Chapter 1(3)
方向导数与梯度教学要求：
1,理解方向导数与梯度的概念,并掌握其计算方法,
,方向导数一
,梯度二
,方向导数一
1,方向导数定义引入为起点以射线设有 ),(),,( yxPlyxfz?
o x
y
P(x,y)
P1
l
),(),( 1 yyxxPyxP l
),(),( yyxxfyxf
),(),( yxfyyxxfz则
221 )()(|| yxPP
.),(),(lim
0
yxfyyxxf
l
f
记为
.
),(,
),(),(
limlim
00
的方向导数点沿着方向在则称此极限值为存在若
lPyxf
yxfyyxxfz
定义,
轴的方向导数沿是显然 yxyxfff yx,),(,
||
),(),(l i m:
0|| x
yxfyxxf
l
fx
x?
轴平行
||
),(),(lim:
0|| y
yxfyyxf
l
fy
y?
轴平行
.,;,,yxyx ffffyx负向时为轴正向时为沿
,2 的存在定理lf
,),(),( 可微在若 yxPyxfz?
则函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在，且
,c o sc o s yx fflf
,c o s,c o s 的方向余弦为方向其中 l
Proof.,),( 可微yxfz
),(?oyfxfz yx
,)( oyfxfz yx o x
y
P
P1?
x? y?
,)(coscos offz yx
],)(coscos[limlim
00?
offz
yx
.c o sc o s yx fflf
,2由于
.s i nc o s yx fflf从而有
.轴正向的夹角与为方向其中 xl
3,推广
),,(),,,( 的方向导数为沿方向它在对于 lzyxPzyxfu?
u
l
f
l
u
0
lim
),,(),,(lim
0
zyxfzzyyxxf
其中 222 )()()( zyx
,,,的方向角为设方向 l
,c o s x,c o s y,c o s z
.c o sc o sc o s
z
f
y
f
x
f
l
f
且
,
)32,2()2,1()2,1(.1 22
的方向的方向导数到处沿从在点求 yxzex
Solution.,2|2)2,1( 1xx xz? 4|2)2,1( 2yy yz
}3,1{?l方向
,2131 1c o s 2 331 3c os
.321c os)2,1(c os)2,1(
)2,1(
yx zzlz
1)2,2()(1.2 2
2
2
2
2
2
2
2
byaxbabyaxzex 处沿曲线在点求在这点的内法线方向的方向导数,
Solution,如图所示
y
o x
y
x
a
b
y
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
t a n
1
的切线倾角满足?
)
2
( t a n)
2
,
2
(
a
bba 处在
2
3)](
2
[又
,s i nc o s 22
ba
b
22co ss i n ba
a
,2 2a xxz而 22b yyz
,
2
)
2
,
2
( ax
z
ba
by
z
ba
2
)
2
,
2
(
.)(21s inc os 22
)
2
,
2
(
ba
aby
z
x
z
l
f
ba
,,),()0,0(.3?的转角为轴到的向径为到设由 rxryxex
.||,,22 yxrrlrlx其中求的转角为轴到射线?
Solution,如图所示
O(0,0)
(x,y)
l
x
r?
c os
2
2
22
r
x
yx
x
x
r?
s i n ryyr
)co s (s i ns i nco sco s lr
.0,2;1, lrlr 时当时且当
,梯度二定义 设函数 ),( yxfz? 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 DyxP?),(,
都可定出一个向量 j
y
f
i
x
f
，这向量称为函数
),( yxfz? 在点 ),( yxP 的梯度，记为
),( yxgrad f j
y
f
i
x
f
,
则有对于 ),,,( zyxfu?
.),,( kzfjyfixfzyxg r a d f
方向导数与梯度的关系
s i nco s yfxflf }s i n,{ cos},{ yfxf
eyxg r a d f ),( ],),,(c o s [|),(| eyxg r a d fyxg r a d f
(1) 方向导数为梯度在方向 l 上的投影 ;
(2) 沿梯度方向的方向导数最大,且等于 ;),( yxg r a d f;),()3(
22
y
f
x
fyxg r a d f
.t an,)4(
x
y
f
fx
则轴到梯度的转角为
—— 梯度方向
}c o s,{ c o s)1,1(.4 22 lyxyxuex 处沿在求函数的方向的方向导数，问哪个方向变化率最大？哪个方向为 0？并用梯度验证,
Solution.
,1)2(
)1,1(
)1,1(
yx
x
u
1)2(
)1,1(
)1,1(
yx
y
u
2 c osc os)1,1(
此时
l
u
)4c os (2
)1,1(
l
u从而
,2,
4 ( m a x )
l
u时显然当
,0,24 lu时当
,jig r a d u而
.2||4 g r a d u且即
思考题讨论函数 22),( yxyxfz 在 )0,0( 点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
Solution,x fxfxz
x?
)0,0()0,(lim
0)0,0(,
||lim
0 x
x
x?
同理,)0,0(yz yy
y?
||lim
0
故两个偏导数均不存在,
沿任意方向 },{ yxl 的方向导数,
)0,0(),(lim
0)0,0(
fyxf
l
z
1
)()(
)()(lim
22
22
0
yx
yx
故沿任意方向的方向导数均存在且相等,
The end
方向导数与梯度教学要求：
1,理解方向导数与梯度的概念,并掌握其计算方法,
,方向导数一
,梯度二
,方向导数一
1,方向导数定义引入为起点以射线设有 ),(),,( yxPlyxfz?
o x
y
P(x,y)
P1
l
),(),( 1 yyxxPyxP l
),(),( yyxxfyxf
),(),( yxfyyxxfz则
221 )()(|| yxPP
.),(),(lim
0
yxfyyxxf
l
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记为
.
),(,
),(),(
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00
的方向导数点沿着方向在则称此极限值为存在若
lPyxf
yxfyyxxfz
定义,
轴的方向导数沿是显然 yxyxfff yx,),(,
||
),(),(l i m:
0|| x
yxfyxxf
l
fx
x?
轴平行
||
),(),(lim:
0|| y
yxfyyxf
l
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轴平行
.,;,,yxyx ffffyx负向时为轴正向时为沿
,2 的存在定理lf
,),(),( 可微在若 yxPyxfz?
则函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在，且
,c o sc o s yx fflf
,c o s,c o s 的方向余弦为方向其中 l
Proof.,),( 可微yxfz
),(?oyfxfz yx
,)( oyfxfz yx o x
y
P
P1?
x? y?
,)(coscos offz yx
],)(coscos[limlim
00?
offz
yx
.c o sc o s yx fflf
,2由于
.s i nc o s yx fflf从而有
.轴正向的夹角与为方向其中 xl
3,推广
),,(),,,( 的方向导数为沿方向它在对于 lzyxPzyxfu?
u
l
f
l
u
0
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),,(),,(lim
0
zyxfzzyyxxf
其中 222 )()()( zyx
,,,的方向角为设方向 l
,c o s x,c o s y,c o s z
.c o sc o sc o s
z
f
y
f
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l
f
且
,
)32,2()2,1()2,1(.1 22
的方向的方向导数到处沿从在点求 yxzex
Solution.,2|2)2,1( 1xx xz? 4|2)2,1( 2yy yz
}3,1{?l方向
,2131 1c o s 2 331 3c os
.321c os)2,1(c os)2,1(
)2,1(
yx zzlz
1)2,2()(1.2 2
2
2
2
2
2
2
2
byaxbabyaxzex 处沿曲线在点求在这点的内法线方向的方向导数,
Solution,如图所示
y
o x
y
x
a
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y
b
y
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x
2
2
2
2
2
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t a n
1
的切线倾角满足?
)
2
( t a n)
2
,
2
(
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bba 处在
2
3)](
2
[又
,s i nc o s 22
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22co ss i n ba
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,2 2a xxz而 22b yyz
,
2
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2
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,,),()0,0(.3?的转角为轴到的向径为到设由 rxryxex
.||,,22 yxrrlrlx其中求的转角为轴到射线?
Solution,如图所示
O(0,0)
(x,y)
l
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x
yx
x
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)co s (s i ns i nco sco s lr
.0,2;1, lrlr 时当时且当
,梯度二定义 设函数 ),( yxfz? 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 DyxP?),(,
都可定出一个向量 j
y
f
i
x
f
，这向量称为函数
),( yxfz? 在点 ),( yxP 的梯度，记为
),( yxgrad f j
y
f
i
x
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,
则有对于 ),,,( zyxfu?
.),,( kzfjyfixfzyxg r a d f
方向导数与梯度的关系
s i nco s yfxflf }s i n,{ cos},{ yfxf
eyxg r a d f ),( ],),,(c o s [|),(| eyxg r a d fyxg r a d f
(1) 方向导数为梯度在方向 l 上的投影 ;
(2) 沿梯度方向的方向导数最大,且等于 ;),( yxg r a d f;),()3(
22
y
f
x
fyxg r a d f
.t an,)4(
x
y
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fx
则轴到梯度的转角为
—— 梯度方向
}c o s,{ c o s)1,1(.4 22 lyxyxuex 处沿在求函数的方向的方向导数，问哪个方向变化率最大？哪个方向为 0？并用梯度验证,
Solution.
,1)2(
)1,1(
)1,1(
yx
x
u
1)2(
)1,1(
)1,1(
yx
y
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2 c osc os)1,1(
此时
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)1,1(
l
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,2,
4 ( m a x )
l
u时显然当
,0,24 lu时当
,jig r a d u而
.2||4 g r a d u且即
思考题讨论函数 22),( yxyxfz 在 )0,0( 点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
Solution,x fxfxz
x?
)0,0()0,(lim
0)0,0(,
||lim
0 x
x
x?
同理,)0,0(yz yy
y?
||lim
0
故两个偏导数均不存在,
沿任意方向 },{ yxl 的方向导数,
)0,0(),(lim
0)0,0(
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)()(
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22
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yx
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故沿任意方向的方向导数均存在且相等,
The end
