1
概率论与数理统计第 四 章多维随机变量及其分布
2
第四章 多维随机变量及其分布
4.1 多维随机变量及其分布函数、边缘分布函数
在前一章中，我们所讨论的随机现象只涉及到一个随机变量，但在很多随机现象中，往往要涉及到多个随机变量,
例如，向一个目标进行射击，如果只考虑弹着点与靶心的距离，那么用一个随机变量来描述就可以了；
如果要考虑弹着点的位置，那么就需要两个随机变量 (弹着点的横坐标 X与纵坐标 Y)来描述,
3
O
y
x
(X,Y)
x
y
4
若要研究天气的变化，情况就更复杂了，这要涉及到更多的随机变量，如温度、气压、风向、风力、
湿度等等,
一般来说，这些随机变量之间存在着某种联系，因而需要把它们作为一个整体 (即向量 )来研究,
定义 4.1 若 X1(e),X2(e),…,Xn(e)是定义在同一个样本空间 S上的 n个随机变量,e∈ S，则由它们构成的一个 n维向量 (X1(e),X2(e),…,Xn(e))称为 n维随机向量,或 n维随机变量,简记为 (X1,X2,…,Xn).
显然一维随机变量，即为前一章讨论的随机变量,
下面着重讨论二维随机变量的情况，对于多个随机变量的情况，不难类推,
5
类似于一维随机变量的分布函数，我们定义二维随机变量的分布函数如下：
定义 4.2 设 (X,Y)为二维随机变量,x,y为任意实数，则二元函数
F(x,y)=P(X≤ x,Y≤ y)
称为 (X,Y)的 分布函数,或称为 X和 Y的 联合分布函数,
如果将二维随机变量 (X,Y)，看成是平面上随机点的坐标，那么 F(x,y)就是二维随机点 (X,Y)落在以
(x,y)为顶点的左下方的无穷矩形域内的概率 (如图
4.1).
6
xo
y
(x,y)
(X,Y)
(X,Y)
(X,Y)
F(x,y)
图 4.1
7
利用分布函数 F(x,y)=P(X≤ x,Y≤ y)，对任意的四个实数 x1<x2,y1<y2，可以求得事件,x1<X≤ x2,y1<Y≤ y2”
的概率为
P(x1<X≤ x2,y1<Y≤ y2)
= F(x2,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y2)+F(x1,y1)
即
),(),(),(),(
),(
11211222
2121
yxFyxFyxFyxF
yYyxXxP
这个结果可以从图 4.2直接看出,
8
xo
y
(x1,y1)
(x2,y2)(x1,y2)
(x2,y1)
图 4.2
9
分布函数具有如下的 性质：
(ⅰ )对任意的 实数 x和 y有
0≤ F(x,y)≤ 1；
(ⅱ )对任意的 x1≤ x2，任意的 实数 y,有
F(x1,y)≤ F(x2,y)；
对任意的 y1≤ y2，任意的 实数 x,有
F(x,y1)≤ F(x,y2)，
即 F(x,y)对每个分量都是单调不减的；
10
(ⅲ )对任意的 实数 x和 y有;1),(lim),(
,0),(lim),(
,0),(lim),(
,0),(lim),(
yxFF
yxFF
yxFxF
yxFyF
y
x
y
x
y
x
11
(ⅳ )F(x,y)对每个分量都是右连续的，即
F(x+0,y)=F(x,y)，
F(x,y +0)=F(x,y)；
(ⅴ )对任意的 实数 x1≤ x2,y1≤ y2，有
F(x2,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y2)+F(x1,y1)≥ 0.
性质 (ⅰ ),(ⅱ )的证明是显然的，性质 (ⅴ )可由概率的定义和性质直接得到，而性质 (ⅲ ),(ⅳ )的证明从略,
可以证明，若某 二元 函数 F(x,y)满足上述的五个性质，则必存在 二维 随机变量 (X,Y)以 F(x,y)为其 分布函数,
12
如果二维 随机变量 (X,Y)的分布函数 F(x,y)为已知，
那么 随机变量 X与 Y的分布函数 FX(x)和 FY(y)，分别可由 F(x,y)求得,
事实上，直观地看 (不严格证明 )
FX(x)=P(X≤ x)=P(X≤ x,Y<+∞ )=F(x,+∞ )
其中
),(lim),( yxFxF
y
13
同理可得
FY(y)=P(Y≤ y)=P(X<+∞,Y≤ y)=F(+∞,y)
其中
),(lim),( yxFyF
x
人们称 FX(x)和 FY(y)为 分布函数 F(x,y)的 边缘分布函数,或二维 随机变量 (X,Y)关于 X和 Y的 边缘分布函数 (marginal distribution).
14
例 1 设二维 随机变量 (X,Y)的分布函数
.,0
,0,0,
),(
)32(32
其它
yxeeeC
yxF
yxyx
求 (1)常数 C；
(2) P(0<X≤ 1,0<Y≤ 1)；
(3)FX(x)和 FY(y)？
解 (1)由 1=F(+∞,+∞ )=C?0?0+0=C，得
C=1.
15
例 1 设二维 随机变量 (X,Y)的分布函数
.,0
,0,0,
),(
)32(32
其它
yxeeeC
yxF
yxyx
(2) P(0<X≤ 1,0<Y≤ 1)；
( 0 1,0 1 )
( 1,1 ) ( 1,0) ( 0,1 ) ( 0,0)
P X Y
F F F F
16
(2)
)1)(1(
0001
)0,0()1,0()0,1()1,1(
)10,10(
32
532
ee
eee
FFFF
YXP
17
例 1 设二维 随机变量 (X,Y)的分布函数
.,0
,0,0,
),(
)32(32
其它
yxeeeC
yxF
yxyx
(3)FX(x)和 FY(y)？
( ) (,)
l im (,)
X
y
F x F x
F x y
18
(3)
.,0
,0,1
),(lim
),()(
2
其它
xe
yxF
xFxF
x
y
X
.,0
,0,1
),(lim
),()(
3
其它
ye
yxF
yFyF
y
x
Y
19
第四章 多维随机变量及其分布
4.2 二维离散型随机变量
若二维随机变量 (X,Y)所有可能 取的值是有限对或可列无限 多 对，则 称 (X,Y)为 二维 离散型随机变量,
设 (X,Y)为二维 离散型随机变量,所有可能 取的值为 (xi,yj),i,j=1,2,…,令
pij =P(X=xi,Y=yj),i,j=1,2,…,
则称 pij (i,j=1,2,… )为 (X,Y)的 分布列,或称为 X和
Y的 联合分布列,
20
由 (X,Y)的分布列的表达式，二维 离散型随机变量
(X,Y)的分布函数可表示为
xx yy
ji
xx yy
ji
i j
i j
P
yYxXP
yYxXPyxF
),(
),(),(
其中和式是对所有满足 xi≤ x,yj≤ y的 i,j求和,
21
二维 离散型随机变量 分布列具有下面的性质：
(ⅰ ) pij ≥ 0,i,j= 1,2,… ；
(ⅱ );1
i j
jiP
(ⅲ )
.,2,1,)(;,2,1,)(
1
1
jppyYP
ippxXP
j
i
ijj
i
j
iji
22
性质 (ⅰ )是显然的，性质 (ⅱ ),(ⅲ )可用概率的完全可加性证明之,
今就 (ⅲ )证明如下：
23
,2,1,
),(
}),({
})(,{)(
1
1
1
1
ipp
yYxXP
yYxXP
yYxXPxXP
i
j
ij
j
ji
j
ji
j
jii
24
同理
,2,1,)(
1
jppyYP j
i
ijj
称 pi.和 p.j为 二维 离散型随机变量 (X,Y)的 边缘分布列,
ji pp和
为 二维 离散型随机变量 (X,Y)的 边缘分布列,
25
与一维情况类似，二维 离散型随机变量 的分布列及边缘分布列可用表格表示：
X Y y1 y2 … yj … pi.
x1 p11 p12 … p1j … p1.
x2 p21 p22 … p2j … p2.… … … … … …
xi pi1 pi2 … pij … pi.… … … … … …
p.j p.1 p.2 … p.j … 1
26
表中右方的最后一列，是关于 (X,Y)的边缘分布列，
其中 pi.恰好是 表中第 i行的概率之和 (i=1,2,… )；
表中下方的最后一行是关于 (X,Y)的边缘分布列，
其中 p.j恰好是 表中第 j列的概率之和 (j=1,2,… )；
表中右下角的 1表示
1
i j
ji
j
j
i
i Ppp
27
例 1 在 10件产品中，有 2件一级品,7件二级品,1件次品,从中抽取 3件，设 X,Y分别表示抽得的一级品和二级品的件数，求 (X,Y)的分布列及边缘分布列,
解 X可能 取的值为 0,1,2； Y可能 取的值为 0,1，
2,3.
3
10
3
172),(
C
CCC
jYiXPP
jiji
ij
其中 i= 0,1,2； j= 0,1,2,3；且 2≤ i+j≤ 3.
当 i+j≤ 1或 i+j≥ 4时,,X= i,Y= j”为不可能事件，
故
pij= 0.
28
从而 (X,Y)的分布列及边缘分布列为：
X Y 0 1 2 3 pi.
0 0 0 21/120 35/120 56/120
1 0 14/120 42/120 0 56/120
2 1/120 7/120 0 0 8/120
p.j 1/120 21/120 63/120 35/120 1
29
例 2 将一枚匀质的硬币连掷三次，以 X表示三次中正面出现的次数，以 Y表示三次中正面出现的次数与反面出现次数之差的绝对值，求 (X,Y)的 分布列和边缘分布列？
解,(X,Y)的分布列为：
X
Y 0 1 2 3
1 p11 p21 p31 p41
3 p12 p22 p32 p42
30
0
0
2
1
1
2
1
)0|1()0(
)1,0(
30
0
3
C
XYPXP
YXP
乘法公式
0)(
)1,0(
P
YXP
弄清楚事件
31
8
1
1
2
1
1
2
1
)0|3()0(
)3,0(
30
0
3
C
XYPXP
YXP
乘法公式
32
8
1
2
1
1
2
1
)3,0(
30
0
3
C
YXP
弄清楚事件
33
例 2 将一枚匀质的硬币连掷三次，以 X表示三次中正面出现的次数，以 Y表示三次中正面出现的次数与反面出现次数之差的绝对值，求 (X,Y)的 分布列和边缘分布列？
解,(X,Y)的分布列为：
X
Y 0 1 2 3
1 0 p21 p31 p41
3 1/8 p22 p32 p42
34
8
1
2
1
3,0
01,0
3
YXP
YXP
8
3
2
1
2
1
1,2
03,1
8
3
2
1
2
1
1,1
2
2
3
2
1
3
CYXP
YXP
CYXP
35
03,2 YXP
8
1
2
1
3,3
01,3
3
YXP
YXP
36
例 2 将一枚匀质的硬币连掷三次，以 X表示三次中正面出现的次数，以 Y表示三次中正面出现的次数与反面出现次数之差的绝对值，求 (X,Y)的 分布列和边缘分布列？
解,(X,Y)的分布列为：
X
Y 0 1 2 3
1 0 3/8 3/8 0
3 1/8 0 0 1/8
37
例 2 将一枚匀质的硬币连掷三次，以 X表示三次中正面出现的次数，以 Y表示三次中正面出现的次数与反面出现次数之差的绝对值，求 (X,Y)的 分布列和边缘分布列？
解,(X,Y)的分布列及边缘分布列为：
X
Y 0 1 2 3 p.j
1 0 3/8 3/8 0 6/8
3 1/8 0 0 1/8 2/8
pi,1/8 3/8 3/8 1/8 1
38
第四章 多维随机变量及其分布
4.3 二维连续型随机变量
4.3.1 概率密度及边缘概率密度
与一维连续型随机变量 的定义类似，给出 二维连续型随机变量的定义如下：
39
与一维连续型随机变量 的定义类似，给出 二维连续型随机变量的定义如下：
定义 4.3 设 二维随机变量 (X,Y)的 分布函数为
F(x,y)，如果 存在一个非负的函数 f(x,y)，使得对任意的实数 x,y，有
x y d u d vvufyxF ),(),(
则称 (X,Y)为 二维连续型随机变量,同时称 f(x,y)
为 (X,Y)的 概率密度函数,简称 概率密度,或称为 X
与 Y的 联合 概率密度,
40
由此 二维连续型随机变量的 定义可知,二维连续型随机变量 就是具有 概率密度的二维随机变量,
概率密度 f(x,y)相当于物理学中物质的质量面密度，
而 分布函数 F(x,y)相当于以 f(x,y)为质量密度的物质分布在区域 (?∞,x；?∞,y)中的总质量,
由 二维连续型随机变量的 定义式 可以证明，若 f(x,y)
在点 (x,y)处连续，则
),(
),(2
yxf
yx
yxF
41
由 式
x y d u d vvufyxF ),(),(
和 式
),(
),(2
yxf
yx
yxF
可知，二维连续型随机变量的 分布函数和 概率密度与一维情况类似，在一定的意义下也是互相决定的,
42
二维连续型随机变量的概率密度 f(x,y)具有如下的性质：
(ⅰ) f(x,y)≥ 0,?∞ <x<+∞,?∞ <y<+∞ ；
(ⅱ)
1),(),(
Fd xd yyxf
(ⅲ) 设 G是 xOy平面上的一个区域，则点 (X,Y)落在
G中的概率为
G
dx dyyxfGYXP ),(}),{(
43
xo
y
G
P{(X,Y)∈ G}
44
上面诸性质的几何意义如下：
令 Z=f(x,y)，则
由 性质 (ⅰ),Z=f(x,y)表示张在 xOy平面上方的曲面,
由性质 (ⅱ),曲面 Z=f(x,y)与 xOy平面所夹的空间区域的体积 为 1.
性质 (ⅲ) 中的 概率 P{(X,Y)∈ G}在数值上等于以 曲面 Z=f(x,y)为顶，以 平面区域为底的曲顶柱体的体积,
45
与 二维离散型随机变量相仿，现在来介绍二维连续型随机变量的边缘概率密度的概念,
由式
x y
X
d u dvvufyxF
xFxF
),(),(
),()(
得
x
x
X
dudvvuf
d u d vvufxFxF
]),([
),(),()(
46
从而可知,X是 连续型随机变量，且相应的概率密度为
dyyxfxf X ),()(
同理可得,Y也 是 连续型随机变量，且相应的概率密度为
dxyxfyf Y ),()(
称 fX(x),fY(y)为二维随机变量 (X,Y)的 边缘概率密度,
47
例 1 设 二维连续型随机变量 (X,Y)的概率密度为
.,0
),(,
),(
其它
DyxA
yxf
求 (1)常数 A；
(2)P(0<X≤ 1/2,0<Y≤ 1/2)；
(3)fX(x)和 fY(y)？
48
D图
y
xO
x+y=2
y=x
1 2
1
D
49
解 (1)
A
A
SA
d xd yA
A d xd y
d xd yyxf
D
D
D
1
),(1
y
xO
x+y=2
y=x
1 2
1
D
50
(2)P(0<X≤ 1/2,0<Y≤ 1/2)；
y
xO
x+y=2
y=x
1 2
1
D
1/2
1/2
G
51
解 (2)
4
1
)2/10,2/10(
2/1
0
2/1
0
dydx
YXP
8
1
)2/10,2/10(
2/1
0 0
x
dydx
YXP
52
(3)fX(x)和 fY(y)？
dyyxfxf X ),()(
y
xO
x+y=2
y=x
1 2
1
D
53
解 (3)
.,0
,21,2
,10,
.2,0
,21,
,10,
,0,0
),()(
2
0
0
其它
xx
xx
x
xdy
xdy
x
dyyxfxf
x
x
X
y
xO
x+y=2
y=x
1 2
1
D
54
含参变量的积分的计算步骤：
(1)写出被积函数的表达式；
(2)画出被积函数不为零的区域；
(3)将参变量的定义域分成不同的范围，使在每个范围内积分上下限的表达式唯一；
(4)积分时将参变量看成常数,
55
.,0
,10,22
.,0
,10,
),()(
2
其它其它
yy
ydx
dxyxfyf
y
y
Y
y
xO
x+y=2
y=x
1 2
1
D
56
第四章 多维随机变量及其分布
4.3 二维连续型随机变量
4.3.2 均匀 分布
57
设 G是 xOy平面上的一个有界区域，其面积为 S(G)，
若 二维随机变量 (X,Y)具有概率密度
.,0
,),(,
)(
1
),(
其它
Gyx
GSyxf
则称 随机变量 (X,Y)在 区间 G上服从均匀分布,
1
)(
1
),(
d xd y
GS
d xd yyxf
G
58
由于 f(x,y)≥ 0，且
1
)(
1),(
d xd y
GS
d xd yyxf
G
故 满足 概率密度 的两个基本 性质 (ⅰ),(ⅱ).
设 (X,Y)在 有界区域 G上服从均匀分布，概率密度为上式，又设 D为 G中的 任意一个 区域，面积为 S(D)，
则由 前面的公 式
{ (,) } (,)
H
P X Y H f x y d x d y
59
可得
)(
)(
)(
1
),(}),{(
GS
DS
d xd y
GS
d xd yyxfDYXP
D
D
上式 表明,(X,Y)落在有界区域 G的任意一个子区域
D中的概率与子 区域 的面积成正比，而与 D的位置和形状无关，故 (X,Y)落在 面积相等的各个子区 域中的可能性是相等的,这也说明,均匀分布,中的
,均匀,就 是,等可能,的意思,
60
例 2 设 (X,Y)在 区域 G上服从均匀分布,G为 y=x及
y=x2所围成的区域 (图 4.3)，求 (X,Y)的概率密度和边缘概率密度,
61
xO
y
y=x2
图 4.3
(1,1)
62
例 2 设 (X,Y)在 区域 G上服从均匀分布,G为 y=x及
y=x2所围成的区域，求 (X,Y)的概率密度和边缘概率密度,
解 区域 的 G面积
6
1)(
2
1
0
x
x
dydxGS
由 均匀分布概率密度表达式,(X,Y)的概率密度为
.,0
,),(,6
),(
其它
Gyx
yxf
63
xO
y
y=x2
图 4.3
(1,1)
1
1
64
关于 X,Y的 边缘概率密度为
.,0
,10),(66
),()(
2
2
其它
x
x
X
xxxdy
dyyxfxf
.,0
,10),(66
),()(
其它
y
y
Y
yyydx
dxyxfyf
65
第四章 多维随机变量及其分布
4.4 随机变量的独立性
随机变量 的 独立性 是概率论中的一个很重要的概念，
它可借助于事件的 独立性 概念引出来,
设 X,Y为 是两个随机变量,,X≤ x”,,Y≤ y”为两个 事件，其中 x,y为 任意的实数，根据 事件的 独立性 定义,两 事件,X≤ x”,,Y≤ y”相互独立，相当于下面的式子成立：
P(X≤ x,Y≤ y)=P(X≤ x)P(Y≤ y)，
或写成 F(x,y)=FX(x)FY(y).
66
由此得到 如下的两个随机变量相互独立的定义
定义 4.4 设 F(x,y),FX(x),FY(y)依次为 (X,Y)，
X,Y的 分布函数，如果 对任意的实数 x,y,下面的式子成立
F(x,y)=FX(x)FY(y)
则称随机变量 X与 Y是 相互独立的,
设随机变量 X,Y分别有 概率密度 fX(x),fY(y)，则 X
与 Y相互独立的充要条件是：二元函数
fX(x)fY(y)
是二维随机变量 (X,Y)的概率密度,
67
事实上，若 fX(x)fY(y)是 (X,Y)的概率密度，则
)()(
)()(
)()(),(
yFxF
dvvfduuf
d u d vvfufyxF
YX
x y
YX
x y
YX
即式
F(x,y)=FX(x)FY(y)
成立，故 X与 Y相互独立,
68
反之，若 X与 Y相互独立，则
x y
YX
x y
YX
YX
d u d vvfuf
dvvfduuf
yFxFyxF
)()(
)()(
)()(),(
故 fX(x)fY(y)是的概率密度,
69
从式
x y
YX
d u dvvufyxF
yFxFyxF
),(),(
)()(),(
可见，若 f(x,y),fX(x),fY(y)分别为 (X,Y),X,Y
的 概率密度，而且它们分别在点 (x,y),x,y处连续，
则
f(x,y)=fX(x)fY(y).
70
当 (X,Y)为二维 离散型随机变量时,X与 Y相互独立的充要条件是，对一切 i,j,下面的式子成立：
pij=pi.× p.j
这里 pij,pi.和 p.j分别为 (X,Y),X,Y的 分布列,
由式
F(x,y)=FX(x)FY(y)
和式 f(x,y)=fX(x)fY(y)或式 pij=pi.× p.j
可知，要判断两个随机变量 X,Y是否独立，只要验证 X和 Y的联合分布 (概率密度或 分布列 )是否等于边缘分布 (概率密度或 分布列 )的乘积就可以了,一般来说，这是比较容易的,
71
利用随机变量相互独立的充要条件，也可以求出 1.4
节例 1中约会问题的概率，解法如下：
例 1 (约会问题 )二人约定于 0到 T时内在某地见面，
先到者等 t(t≤ T)时后离去，求二人能会面的概率,
解 设二人到达某地的时刻分别为 X和 Y，由题意可知 X与 Y是 相互独立的，且都在 [0,T]上服从均匀分布，即
.,0
,0,
1
)(
其它
Tx
Txf X
72
.,0
,0,
1
)(
其它
Ty
Tyf Y
于是 (X,Y)的概率密度
.,0
,,0,
1
)()(),( 2
其它
Tyx
Tyfxfyxf YX
73
y
T
t
O t T x
x-y=t
y-x=t
y=x
S
A
图 1.10
74
由式
G
dx dyyxfGYXP ),(}),{(
并参看图 1.10可得所求的概率为
75
2
2
22
2
)1(1
)(
1
),(}),{(
T
t
T
tTT
d xd y
T
d xd yyxfAYXP
A
A
76
前面所讲的有关二维随机变量的一些概念，不难推广到 n维随机变量中去,
作为例子，下面就 n维随机变量的 分布函数,概率密度以及独立性等概念，分别叙述如下：
(a)分布函数
设 (X1,X2,…,Xn)为 n维随机变量,x1,x2,…,xn为任意的实数，则 n元函数
F(x1,x2,…,xn)=P(X1≤ x1,X2≤ x2,…,Xn≤ xn)
称为 (X1,X2,…,Xn)的分布函数,
77
(b)概率密度
设 F(x1,x2,…,xn)为 n维随机变量 (X1,X2,…,Xn)的分布函数，若存在非负的函数 f(x1,x2,…,xn)，对任意的实数 x1,x2,…,xn有
n
x x x
n
n
dtdtdttttf
xxxF
n
2121
21
1 2
),,,(
),,,(
则 (X1,X2,…,Xn)称 为 连续型随机变量,同时称
f(x1,x2,…,xn)为 n维随机变量的 概率密度函数,简称 概率密度,
78
(c)n个随机变量的独立性
设 F(x1,x2,…,xn)为 n维随机变量 (X1,X2,…,Xn)的分布函数，而 Fx1(x1),Fx2(x2),…,Fxn(xn)依次为
X1,X2,…,Xn的分布函数 (一 维边缘 分布函数 )，若 对任意的实数 x1,x2,…,xn有
F(x1,x2,…,xn)=Fx1(x1)Fx2(x2)… Fxn(xn)
则称 X1,X2,…,Xn是 相互独立的,
对于 连续型随机变量,设 X1,X2,…,Xn的 概率密度分别是 fx1(x1),fx2(x2),…,fxn(xn)，则 X1,X2,…,Xn相互独立的充要条件是,n元函数
fx1(x1)fx2(x2)… fxn(xn)
是 n维随机变量 (X1,X2,…,Xn)的 概率密度,
79
例 3 已知 随机变量 X1,X2的 概率 分布为
X1?1 0 1
P 1/4 1/2 1/4
X2 0 1
P 1/2 1/2
而且 P(X1X2=0)=1,
(1)求 X1和 X2的联合 分布；
(2)说明 X1,X2是否独立？
80
(1)求 X1和 X2的联合 分布
X1
X2?1 0 1 p.j
0 1/2
1 1/2
pi,1/4 1/2 1/4 1
81
解,由 P(X1X2=0)=1得
P(X1X2≠ 0)=0，
从而
P(X1=?1,X2=1)=0,P(X1=1,X2=1)=0.
因此 X1和 X2的联合 分布为
X1
X2?1 0 1 p.j
0 1/4 0 1/4 1/2
1 0 1/2 0 1/2
pi,1/4 1/2 1/4 1
82
因
P(X1=0,X2=0)=0≠ 1/4=P(X1=0)P(X2=0)
故 X1和 X2不独立,
83
第四章 多维随机变量及其分布
4.5 二维随机变量函数的分布
在前面的 3.6节 我们讨论了一维随机变量函数 Y=g(X)
的分布问题，下面我们进一步讨论二维随机变量函数 Z=g(X,Y)的分布问题,
具体地说，已知 (X,Y)的分布，求 Z=g(X,Y)的分布,
理论上讲，由 X,Y的联合分布可以求出它们的函数分布，但具体计算时往往比较复杂,因此，下面仅就几个具体的函数进行讨论,
84
4.5.1 和的分布
首先考虑两个离散型随机变量 X与 Y的和，看下面的例子,
例 1 设 X与 Y是相互独立的随机变量，分布列分别为
P(X=i),i=0,1,2,…,
P(Y=j),j=0,1,2,…,
求 Z=X+Y的分布列,
解 因为
P(X=i),i=0,1,2,…
P(Y=j),j=0,1,2,…
所以 Z=X+Y=k,k=0,1,2,…,
85
k
i
ikYiX
YkX
kYXkYX
kZ
0
),(
)0,(
)1,1(),0(
)(
而上式右端各事件是互不相容的，故
k
i
ikYiXPkZP
0
),()(
86
再由 X与 Y的独立性，得到
,2,1,0
)()()(
0
k
ikYPiXPkZP
k
i
这就是所求 Z=X+Y的分布列,
87
例２ 设 X与 Y是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为 λ 1和 λ 2的泊松分布，求 Z=X+Y的分布列,
解 将 X,Y,Z的取值分别用 i,j,k表示，则
,2,1,0,
!
)(
,2,1,0,
!
)(
2
1
2
1
je
j
jYP
ie
i
iXP
j
i
且 Z=X+Y的可能取值 k=0,1,2,…,
88
,2,1,0
!
)(
)!(!
!
!
)!(!
)(
)(21
0
21
)(
0
21
21
21
21
k
e
k
iki
k
k
e
e
ik
e
i
kZP
k
k
i
iki
k
i
iki
89
由此可知,Z服从参数为 λ 1+λ 2的泊松分布,
所以 两个独立的 服从 泊松分布的随机变量之和仍是一个 服从 泊松分布的随机变量，且其参数为相应的随机变量分布参数的和,
90
现在考虑两个连续型随机变量 X与 Y之和的分布,
设二维随机变量 (X,Y)是连续型的，概率密度为
f(x,y)，求和 Z=X+Y的分布,
为了确定 Z的分布，我们考虑 Z的分布函数
FZ(z)=P(Z≤ z)=P(X+Y≤ z)
如果 (X,Y)表示落在平面 xOy上的随机点的坐标，则
P(X+Y≤ z)表示随机点 (X,Y)落在 平面区域
G={(x,y)| x+y≤ z}
即 图 4.4中阴影部分的概率,
91
xzO
y
G
图 4.4
92
因此有
dxdyyxf
d xd yyxfzF
xz
zyx
Z
)),((
),()(
令 y=u?x，得
z
z
Z
dudxxuxf
dxduxuxfzF
)),((
)),(()(
93
由连续型随机变量的定义可知,Z是连续型随机变量且其概率密度为
dxxzxfzf Z ),()(
同理可 得
dyyyzfzf Z ),()(
94
如果 X与 Y是相互独立的随机变量，则进一步得到
dxxzfxfzf YXZ )()()(
和
dyyfyzfzf YXZ )()()(
由以上二式给出的运算称为 卷积,因而也称上二式为卷积公式,简单记作
YXZ fff *?
95
例 3 设 X与 Y相互独立，且都在 [?a,a]上服从均匀分布，求 Z=X+Y的分布,
解 由题设
1
,| |,
() 2
0,| | ;
1
,| |,
() 2
0,| |,
X
Y
xa
fx a
xa
ya
fy a
ya
96
由卷积公式
dxxzfxfzf YXZ )()()(
显然，上式中的被积函数 fX(x)fY(z?x)只有当 x满足不等式组
axza
axa
时才不等于 0.满足上面不等式组的点 (x,z)的变化区域，如图 4.5中的阴影部分所示,
97
x
z
O
2a
-2a
a-a
图 4.5
98
dxxzfxfzf YXZ )()()(
99
x
z
O
2a
-2a
a-a
图 4.5
100
由图 4.5可知：
当 z <?2a或 z >2a时,fX(x)fY(z?x)=0；
当?2a≤ z<0时,fX(x)fY(z?x)=1/4a2；
当 0≤ z≤ 2a时,fX(x)fY(z?x)=1/4a2,
因此
.,0
,20,
4
2
4
1
,02,
4
2
4
1
)(
22
22
其它
a
az
az
a
Z
az
a
za
dx
a
za
a
az
dx
a
zf
101
例 4 设 X与 Y是相互独立的均服从 N(0,1)的随机变量，
Z=X+Y，求 Z的概率密度为 fZ(z)？
解
dxee
dxee
dxxzfxfzf
xzx
z
xzx
YXZ
)(
2
2
)(
2
2
2
22
2
1
2
1
2
1
)()()(
102
2 2 2
2
2
2
22
()
2 4 4
()
42
2 2
42
1
()
2
1
2
11
2 2 2
z z z
x x z
Z
zz
x
zt
x
zt
f z e e d x
e e d x
e e d t
配 方令
103
2
2
2
4
2 ( 2 )
1
()
22
1
22
z
Z
z
f z e
e
从而 Z~N(0,2).
104
例 4 设 X与 Y是相互独立的且分别服从正态分布
X~N(μ 1,σ 12)和 X~N(μ 2,σ 22)的随机变量，则
Z=X+Y服从正态分布 X~N(μ 1+μ 2,σ 12+σ 22).
这个结论还可以推广到 n个独立的正态变量之和的情况，即若 Xi ~N(μ i,σ i2)，且 X1,X2,…,Xn相互独立，则
),(~
1
2
11
n
i
i
n
i
i
n
i
i NX
进而,n个相互独立的正态变量的线性组合仍然是一个正态变量,这是一个很重要的结论,
105
例 4 设 Xi ~N(μ i,σ i2),i=1,2,…,n，且
X1,X2,…,Xn相互独立,a1,a2,…,an,b为常数,则
),(~
1
22
11
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii abaNbXa
106
最后，就一般情况将主要推导过程归纳如下：
(1)为求 Z= g(X,Y)的概率密度 fZ(z)，先求 Z的分布函数
G
Z
d xd yyxf
GYXP
zYXgP
zZPzF
),(
}),{(
}),({
)()(
其中 G={(x,y)|g(x,y)≤ z}；
107
(2)若 FZ(z)可以直接计算出来并且它是连续的，除有限个点外均有连续的导数，则可以通过对 FZ(z)求导而得 fZ(z).若 FZ(z)的具体表达式不易求出，也可以采用变量代换、交换积分次序等步骤，将积分式化为如下的形式
zZ duuhzF )()(
则 fZ(z)=h(z),
108
例２ 设 (X,Y)在如图 4.6所示的三角形区域内服从均匀分布，求 Z=X+Y的概率密度,
x
y
O-1 1
A
1
图 4.6
109
解 这里 X,Y是不独立的，不能用卷积公式的概率密度,可以用分布函数法来求解,由题设,(X,Y)的概率密度为
.,0
,),(,1
),(
其它
Ayx
yxf
先求
G
Z
d xd yyxf
zYXPzZPzF
),(
)()()(
其中 G={(x,y)|x+y≤ z},
110
xzO
y
G
111
例２ 设 (X,Y)在如图 4.6所示的三角形区域内服从均匀分布，求 Z=X+Y的概率密度,
x
y
O-1 1
A
1
图 4.6
G
112
例２ 设 (X,Y)在如图 4.6所示的三角形区域内服从均匀分布，求 Z=X+Y的概率密度,
x
y
O-1 1
1
图 4.7
B
A
G
113
由区域 G的图形，不难看出当 z≤?1时,G∩ A=Φ ；
当 z≥ 1时,G∩ A=A；
当?1<z<1时,G∩ A=B，如图 4.7所示,B的面积为
4
)1(
2
)1()1(
2
1 2 zzz
因此
2
0,1,
( 1 )
( ),1 1,
4
1,1,
Z
B
z
z
F z d x d y z
z
114
即得
.1,0
,1,
2
1
)(
z
z
z
zf
Z
115
4.5.2 瑞利分布
设 X,Y是相互独立的且服从同一正态分布 N(0,σ 2)
的随机变量，求的分布？
22 YXZ
解 先考虑 Z的分布函数
显然，当 z<0时，
0)(
)()(
22
zYXP
zZPzF Z
116
当 z≥ 0时，
zyx
Z
d xd yyxf
zYXPzZPzF
22
),(
)()()(
22
其中 f(x,y)为 (X,Y)的概率密度,由于 X,Y相互独立，
故得
zyx
yx
zyx
YXZ
d x d ye
d x d yyfxfzF
22
2
22
22
2
2
2
1
)()()(
117
xO
y
x2+y2=z2
118
令 x=ρ cosθ,y=ρsinθ得
2
2
2
2
2
0
2
2
02
1
2
1
)(
z
z
Z
e
dedzF
于是 Z的分布函数为
2
2
21,0,
()
0,0.
z
Z
ezFz
z
119
因此 Z的密度函数为
.0,0
,0,)(
2
2
2
2
z
ze
z
zf
z
Z
人们称以上式为概率密度 (或以分布函数 )的分布为瑞利 (Rayleigh)分布,
120
瑞利分布在实际中是经常能碰到的，例如，加工齿轮时，要把齿轮毛坯安装到车床上去，由于安装误差使被加工的齿轮中心与加工中心不吻合，产生了加工的偏心误差，而这种偏心误差的分布，就是瑞利分布,
121
21．设随机变量 (X,Y)的概率密度为
22
2
2
2
1
(,)
2
,
xy
f x y e
xy
求
22Z X Y
的概率密度 fZ(z)?
122
解 设 Z的分布函数为 FZ(z)，则
22( ) ( ) ( )
ZF z P Z z P X Y z
22
0
(,)
z
x y z
f x y d x d y
22
2
22
2
2
1
2
xy
x y z
e d x d y?
2
22 2
200
1
.
2
r
z
e rdrd
123
2
2
2
2
2
0
2
2
0
1
()
11
2
r
z
Z
u
ru
z
F z e rdr
e du
令
故
2
2
2
0,0,
() 1
,0.
2
z
Z
z
fz
ez
124
2
2222
0
( ) 1
z
r z
ZF z e e
故
2
2
2
0,0,
( ) ( ) 1
,0,
2
z
Zz
z
f z F z
ez
125
24．设二维随机变量 (X,Y)在矩形
{ (,) | 0 2,0 1 }G x y x y
上服从均匀分布，试求边长为 X和 Y的矩形面积的概率密度 fS(s)?
126
解 1 设矩形的面积为 S，则 S=XY，又设 S的分布函数为 FS(s)，则
( ) ( )
( ) (,),
S
x y s
F s P S s
P X Y s x y d x d y?
其中
1
,(,),
(,) 2
0,.
x y G
xy?
其 他
127
x2O
y
图
1
S
xy=S
128
( ) (,),S
x y s
F s x y d x d y?
12
0 0 0
0,0,
11
,0 2,
22
1,2,
s
s
x
s
s
d x d y d x d y s
s
0,0,
( 1 l n 2 l n ),0 2,
2
1,2.
s
s
ss
s
129
于是
1
( l n 2 l n ),0 2,
( ) ( ) 2
0,.
S
ss
f s F s
其 他
130
4.5.3 M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布
设随机变量 M=max(X,Y),N=min(X,Y)分别表示随机变量 X与 Y间的最大值和最小值；又 X与 Y的分布函数分别为 FX(x)和 FY(y)，求 M及 N的分布函数,
先求 M=max(X,Y)的分布函数：
FM(m)=P(M≤ m)=P(max(X,Y)≤ m)
因为 M不大于 m等价于 X和 Y都不大于 m，故
FM(m)=P(X≤ m,Y≤ m)=F(m,m)
而当 X与 Y相互独立时，
FM(m)=P(X≤ m)P(Y≤ m)=FX(m)FY(m)
131
下面求 N=min(X,Y)的分布函数：
FN(n)=P(N≤ n)=P(min(X,Y)≤ n)
=P(X≤ n)+P(Y≤ n)?P(X≤ n,Y≤ n)
FN(n)=P(N≤ n)=P(min(X,Y)≤ n)
=1?P(min(X,Y)>n)
因为 N不大于 n等价于 X和 Y都大于 n，故
FN(n)=1?P(min(X,Y)>n)=1?P(X >n,Y>n)
而当 X与 Y相互独立时，
FN(n)=1?P(X >n,Y>n)=1?P(X >n)P(Y>n)
=1?[1?P(X≤ n)][1?P(Y≤ n)]
=1?[1?FX(n)][1?FY(n)]
132
上面的结果可以推广到 n个相互独立的随机变量的情况
设 (X1,X2,…,Xn)是相互独立的且分布函数分别为
Fx1(x1),Fx2(x2),…,Fxn(xn)的 n个随机变量,则
max(X1,X2,…,Xn)的分布函数 Fmax(z)为
)()()()( 21m a x zFzFzFzF nXXX
min(X1,X2,…,Xn)的分布函数 Fmin(z)为
)](1[)](1)][(1[1
)(
21
m i n
zFzFzF
zF
nXXX
133
特别地，当 X1,X2,…,Xn是相互独立的且具有相同分布函数 F(z)的 n个随机变量时，有
n
n
zFzF
zFzF
)](1[1)(
)]([)(
m i n
m a x
134
例 6设电子仪器由两个相互独立的电子装置 L1和 L2组成，组成方式有两种：
(a) L1与 L2串联； (b)L1与 L2并联
L1 L2
L1
L2
135
已知 L1,L2的寿命分别为 X与 Y，它们的分布函数分别为
;0,0
,0,1
)(;0,0
,0,1
)(
y
ye
yF
x
xe
xF
y
Y
x
X
其中 α>0,β>0.
试在两种联结方式下，分别求出仪器寿命 Z的概率密度,
136
解 (a)串联情况
X,L1 Y,L2
由于 L1,L2有一个损坏时,仪器就停止工作，所以仪器 的寿命
Z=min(X,Y)
因此
;0,0
,0,1
)(
)(
m i n z
ze
zF
z
137
于是 Z=min(X,Y)的概率密度
.0,0
,0,)(
)(
)(
m i n z
ze
zf
z
138
(b)并联情况
X,L1
Y,L2
由于只有 L1与 L2都损坏时,仪器才停止工作，所以仪器 的寿命
Z=max(X,Y)
139
因此
;0,0
,0),1)(1(
)()()(m a x
z
zee
zFzFzF
zz
YX
于是 Z=max(X,Y)的概率密度
.0,0
,0,)(
)(
)(
m a x
z
zeee
zf
zzz
140
例 6 设部件 L1的寿命 X~E(α),部件 L2的寿命
Y~E(β),其中 α>0,β>0，将 部件 L1与 L2按图联结构成系统 L，即当 部件 L1损坏时,部件 L2立即开始工作，
求 系统 L的寿命 Z的概率密度？
X
Y
L1
L2
Z,L
141
解 部件 L1的寿命 X，部件 L2的寿命 Y的概率密度分别为
.0,0
,0,
)(;0,0
,0,
)(
y
ye
yf
x
xe
xf
y
Y
x
X
系统 L的寿命 Z=X+Y.
142
设 Z的概率密度为 fZ(z)，则
dxxzfxfzf YXZ )()()(
而
.,0
,0,0,
)()(
)(
其它
xzxee
xzfxf
xzz
YX
当 z≤ 0时,fZ(z)=0；
143
z
xO
z=x
144
当 z>0时，
,,
0
,,
0
1
)(
)(
0
)(
0
)(
z
xe
z
ee
dxee
dxeezf
z
xz
z
xz
z
xz
Z
145
.,
,),(
)(
2
z
zz
Z
ze
ee
zf
综上所述 Z=X+Y的概率密度为
.0,0
,0),(
)(
,
z
zee
zf
zz
Z
时当
146
.0,
,0,0
)(
,
2
zze
z
zf
zZ?
时当
147
27．假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为 λ >0
的指数分布,当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间 T的概率分布,
148
解 设 T的分布函数为 FT(t)，第 i件元件的寿命为 Xi，
其分布函数为 F(x)，则
1 2 3( ) ( ) { m i n(,,) }TF t P T t P X X X t
31 [1 ( ) ]Ft
31,0,
0,0,
tet
t
即
~ ( 3 ),TE?
149
25．设 X和 Y为两个随机变量，且
3
{ 0,0 },
7
4
( 0) ( 0),
7
P X Y
P X P Y
求
{ m a x (,) 0 },P X Y?
150
解
{m a x (,) 0 } {( 0 ) ( 0 ) }
( 0 ) ( 0 ) { 0,0 }
4 4 3 5
.
7 7 7 7
P X Y P X Y
P X P Y P X Y
151
例 设 (X,Y)的概率密度为
其它。,0
,10,0,3
),(
xxyx
yxf
求 Z=X?Y的概率密度？
解一 设 Z的分布函数为 FZ(z)，概率密度为 fZ(z)，
则
152
:
( ) ( )
()
(,)
Z
G x y z
F z P Z z
P X Y z
f x y d x d y
153
xO
y
G
G图
154
xO
y
G
G图
155
duyyufdy
dxyxfdy
d xd yyxf
zYXP
zZPzF
z
yux
yz
zyxG
Z
),(
),(
),(
)(
)()(
:
156
z
z
z
yux
Z
dudyyyuf
dyyyufdu
duyyufdy
zYXPzZPzF
]),([
),(
),(
)()()(
积分换序
157
故 Z的概率密度
dyyyzfzf Z ),()(
而
.,0
,10,,0),(3
.,0
,10,0),(3
),(
其它其它
yzzyyz
yzyzyyz
yyzf
158
y1O
z
图
1
159
从而当 z≤ 0或 z≥ 1时,fZ(z)=0；
当 0<z<1时，
)1(
2
3
0
1
2
3
)1(3
)(3)(
2
2
1
0
z
z
yzz
dyyzzf
z
Z
160
因此
.,0
10),1(
2
3
)(
2
其它
，zz
zf
Z
161
解二 设 Z的分布函数为 FZ(z)，概率密度为 fZ(z)，
则
:
( ) ( )
()
(,)
Z
G x y z
F z P Z z
P X Y z
f x y d x d y
162
xO
y
1
A
G
G图
163
xz O
y
G
1
A
G图
z
164
xz O
y
G
1
A
G图
z
165
解二 设 Z的分布函数为 FZ(z)，概率密度为 fZ(z)，
则
,1,1
,10,33
,0,0
),(
)()()(
1
00
z
zdyx d xdyx d x
z
d x d yyxf
zYXPzZPzF
x
zxz
xz
zyx
Z
166
xz O
y
1
A
G图
z
G
167
而
3
0
1
1
00
2
1
2
3
31
33
zz
dyxd x
dyxd xdyxd x
zx
z
x
zxz
xz
因此
其它。
，
,0
10),1(
2
3
)()(
2 zz
zFzf zZ
168
例 1 一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字 1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以 X,Y分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求 (X,Y)的分布列,
解 X,Y的可能值 均为 1,2,3，由
,|
,1,2,3
P X i Y j P X i P Y j X i
ij
得 (X,Y)的分布列为
169
Y
X 1 2 3
1 0 1/6 1/12
2 1/6 1/6 1/6
3 1/12 1/6 0
170
例 设 (X,Y)的概率密度为
(),0,0,
(,)
0,
xye x y
f x y
其 它,
问 X与 Y是否独立？
解 X,Y的边缘密度分别为
171
xO
y
图
172
()
0
( ) (,)
,0,
0,
,0,
0,
X
xy
x
f x f x y dy
e dy x
ex
其 它,
其 它,
173
xO
y
图
174
()
0
( ) (,)
,0,
0,
,0,
0,
Y
xy
y
f y f x y d x
e d x y
ey
其 它,
其 它,
175
因为
(),0,0,
( ) ( ) (,)
0,
xy
XY
e x y
f x f y f x y
其 它,
所以 X,Y独立,
176
例 设 (X,Y)的概率密度为
8,0 1,
(,)
0,.
x y x y
f x y
其 他
问 X与 Y是否独立？
解 X,Y的边缘密度分别为
177
x1O
y
图
1
178
1
2
( ) (,)
8,0 1,
0,
4 ( 1 ),0 1,
0,
X
x
f x f x y d y
x y d y x
x x x
其 它,
其 它,
179
x1O
y
图
1
180
0
3
( ) (,)
8,0 1,
0,
4,0 1,
0,
Y
y
f y f x y d x
x y d x y
yy
其 它,
其 它,
181
因为
( ) ( ) (,)XYf x f y f x y
所以 X,Y不 独立,
182
8．一电子仪器由两个部件组成，以 X和 Y分别表示两个部件的寿命 (单位：千小时 ).已知 X,Y的联合分布函数为：
0,5 0,5 0,5 ( )
(,)
1,0,0
0,.
x y x y
F x y
e e e x y
其 他
(1)问 X,Y是否独立？为什么？
(2)求两个部件的寿命都超过 100小时的概率,
183
解 (1)先求边缘分布函数：
0,51,0,
( ) l i m (,)
0,0,
x
X y
ex
F x F x y
x
0,51,0,
( ) l i m (,)
0,0,
y
Y x
ey
F y F x y
y
因为
(,) ( ) ( )XYF x y F x F y
所以 X,Y独立,
184
解 (2)
( 0,1,0,1 )
( 0,1 ) ( 0,1 )
[ 1 ( 0,1 ) ] [ 1 ( 0,1 ) ]
P X Y
P X P Y
P X P Y
0,0 5 0,0 5 0,1.e e e
185
15．已知随机变量 X和 Y的联合分布为
(X,Y) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)
P (X =
x,Y = y) 0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.15
求
(1)X的概率分布；
(2)Z=X+Y的概率分布,
186
解 (1)随机变量 X的分布为
X 0 1 2
P 0.25 0.45 0.30
(2)Z=X+Y的概率分布为
Z 0 1 2 3
P 0.10 0.40 0.35 0.15
187
例 如果 (X,Y)的分布为
Y X 1 2 3
1 1/6 1/9 1/18
2 1/3 α β
(1)问 α 与 β 满足什么条件？
(2)若 X与 Y相互独立，则 α 与 β 各等于多少？
188
解 (1)由联合分布列的性质,α 与 β 应满足条件：
α ≥ 0,β ≥ 0
且
1 1 1 1 11
6 9 18 3 3
(2)若 X与 Y相互独立，则
,
1,2,3 ; 1,2,
P X i Y j P X i P Y j
ij
189
例 如果 (X,Y)的分布为
Y X 1 2 3 pi.
1 1/6 1/9 1/18 1/3
2 1/3 α β 2/3
p.j p.1 p.2 p.j 1
(1)问 α 与 β 满足什么条件？
(2)若 X与 Y相互独立，则 α 与 β 各等于多少？
190
于是
2,2 2 2P X Y P X P Y
从而
11
93
1
3
解方程得
α =2/9,β =1/9.
191
28．设随机变量 X1,X2,X3,X4独立同分布：
( 0 ) 0,6,( 1 ) 0,4
1,2,3,4,
iiP X P X
i
求行列式
12
34
XX
X
XX
的概率分布,
192
解 1
12
1 4 2 3
34
XX
X X X X X
XX
X的可能值为?1,0,1.
X?1 0 1
P
193
1 4 2 3( 1 ) ( 0,1 )P X P X X X X
1 4 1 4
1 4 2 3
{ ( 0,1 ) ( 1,0 )
( 0,0 ),( 1,1 ) }
P X X X X
X X X X
1 4 1 4
1 4 2 3
[ ( 0,1 ) ( 1,0 )
( 0,0 ) ] ( 1,1 )
P X X P X X
P X X P X X
[ 0,6 0,4 0,6 0,4 0,3 6 ] 0,1 6
0,1 3 4 4
194
同理可求出
( 0) 0,73 12,( 1 ) 0,13 44P X P X
即 X的分布为
X?1 0 1
P 0.1344 0.7312 0.1344
195
解 2 先求出 X1X4及 X2X3的分布
X1X4 0 1
P 0.84 0.16
X2X3 0 1
P 0.84 0.16
1 4 2 3( 1 ) ( 0,1 )
0,8 4 0,1 6 0,1 3 4 4,
P X P X X X X
1 4 2 3( 0 ) ( )
0,8 4 0,8 4 0,1 6 0,1 6 0,7 3 1 2
P X P X X X X
196
1 4 2 3( 1 ) ( 1,0 )
0,1 6 0,8 4 0,1 3 4 4,
P X P X X X X
即 X的分布为
X?1 0 1
P 0.1344 0.7312 0.1344
概率论与数理统计第 四 章多维随机变量及其分布
2
第四章 多维随机变量及其分布
4.1 多维随机变量及其分布函数、边缘分布函数
在前一章中，我们所讨论的随机现象只涉及到一个随机变量，但在很多随机现象中，往往要涉及到多个随机变量,
例如，向一个目标进行射击，如果只考虑弹着点与靶心的距离，那么用一个随机变量来描述就可以了；
如果要考虑弹着点的位置，那么就需要两个随机变量 (弹着点的横坐标 X与纵坐标 Y)来描述,
3
O
y
x
(X,Y)
x
y
4
若要研究天气的变化，情况就更复杂了，这要涉及到更多的随机变量，如温度、气压、风向、风力、
湿度等等,
一般来说，这些随机变量之间存在着某种联系，因而需要把它们作为一个整体 (即向量 )来研究,
定义 4.1 若 X1(e),X2(e),…,Xn(e)是定义在同一个样本空间 S上的 n个随机变量,e∈ S，则由它们构成的一个 n维向量 (X1(e),X2(e),…,Xn(e))称为 n维随机向量,或 n维随机变量,简记为 (X1,X2,…,Xn).
显然一维随机变量，即为前一章讨论的随机变量,
下面着重讨论二维随机变量的情况，对于多个随机变量的情况，不难类推,
5
类似于一维随机变量的分布函数，我们定义二维随机变量的分布函数如下：
定义 4.2 设 (X,Y)为二维随机变量,x,y为任意实数，则二元函数
F(x,y)=P(X≤ x,Y≤ y)
称为 (X,Y)的 分布函数,或称为 X和 Y的 联合分布函数,
如果将二维随机变量 (X,Y)，看成是平面上随机点的坐标，那么 F(x,y)就是二维随机点 (X,Y)落在以
(x,y)为顶点的左下方的无穷矩形域内的概率 (如图
4.1).
6
xo
y
(x,y)
(X,Y)
(X,Y)
(X,Y)
F(x,y)
图 4.1
7
利用分布函数 F(x,y)=P(X≤ x,Y≤ y)，对任意的四个实数 x1<x2,y1<y2，可以求得事件,x1<X≤ x2,y1<Y≤ y2”
的概率为
P(x1<X≤ x2,y1<Y≤ y2)
= F(x2,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y2)+F(x1,y1)
即
),(),(),(),(
),(
11211222
2121
yxFyxFyxFyxF
yYyxXxP
这个结果可以从图 4.2直接看出,
8
xo
y
(x1,y1)
(x2,y2)(x1,y2)
(x2,y1)
图 4.2
9
分布函数具有如下的 性质：
(ⅰ )对任意的 实数 x和 y有
0≤ F(x,y)≤ 1；
(ⅱ )对任意的 x1≤ x2，任意的 实数 y,有
F(x1,y)≤ F(x2,y)；
对任意的 y1≤ y2，任意的 实数 x,有
F(x,y1)≤ F(x,y2)，
即 F(x,y)对每个分量都是单调不减的；
10
(ⅲ )对任意的 实数 x和 y有;1),(lim),(
,0),(lim),(
,0),(lim),(
,0),(lim),(
yxFF
yxFF
yxFxF
yxFyF
y
x
y
x
y
x
11
(ⅳ )F(x,y)对每个分量都是右连续的，即
F(x+0,y)=F(x,y)，
F(x,y +0)=F(x,y)；
(ⅴ )对任意的 实数 x1≤ x2,y1≤ y2，有
F(x2,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y2)+F(x1,y1)≥ 0.
性质 (ⅰ ),(ⅱ )的证明是显然的，性质 (ⅴ )可由概率的定义和性质直接得到，而性质 (ⅲ ),(ⅳ )的证明从略,
可以证明，若某 二元 函数 F(x,y)满足上述的五个性质，则必存在 二维 随机变量 (X,Y)以 F(x,y)为其 分布函数,
12
如果二维 随机变量 (X,Y)的分布函数 F(x,y)为已知，
那么 随机变量 X与 Y的分布函数 FX(x)和 FY(y)，分别可由 F(x,y)求得,
事实上，直观地看 (不严格证明 )
FX(x)=P(X≤ x)=P(X≤ x,Y<+∞ )=F(x,+∞ )
其中
),(lim),( yxFxF
y
13
同理可得
FY(y)=P(Y≤ y)=P(X<+∞,Y≤ y)=F(+∞,y)
其中
),(lim),( yxFyF
x
人们称 FX(x)和 FY(y)为 分布函数 F(x,y)的 边缘分布函数,或二维 随机变量 (X,Y)关于 X和 Y的 边缘分布函数 (marginal distribution).
14
例 1 设二维 随机变量 (X,Y)的分布函数
.,0
,0,0,
),(
)32(32
其它
yxeeeC
yxF
yxyx
求 (1)常数 C；
(2) P(0<X≤ 1,0<Y≤ 1)；
(3)FX(x)和 FY(y)？
解 (1)由 1=F(+∞,+∞ )=C?0?0+0=C，得
C=1.
15
例 1 设二维 随机变量 (X,Y)的分布函数
.,0
,0,0,
),(
)32(32
其它
yxeeeC
yxF
yxyx
(2) P(0<X≤ 1,0<Y≤ 1)；
( 0 1,0 1 )
( 1,1 ) ( 1,0) ( 0,1 ) ( 0,0)
P X Y
F F F F
16
(2)
)1)(1(
0001
)0,0()1,0()0,1()1,1(
)10,10(
32
532
ee
eee
FFFF
YXP
17
例 1 设二维 随机变量 (X,Y)的分布函数
.,0
,0,0,
),(
)32(32
其它
yxeeeC
yxF
yxyx
(3)FX(x)和 FY(y)？
( ) (,)
l im (,)
X
y
F x F x
F x y
18
(3)
.,0
,0,1
),(lim
),()(
2
其它
xe
yxF
xFxF
x
y
X
.,0
,0,1
),(lim
),()(
3
其它
ye
yxF
yFyF
y
x
Y
19
第四章 多维随机变量及其分布
4.2 二维离散型随机变量
若二维随机变量 (X,Y)所有可能 取的值是有限对或可列无限 多 对，则 称 (X,Y)为 二维 离散型随机变量,
设 (X,Y)为二维 离散型随机变量,所有可能 取的值为 (xi,yj),i,j=1,2,…,令
pij =P(X=xi,Y=yj),i,j=1,2,…,
则称 pij (i,j=1,2,… )为 (X,Y)的 分布列,或称为 X和
Y的 联合分布列,
20
由 (X,Y)的分布列的表达式，二维 离散型随机变量
(X,Y)的分布函数可表示为
xx yy
ji
xx yy
ji
i j
i j
P
yYxXP
yYxXPyxF
),(
),(),(
其中和式是对所有满足 xi≤ x,yj≤ y的 i,j求和,
21
二维 离散型随机变量 分布列具有下面的性质：
(ⅰ ) pij ≥ 0,i,j= 1,2,… ；
(ⅱ );1
i j
jiP
(ⅲ )
.,2,1,)(;,2,1,)(
1
1
jppyYP
ippxXP
j
i
ijj
i
j
iji
22
性质 (ⅰ )是显然的，性质 (ⅱ ),(ⅲ )可用概率的完全可加性证明之,
今就 (ⅲ )证明如下：
23
,2,1,
),(
}),({
})(,{)(
1
1
1
1
ipp
yYxXP
yYxXP
yYxXPxXP
i
j
ij
j
ji
j
ji
j
jii
24
同理
,2,1,)(
1
jppyYP j
i
ijj
称 pi.和 p.j为 二维 离散型随机变量 (X,Y)的 边缘分布列,
ji pp和
为 二维 离散型随机变量 (X,Y)的 边缘分布列,
25
与一维情况类似，二维 离散型随机变量 的分布列及边缘分布列可用表格表示：
X Y y1 y2 … yj … pi.
x1 p11 p12 … p1j … p1.
x2 p21 p22 … p2j … p2.… … … … … …
xi pi1 pi2 … pij … pi.… … … … … …
p.j p.1 p.2 … p.j … 1
26
表中右方的最后一列，是关于 (X,Y)的边缘分布列，
其中 pi.恰好是 表中第 i行的概率之和 (i=1,2,… )；
表中下方的最后一行是关于 (X,Y)的边缘分布列，
其中 p.j恰好是 表中第 j列的概率之和 (j=1,2,… )；
表中右下角的 1表示
1
i j
ji
j
j
i
i Ppp
27
例 1 在 10件产品中，有 2件一级品,7件二级品,1件次品,从中抽取 3件，设 X,Y分别表示抽得的一级品和二级品的件数，求 (X,Y)的分布列及边缘分布列,
解 X可能 取的值为 0,1,2； Y可能 取的值为 0,1，
2,3.
3
10
3
172),(
C
CCC
jYiXPP
jiji
ij
其中 i= 0,1,2； j= 0,1,2,3；且 2≤ i+j≤ 3.
当 i+j≤ 1或 i+j≥ 4时,,X= i,Y= j”为不可能事件，
故
pij= 0.
28
从而 (X,Y)的分布列及边缘分布列为：
X Y 0 1 2 3 pi.
0 0 0 21/120 35/120 56/120
1 0 14/120 42/120 0 56/120
2 1/120 7/120 0 0 8/120
p.j 1/120 21/120 63/120 35/120 1
29
例 2 将一枚匀质的硬币连掷三次，以 X表示三次中正面出现的次数，以 Y表示三次中正面出现的次数与反面出现次数之差的绝对值，求 (X,Y)的 分布列和边缘分布列？
解,(X,Y)的分布列为：
X
Y 0 1 2 3
1 p11 p21 p31 p41
3 p12 p22 p32 p42
30
0
0
2
1
1
2
1
)0|1()0(
)1,0(
30
0
3
C
XYPXP
YXP
乘法公式
0)(
)1,0(
P
YXP
弄清楚事件
31
8
1
1
2
1
1
2
1
)0|3()0(
)3,0(
30
0
3
C
XYPXP
YXP
乘法公式
32
8
1
2
1
1
2
1
)3,0(
30
0
3
C
YXP
弄清楚事件
33
例 2 将一枚匀质的硬币连掷三次，以 X表示三次中正面出现的次数，以 Y表示三次中正面出现的次数与反面出现次数之差的绝对值，求 (X,Y)的 分布列和边缘分布列？
解,(X,Y)的分布列为：
X
Y 0 1 2 3
1 0 p21 p31 p41
3 1/8 p22 p32 p42
34
8
1
2
1
3,0
01,0
3
YXP
YXP
8
3
2
1
2
1
1,2
03,1
8
3
2
1
2
1
1,1
2
2
3
2
1
3
CYXP
YXP
CYXP
35
03,2 YXP
8
1
2
1
3,3
01,3
3
YXP
YXP
36
例 2 将一枚匀质的硬币连掷三次，以 X表示三次中正面出现的次数，以 Y表示三次中正面出现的次数与反面出现次数之差的绝对值，求 (X,Y)的 分布列和边缘分布列？
解,(X,Y)的分布列为：
X
Y 0 1 2 3
1 0 3/8 3/8 0
3 1/8 0 0 1/8
37
例 2 将一枚匀质的硬币连掷三次，以 X表示三次中正面出现的次数，以 Y表示三次中正面出现的次数与反面出现次数之差的绝对值，求 (X,Y)的 分布列和边缘分布列？
解,(X,Y)的分布列及边缘分布列为：
X
Y 0 1 2 3 p.j
1 0 3/8 3/8 0 6/8
3 1/8 0 0 1/8 2/8
pi,1/8 3/8 3/8 1/8 1
38
第四章 多维随机变量及其分布
4.3 二维连续型随机变量
4.3.1 概率密度及边缘概率密度
与一维连续型随机变量 的定义类似，给出 二维连续型随机变量的定义如下：
39
与一维连续型随机变量 的定义类似，给出 二维连续型随机变量的定义如下：
定义 4.3 设 二维随机变量 (X,Y)的 分布函数为
F(x,y)，如果 存在一个非负的函数 f(x,y)，使得对任意的实数 x,y，有
x y d u d vvufyxF ),(),(
则称 (X,Y)为 二维连续型随机变量,同时称 f(x,y)
为 (X,Y)的 概率密度函数,简称 概率密度,或称为 X
与 Y的 联合 概率密度,
40
由此 二维连续型随机变量的 定义可知,二维连续型随机变量 就是具有 概率密度的二维随机变量,
概率密度 f(x,y)相当于物理学中物质的质量面密度，
而 分布函数 F(x,y)相当于以 f(x,y)为质量密度的物质分布在区域 (?∞,x；?∞,y)中的总质量,
由 二维连续型随机变量的 定义式 可以证明，若 f(x,y)
在点 (x,y)处连续，则
),(
),(2
yxf
yx
yxF
41
由 式
x y d u d vvufyxF ),(),(
和 式
),(
),(2
yxf
yx
yxF
可知，二维连续型随机变量的 分布函数和 概率密度与一维情况类似，在一定的意义下也是互相决定的,
42
二维连续型随机变量的概率密度 f(x,y)具有如下的性质：
(ⅰ) f(x,y)≥ 0,?∞ <x<+∞,?∞ <y<+∞ ；
(ⅱ)
1),(),(
Fd xd yyxf
(ⅲ) 设 G是 xOy平面上的一个区域，则点 (X,Y)落在
G中的概率为
G
dx dyyxfGYXP ),(}),{(
43
xo
y
G
P{(X,Y)∈ G}
44
上面诸性质的几何意义如下：
令 Z=f(x,y)，则
由 性质 (ⅰ),Z=f(x,y)表示张在 xOy平面上方的曲面,
由性质 (ⅱ),曲面 Z=f(x,y)与 xOy平面所夹的空间区域的体积 为 1.
性质 (ⅲ) 中的 概率 P{(X,Y)∈ G}在数值上等于以 曲面 Z=f(x,y)为顶，以 平面区域为底的曲顶柱体的体积,
45
与 二维离散型随机变量相仿，现在来介绍二维连续型随机变量的边缘概率密度的概念,
由式
x y
X
d u dvvufyxF
xFxF
),(),(
),()(
得
x
x
X
dudvvuf
d u d vvufxFxF
]),([
),(),()(
46
从而可知,X是 连续型随机变量，且相应的概率密度为
dyyxfxf X ),()(
同理可得,Y也 是 连续型随机变量，且相应的概率密度为
dxyxfyf Y ),()(
称 fX(x),fY(y)为二维随机变量 (X,Y)的 边缘概率密度,
47
例 1 设 二维连续型随机变量 (X,Y)的概率密度为
.,0
),(,
),(
其它
DyxA
yxf
求 (1)常数 A；
(2)P(0<X≤ 1/2,0<Y≤ 1/2)；
(3)fX(x)和 fY(y)？
48
D图
y
xO
x+y=2
y=x
1 2
1
D
49
解 (1)
A
A
SA
d xd yA
A d xd y
d xd yyxf
D
D
D
1
),(1
y
xO
x+y=2
y=x
1 2
1
D
50
(2)P(0<X≤ 1/2,0<Y≤ 1/2)；
y
xO
x+y=2
y=x
1 2
1
D
1/2
1/2
G
51
解 (2)
4
1
)2/10,2/10(
2/1
0
2/1
0
dydx
YXP
8
1
)2/10,2/10(
2/1
0 0
x
dydx
YXP
52
(3)fX(x)和 fY(y)？
dyyxfxf X ),()(
y
xO
x+y=2
y=x
1 2
1
D
53
解 (3)
.,0
,21,2
,10,
.2,0
,21,
,10,
,0,0
),()(
2
0
0
其它
xx
xx
x
xdy
xdy
x
dyyxfxf
x
x
X
y
xO
x+y=2
y=x
1 2
1
D
54
含参变量的积分的计算步骤：
(1)写出被积函数的表达式；
(2)画出被积函数不为零的区域；
(3)将参变量的定义域分成不同的范围，使在每个范围内积分上下限的表达式唯一；
(4)积分时将参变量看成常数,
55
.,0
,10,22
.,0
,10,
),()(
2
其它其它
yy
ydx
dxyxfyf
y
y
Y
y
xO
x+y=2
y=x
1 2
1
D
56
第四章 多维随机变量及其分布
4.3 二维连续型随机变量
4.3.2 均匀 分布
57
设 G是 xOy平面上的一个有界区域，其面积为 S(G)，
若 二维随机变量 (X,Y)具有概率密度
.,0
,),(,
)(
1
),(
其它
Gyx
GSyxf
则称 随机变量 (X,Y)在 区间 G上服从均匀分布,
1
)(
1
),(
d xd y
GS
d xd yyxf
G
58
由于 f(x,y)≥ 0，且
1
)(
1),(
d xd y
GS
d xd yyxf
G
故 满足 概率密度 的两个基本 性质 (ⅰ),(ⅱ).
设 (X,Y)在 有界区域 G上服从均匀分布，概率密度为上式，又设 D为 G中的 任意一个 区域，面积为 S(D)，
则由 前面的公 式
{ (,) } (,)
H
P X Y H f x y d x d y
59
可得
)(
)(
)(
1
),(}),{(
GS
DS
d xd y
GS
d xd yyxfDYXP
D
D
上式 表明,(X,Y)落在有界区域 G的任意一个子区域
D中的概率与子 区域 的面积成正比，而与 D的位置和形状无关，故 (X,Y)落在 面积相等的各个子区 域中的可能性是相等的,这也说明,均匀分布,中的
,均匀,就 是,等可能,的意思,
60
例 2 设 (X,Y)在 区域 G上服从均匀分布,G为 y=x及
y=x2所围成的区域 (图 4.3)，求 (X,Y)的概率密度和边缘概率密度,
61
xO
y
y=x2
图 4.3
(1,1)
62
例 2 设 (X,Y)在 区域 G上服从均匀分布,G为 y=x及
y=x2所围成的区域，求 (X,Y)的概率密度和边缘概率密度,
解 区域 的 G面积
6
1)(
2
1
0
x
x
dydxGS
由 均匀分布概率密度表达式,(X,Y)的概率密度为
.,0
,),(,6
),(
其它
Gyx
yxf
63
xO
y
y=x2
图 4.3
(1,1)
1
1
64
关于 X,Y的 边缘概率密度为
.,0
,10),(66
),()(
2
2
其它
x
x
X
xxxdy
dyyxfxf
.,0
,10),(66
),()(
其它
y
y
Y
yyydx
dxyxfyf
65
第四章 多维随机变量及其分布
4.4 随机变量的独立性
随机变量 的 独立性 是概率论中的一个很重要的概念，
它可借助于事件的 独立性 概念引出来,
设 X,Y为 是两个随机变量,,X≤ x”,,Y≤ y”为两个 事件，其中 x,y为 任意的实数，根据 事件的 独立性 定义,两 事件,X≤ x”,,Y≤ y”相互独立，相当于下面的式子成立：
P(X≤ x,Y≤ y)=P(X≤ x)P(Y≤ y)，
或写成 F(x,y)=FX(x)FY(y).
66
由此得到 如下的两个随机变量相互独立的定义
定义 4.4 设 F(x,y),FX(x),FY(y)依次为 (X,Y)，
X,Y的 分布函数，如果 对任意的实数 x,y,下面的式子成立
F(x,y)=FX(x)FY(y)
则称随机变量 X与 Y是 相互独立的,
设随机变量 X,Y分别有 概率密度 fX(x),fY(y)，则 X
与 Y相互独立的充要条件是：二元函数
fX(x)fY(y)
是二维随机变量 (X,Y)的概率密度,
67
事实上，若 fX(x)fY(y)是 (X,Y)的概率密度，则
)()(
)()(
)()(),(
yFxF
dvvfduuf
d u d vvfufyxF
YX
x y
YX
x y
YX
即式
F(x,y)=FX(x)FY(y)
成立，故 X与 Y相互独立,
68
反之，若 X与 Y相互独立，则
x y
YX
x y
YX
YX
d u d vvfuf
dvvfduuf
yFxFyxF
)()(
)()(
)()(),(
故 fX(x)fY(y)是的概率密度,
69
从式
x y
YX
d u dvvufyxF
yFxFyxF
),(),(
)()(),(
可见，若 f(x,y),fX(x),fY(y)分别为 (X,Y),X,Y
的 概率密度，而且它们分别在点 (x,y),x,y处连续，
则
f(x,y)=fX(x)fY(y).
70
当 (X,Y)为二维 离散型随机变量时,X与 Y相互独立的充要条件是，对一切 i,j,下面的式子成立：
pij=pi.× p.j
这里 pij,pi.和 p.j分别为 (X,Y),X,Y的 分布列,
由式
F(x,y)=FX(x)FY(y)
和式 f(x,y)=fX(x)fY(y)或式 pij=pi.× p.j
可知，要判断两个随机变量 X,Y是否独立，只要验证 X和 Y的联合分布 (概率密度或 分布列 )是否等于边缘分布 (概率密度或 分布列 )的乘积就可以了,一般来说，这是比较容易的,
71
利用随机变量相互独立的充要条件，也可以求出 1.4
节例 1中约会问题的概率，解法如下：
例 1 (约会问题 )二人约定于 0到 T时内在某地见面，
先到者等 t(t≤ T)时后离去，求二人能会面的概率,
解 设二人到达某地的时刻分别为 X和 Y，由题意可知 X与 Y是 相互独立的，且都在 [0,T]上服从均匀分布，即
.,0
,0,
1
)(
其它
Tx
Txf X
72
.,0
,0,
1
)(
其它
Ty
Tyf Y
于是 (X,Y)的概率密度
.,0
,,0,
1
)()(),( 2
其它
Tyx
Tyfxfyxf YX
73
y
T
t
O t T x
x-y=t
y-x=t
y=x
S
A
图 1.10
74
由式
G
dx dyyxfGYXP ),(}),{(
并参看图 1.10可得所求的概率为
75
2
2
22
2
)1(1
)(
1
),(}),{(
T
t
T
tTT
d xd y
T
d xd yyxfAYXP
A
A
76
前面所讲的有关二维随机变量的一些概念，不难推广到 n维随机变量中去,
作为例子，下面就 n维随机变量的 分布函数,概率密度以及独立性等概念，分别叙述如下：
(a)分布函数
设 (X1,X2,…,Xn)为 n维随机变量,x1,x2,…,xn为任意的实数，则 n元函数
F(x1,x2,…,xn)=P(X1≤ x1,X2≤ x2,…,Xn≤ xn)
称为 (X1,X2,…,Xn)的分布函数,
77
(b)概率密度
设 F(x1,x2,…,xn)为 n维随机变量 (X1,X2,…,Xn)的分布函数，若存在非负的函数 f(x1,x2,…,xn)，对任意的实数 x1,x2,…,xn有
n
x x x
n
n
dtdtdttttf
xxxF
n
2121
21
1 2
),,,(
),,,(
则 (X1,X2,…,Xn)称 为 连续型随机变量,同时称
f(x1,x2,…,xn)为 n维随机变量的 概率密度函数,简称 概率密度,
78
(c)n个随机变量的独立性
设 F(x1,x2,…,xn)为 n维随机变量 (X1,X2,…,Xn)的分布函数，而 Fx1(x1),Fx2(x2),…,Fxn(xn)依次为
X1,X2,…,Xn的分布函数 (一 维边缘 分布函数 )，若 对任意的实数 x1,x2,…,xn有
F(x1,x2,…,xn)=Fx1(x1)Fx2(x2)… Fxn(xn)
则称 X1,X2,…,Xn是 相互独立的,
对于 连续型随机变量,设 X1,X2,…,Xn的 概率密度分别是 fx1(x1),fx2(x2),…,fxn(xn)，则 X1,X2,…,Xn相互独立的充要条件是,n元函数
fx1(x1)fx2(x2)… fxn(xn)
是 n维随机变量 (X1,X2,…,Xn)的 概率密度,
79
例 3 已知 随机变量 X1,X2的 概率 分布为
X1?1 0 1
P 1/4 1/2 1/4
X2 0 1
P 1/2 1/2
而且 P(X1X2=0)=1,
(1)求 X1和 X2的联合 分布；
(2)说明 X1,X2是否独立？
80
(1)求 X1和 X2的联合 分布
X1
X2?1 0 1 p.j
0 1/2
1 1/2
pi,1/4 1/2 1/4 1
81
解,由 P(X1X2=0)=1得
P(X1X2≠ 0)=0，
从而
P(X1=?1,X2=1)=0,P(X1=1,X2=1)=0.
因此 X1和 X2的联合 分布为
X1
X2?1 0 1 p.j
0 1/4 0 1/4 1/2
1 0 1/2 0 1/2
pi,1/4 1/2 1/4 1
82
因
P(X1=0,X2=0)=0≠ 1/4=P(X1=0)P(X2=0)
故 X1和 X2不独立,
83
第四章 多维随机变量及其分布
4.5 二维随机变量函数的分布
在前面的 3.6节 我们讨论了一维随机变量函数 Y=g(X)
的分布问题，下面我们进一步讨论二维随机变量函数 Z=g(X,Y)的分布问题,
具体地说，已知 (X,Y)的分布，求 Z=g(X,Y)的分布,
理论上讲，由 X,Y的联合分布可以求出它们的函数分布，但具体计算时往往比较复杂,因此，下面仅就几个具体的函数进行讨论,
84
4.5.1 和的分布
首先考虑两个离散型随机变量 X与 Y的和，看下面的例子,
例 1 设 X与 Y是相互独立的随机变量，分布列分别为
P(X=i),i=0,1,2,…,
P(Y=j),j=0,1,2,…,
求 Z=X+Y的分布列,
解 因为
P(X=i),i=0,1,2,…
P(Y=j),j=0,1,2,…
所以 Z=X+Y=k,k=0,1,2,…,
85
k
i
ikYiX
YkX
kYXkYX
kZ
0
),(
)0,(
)1,1(),0(
)(
而上式右端各事件是互不相容的，故
k
i
ikYiXPkZP
0
),()(
86
再由 X与 Y的独立性，得到
,2,1,0
)()()(
0
k
ikYPiXPkZP
k
i
这就是所求 Z=X+Y的分布列,
87
例２ 设 X与 Y是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为 λ 1和 λ 2的泊松分布，求 Z=X+Y的分布列,
解 将 X,Y,Z的取值分别用 i,j,k表示，则
,2,1,0,
!
)(
,2,1,0,
!
)(
2
1
2
1
je
j
jYP
ie
i
iXP
j
i
且 Z=X+Y的可能取值 k=0,1,2,…,
88
,2,1,0
!
)(
)!(!
!
!
)!(!
)(
)(21
0
21
)(
0
21
21
21
21
k
e
k
iki
k
k
e
e
ik
e
i
kZP
k
k
i
iki
k
i
iki
89
由此可知,Z服从参数为 λ 1+λ 2的泊松分布,
所以 两个独立的 服从 泊松分布的随机变量之和仍是一个 服从 泊松分布的随机变量，且其参数为相应的随机变量分布参数的和,
90
现在考虑两个连续型随机变量 X与 Y之和的分布,
设二维随机变量 (X,Y)是连续型的，概率密度为
f(x,y)，求和 Z=X+Y的分布,
为了确定 Z的分布，我们考虑 Z的分布函数
FZ(z)=P(Z≤ z)=P(X+Y≤ z)
如果 (X,Y)表示落在平面 xOy上的随机点的坐标，则
P(X+Y≤ z)表示随机点 (X,Y)落在 平面区域
G={(x,y)| x+y≤ z}
即 图 4.4中阴影部分的概率,
91
xzO
y
G
图 4.4
92
因此有
dxdyyxf
d xd yyxfzF
xz
zyx
Z
)),((
),()(
令 y=u?x，得
z
z
Z
dudxxuxf
dxduxuxfzF
)),((
)),(()(
93
由连续型随机变量的定义可知,Z是连续型随机变量且其概率密度为
dxxzxfzf Z ),()(
同理可 得
dyyyzfzf Z ),()(
94
如果 X与 Y是相互独立的随机变量，则进一步得到
dxxzfxfzf YXZ )()()(
和
dyyfyzfzf YXZ )()()(
由以上二式给出的运算称为 卷积,因而也称上二式为卷积公式,简单记作
YXZ fff *?
95
例 3 设 X与 Y相互独立，且都在 [?a,a]上服从均匀分布，求 Z=X+Y的分布,
解 由题设
1
,| |,
() 2
0,| | ;
1
,| |,
() 2
0,| |,
X
Y
xa
fx a
xa
ya
fy a
ya
96
由卷积公式
dxxzfxfzf YXZ )()()(
显然，上式中的被积函数 fX(x)fY(z?x)只有当 x满足不等式组
axza
axa
时才不等于 0.满足上面不等式组的点 (x,z)的变化区域，如图 4.5中的阴影部分所示,
97
x
z
O
2a
-2a
a-a
图 4.5
98
dxxzfxfzf YXZ )()()(
99
x
z
O
2a
-2a
a-a
图 4.5
100
由图 4.5可知：
当 z <?2a或 z >2a时,fX(x)fY(z?x)=0；
当?2a≤ z<0时,fX(x)fY(z?x)=1/4a2；
当 0≤ z≤ 2a时,fX(x)fY(z?x)=1/4a2,
因此
.,0
,20,
4
2
4
1
,02,
4
2
4
1
)(
22
22
其它
a
az
az
a
Z
az
a
za
dx
a
za
a
az
dx
a
zf
101
例 4 设 X与 Y是相互独立的均服从 N(0,1)的随机变量，
Z=X+Y，求 Z的概率密度为 fZ(z)？
解
dxee
dxee
dxxzfxfzf
xzx
z
xzx
YXZ
)(
2
2
)(
2
2
2
22
2
1
2
1
2
1
)()()(
102
2 2 2
2
2
2
22
()
2 4 4
()
42
2 2
42
1
()
2
1
2
11
2 2 2
z z z
x x z
Z
zz
x
zt
x
zt
f z e e d x
e e d x
e e d t
配 方令
103
2
2
2
4
2 ( 2 )
1
()
22
1
22
z
Z
z
f z e
e
从而 Z~N(0,2).
104
例 4 设 X与 Y是相互独立的且分别服从正态分布
X~N(μ 1,σ 12)和 X~N(μ 2,σ 22)的随机变量，则
Z=X+Y服从正态分布 X~N(μ 1+μ 2,σ 12+σ 22).
这个结论还可以推广到 n个独立的正态变量之和的情况，即若 Xi ~N(μ i,σ i2)，且 X1,X2,…,Xn相互独立，则
),(~
1
2
11
n
i
i
n
i
i
n
i
i NX
进而,n个相互独立的正态变量的线性组合仍然是一个正态变量,这是一个很重要的结论,
105
例 4 设 Xi ~N(μ i,σ i2),i=1,2,…,n，且
X1,X2,…,Xn相互独立,a1,a2,…,an,b为常数,则
),(~
1
22
11
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii abaNbXa
106
最后，就一般情况将主要推导过程归纳如下：
(1)为求 Z= g(X,Y)的概率密度 fZ(z)，先求 Z的分布函数
G
Z
d xd yyxf
GYXP
zYXgP
zZPzF
),(
}),{(
}),({
)()(
其中 G={(x,y)|g(x,y)≤ z}；
107
(2)若 FZ(z)可以直接计算出来并且它是连续的，除有限个点外均有连续的导数，则可以通过对 FZ(z)求导而得 fZ(z).若 FZ(z)的具体表达式不易求出，也可以采用变量代换、交换积分次序等步骤，将积分式化为如下的形式
zZ duuhzF )()(
则 fZ(z)=h(z),
108
例２ 设 (X,Y)在如图 4.6所示的三角形区域内服从均匀分布，求 Z=X+Y的概率密度,
x
y
O-1 1
A
1
图 4.6
109
解 这里 X,Y是不独立的，不能用卷积公式的概率密度,可以用分布函数法来求解,由题设,(X,Y)的概率密度为
.,0
,),(,1
),(
其它
Ayx
yxf
先求
G
Z
d xd yyxf
zYXPzZPzF
),(
)()()(
其中 G={(x,y)|x+y≤ z},
110
xzO
y
G
111
例２ 设 (X,Y)在如图 4.6所示的三角形区域内服从均匀分布，求 Z=X+Y的概率密度,
x
y
O-1 1
A
1
图 4.6
G
112
例２ 设 (X,Y)在如图 4.6所示的三角形区域内服从均匀分布，求 Z=X+Y的概率密度,
x
y
O-1 1
1
图 4.7
B
A
G
113
由区域 G的图形，不难看出当 z≤?1时,G∩ A=Φ ；
当 z≥ 1时,G∩ A=A；
当?1<z<1时,G∩ A=B，如图 4.7所示,B的面积为
4
)1(
2
)1()1(
2
1 2 zzz
因此
2
0,1,
( 1 )
( ),1 1,
4
1,1,
Z
B
z
z
F z d x d y z
z
114
即得
.1,0
,1,
2
1
)(
z
z
z
zf
Z
115
4.5.2 瑞利分布
设 X,Y是相互独立的且服从同一正态分布 N(0,σ 2)
的随机变量，求的分布？
22 YXZ
解 先考虑 Z的分布函数
显然，当 z<0时，
0)(
)()(
22
zYXP
zZPzF Z
116
当 z≥ 0时，
zyx
Z
d xd yyxf
zYXPzZPzF
22
),(
)()()(
22
其中 f(x,y)为 (X,Y)的概率密度,由于 X,Y相互独立，
故得
zyx
yx
zyx
YXZ
d x d ye
d x d yyfxfzF
22
2
22
22
2
2
2
1
)()()(
117
xO
y
x2+y2=z2
118
令 x=ρ cosθ,y=ρsinθ得
2
2
2
2
2
0
2
2
02
1
2
1
)(
z
z
Z
e
dedzF
于是 Z的分布函数为
2
2
21,0,
()
0,0.
z
Z
ezFz
z
119
因此 Z的密度函数为
.0,0
,0,)(
2
2
2
2
z
ze
z
zf
z
Z
人们称以上式为概率密度 (或以分布函数 )的分布为瑞利 (Rayleigh)分布,
120
瑞利分布在实际中是经常能碰到的，例如，加工齿轮时，要把齿轮毛坯安装到车床上去，由于安装误差使被加工的齿轮中心与加工中心不吻合，产生了加工的偏心误差，而这种偏心误差的分布，就是瑞利分布,
121
21．设随机变量 (X,Y)的概率密度为
22
2
2
2
1
(,)
2
,
xy
f x y e
xy
求
22Z X Y
的概率密度 fZ(z)?
122
解 设 Z的分布函数为 FZ(z)，则
22( ) ( ) ( )
ZF z P Z z P X Y z
22
0
(,)
z
x y z
f x y d x d y
22
2
22
2
2
1
2
xy
x y z
e d x d y?
2
22 2
200
1
.
2
r
z
e rdrd
123
2
2
2
2
2
0
2
2
0
1
()
11
2
r
z
Z
u
ru
z
F z e rdr
e du
令
故
2
2
2
0,0,
() 1
,0.
2
z
Z
z
fz
ez
124
2
2222
0
( ) 1
z
r z
ZF z e e
故
2
2
2
0,0,
( ) ( ) 1
,0,
2
z
Zz
z
f z F z
ez
125
24．设二维随机变量 (X,Y)在矩形
{ (,) | 0 2,0 1 }G x y x y
上服从均匀分布，试求边长为 X和 Y的矩形面积的概率密度 fS(s)?
126
解 1 设矩形的面积为 S，则 S=XY，又设 S的分布函数为 FS(s)，则
( ) ( )
( ) (,),
S
x y s
F s P S s
P X Y s x y d x d y?
其中
1
,(,),
(,) 2
0,.
x y G
xy?
其 他
127
x2O
y
图
1
S
xy=S
128
( ) (,),S
x y s
F s x y d x d y?
12
0 0 0
0,0,
11
,0 2,
22
1,2,
s
s
x
s
s
d x d y d x d y s
s
0,0,
( 1 l n 2 l n ),0 2,
2
1,2.
s
s
ss
s
129
于是
1
( l n 2 l n ),0 2,
( ) ( ) 2
0,.
S
ss
f s F s
其 他
130
4.5.3 M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布
设随机变量 M=max(X,Y),N=min(X,Y)分别表示随机变量 X与 Y间的最大值和最小值；又 X与 Y的分布函数分别为 FX(x)和 FY(y)，求 M及 N的分布函数,
先求 M=max(X,Y)的分布函数：
FM(m)=P(M≤ m)=P(max(X,Y)≤ m)
因为 M不大于 m等价于 X和 Y都不大于 m，故
FM(m)=P(X≤ m,Y≤ m)=F(m,m)
而当 X与 Y相互独立时，
FM(m)=P(X≤ m)P(Y≤ m)=FX(m)FY(m)
131
下面求 N=min(X,Y)的分布函数：
FN(n)=P(N≤ n)=P(min(X,Y)≤ n)
=P(X≤ n)+P(Y≤ n)?P(X≤ n,Y≤ n)
FN(n)=P(N≤ n)=P(min(X,Y)≤ n)
=1?P(min(X,Y)>n)
因为 N不大于 n等价于 X和 Y都大于 n，故
FN(n)=1?P(min(X,Y)>n)=1?P(X >n,Y>n)
而当 X与 Y相互独立时，
FN(n)=1?P(X >n,Y>n)=1?P(X >n)P(Y>n)
=1?[1?P(X≤ n)][1?P(Y≤ n)]
=1?[1?FX(n)][1?FY(n)]
132
上面的结果可以推广到 n个相互独立的随机变量的情况
设 (X1,X2,…,Xn)是相互独立的且分布函数分别为
Fx1(x1),Fx2(x2),…,Fxn(xn)的 n个随机变量,则
max(X1,X2,…,Xn)的分布函数 Fmax(z)为
)()()()( 21m a x zFzFzFzF nXXX
min(X1,X2,…,Xn)的分布函数 Fmin(z)为
)](1[)](1)][(1[1
)(
21
m i n
zFzFzF
zF
nXXX
133
特别地，当 X1,X2,…,Xn是相互独立的且具有相同分布函数 F(z)的 n个随机变量时，有
n
n
zFzF
zFzF
)](1[1)(
)]([)(
m i n
m a x
134
例 6设电子仪器由两个相互独立的电子装置 L1和 L2组成，组成方式有两种：
(a) L1与 L2串联； (b)L1与 L2并联
L1 L2
L1
L2
135
已知 L1,L2的寿命分别为 X与 Y，它们的分布函数分别为
;0,0
,0,1
)(;0,0
,0,1
)(
y
ye
yF
x
xe
xF
y
Y
x
X
其中 α>0,β>0.
试在两种联结方式下，分别求出仪器寿命 Z的概率密度,
136
解 (a)串联情况
X,L1 Y,L2
由于 L1,L2有一个损坏时,仪器就停止工作，所以仪器 的寿命
Z=min(X,Y)
因此
;0,0
,0,1
)(
)(
m i n z
ze
zF
z
137
于是 Z=min(X,Y)的概率密度
.0,0
,0,)(
)(
)(
m i n z
ze
zf
z
138
(b)并联情况
X,L1
Y,L2
由于只有 L1与 L2都损坏时,仪器才停止工作，所以仪器 的寿命
Z=max(X,Y)
139
因此
;0,0
,0),1)(1(
)()()(m a x
z
zee
zFzFzF
zz
YX
于是 Z=max(X,Y)的概率密度
.0,0
,0,)(
)(
)(
m a x
z
zeee
zf
zzz
140
例 6 设部件 L1的寿命 X~E(α),部件 L2的寿命
Y~E(β),其中 α>0,β>0，将 部件 L1与 L2按图联结构成系统 L，即当 部件 L1损坏时,部件 L2立即开始工作，
求 系统 L的寿命 Z的概率密度？
X
Y
L1
L2
Z,L
141
解 部件 L1的寿命 X，部件 L2的寿命 Y的概率密度分别为
.0,0
,0,
)(;0,0
,0,
)(
y
ye
yf
x
xe
xf
y
Y
x
X
系统 L的寿命 Z=X+Y.
142
设 Z的概率密度为 fZ(z)，则
dxxzfxfzf YXZ )()()(
而
.,0
,0,0,
)()(
)(
其它
xzxee
xzfxf
xzz
YX
当 z≤ 0时,fZ(z)=0；
143
z
xO
z=x
144
当 z>0时，
,,
0
,,
0
1
)(
)(
0
)(
0
)(
z
xe
z
ee
dxee
dxeezf
z
xz
z
xz
z
xz
Z
145
.,
,),(
)(
2
z
zz
Z
ze
ee
zf
综上所述 Z=X+Y的概率密度为
.0,0
,0),(
)(
,
z
zee
zf
zz
Z
时当
146
.0,
,0,0
)(
,
2
zze
z
zf
zZ?
时当
147
27．假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为 λ >0
的指数分布,当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间 T的概率分布,
148
解 设 T的分布函数为 FT(t)，第 i件元件的寿命为 Xi，
其分布函数为 F(x)，则
1 2 3( ) ( ) { m i n(,,) }TF t P T t P X X X t
31 [1 ( ) ]Ft
31,0,
0,0,
tet
t
即
~ ( 3 ),TE?
149
25．设 X和 Y为两个随机变量，且
3
{ 0,0 },
7
4
( 0) ( 0),
7
P X Y
P X P Y
求
{ m a x (,) 0 },P X Y?
150
解
{m a x (,) 0 } {( 0 ) ( 0 ) }
( 0 ) ( 0 ) { 0,0 }
4 4 3 5
.
7 7 7 7
P X Y P X Y
P X P Y P X Y
151
例 设 (X,Y)的概率密度为
其它。,0
,10,0,3
),(
xxyx
yxf
求 Z=X?Y的概率密度？
解一 设 Z的分布函数为 FZ(z)，概率密度为 fZ(z)，
则
152
:
( ) ( )
()
(,)
Z
G x y z
F z P Z z
P X Y z
f x y d x d y
153
xO
y
G
G图
154
xO
y
G
G图
155
duyyufdy
dxyxfdy
d xd yyxf
zYXP
zZPzF
z
yux
yz
zyxG
Z
),(
),(
),(
)(
)()(
:
156
z
z
z
yux
Z
dudyyyuf
dyyyufdu
duyyufdy
zYXPzZPzF
]),([
),(
),(
)()()(
积分换序
157
故 Z的概率密度
dyyyzfzf Z ),()(
而
.,0
,10,,0),(3
.,0
,10,0),(3
),(
其它其它
yzzyyz
yzyzyyz
yyzf
158
y1O
z
图
1
159
从而当 z≤ 0或 z≥ 1时,fZ(z)=0；
当 0<z<1时，
)1(
2
3
0
1
2
3
)1(3
)(3)(
2
2
1
0
z
z
yzz
dyyzzf
z
Z
160
因此
.,0
10),1(
2
3
)(
2
其它
，zz
zf
Z
161
解二 设 Z的分布函数为 FZ(z)，概率密度为 fZ(z)，
则
:
( ) ( )
()
(,)
Z
G x y z
F z P Z z
P X Y z
f x y d x d y
162
xO
y
1
A
G
G图
163
xz O
y
G
1
A
G图
z
164
xz O
y
G
1
A
G图
z
165
解二 设 Z的分布函数为 FZ(z)，概率密度为 fZ(z)，
则
,1,1
,10,33
,0,0
),(
)()()(
1
00
z
zdyx d xdyx d x
z
d x d yyxf
zYXPzZPzF
x
zxz
xz
zyx
Z
166
xz O
y
1
A
G图
z
G
167
而
3
0
1
1
00
2
1
2
3
31
33
zz
dyxd x
dyxd xdyxd x
zx
z
x
zxz
xz
因此
其它。
，
,0
10),1(
2
3
)()(
2 zz
zFzf zZ
168
例 1 一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字 1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以 X,Y分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求 (X,Y)的分布列,
解 X,Y的可能值 均为 1,2,3，由
,|
,1,2,3
P X i Y j P X i P Y j X i
ij
得 (X,Y)的分布列为
169
Y
X 1 2 3
1 0 1/6 1/12
2 1/6 1/6 1/6
3 1/12 1/6 0
170
例 设 (X,Y)的概率密度为
(),0,0,
(,)
0,
xye x y
f x y
其 它,
问 X与 Y是否独立？
解 X,Y的边缘密度分别为
171
xO
y
图
172
()
0
( ) (,)
,0,
0,
,0,
0,
X
xy
x
f x f x y dy
e dy x
ex
其 它,
其 它,
173
xO
y
图
174
()
0
( ) (,)
,0,
0,
,0,
0,
Y
xy
y
f y f x y d x
e d x y
ey
其 它,
其 它,
175
因为
(),0,0,
( ) ( ) (,)
0,
xy
XY
e x y
f x f y f x y
其 它,
所以 X,Y独立,
176
例 设 (X,Y)的概率密度为
8,0 1,
(,)
0,.
x y x y
f x y
其 他
问 X与 Y是否独立？
解 X,Y的边缘密度分别为
177
x1O
y
图
1
178
1
2
( ) (,)
8,0 1,
0,
4 ( 1 ),0 1,
0,
X
x
f x f x y d y
x y d y x
x x x
其 它,
其 它,
179
x1O
y
图
1
180
0
3
( ) (,)
8,0 1,
0,
4,0 1,
0,
Y
y
f y f x y d x
x y d x y
yy
其 它,
其 它,
181
因为
( ) ( ) (,)XYf x f y f x y
所以 X,Y不 独立,
182
8．一电子仪器由两个部件组成，以 X和 Y分别表示两个部件的寿命 (单位：千小时 ).已知 X,Y的联合分布函数为：
0,5 0,5 0,5 ( )
(,)
1,0,0
0,.
x y x y
F x y
e e e x y
其 他
(1)问 X,Y是否独立？为什么？
(2)求两个部件的寿命都超过 100小时的概率,
183
解 (1)先求边缘分布函数：
0,51,0,
( ) l i m (,)
0,0,
x
X y
ex
F x F x y
x
0,51,0,
( ) l i m (,)
0,0,
y
Y x
ey
F y F x y
y
因为
(,) ( ) ( )XYF x y F x F y
所以 X,Y独立,
184
解 (2)
( 0,1,0,1 )
( 0,1 ) ( 0,1 )
[ 1 ( 0,1 ) ] [ 1 ( 0,1 ) ]
P X Y
P X P Y
P X P Y
0,0 5 0,0 5 0,1.e e e
185
15．已知随机变量 X和 Y的联合分布为
(X,Y) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)
P (X =
x,Y = y) 0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.15
求
(1)X的概率分布；
(2)Z=X+Y的概率分布,
186
解 (1)随机变量 X的分布为
X 0 1 2
P 0.25 0.45 0.30
(2)Z=X+Y的概率分布为
Z 0 1 2 3
P 0.10 0.40 0.35 0.15
187
例 如果 (X,Y)的分布为
Y X 1 2 3
1 1/6 1/9 1/18
2 1/3 α β
(1)问 α 与 β 满足什么条件？
(2)若 X与 Y相互独立，则 α 与 β 各等于多少？
188
解 (1)由联合分布列的性质,α 与 β 应满足条件：
α ≥ 0,β ≥ 0
且
1 1 1 1 11
6 9 18 3 3
(2)若 X与 Y相互独立，则
,
1,2,3 ; 1,2,
P X i Y j P X i P Y j
ij
189
例 如果 (X,Y)的分布为
Y X 1 2 3 pi.
1 1/6 1/9 1/18 1/3
2 1/3 α β 2/3
p.j p.1 p.2 p.j 1
(1)问 α 与 β 满足什么条件？
(2)若 X与 Y相互独立，则 α 与 β 各等于多少？
190
于是
2,2 2 2P X Y P X P Y
从而
11
93
1
3
解方程得
α =2/9,β =1/9.
191
28．设随机变量 X1,X2,X3,X4独立同分布：
( 0 ) 0,6,( 1 ) 0,4
1,2,3,4,
iiP X P X
i
求行列式
12
34
XX
X
XX
的概率分布,
192
解 1
12
1 4 2 3
34
XX
X X X X X
XX
X的可能值为?1,0,1.
X?1 0 1
P
193
1 4 2 3( 1 ) ( 0,1 )P X P X X X X
1 4 1 4
1 4 2 3
{ ( 0,1 ) ( 1,0 )
( 0,0 ),( 1,1 ) }
P X X X X
X X X X
1 4 1 4
1 4 2 3
[ ( 0,1 ) ( 1,0 )
( 0,0 ) ] ( 1,1 )
P X X P X X
P X X P X X
[ 0,6 0,4 0,6 0,4 0,3 6 ] 0,1 6
0,1 3 4 4
194
同理可求出
( 0) 0,73 12,( 1 ) 0,13 44P X P X
即 X的分布为
X?1 0 1
P 0.1344 0.7312 0.1344
195
解 2 先求出 X1X4及 X2X3的分布
X1X4 0 1
P 0.84 0.16
X2X3 0 1
P 0.84 0.16
1 4 2 3( 1 ) ( 0,1 )
0,8 4 0,1 6 0,1 3 4 4,
P X P X X X X
1 4 2 3( 0 ) ( )
0,8 4 0,8 4 0,1 6 0,1 6 0,7 3 1 2
P X P X X X X
196
1 4 2 3( 1 ) ( 1,0 )
0,1 6 0,8 4 0,1 3 4 4,
P X P X X X X
即 X的分布为
X?1 0 1
P 0.1344 0.7312 0.1344
