中 心 极 限 定 理电子科技大学
§ 4.5 中心极限定理一,中心极限定理定义和意义引例：高尔顿钉板试验定义 4.5.2（中心极限定理） 设随机变量
{ξk},k = 1,2,… 相互独立，有有限数学期望和方差,若随机变量序列
n
k n
kk
n B
E
1
)(
中 心 极 限 定 理电子科技大学标准化
n
k
k
n
k
k
n
k
k
D
E
1
11
)(
)(
对 z∈ R一致地有
)(
2
1}{lim 221 zdyezP z y
nn
称随机变量序列 {ξk}服从 中心极限定理,
中 心 极 限 定 理电子科技大学注 1 随机变量 {ξk}服从中心极限定理，指其前 n项和布收敛的标准化随机变量依分?
n
k
k
1
.?量于标准正态分布随机变若随机变量序列 {ξk },k = 1,2,… 服从中心极限定理，有注 2 解释了现实中哪些随机变量可看服从正态分布；
中 心 极 限 定 理电子科技大学
)1,0(~
)(
)(
1
11
N
D
E w
n
k
k
n
k
k
n
k
k
nas
故当 n足够大时，可以认为
)1,0(~
)(
)(
1
11
N
D
E
n
k
k
n
k
k
n
k
k
近似成立，或中 心 极 限 定 理电子科技大学
n
k
k
n
k
k
n
k
k DEN
111
)(,)( ~
近似成立,
许多相互独立的微小因素 ξk的叠加总和,
注 3 给出了概率的近似计算公式,
若随机变量序列 {ξk },k = 1,2,… 服从中心极限定理，则有中 心 极 限 定 理电子科技大学
)()(
)(
)(
122
1
11
1
xxx
D
E
xP
n
k
k
n
k
k
n
k
k
中 心 极 限 定 理电子科技大学二,几个中心极限定理介绍林德伯格 — 列维定理棣莫佛 — 拉普拉斯定理林德伯格定理李雅普洛夫定理中 心 极 限 定 理电子科技大学定理 4.5.3（ 林德伯格 — 列维定理、独立同分布中心极限定理）
设 {ξk },k =1,2… 是一个相互独立，具有相同分布的随机变量序列，且 E(ξk ) = a,D(ξk )
=ζ2≠0，（ k=1,2,… ）,{ξk }服从中心极限定理，即有
)(lim
1
xΦx
n
n
P
n
k
k
n
使各叠加项
“均匀地小”
中 心 极 限 定 理电子科技大学证 则的特征函数为记 ),(),2,1( tka
k
,
)(
1
n
t
n
a
n
k
k
n
的特征函数为而且因
2)0(,0)()0( aE
)(211)( 222 tott
n
t
2
2
2
2
)](
2
11[ ten
n
tot
n
中 心 极 限 定 理电子科技大学是连续函数，且为标准正态分布的特征函数，根据连续性定理知
2
2t
e?
)(lim
1
xΦx
n
n
P
n
k
k
n
装车问题重复试验次数估计报亭售报问题根据林德伯格 — 列维定理，
高尔顿钉板试验中 心 极 限 定 理电子科技大学注 林德伯格 — 列维定理有广泛应用，在数理统计中处理大样本时，将独立同分布的随机变量之和当作正态随机变量,
由林德伯格 — 列维定理立即推得以下重要定理：
定理 4.5.2 （棣莫佛 — 拉普拉斯定理）
设 {ξk },k =1,2… 相互独立，具有相同两点分布的随机变量序列，且 P(ξk =1)= p，
P(ξk =0)=1?p,则 {ξk }服从中心极限定理,
中 心 极 限 定 理电子科技大学
)(
)(
)(
lim
1
11
xΦx
D
E
P
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
即有注 因 ),,(~
1
pnB
n
k
kn?
n
k
kn npEE
1
,)()(
n
k
kn pnpDD
1
),1()()(
中 心 极 限 定 理电子科技大学定理 2.1.4 (P105) 设随机变量序列 { ηn },ηn
~ B( n,p ),n =1,2…,
对于任意的实数 x,有
)(
)1(
lim xΦx
pnp
np
P n
n
得到棣莫佛 — 拉普拉斯定理的 等价形式,
)()(
)1(
lim 1221 xΦxΦx
pnp
np
xP n
n
或中 心 极 限 定 理电子科技大学若 η~ B( n,p ),n足够大 (np≥5,np(1?p)≥5 ),
有
}{ 21 mmP
)1()1()1(
21
pnp
npm
pnp
np
pnp
npm
P
)1()1(
12
pnp
npm
Φ
pnp
npm
Φ
标准化
≈
中 心 极 限 定 理电子科技大学航船的稳定性 产品抽检件数以上中心极限定理都是讨论,独立和”
的问题，要求随机变量序列需满足以下条件：
1,相互独立；
2.具有相同分布；
3.数学期望和方差均存在,(参见 P286 例 4.5.7)
问题 条件能否减弱？能否改变？
中心极限定理还有更为丰富的理论成果,
中 心 极 限 定 理电子科技大学定理 4.5.4（林德伯格）
独立同分布条件保证“独立和”中各叠加项“均匀地小”,林德伯格给出去掉“同分布”后的充分条件,
设独立随机变量序列 {ξk }（ k =1,2… ）满足 林德伯格条件：对任意的 ε> 0,有
0)()(1lim
1
}{
2
2
xdFax
B k
n
k
Bax k
n
n nk?
其中 Fk(x) 是 ξk的分布函数,),(),( 2 kkkk DEa
中 心 极 限 定 理电子科技大学
n
k
kB
1
22?,则对 x一致地有
)(})(1{lim
1
xxa
B
P
n
k
kk
n
n
推论 （李雅普洛夫）
设独立随机变量序列 {ξk }（ k =1,2… ）若存在 δ> 0，使
01lim
1
2
2
n
k
kk
n
n
aE
B
{ξk }服从中心极限定理,
中 心 极 限 定 理电子科技大学分析 林德伯格条件的概率意义讨论令 }{
nkkk BaA
)}({}m a x{
11
n
k
nkknkknk BaPBaP
则
n
k
kn APAAAP
1
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k
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1
中 心 极 限 定 理电子科技大学
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B k
n
k
Bax k
n
n nk?
若 林德伯格条件成立则对任意 ε> 0,有
0}m a x{lim 1 nkknkn BaP
1}m a x{lim
1
n
kk
nkn B
a
P
或者当 n充分大时，每一叠加项依概率一致地小,
中 心 极 限 定 理电子科技大学林德伯格条件是保证 极限分布是正态分布，各叠加项“均匀地小”的充分条件,
中 心 极 限 定 理电子科技大学将小球投入无限大高尔顿钉板内,小球各以 的概率向左或向右移动一格,21
例 1 随机游动 (高尔顿钉板试验 )
演示中 心 极 限 定 理电子科技大学
.1;,1
层向左位移一格在第，
层向右位移一格在第令
k
k
k?
－ 1 1ξk
2/1 2/1P{ξk=i}
{ξk,k∈ N+} 是相互独立同分布随机变量序列，令有
n
k
kn
0
,
小球在第 n 次碰撞后所处位臵中 心 极 限 定 理电子科技大学
,0][][
1
n
k
nn EE均值为
,)()][
1
n
k
kn nDD方差为
nas )(}{ yy
n
P n
,2,1,* n
n
n
n
即 依分布收敛于 标准正态分布 随机变量,
问题,在什么条件下有中 心 极 限 定 理电子科技大学
,0][][
1
n
k
nn EE均值为
,)()][
1
n
k
kn nDD方差为
nas )(}{ yy
n
P n
,2,1,* n
n
n
n
即 依分布收敛于 标准正态分布 随机变量,参见 P276~277
和 P282~283
由林德伯格 — 列维定理 有中 心 极 限 定 理电子科技大学例 2 将一枚均匀硬币连续抛 n 次，试用中心极定理来估计 n,使下式成立,
99.0}01.0|)()({| APAfP n
其中 A ={ 出现正面 }
解 有 P( A )=1/2，令
),2,1(
,,0;,1
ni
i
X i
否则次出现正面第则随机变量序列 { Xi },i= 1,2,… 是相互独立且同分布的,而且有中 心 极 限 定 理电子科技大学
,2,1,41)(,21)( iXDXE ii
所以随机变量序列 { Xi }，满足独立同分布中心极限定律,
由题意可得有,1)(
1
X
n
Af
n
i
in?
}01.0|)()({|99.0 APAfP n
01.0
2
11
01.0
2
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n
i
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中 心 极 限 定 理电子科技大学
n
n
Xn
n
P
n
i
i 01.0201.02
1
}
2/1
01.0
2/1
2
2/1
01.0
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n
n
n
n
X
n
n
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n
i
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分布，近似服从因为 ) 1,0 (
2/1
2
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n
n
X
n
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中 心 极 限 定 理电子科技大学
}
2/1
01.0
2/1
2
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{99.0 1
n
n
n
n
X
n
n
P
n
i
i
所以
1)02.0(2 nΦ
995.0)02.0( nΦ
58.202.0 n
解得 n ≥ 16,641 (次 ) (250,000次 )
中 心 极 限 定 理电子科技大学例 3 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的,假设每箱平均重 50千克，标准差为 5千克,若用最大载重量为 5吨的汽车装运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977.
解 设 Xi,i=1,2,…,n 是装运的第 i 箱重量
(单位,千克 ),n是所求箱数,
n 箱的总重量为中 心 极 限 定 理电子科技大学可将 Xi,i=1,2,…,n 视为独立同分布的随机变量,
,5)(,50)( ii XDXE
):(,5)(,50)( 千克单位nTDnTE nn
由 林德伯格 — 列维定理 知,Tn近似服从正态分布,)25,50( nnN
nn XXXT21
中 心 极 限 定 理电子科技大学
),2(77.9)101 0 0 0(
n
n
故
,21010 00
n
n
解得,0 1 9 9.98?n 即一辆车最多可以装 98箱,
}
5
505 0 0 0
5
50{}5 0 0 0{
n
n
n
nTPTP n
n
中 心 极 限 定 理电子科技大学例 4 路边有一个售报亭,每个过路人在报亭买报的概率是 1/3,求,正好售出 100 份报纸时的过路人数在 280 到 300 之间的概率。
解 设 X 是正好售出 100 份报纸时的过路人数,Xi 是售出第 i?1 份报纸后到售出第 i 份报纸时的过路人数,则
100
1i
iXX
中 心 极 限 定 理电子科技大学并且随机变量 X1,X2,··,X100 独立同分布,具有分布律,
因
i = 1,2,··,100;
,2,1,)32(31}{ 1 kkXP ki
6
)31(
3
2
)(,3
3
1
1
)(
2
ii XDXE
根据林德伯格 — 列维定理,所求概率中 心 极 限 定 理电子科技大学
}3 0 02 8 0{
1 0 0
1
i
iXP
)8 1 6 5.0()0(
)8 1 6 5.0(15.0
2 9 3.0?
中 心 极 限 定 理电子科技大学例 5 一船舶在某海区航行,已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 3° 的概率为 p =
1/3，若船舶遭受了 90000次波浪冲击，问其中有 29600 ~ 30500 次纵摇角大于 3° 的概率是多少？
解 假定船舶遭受波浪的各次冲击是独立的，
记 X 为 90000次冲击下纵摇角大于 3° 的次数，
故有中 心 极 限 定 理电子科技大学
3
1,9 0 0 0 0 ),
3
1,9 0 0 0 0(~ pnBX
由棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理,所求事件的概率
}3 0 5 0 02 9 5 0 0{ XP
)1(
3 0 5 0 0
)1()1(
2 9 5 0 0
pnp
np
pnp
npX
pnp
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中 心 极 限 定 理电子科技大学
)1(
2 9 5 0 0
)1(
3 0 5 0 0
pnp
npΦ
pnp
npΦ
2
25
2
25 ΦΦ
9 9 5.01
2
252
Φ
中 心 极 限 定 理电子科技大学例 6 随机抽查验收产品,如果在一批产品中查出 10个以上的次品,则拒绝接收,
问至少检查多少个产品,能保证次品率为
10%的一批产品被拒收的概率不低于 0.9
解 设检查的产品数为 n,查出的次品数为 ξ,则 ξ ~ B( n,0.1),按题意,有
P{ 10＜ ξ≤n }≥0.9
由棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理,有中 心 极 限 定 理电子科技大学
P{ 10＜ ξ≤n }
)
9.01.0
1.010()
9.01.0
1.0(
n
n
n
nn
)
3.0
1.010()3(
n
nn
于是
)
3.0
1.010(1}10{
n
nnP
)
3.0
101.0(
n
n
中 心 极 限 定 理电子科技大学故求解得 n≥146.8 或 n≤－ 68.3，
所以至少取 n = 147 能够保证要求。
9.0)
3.0
101.0(
n
n
28.1
3.0
101.0
n
n
§ 4.5 中心极限定理一,中心极限定理定义和意义引例：高尔顿钉板试验定义 4.5.2（中心极限定理） 设随机变量
{ξk},k = 1,2,… 相互独立，有有限数学期望和方差,若随机变量序列
n
k n
kk
n B
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1
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中 心 极 限 定 理电子科技大学标准化
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称随机变量序列 {ξk}服从 中心极限定理,
中 心 极 限 定 理电子科技大学注 1 随机变量 {ξk}服从中心极限定理，指其前 n项和布收敛的标准化随机变量依分?
n
k
k
1
.?量于标准正态分布随机变若随机变量序列 {ξk },k = 1,2,… 服从中心极限定理，有注 2 解释了现实中哪些随机变量可看服从正态分布；
中 心 极 限 定 理电子科技大学
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近似成立，或中 心 极 限 定 理电子科技大学
n
k
k
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k
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近似成立,
许多相互独立的微小因素 ξk的叠加总和,
注 3 给出了概率的近似计算公式,
若随机变量序列 {ξk },k = 1,2,… 服从中心极限定理，则有中 心 极 限 定 理电子科技大学
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中 心 极 限 定 理电子科技大学二,几个中心极限定理介绍林德伯格 — 列维定理棣莫佛 — 拉普拉斯定理林德伯格定理李雅普洛夫定理中 心 极 限 定 理电子科技大学定理 4.5.3（ 林德伯格 — 列维定理、独立同分布中心极限定理）
设 {ξk },k =1,2… 是一个相互独立，具有相同分布的随机变量序列，且 E(ξk ) = a,D(ξk )
=ζ2≠0，（ k=1,2,… ）,{ξk }服从中心极限定理，即有
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1
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使各叠加项
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中 心 极 限 定 理电子科技大学是连续函数，且为标准正态分布的特征函数，根据连续性定理知
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装车问题重复试验次数估计报亭售报问题根据林德伯格 — 列维定理，
高尔顿钉板试验中 心 极 限 定 理电子科技大学注 林德伯格 — 列维定理有广泛应用，在数理统计中处理大样本时，将独立同分布的随机变量之和当作正态随机变量,
由林德伯格 — 列维定理立即推得以下重要定理：
定理 4.5.2 （棣莫佛 — 拉普拉斯定理）
设 {ξk },k =1,2… 相互独立，具有相同两点分布的随机变量序列，且 P(ξk =1)= p，
P(ξk =0)=1?p,则 {ξk }服从中心极限定理,
中 心 极 限 定 理电子科技大学
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~ B( n,p ),n =1,2…,
对于任意的实数 x,有
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或中 心 极 限 定 理电子科技大学若 η~ B( n,p ),n足够大 (np≥5,np(1?p)≥5 ),
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标准化
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中 心 极 限 定 理电子科技大学航船的稳定性 产品抽检件数以上中心极限定理都是讨论,独立和”
的问题，要求随机变量序列需满足以下条件：
1,相互独立；
2.具有相同分布；
3.数学期望和方差均存在,(参见 P286 例 4.5.7)
问题 条件能否减弱？能否改变？
中心极限定理还有更为丰富的理论成果,
中 心 极 限 定 理电子科技大学定理 4.5.4（林德伯格）
独立同分布条件保证“独立和”中各叠加项“均匀地小”,林德伯格给出去掉“同分布”后的充分条件,
设独立随机变量序列 {ξk }（ k =1,2… ）满足 林德伯格条件：对任意的 ε> 0,有
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其中 Fk(x) 是 ξk的分布函数,),(),( 2 kkkk DEa
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设独立随机变量序列 {ξk }（ k =1,2… ）若存在 δ> 0，使
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{ξk }服从中心极限定理,
中 心 极 限 定 理电子科技大学分析 林德伯格条件的概率意义讨论令 }{
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若 林德伯格条件成立则对任意 ε> 0,有
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或者当 n充分大时，每一叠加项依概率一致地小,
中 心 极 限 定 理电子科技大学林德伯格条件是保证 极限分布是正态分布，各叠加项“均匀地小”的充分条件,
中 心 极 限 定 理电子科技大学将小球投入无限大高尔顿钉板内,小球各以 的概率向左或向右移动一格,21
例 1 随机游动 (高尔顿钉板试验 )
演示中 心 极 限 定 理电子科技大学
.1;,1
层向左位移一格在第，
层向右位移一格在第令
k
k
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－ 1 1ξk
2/1 2/1P{ξk=i}
{ξk,k∈ N+} 是相互独立同分布随机变量序列，令有
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小球在第 n 次碰撞后所处位臵中 心 极 限 定 理电子科技大学
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即 依分布收敛于 标准正态分布 随机变量,
问题,在什么条件下有中 心 极 限 定 理电子科技大学
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即 依分布收敛于 标准正态分布 随机变量,参见 P276~277
和 P282~283
由林德伯格 — 列维定理 有中 心 极 限 定 理电子科技大学例 2 将一枚均匀硬币连续抛 n 次，试用中心极定理来估计 n,使下式成立,
99.0}01.0|)()({| APAfP n
其中 A ={ 出现正面 }
解 有 P( A )=1/2，令
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否则次出现正面第则随机变量序列 { Xi },i= 1,2,… 是相互独立且同分布的,而且有中 心 极 限 定 理电子科技大学
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所以随机变量序列 { Xi }，满足独立同分布中心极限定律,
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n
i
in?
}01.0|)()({|99.0 APAfP n
01.0
2
11
01.0
2
1
1
n
i
iXnP
中 心 极 限 定 理电子科技大学
n
n
Xn
n
P
n
i
i 01.0201.02
1
}
2/1
01.0
2/1
2
2/1
01.0
{ 1
n
n
n
n
X
n
n
P
n
i
i
分布，近似服从因为 ) 1,0 (
2/1
2
1 N
n
n
X
n
i
i
中 心 极 限 定 理电子科技大学
}
2/1
01.0
2/1
2
2/1
01.0
{99.0 1
n
n
n
n
X
n
n
P
n
i
i
所以
1)02.0(2 nΦ
995.0)02.0( nΦ
58.202.0 n
解得 n ≥ 16,641 (次 ) (250,000次 )
中 心 极 限 定 理电子科技大学例 3 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的,假设每箱平均重 50千克，标准差为 5千克,若用最大载重量为 5吨的汽车装运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977.
解 设 Xi,i=1,2,…,n 是装运的第 i 箱重量
(单位,千克 ),n是所求箱数,
n 箱的总重量为中 心 极 限 定 理电子科技大学可将 Xi,i=1,2,…,n 视为独立同分布的随机变量,
,5)(,50)( ii XDXE
):(,5)(,50)( 千克单位nTDnTE nn
由 林德伯格 — 列维定理 知,Tn近似服从正态分布,)25,50( nnN
nn XXXT21
中 心 极 限 定 理电子科技大学
),2(77.9)101 0 0 0(
n
n
故
,21010 00
n
n
解得,0 1 9 9.98?n 即一辆车最多可以装 98箱,
}
5
505 0 0 0
5
50{}5 0 0 0{
n
n
n
nTPTP n
n
中 心 极 限 定 理电子科技大学例 4 路边有一个售报亭,每个过路人在报亭买报的概率是 1/3,求,正好售出 100 份报纸时的过路人数在 280 到 300 之间的概率。
解 设 X 是正好售出 100 份报纸时的过路人数,Xi 是售出第 i?1 份报纸后到售出第 i 份报纸时的过路人数,则
100
1i
iXX
中 心 极 限 定 理电子科技大学并且随机变量 X1,X2,··,X100 独立同分布,具有分布律,
因
i = 1,2,··,100;
,2,1,)32(31}{ 1 kkXP ki
6
)31(
3
2
)(,3
3
1
1
)(
2
ii XDXE
根据林德伯格 — 列维定理,所求概率中 心 极 限 定 理电子科技大学
}3 0 02 8 0{
1 0 0
1
i
iXP
)8 1 6 5.0()0(
)8 1 6 5.0(15.0
2 9 3.0?
中 心 极 限 定 理电子科技大学例 5 一船舶在某海区航行,已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 3° 的概率为 p =
1/3，若船舶遭受了 90000次波浪冲击，问其中有 29600 ~ 30500 次纵摇角大于 3° 的概率是多少？
解 假定船舶遭受波浪的各次冲击是独立的，
记 X 为 90000次冲击下纵摇角大于 3° 的次数，
故有中 心 极 限 定 理电子科技大学
3
1,9 0 0 0 0 ),
3
1,9 0 0 0 0(~ pnBX
由棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理,所求事件的概率
}3 0 5 0 02 9 5 0 0{ XP
)1(
3 0 5 0 0
)1()1(
2 9 5 0 0
pnp
np
pnp
npX
pnp
npP
中 心 极 限 定 理电子科技大学
)1(
2 9 5 0 0
)1(
3 0 5 0 0
pnp
npΦ
pnp
npΦ
2
25
2
25 ΦΦ
9 9 5.01
2
252
Φ
中 心 极 限 定 理电子科技大学例 6 随机抽查验收产品,如果在一批产品中查出 10个以上的次品,则拒绝接收,
问至少检查多少个产品,能保证次品率为
10%的一批产品被拒收的概率不低于 0.9
解 设检查的产品数为 n,查出的次品数为 ξ,则 ξ ~ B( n,0.1),按题意,有
P{ 10＜ ξ≤n }≥0.9
由棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理,有中 心 极 限 定 理电子科技大学
P{ 10＜ ξ≤n }
)
9.01.0
1.010()
9.01.0
1.0(
n
n
n
nn
)
3.0
1.010()3(
n
nn
于是
)
3.0
1.010(1}10{
n
nnP
)
3.0
101.0(
n
n
中 心 极 限 定 理电子科技大学故求解得 n≥146.8 或 n≤－ 68.3，
所以至少取 n = 147 能够保证要求。
9.0)
3.0
101.0(
n
n
28.1
3.0
101.0
n
n
