
古典概率和几何概率都是以等可能性为基础的，有很大的局限性，实际中有很多试验，它们的试验结果是不具备等可能性质的,
例如，电话交换台在一段时间内接到呼叫的次数，
可能是,零次,,,1次,,,2次,,……,这些试验结果就不是等可能的,
在这里，古典概率和几何概率都不适用了,
136
本节介绍适用于一般试验的统计概率定义,它是以事件的频率具有稳定性为基础的,
下面先介绍事件频率的概念,
设 A为联系于某一试验的事件,将试验在相同条件下重复 n次,用 nA表示事件出现的次数,则比值
nA/n
称为事件 A的 相对频率,简称 频率,记为
fn(A)=nA/n.
n
n
n
mAf A
n)(
137
由于在任意 n次试验中,事件 A发生的次数具有偶然性,故对任意 n,频率 fn(A)都具有不确定性,
但当重复试验次数 n很大时,就呈现出明显的规律性 ——频率的稳定性,
例如,蒲丰和皮尔逊掷均匀硬币的试验 (蒲丰投掷
4040次,正面向上次数为 2048次,频率为 0.5069；
皮尔逊投掷 12000次,正面向上次数为 6019次,频率为 0.5016；皮尔逊投掷 24000次,正面向上次数为 12012次,频率为 0.5005).
138
如果用 A表示掷得正面的事件,则在蒲丰的试验中,
有
5069.0
4040
2048)(
4 0 4 0Af
在皮尔逊的试验中,有
5005.02400012012)(2 4 0 0 0Af
139
实验结果统计表实验者 投掷次数 正面向上次数 频率蒲丰
(Buffon) 4040 2048 0.5069
皮尔逊
(K.Pearson) 12000 6019 0.5016
皮尔逊
(K.Pearson) 24000 12012 0.5005
140
由此可见,当投掷次数 n很大时,硬币正面出现的频率 fn(A)接近 1/2.
频率的这种稳定性,说明了的事件发生的可能性有大小可言,
当频率稳定于较大的数值时,相应事件发生的可能性就大；反之,就较小,
从而频率所稳定的这个值就是相应的事件发生的可能性大小的一个客观的定量的度量,人们称之为相应事件的概率,
一般定义如下：
141
定义 1.3 在一组固定的条件下,重复作 n次试验,
如果当 n增大时,事件 A出现的频率 fn(A)围绕着某一个常数 p摆动；而且一般来说,随着 n的增大,这种摆动的幅度愈来愈小,则称常数 p为事件的概率,
即
P(A)=p.
这个定义适用于一切类型的试验,
定义中虽然没有提供直接确定概率的方法,但当 n
充分大时,频率 fn(A)=nA/n≈ P(A),故可用频率
fn(A)作为概率 P(A)的近似值；在许多情况下,这就足以满足实际需要了,
142
下面讨论这种统计概率是否具有古典概率的各种概率性质
按照统计概率的定义,概率实际是频率的数学抽象；
因此,人们根据频率所具有的性质,来推断统计概率具有的性质
定理 1.3 事件的频率具有如下的性质,
(ⅰ) 对任一事件 A,有 0≤ fn(A)≤ 1；
(ⅱ) fn(S)=1；
(ⅲ) 若事件 A1,A2,…,Ak是互不相容的,则
fn(A1+A2+…+ Ak)= fn(A1)+ fn(A2)+…+ fn(Ak).
143
证明 性质 (ⅰ),(ⅱ) 可由几何概率的定义直接推得,
现在证明性质 (ⅲ),
设在 n次试验中，事件 A1,A2,…,Ak发生的次数分别为
n1,n2,…,nk，
由于 A1,A2,…,Ak 是互不相容的,故 事 件
A1+A2+… +Ak发生的次数为
n1+n2+…+ nk.
144
从而得到
n
n
n
n
n
n
n
nnn
AAAf
k
k
kn
21
21
21
)(
)()()( 21 knnn AfAfAf
145
由上面的定理可知,统计概率应当具有如下的性质：
(ⅰ) 对任一事件 A,有 0≤ P(A)≤ 1；
(ⅱ) P(S)=1；
(ⅲ) 若事件 A1,A2,…,An是互不相容的，则
P(A1+A2+…+ An)=P(A1)+P(A2)+…+ P(An).
由此又可知,古典概率的性质 (ⅳ )~(ⅶ),对 统计概率也都是成立的,
146
第一章 随机事件与概率
1.6 概率的公理化定义
古典概率和几何概率的定义，都是以等可能性为基础的，它们的适用范围有很大的局限性,
概率的统计定义虽然适用于一般情况，但它的定义有不确切的地方,如定义中 n的,很大,,,围绕着某一个常数 p摆动,等术语，都不是严格的数学概念,
此外，统计概率的概率性质，是频率性质推出来的，
不是由统计概率定义证得的,
因此，以这些作为概率的理论基础是不够的,
147
由上述可见,三种定义不同的概率,具有相同的性质：
(ⅰ) 对任一事件 A,有 0≤ P(A)≤ 1；
(ⅱ) P(S)=1；
(ⅲ) 若事件 A1,A2,…,An是互不相容的，则
P(A1+A2+…+ An)=P(A1)+P(A2)+…+ P(An).
这说明这三条性质是概率的最基本的性质,是概率的固有属性,
由此人们想到直接用这些性质来作为一般的概率定义,近代概率论的公理结构中正是这样做的,
148
现在来陈述概率的公理化定义,
定义 1 设随机试验 E的样本空间为 S,如果对每个事件 A(S中的子集 ),都有一个实数 P(A)与之对应,且满足以下公理：
公 理 1 P(A)≥ 0；
公 理 2 P(S)=1；
公 理 3 对于互不相容的事件 A1,A2,…,An,…,有
P(A1+A2+…+ An +… )=P(A1)+P(A2)+…+ P(An)+…,
则称实数 P(A)为事件 A的 概率,
149
几点说明：
(1)由公理 1,2,3可以推出 P(A)≤ 1(见后面的推论
3)；
(2)公理 3称为 可列可加性 或 完全可加性公理,它包含着有限可加性 (见后面的推论 2).
(3)公理 3的设立,是为了适应样本空间为无限的情况,在那里不可避免的要考虑可列无限多个事件和的概率的运算问题,
(4)概率论的全部理论都是建立在上面的三条公理的基础之上的,
150
推论 1 P(Φ)=0.
证 S=S+Φ +…,由公理 3,得
P(S) = P(S) + P(Φ)+…,
因此
P(Φ)=0.
151
推论 2 设 A1,A2,…,An是互不相容的事件,则
P(A1+A2+…+ An)=P(A1)+P(A2)+…+ P(An),
证
P(A1+A2+… +An)=P(A1+A2+… +An +Φ +… )
由公理 3以及推论 1,得
P(A1+A2+… +An)
=P(A1)+P(A2)+… +P(An)+ P(Φ) +…
=P(A1)+P(A2)+… +P(An).
152
推论 3 0≤ P(A)≤ 1.
证 只需证 P(A)≤ 1.由于
1= P(S)=P(A+Ac)= P(A)+P(Ac)，
故得 P(A)≤ 1.
由推论 3的证明过程可得前面证明过的古典概率的性质：
P(Ac)=1?P(A).
根据公理 1和推论 2,就可像在古典概率性质中讨论的那样,证明古典概率的性质 (ⅵ) 和 (ⅶ) 成立,
由此,古典概率的性质也就是一般的公理化概率的性质,
153
由古典概率,几何概率和统计概率的性质可知,古典概率,几何概率和统计概率都满足三条公理,故它们都是公理化概率定义中的特殊情况,
公理化概率的定义中,没有给出概率的计算方法,
只是给了概率应满足哪些公理,为的是使定义能适用于各种不同的情况,
在实际问题中如何规定,要视具体情况而定,
而公理化概率定义则是它们的数学抽象,同时又避免了上述各种定义的不足之处,
154
例如,样本空间包含有限个样本点,即
},,,{ 21 neeeS
则只要规定满足
nieP i,,2,1,0)(
1)()()( 21 nePePeP?
的一组数
)(,),(),( 21 nePePeP?
就可以了,
155
这时,由概率的可加性,就可推得任一事件
},,{ 1 kii eeA
的概率
)()()()( 21 kiii ePePePAP
156
若基本事件的发生是等可能的,即
)()()( 21 nePePeP
则由第二个条件式，得
ni
n
eP i,,2,1,1)(
再由事件 A的概率公式,得
n
kAP?)(
这就是古典概率的计算公式,
157
两个事件 加法公式 往届考题
例 1 (1990,试卷一,3分 )填空题
设 随机事件 A,B 及和事件 A∪ B 的概率分别是
0.4,0.3和 0.6,若 Bc表示 B的 对立事件,那么积事件 ABc的概率 P(ABc)= ( ).
（ 答案,P(ABc)= 0.3 )
158
例 1 (1990,试卷一,3分 )填空题
设 随机事件 A,B 及和事件 A∪ B的概率分别是
0.4,0.3和 0.6,若 Bc表示 B的 对立事件,那么积事件 ABc的概率 P(ABc)= ( ).
（ 答案,P(ABc)= 0.3 )
解,)()( ABAPBAP
)()( ABPAP
)]()()([)( BAPBPAPAP
3.03.06.0)()( BPBAP
159
例 2 (1992,试卷四,3分 ) 选择题
设当 事件 A与 B同时发生时,事件 C必然发生,则下列式子正确的是 ( ).
(A)P(C)≤ P(A)+ P(B)?1；
(B)P(C)≥ P(A)+ P(B)?1；
(C)P(C)= P(AB)；
(D)P(C)=P(A∪ B).
（ 答案,(B))
160
三个事件 加法公式 往届考题
例 3 (1992,试卷一,3分 )填空题
已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=
P(BC)=1/16,则事件 A,B,C全不发生的概率为
( ).
（答案,3/8)
解,)(1)()( CBAPCBAPCBAP
)]()()()()()()([1 ABCPACPBCPABPCPBPAP
8
3
8
51]0
16
1
16
10
4
1
4
1
4
1[1
161
例 4 (1992,试卷五,3分 )填空题
设对于事件 A1,A2,A3有 P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/4，
P(A1A2)=P(A2A3)=0,P(A1A3)=1/8,则事件 A1、
A2,A3三个 事件中 至少出现一个的概率为 ( ).
（ 答案,5/8)
解,
)()()()( 321321 APAPAPAAAP
)()()()( 321323121 AAAPAAPAAPAAP
8
50
8
100
4
1
4
1
4
1
162
几何概率 例题
例 1 在时间间隔 T内的任何瞬间 （ T>0）,两个信号等可能的进入收音机,如果这两个信号的时间间隔小于 τ (0<τ <T),收音机会受到干扰,则收音机受到干扰的概率 P(A)为 ( ).
答案：
2
11?
T
163
解,设 x,y分别表示两个信号进入收音机的瞬间,
则 x,y的全部可能值区域
D={(x,y)|0≤ x≤ T,0≤ y≤ T},
其面积
2TS
D?
当 |x-y|≤ τ 时，收音机受到干扰，即事件 A发生，有利于 A发生的样本点的集合是 D子区域 D1(如图阴影 )，
其面积
2)(
1
TSS DD
164
y
T
τ
O τ T x
x-y=τ
y-x=τ
y=x
S
A
165
依几何概率公式
D
D
S
S
AP 1)(?
2
22 )(
T
TT
2
11?
T
166
例 2 将一段长为 a的木棒随机地截成三段,求三段能构成三角形的概率？
解,设 A表示,三段能构成三角形,,设 其中 两段的 长分别为 x,y则另一段长为 a?x?y,从而
0<x<a,0<y<a,0<x+y<a
它们确定了平面区域 S(如图 ).
事件 A发生的充分必要条件是
0<x<a/2,0<y<a/2,a/2<x+y<a
它们确定了区域 S的子区域 A(如图阴影 )，
167
y
a
O a x
y+x=a
S
168
y
a
O a x
y+x=a
S
a/2
a/2
y+x=a/2
A
169
y
a
O a x
x=a/2
y+x=a
y=x
S
A
a/2
a/2 y=a/2
y+x=a/2
170
依几何概率公式
)(
)()(
SL
ALAP?
aa
aa
2
1
222
1
4
1?
