Chapter 2(3)
三重积分的计算教学要求：
1,会计算三重积分 ——
直角坐标、柱面坐标、球面坐标,
,积分在直角坐标下计算三重一
,积分在柱面坐标下计算三重二
,积分在球面坐标下计算三重三
,分数的奇偶性计算三重积利用区域的对称性和函四
,积分在直角坐标下计算三重一
1,直角坐标系中将三重积分化为三次积分
}),(),,(),(|),,{( 21 Dyxyxzzyxzzyx设
x
y
z
o
D
1z
2z 2S
1S ),(
1 yxzz?
),(2 yxzz?
a
b
)(1 xyy?
)(2 xyy?),( yx
:满足?
}),()(|),{()1( 21 bxaxyyxyyxDx o y面上在
(2)通过 D内的点且平行于 z
轴的直线与?边界交点不多于两个,
则的函数只看作将看作定值先将
,
),,(
,,
z
zyxf
yx
),( ),(21 ),,(),( yxz yxz dzzyxfyxF
上的二重积分在再计算 DyxF ),(
)( )(21 ),(),( xy xyba
D
dyyxFdxdyxF?
dvzyxf ),,(,),,()( )( ),( ),(2
1
2
1
ba xy xy yxz yxz dzzyxfdydx
称为先积 z再积 y最后积 x的三次积分,记为 z?y?x.
需把一般区域先投影到 xoy面得 D,再作平行于 z轴的直线求得,,,21?得到简单区域zz
则有面上面或投影到若将,y ozz ox?
.),,(),,( )( )( ),( ),(2
1
2
1
b
a
xz
xz
zxy
zxy dyzyxfdzdxdvzyxf
.),,(),,( )( )( ),( ),(2
1
2
1
d
c
yz
yz
zyx
zyx dxzyxfdzdydvzyxf
投影要求,
投到 xoy面,平行于 z轴的直线与?边界不多于两个交点,
投到 yoz面,平行于 x轴的直线与?边界不多于两个交点,
投到 zox面,平行于 y轴的直线与?边界不多于两个交点,
.,,0,2,1,.1 22 围成由计算 yzxyzxx
yx
dx dy dzex
Solution.
x
y
z
o
在 xoy面上的投影区域如图,
x
y
o
xy?
1 2
D
}21,0|),{( xxyyxD
.0 yz且
yx dzyxdydx 0 22021 1原式
x dyyx ydx 0 2221
2
1
0
22
2
)l n ( dxyx
x
.2ln21?
e x 2,化三重积分
d x d y d zzyxfI ),,( 为三次积分，其中 积分区域? 为由曲面
22
yxz,
2
xy?,1?y,0?z 所围 成的空间闭区域,
Solution.
x
y
z在 xoy面上的投影区域如图,
x
y
o
1
2xy?
}11,1|),{( 2 xyxyxD
.0 22 yxz且
I
222 011 1 ),,(yxx dzzyxfdydx
ex 3,化三重积分
d x d y d zzyxfI ),,( 为三次积分，其中积分区域? 为由曲面
22
2 yxz
及
2
2 yz 所围成的闭区域,
Solution.
x
y
z由
2
22
2
2
yz
yxz,
得在 xoy面上的投影区域为
,122 yx
.22 222 yzyx
.),,(1 1 221 1 2 222 2 y yxx x dzzyxfdydxI
思考题 将
1
0
1
0 0
22
),,(yx dzzyxfdydx 按 xzy,,
的次序积分,
Solution,
x y
z;10,0,10,21 xxzy;10,1
,1:
22
2
2
xxzx
yxz
1010 0 ),,(2 dyzyxfdzdx x原式
11
0
1
2
2
2 ),,(xz
x
x dyzyxfdzdx,
2.,先二后一”法
z
(1) 把积分区域? 向某轴（例如 z 轴）投影,
得投影区间 ],[ 21 cc ； (2 ) 对 ],[
21 ccz? 用过 z 轴且平行 xoy 平面的平面去截?,得截面 zD ;
zD
c
c dxdyzyxfdzdxd y dzzyxf ),,(),,()3(
2
1
).,(),,()(),,( yxgzyxfzgzyxf 或用于
ex 4,计算三重积分 d x d y d zy
2
，其中? 是由椭球面 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
所 围 成的空间闭区域,
Solution.
z
x
y
o
yD,byb
.1,2
2
2
2
2
2
b
y
c
z
a
xD
y
yD
b
b dx d zydydx d y dzy
22
b b dyybyac 22
2
)1(?,154 3 cab
yD
b
b dx dzdyy
2
.1:,)()1()(
,),()(.5
2221
1
2
zyxdxxfxdvzf
xfex
证明可积在设
Proof.,11 z
.1,222 zyxD z
zD
dxdydzzfdvzf 1 1 )()(
1 1 2 )()1( dzzfz?
.)()1(1 1 2 dxxfx?
,积分在柱面坐标下计算三重二
1,柱面坐标及坐标面的柱面坐标．就叫点个数
，则这样的三的极坐标为面上的投影在为空间内一点，并设点设
Mzr
rPxoy
MzyxM
,,
,
),,(
x
y
z
o
),,( zyxM
),(?rP?
r
,0 r
,20
. z
规定：
为常数r
为常数z
为常数?
三坐标面分别为圆柱面；
半平面；
平面．
),,( zyxM
),(?rP r
z
x
y
z
o
的关系与直角坐标柱面坐标 ),,(),,(,2 zyxzr?
zz
ry
rx
s i n
co s
3,柱面坐标下的三次积分
d
r
x
y
z
o
dz
dr?rd柱面坐标系中的体积元素为
,dzr d r ddzrddrdv
dx dydzzyxf ),,(
dzr dr dzrrf ),s i n,c o s(
, rz积分次序通常为注意,必须把区域、被积函数及体积元素一次全用柱坐标表示,
e x 6,计算
z d x d y d zI,其中? 是球面
4
222 zyx
与抛物面 zyx 3
22
所围的立体,
Method1.
x
y
z
在 xoy面上的投影区域为 322 yx
}2,030 |),,{( rzr则
dzz r dr dI?
232 420 30 rr z d zrdrd
.413
,43 2
2
rzr
24 rz
3
2r
z?
Method2,
,10:1 z
,21:2 z;3,221 zyxD z;4,2222 zyxD z
21
z d x d y d zz d x d y d zI
zD
dxdyz dz
1
1
0
10 3 z dzz?
zD
dxdyz dz
2
2
1
21 2 )4( dzzz?
,.7 22
dxdy dz
yx
eex z计算
.2,1,22 围成由 zzyxzMethod1.
x
y
z
o
21 }1,21|),,{( 22 yxzzyx
}41,2|),,{( 2222 yxzyxzyx
}20,10,21|),,{( rzzr
}20,21,2|),,{( rzrzr
dzr dr dre
z
原式
211020 dzedrd z 22120 r z dzedrd
.2 2e
Method2.
x
y
z
o
1
2
小大 }4,2|),,{( 2222 yxzyxzyx
}1,1|),,{( 2222 yxzyxzyx
}20,20,2|),,{( rzrzr
}20,10,1|),,{( rzrzr
dzr dr dre
z
原式
22020 r z dzedrd 11020 r z dzedrd
.2 2e
Method3.,先二后一”法
x
y
z
o
1
2,21 z
.,222 zyxD z
zD
z dx dy
yx
dze 2221 1原式
zD
z dr ddze?2
1
zz drddze 02021 212 dzze z?
.2 2e
..8 0 222020 2 axx dzyxzdydxex 计算
Solution.,20,20,0,2 xxxyaz
2
y
x
z
o
化为柱坐标计算
,0|),,{( azzr
,c o s20 r }20
d x d y d zyxz 22原式
dzd r dzr?2
a z d zdrrd 0c o s20 220?
20 3
2
co s382
da,98 2a?
,积分在球面坐标下计算三重三
1,球面坐标及坐标面
Px y
z
o
),,( zyxM
z
y
xA
的球面坐标．就叫做点
，，个数面上的投影，这样的三在点为的角，这里段逆时针方向转到有向线轴按轴来看自为从正轴正向所夹的角，
与为有向线段间的距离，与点点为原来确定，其中，，三个有次序的数可用为空间内一点，则点设
M
xoyM
POP
xz
zOMMO
MzyxM
),,(
,0
.20
,0
规定：
为常数?
为常数?
为常数?
三坐标面分别为圆锥面；
球 面；
半平面．
),,(),,(,2 的关系与直角坐标球面坐标 zyx
Px y
z
o
),,( zyxM
z
y
xA
c o ss i n?x
s i ns i n?y
c o s?z
3,球面坐标下的三次积分
d
x
y
z
o
d
dsind
d?
dsin球面坐标系中的体积元素为
ddddv s in
,s in2 ddd?
dxdy dzzyxf ),,(
.s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n( 2 dddf
,积分次序通常为则的闭曲面的边界为包围原点在内若 ),,(
.),,(s i n ),(0 2020 dFddI
,.9 222
d x d y d zzyxex 计算,222 围成由 zzyx
Solution.
x
y
z
o
1
2
1|),,{(
}20
,20
,c o s0
dddd x d y d zzyx s in2222
c o s0 32020 s i n ddd,10
c o s?
,.10 2
dvzex 计算
.22222222 围成与由 RzzyxRzyx
Method1.
x
y
z
o
R2
R
2
R
21
}20
}20
ddddvz s i nco s 2222
R ddd 0 430 220 s i ncos
c o s2
0
42
3
22
0 s i nco s
R ddd
.4 8 059 5R
,30,0{ R
,23,c o s20{ R R
co s2 R?
Method2.,先二后一”法
x
y
z
o
R2
R
2
R
21
,20{ Rz
,2{ RzR
1
2
0
22
zD
R
d x d ydzzdvz
22
2
zD
R
R dxdydzz
20 22 )2(
R
dzzRzz RR dzzRz
2
222 )(?,
4 8 0
59 5R
}2,2221 zRzyxD z
},22222 zRyxD z
Method3.,柱面坐标”法
x
y
z
o
R2
R
2
R
在 xoy面上的投影区域为 222 43 Ryx
2222 rRzrRR
22
22
22
3
0
2
0
2 rR
rRR
R
r dzzdrddvz
三重积分的计算关键在于选取适当的坐标系,确定单积分的积分上下限,
通常?是球形域或球与圆锥面围成时用球坐标,
是圆柱形或投影域为圆时用柱坐标,
22 rRz
22 rRRz
.)(
1
lim
,0)0(,)(.11
2222
222
4
0
tzyx
t
d xd y d zzyxf
t
fufex
求且具有连续的导数设
Solution,利用球面坐标得
tt dfddt 0 202040 )(s i n1lim原式
4
0
2
0
)(4
lim
t
dft
t?
3
2
0 4
)(4l im
t
tft
t
t
tf
t
)(lim
0
)(lim
0 tft
).0(f
x
y
z
o
1
,1:,),,(.12 222 zyxdvzyxfex 计算
0
0 0
),,(
222
22
2222
zzyx
yxz
yxzyx
zyxf
Solution,1?
2?
1
22),,( dvyxdvzyxf
2
222 dvzyx
10 24020 s i ns i n
ddd
10 2
2
2
0 s in
ddd,
8
5
16
2
,分数的奇偶性计算三重积利用区域的对称性和函四则面对称关于,.1 xo y?
),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,(
zyxfzyxf
zyxfzyxfdvzyxf
dvzyxf 上则面对称关于,.2 y oz?
),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,(
zyxfzyxf
zyxfzyxfdvzyxf
dvzyxf 前则面对称关于,.3 z ox?
),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,(
zyxfzyxf
zyxfzyxfdvzyxf
dvzyxf 右
ex 13,计算 三 重 积分
d x d ydz
zyx
zyxz
1
)1l n (
222
222
其中积分区域 }1|),,{(
222
zyxzyx,
Solution.
x
y
z
积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 的 奇函数,z
.01 )1l n ( 222
222
d x d y d zzyx zyxz
ex 1 4,计算
d x d yd zzyx 2)(,其中? 是由抛物面
22 yxz 和球面 2222 zyx 所围成的空间闭区域,
Solution.
x
y
z
2)( zyx
)(2222 zxyzxyzyx
其中 yzxy? 是关于 y 的奇函数,
且? 关于 zo x 面对称,
0)( dvyzxy,
同理,zx 是关于 x 的奇函数,且? 关于 y o z 面对称,
,0
x z d v
则
d x d y d zzyxI 2)(
d x d yd zzyx )( 222
x
y
z
dzr d r dzr?)( 22,1,22 yxD
.2 22 rzr
22 2 2220 10 )(rr dzzrrdrd
).89296(60
,.15
dvxy zex 计算
.4 2222 围成及由 yxzyxz
Solution.
y
z
ox
2
:41 1?区域为在第一卦限的
.20,40,20
1
4 x y z d vdvx y z
1
c oss i nc oss i n4 35 ddd
.34 20 354020 c o ss i nc o ss i n4
ddd
.,
,)(.16
2222
222
azyx
d x d yd znzmylxIex
其中计算
Solution,由对称性可知,
d x d yd zzd x d yd zyd x d yd zx 222
d x d yd zznmlI 2)(
2222
2)(
zayx
a
a dxd ydzznml
a a dzzaznml )()( 222?).(154 nml
The end
三重积分的计算教学要求：
1,会计算三重积分 ——
直角坐标、柱面坐标、球面坐标,
,积分在直角坐标下计算三重一
,积分在柱面坐标下计算三重二
,积分在球面坐标下计算三重三
,分数的奇偶性计算三重积利用区域的对称性和函四
,积分在直角坐标下计算三重一
1,直角坐标系中将三重积分化为三次积分
}),(),,(),(|),,{( 21 Dyxyxzzyxzzyx设
x
y
z
o
D
1z
2z 2S
1S ),(
1 yxzz?
),(2 yxzz?
a
b
)(1 xyy?
)(2 xyy?),( yx
:满足?
}),()(|),{()1( 21 bxaxyyxyyxDx o y面上在
(2)通过 D内的点且平行于 z
轴的直线与?边界交点不多于两个,
则的函数只看作将看作定值先将
,
),,(
,,
z
zyxf
yx
),( ),(21 ),,(),( yxz yxz dzzyxfyxF
上的二重积分在再计算 DyxF ),(
)( )(21 ),(),( xy xyba
D
dyyxFdxdyxF?
dvzyxf ),,(,),,()( )( ),( ),(2
1
2
1
ba xy xy yxz yxz dzzyxfdydx
称为先积 z再积 y最后积 x的三次积分,记为 z?y?x.
需把一般区域先投影到 xoy面得 D,再作平行于 z轴的直线求得,,,21?得到简单区域zz
则有面上面或投影到若将,y ozz ox?
.),,(),,( )( )( ),( ),(2
1
2
1
b
a
xz
xz
zxy
zxy dyzyxfdzdxdvzyxf
.),,(),,( )( )( ),( ),(2
1
2
1
d
c
yz
yz
zyx
zyx dxzyxfdzdydvzyxf
投影要求,
投到 xoy面,平行于 z轴的直线与?边界不多于两个交点,
投到 yoz面,平行于 x轴的直线与?边界不多于两个交点,
投到 zox面,平行于 y轴的直线与?边界不多于两个交点,
.,,0,2,1,.1 22 围成由计算 yzxyzxx
yx
dx dy dzex
Solution.
x
y
z
o
在 xoy面上的投影区域如图,
x
y
o
xy?
1 2
D
}21,0|),{( xxyyxD
.0 yz且
yx dzyxdydx 0 22021 1原式
x dyyx ydx 0 2221
2
1
0
22
2
)l n ( dxyx
x
.2ln21?
e x 2,化三重积分
d x d y d zzyxfI ),,( 为三次积分，其中 积分区域? 为由曲面
22
yxz,
2
xy?,1?y,0?z 所围 成的空间闭区域,
Solution.
x
y
z在 xoy面上的投影区域如图,
x
y
o
1
2xy?
}11,1|),{( 2 xyxyxD
.0 22 yxz且
I
222 011 1 ),,(yxx dzzyxfdydx
ex 3,化三重积分
d x d y d zzyxfI ),,( 为三次积分，其中积分区域? 为由曲面
22
2 yxz
及
2
2 yz 所围成的闭区域,
Solution.
x
y
z由
2
22
2
2
yz
yxz,
得在 xoy面上的投影区域为
,122 yx
.22 222 yzyx
.),,(1 1 221 1 2 222 2 y yxx x dzzyxfdydxI
思考题 将
1
0
1
0 0
22
),,(yx dzzyxfdydx 按 xzy,,
的次序积分,
Solution,
x y
z;10,0,10,21 xxzy;10,1
,1:
22
2
2
xxzx
yxz
1010 0 ),,(2 dyzyxfdzdx x原式
11
0
1
2
2
2 ),,(xz
x
x dyzyxfdzdx,
2.,先二后一”法
z
(1) 把积分区域? 向某轴（例如 z 轴）投影,
得投影区间 ],[ 21 cc ； (2 ) 对 ],[
21 ccz? 用过 z 轴且平行 xoy 平面的平面去截?,得截面 zD ;
zD
c
c dxdyzyxfdzdxd y dzzyxf ),,(),,()3(
2
1
).,(),,()(),,( yxgzyxfzgzyxf 或用于
ex 4,计算三重积分 d x d y d zy
2
，其中? 是由椭球面 1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
所 围 成的空间闭区域,
Solution.
z
x
y
o
yD,byb
.1,2
2
2
2
2
2
b
y
c
z
a
xD
y
yD
b
b dx d zydydx d y dzy
22
b b dyybyac 22
2
)1(?,154 3 cab
yD
b
b dx dzdyy
2
.1:,)()1()(
,),()(.5
2221
1
2
zyxdxxfxdvzf
xfex
证明可积在设
Proof.,11 z
.1,222 zyxD z
zD
dxdydzzfdvzf 1 1 )()(
1 1 2 )()1( dzzfz?
.)()1(1 1 2 dxxfx?
,积分在柱面坐标下计算三重二
1,柱面坐标及坐标面的柱面坐标．就叫点个数
，则这样的三的极坐标为面上的投影在为空间内一点，并设点设
Mzr
rPxoy
MzyxM
,,
,
),,(
x
y
z
o
),,( zyxM
),(?rP?
r
,0 r
,20
. z
规定：
为常数r
为常数z
为常数?
三坐标面分别为圆柱面；
半平面；
平面．
),,( zyxM
),(?rP r
z
x
y
z
o
的关系与直角坐标柱面坐标 ),,(),,(,2 zyxzr?
zz
ry
rx
s i n
co s
3,柱面坐标下的三次积分
d
r
x
y
z
o
dz
dr?rd柱面坐标系中的体积元素为
,dzr d r ddzrddrdv
dx dydzzyxf ),,(
dzr dr dzrrf ),s i n,c o s(
, rz积分次序通常为注意,必须把区域、被积函数及体积元素一次全用柱坐标表示,
e x 6,计算
z d x d y d zI,其中? 是球面
4
222 zyx
与抛物面 zyx 3
22
所围的立体,
Method1.
x
y
z
在 xoy面上的投影区域为 322 yx
}2,030 |),,{( rzr则
dzz r dr dI?
232 420 30 rr z d zrdrd
.413
,43 2
2
rzr
24 rz
3
2r
z?
Method2,
,10:1 z
,21:2 z;3,221 zyxD z;4,2222 zyxD z
21
z d x d y d zz d x d y d zI
zD
dxdyz dz
1
1
0
10 3 z dzz?
zD
dxdyz dz
2
2
1
21 2 )4( dzzz?
,.7 22
dxdy dz
yx
eex z计算
.2,1,22 围成由 zzyxzMethod1.
x
y
z
o
21 }1,21|),,{( 22 yxzzyx
}41,2|),,{( 2222 yxzyxzyx
}20,10,21|),,{( rzzr
}20,21,2|),,{( rzrzr
dzr dr dre
z
原式
211020 dzedrd z 22120 r z dzedrd
.2 2e
Method2.
x
y
z
o
1
2
小大 }4,2|),,{( 2222 yxzyxzyx
}1,1|),,{( 2222 yxzyxzyx
}20,20,2|),,{( rzrzr
}20,10,1|),,{( rzrzr
dzr dr dre
z
原式
22020 r z dzedrd 11020 r z dzedrd
.2 2e
Method3.,先二后一”法
x
y
z
o
1
2,21 z
.,222 zyxD z
zD
z dx dy
yx
dze 2221 1原式
zD
z dr ddze?2
1
zz drddze 02021 212 dzze z?
.2 2e
..8 0 222020 2 axx dzyxzdydxex 计算
Solution.,20,20,0,2 xxxyaz
2
y
x
z
o
化为柱坐标计算
,0|),,{( azzr
,c o s20 r }20
d x d y d zyxz 22原式
dzd r dzr?2
a z d zdrrd 0c o s20 220?
20 3
2
co s382
da,98 2a?
,积分在球面坐标下计算三重三
1,球面坐标及坐标面
Px y
z
o
),,( zyxM
z
y
xA
的球面坐标．就叫做点
，，个数面上的投影，这样的三在点为的角，这里段逆时针方向转到有向线轴按轴来看自为从正轴正向所夹的角，
与为有向线段间的距离，与点点为原来确定，其中，，三个有次序的数可用为空间内一点，则点设
M
xoyM
POP
xz
zOMMO
MzyxM
),,(
,0
.20
,0
规定：
为常数?
为常数?
为常数?
三坐标面分别为圆锥面；
球 面；
半平面．
),,(),,(,2 的关系与直角坐标球面坐标 zyx
Px y
z
o
),,( zyxM
z
y
xA
c o ss i n?x
s i ns i n?y
c o s?z
3,球面坐标下的三次积分
d
x
y
z
o
d
dsind
d?
dsin球面坐标系中的体积元素为
ddddv s in
,s in2 ddd?
dxdy dzzyxf ),,(
.s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n( 2 dddf
,积分次序通常为则的闭曲面的边界为包围原点在内若 ),,(
.),,(s i n ),(0 2020 dFddI
,.9 222
d x d y d zzyxex 计算,222 围成由 zzyx
Solution.
x
y
z
o
1
2
1|),,{(
}20
,20
,c o s0
dddd x d y d zzyx s in2222
c o s0 32020 s i n ddd,10
c o s?
,.10 2
dvzex 计算
.22222222 围成与由 RzzyxRzyx
Method1.
x
y
z
o
R2
R
2
R
21
}20
}20
ddddvz s i nco s 2222
R ddd 0 430 220 s i ncos
c o s2
0
42
3
22
0 s i nco s
R ddd
.4 8 059 5R
,30,0{ R
,23,c o s20{ R R
co s2 R?
Method2.,先二后一”法
x
y
z
o
R2
R
2
R
21
,20{ Rz
,2{ RzR
1
2
0
22
zD
R
d x d ydzzdvz
22
2
zD
R
R dxdydzz
20 22 )2(
R
dzzRzz RR dzzRz
2
222 )(?,
4 8 0
59 5R
}2,2221 zRzyxD z
},22222 zRyxD z
Method3.,柱面坐标”法
x
y
z
o
R2
R
2
R
在 xoy面上的投影区域为 222 43 Ryx
2222 rRzrRR
22
22
22
3
0
2
0
2 rR
rRR
R
r dzzdrddvz
三重积分的计算关键在于选取适当的坐标系,确定单积分的积分上下限,
通常?是球形域或球与圆锥面围成时用球坐标,
是圆柱形或投影域为圆时用柱坐标,
22 rRz
22 rRRz
.)(
1
lim
,0)0(,)(.11
2222
222
4
0
tzyx
t
d xd y d zzyxf
t
fufex
求且具有连续的导数设
Solution,利用球面坐标得
tt dfddt 0 202040 )(s i n1lim原式
4
0
2
0
)(4
lim
t
dft
t?
3
2
0 4
)(4l im
t
tft
t
t
tf
t
)(lim
0
)(lim
0 tft
).0(f
x
y
z
o
1
,1:,),,(.12 222 zyxdvzyxfex 计算
0
0 0
),,(
222
22
2222
zzyx
yxz
yxzyx
zyxf
Solution,1?
2?
1
22),,( dvyxdvzyxf
2
222 dvzyx
10 24020 s i ns i n
ddd
10 2
2
2
0 s in
ddd,
8
5
16
2
,分数的奇偶性计算三重积利用区域的对称性和函四则面对称关于,.1 xo y?
),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,(
zyxfzyxf
zyxfzyxfdvzyxf
dvzyxf 上则面对称关于,.2 y oz?
),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,(
zyxfzyxf
zyxfzyxfdvzyxf
dvzyxf 前则面对称关于,.3 z ox?
),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,(
zyxfzyxf
zyxfzyxfdvzyxf
dvzyxf 右
ex 13,计算 三 重 积分
d x d ydz
zyx
zyxz
1
)1l n (
222
222
其中积分区域 }1|),,{(
222
zyxzyx,
Solution.
x
y
z
积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 的 奇函数,z
.01 )1l n ( 222
222
d x d y d zzyx zyxz
ex 1 4,计算
d x d yd zzyx 2)(,其中? 是由抛物面
22 yxz 和球面 2222 zyx 所围成的空间闭区域,
Solution.
x
y
z
2)( zyx
)(2222 zxyzxyzyx
其中 yzxy? 是关于 y 的奇函数,
且? 关于 zo x 面对称,
0)( dvyzxy,
同理,zx 是关于 x 的奇函数,且? 关于 y o z 面对称,
,0
x z d v
则
d x d y d zzyxI 2)(
d x d yd zzyx )( 222
x
y
z
dzr d r dzr?)( 22,1,22 yxD
.2 22 rzr
22 2 2220 10 )(rr dzzrrdrd
).89296(60
,.15
dvxy zex 计算
.4 2222 围成及由 yxzyxz
Solution.
y
z
ox
2
:41 1?区域为在第一卦限的
.20,40,20
1
4 x y z d vdvx y z
1
c oss i nc oss i n4 35 ddd
.34 20 354020 c o ss i nc o ss i n4
ddd
.,
,)(.16
2222
222
azyx
d x d yd znzmylxIex
其中计算
Solution,由对称性可知,
d x d yd zzd x d yd zyd x d yd zx 222
d x d yd zznmlI 2)(
2222
2)(
zayx
a
a dxd ydzznml
a a dzzaznml )()( 222?).(154 nml
The end
