Chapter 1(5)
隐函数微分法教学要求：
1,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的偏导数,
,问题引入一
1,隐函数存在定理二
2,隐函数存在定理三
,方程组确定的隐函数四
,问题引入一
,,
,0),(
则称方程确定了隐函数存在有满足方程的给定 yx
yxF?
,,),(
,0),,(
则称方程确定了隐函数存在有满足方程的给定 zyx
zyxF?
并不是所有的方程都确定了隐函数,
,0122 yx
.03222 zyx
如何求隐函数的导数与偏导数?
1,隐函数存在定理二;0),()3(;0),()2(;),(),()1(
00
00
0
yxF
yxF
PUyxF
y
内有连续偏导数在若?
.)2(
);(),(
),(0),()1(
00
0
y
x
F
F
dx
dy
xfyxfy
PUyxF
有连续导数且连续函数内唯一确定了单值在则?
注意,(1) 证明从略,求导公式推导如下,
,0)](,[?xfxF?,0 dxdyyFxF
,0 dxdyFF yx即
,0),(,)3( 10 yFPU 使得可知由?
.
y
x
F
F
dx
dy
.),(0),(,0
,,,0),( )2(
x
y
x F
F
dy
dx
yxxyxFF
yxyxF
且确定了则若平等中在
.,),( )3( 则可求二阶导数有二阶连续偏导若 yxF
y
x
F
F
dx
d
dx
yd
2
2
y
x
F
F? x
y x
dx
dy
F
F
yF
F
x y
x
y
x?
2
y
yxxyxx
F
FFFF
y
x
y
yyxyxy
F
F
F
FFFF
2
.
2
3
22
y
xyyxyyxyxx
F
FFFFFFF
.,,0s i n.1 2
2
2
dx
yd
dx
dyxyeyex x 求设
Method1,2s i n),( xyeyyxF x令
,2yeF xx
xyy
ey
dx
dy x
2c os
2
xyy
ey
dx
d
dx
yd x
2co s
2
2
2
2
2
)2( c os
)22s in)(()2) ( c os2(
xyy
dx
dyxy
dx
dyyeyxyye
dx
dyy xx
,2c os xyyF y
Method2.
方程两边再对 x求导得将一阶导数代入即可得二阶导数,
0)2(c o s 2 yxyyeyyx x求导得方程两边对
xeyyyy c o s)(s in 2
02)(222 2 yxyyxyyyy
2,隐函数存在定理三;0),,()3(;0),,()2(;),(),,()1(
000
000
0
zyxF
zyxF
PUzyxF
z
内有连续偏导数在若?
.,)2(
);,(),,(
),(0),,()1(
000
0
z
y
z
x
F
F
y
z
F
F
x
z
yxfzyxfz
PUzyxF
有连续偏导数且连续函数内唯一确定了单值在则?
注意,(1) 证明从略,求导公式推导如下,
,0)],(,,[?yxfyxF?
,0 xzFF zx,0 yzFF zy
,0?zF又,,z
y
z
x
F
F
y
z
F
F
x
z
则若,0 2)(?xF
.,
x
z
x
y
F
F
z
x
F
F
y
x
(3) 也可求二阶偏导,
.,),,(
c osc osc os.2
y
z
x
z
yxfz
axzzyyxex
求确定了隐函数设
Method1,axzzyyxzyxF c o sc o sc o s),,(设
,s i nco s xzyF x则,c o ss i n zyxF y
,co ss i n xzyF z
,
s i nco s
s i nco s
zyx
xzy
F
F
x
z
z
x
.
s i nc o s
s i nc o s
zyx
yxz
F
F
y
z
z
y
Method2,axzzyyx c o sc o sc o s?
方程两边对 x求偏导得
0s i nco ss i nco s
xzx
x
z
x
zzyy
.
s i nc o s
s i nc o s
zyx
xzy
x
z
求偏导得方程两边对 y
,0coss i ncoss i n xyzyzzyzyx
.
s i nc o s
s i nc o s
zyx
yxz
y
z
,),(.3 222 确定由设 xyxfzyxyxzzex
Method1,
x
yxfzyxzyxF 222),,(令
,
2
2
z
f
x
yxf
x
z
z
yf
y
z
2
2
22
2
4
2)2(2
1
2
z
y
z
yf
x
fz
y
z?
,2 fxyfxF x,2 fyF y zFz 2?
.,,)( 2
2
y
z
x
zuf
求可微其中
Method2.
方程两边对 x求偏导得
f
x
yf
x
zzx
22
z
xf
x
y
f
x
z
2
2
同理方程两边对 y求偏导得 fy
zzy
22
xyxfzyx 222?
再对 y求偏导得 fxy zzyz 12)(22 2
2
2
.2
2
y
z
y
z
代入上式即可得将
,
,0,),(.4
xyz
y
z
y
x
z
x
x
z
y
y
z
xFyxzzex
证明所确定由函数
x
zy
y
zxFzyx,),,(令
2
21
2
21
1
,F
x
z
F
x
zFF
x
21
2
2
21
1
,FF
y
z
y
z
FFy
Method1.
2121
11
1
1
,F
x
F
y
x
y
FFz
,
)(
)(
21
1
2
2
FyFxx
FxFzy
x
z
z
x
)(
)(
21
2
2
1
FyFxy
FyFzx
y
z
z
y
代入所证等式的左边即可得结论,
Method2,0, xzyyzxF?
等式两边对 x求偏导得：
0
1
1
1
,
2
21?
x
z
x
z
x
x
z
y
FF
0)1()11( 221
x
z
x
z
x
F
x
z
y
F即
x
z
0)11()1( 221 yzxFy zyzyF同理可得 yz
代入所证等式左边即可得结论成立,
.,ln.5 dz
y
z
z
xex 求设?
Method1,)( l n)(,y
zd
z
xd?原式两边微分得
22 y
z d yyd z
z
y
z
x d zz d x即
)( dy
y
zdx
zx
zdz?
整理得
Method2,也可先求偏导再代入全微分公式得所求,
.
)(
2
dy
yzx
zdx
zx
z
.,,),,(.6 zyyxxzx yzzyxfzex 求设
Method1.,),(),,( zxy zzyxfzyxF令
,21 yz ffF x则,21 xz ffF y,121 x y ffF z
z
x
F
F
x
z
121
21
x yff
yz ff ;
1 21
21
x yff
yz ff
x
y
F
F
y
x
;
21
21
yz ff
x z ff
y
z
F
F
z
y
21
21 1
x z ff
x yff
,1
21
21
x z ff
x yff
Method2.,,,,为自变量为函数时求 yxzxz
求偏导得两边对 xxy zzyxfz ),,(
x
z
)1(
1 x
zf
),(
2 x
zxyyzf
;1
21
21
x y ff
y z ff
x
z
.,,,为自变量为函数时求 zyxyx
求偏导得两边对 yxy zzyxfz ),,(
)1(0 1 yxf ),(2
y
xyzxzf
;
21
21
y z ff
x z ff
y
x
.,,,为自变量为函数时求 zxyzy
求偏导得两边对 zxy zzyxfz ),,(
)1(1 1 zyf ),(2 zyxzxyf
.1
21
21
x z ff
x y ff
z
y
Method3,利用两边全微分也可得到所求,
,方程组确定的隐函数四在此举例说明求偏导的方法,方程组确定的隐函数一般有以下几种情形,
0),,(
0),,(,1
zyxG
zyxF
确定了两个一元函数,
0),,,(
0),,,(,2
vuyxG
vuyxF
确定了两个二元函数,
),(
),(
),(
,3
vuzz
vuyy
vuxx
确定了一个以 u,v为中间变量
x,y为自变量的二元函数,
.,,,,
1
0
.7
y
v
x
v
y
u
x
u
xvyu
yvxu
ex
求设
Solution.
方程组两边对 x求导得
0
0
x
v
xv
x
u
y
x
v
y
x
u
xu
,22
yx
yvxu
x
u
从而
22 yx
xvyu
x
v
.,
y
v
y
uy
求导可得同理方程组两边对
y
z
x
zvuzvuyvuxex
,,,,.8 3322 求设
Solution,?
22
33
vuy
vux
vuz
确定了一个以 u,v为中间变量
x,y为自变量的二元函数,
方程组两边对 y求偏导得
y
v
v
y
u
u
y
z 22
33
y
v
y
u
0
y
vv
y
uu
221
.,yzyuyu 再代入即得与先求出同样地,
求偏导得两边对也可由 x
vuz
vuy
vux
33
22
x
v
v
x
u
u
x
z
x
v
v
x
u
u
x
v
x
u
22
33
220
1
xz
.,0,0
,),,(.9
dx
du
xzeye
zyxfuex
zxy 求且有连续偏导数设
Solution,dx
dzf
dx
dyff
dx
du
321
xy
xy
xy
xe
ye
dx
dyye
1
0 得由
xy
y
1
2
xe
z
dx
dzxze
z
z
得由 0)1( zx
z
.
)1(1 32
2
1 fzx
z
f
xy
y
f
dx
du?
注意,
.,0,0
,),,(.10
dx
du
xyeze
zyxfuex
zxy 求且有连续偏导数设
Solution,求导可得两边对由 x
xye
ze
zyxfu
z
xy
0
0
),,(
dx
dz
f
dx
dy
f
dx
du
321
0)( dxdzdxdyxye xy
0)( dxdyxydxdze z
dxdu
.,
,,,
),(
),(
.11
2
x
v
x
u
gf
yvxugv
yvuxfu
ex
求具有一阶连续偏导数其中设
Solution.方程组两边对 x求偏导得
2121 )(,f
x
v
fu
x
u
x
x
v
u
x
u
x
ff
x
u
2121 2)1(
2
1
,g
x
v
yvg
x
u
x
v
yv
x
u
gg
x
v
.,xvxu由此可求得
The end
隐函数微分法教学要求：
1,会求隐函数 (包括由方程组确定的隐函数 )的偏导数,
,问题引入一
1,隐函数存在定理二
2,隐函数存在定理三
,方程组确定的隐函数四
,问题引入一
,,
,0),(
则称方程确定了隐函数存在有满足方程的给定 yx
yxF?
,,),(
,0),,(
则称方程确定了隐函数存在有满足方程的给定 zyx
zyxF?
并不是所有的方程都确定了隐函数,
,0122 yx
.03222 zyx
如何求隐函数的导数与偏导数?
1,隐函数存在定理二;0),()3(;0),()2(;),(),()1(
00
00
0
yxF
yxF
PUyxF
y
内有连续偏导数在若?
.)2(
);(),(
),(0),()1(
00
0
y
x
F
F
dx
dy
xfyxfy
PUyxF
有连续导数且连续函数内唯一确定了单值在则?
注意,(1) 证明从略,求导公式推导如下,
,0)](,[?xfxF?,0 dxdyyFxF
,0 dxdyFF yx即
,0),(,)3( 10 yFPU 使得可知由?
.
y
x
F
F
dx
dy
.),(0),(,0
,,,0),( )2(
x
y
x F
F
dy
dx
yxxyxFF
yxyxF
且确定了则若平等中在
.,),( )3( 则可求二阶导数有二阶连续偏导若 yxF
y
x
F
F
dx
d
dx
yd
2
2
y
x
F
F? x
y x
dx
dy
F
F
yF
F
x y
x
y
x?
2
y
yxxyxx
F
FFFF
y
x
y
yyxyxy
F
F
F
FFFF
2
.
2
3
22
y
xyyxyyxyxx
F
FFFFFFF
.,,0s i n.1 2
2
2
dx
yd
dx
dyxyeyex x 求设
Method1,2s i n),( xyeyyxF x令
,2yeF xx
xyy
ey
dx
dy x
2c os
2
xyy
ey
dx
d
dx
yd x
2co s
2
2
2
2
2
)2( c os
)22s in)(()2) ( c os2(
xyy
dx
dyxy
dx
dyyeyxyye
dx
dyy xx
,2c os xyyF y
Method2.
方程两边再对 x求导得将一阶导数代入即可得二阶导数,
0)2(c o s 2 yxyyeyyx x求导得方程两边对
xeyyyy c o s)(s in 2
02)(222 2 yxyyxyyyy
2,隐函数存在定理三;0),,()3(;0),,()2(;),(),,()1(
000
000
0
zyxF
zyxF
PUzyxF
z
内有连续偏导数在若?
.,)2(
);,(),,(
),(0),,()1(
000
0
z
y
z
x
F
F
y
z
F
F
x
z
yxfzyxfz
PUzyxF
有连续偏导数且连续函数内唯一确定了单值在则?
注意,(1) 证明从略,求导公式推导如下,
,0)],(,,[?yxfyxF?
,0 xzFF zx,0 yzFF zy
,0?zF又,,z
y
z
x
F
F
y
z
F
F
x
z
则若,0 2)(?xF
.,
x
z
x
y
F
F
z
x
F
F
y
x
(3) 也可求二阶偏导,
.,),,(
c osc osc os.2
y
z
x
z
yxfz
axzzyyxex
求确定了隐函数设
Method1,axzzyyxzyxF c o sc o sc o s),,(设
,s i nco s xzyF x则,c o ss i n zyxF y
,co ss i n xzyF z
,
s i nco s
s i nco s
zyx
xzy
F
F
x
z
z
x
.
s i nc o s
s i nc o s
zyx
yxz
F
F
y
z
z
y
Method2,axzzyyx c o sc o sc o s?
方程两边对 x求偏导得
0s i nco ss i nco s
xzx
x
z
x
zzyy
.
s i nc o s
s i nc o s
zyx
xzy
x
z
求偏导得方程两边对 y
,0coss i ncoss i n xyzyzzyzyx
.
s i nc o s
s i nc o s
zyx
yxz
y
z
,),(.3 222 确定由设 xyxfzyxyxzzex
Method1,
x
yxfzyxzyxF 222),,(令
,
2
2
z
f
x
yxf
x
z
z
yf
y
z
2
2
22
2
4
2)2(2
1
2
z
y
z
yf
x
fz
y
z?
,2 fxyfxF x,2 fyF y zFz 2?
.,,)( 2
2
y
z
x
zuf
求可微其中
Method2.
方程两边对 x求偏导得
f
x
yf
x
zzx
22
z
xf
x
y
f
x
z
2
2
同理方程两边对 y求偏导得 fy
zzy
22
xyxfzyx 222?
再对 y求偏导得 fxy zzyz 12)(22 2
2
2
.2
2
y
z
y
z
代入上式即可得将
,
,0,),(.4
xyz
y
z
y
x
z
x
x
z
y
y
z
xFyxzzex
证明所确定由函数
x
zy
y
zxFzyx,),,(令
2
21
2
21
1
,F
x
z
F
x
zFF
x
21
2
2
21
1
,FF
y
z
y
z
FFy
Method1.
2121
11
1
1
,F
x
F
y
x
y
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,
)(
)(
21
1
2
2
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FxFzy
x
z
z
x
)(
)(
21
2
2
1
FyFxy
FyFzx
y
z
z
y
代入所证等式的左边即可得结论,
Method2,0, xzyyzxF?
等式两边对 x求偏导得：
0
1
1
1
,
2
21?
x
z
x
z
x
x
z
y
FF
0)1()11( 221
x
z
x
z
x
F
x
z
y
F即
x
z
0)11()1( 221 yzxFy zyzyF同理可得 yz
代入所证等式左边即可得结论成立,
.,ln.5 dz
y
z
z
xex 求设?
Method1,)( l n)(,y
zd
z
xd?原式两边微分得
22 y
z d yyd z
z
y
z
x d zz d x即
)( dy
y
zdx
zx
zdz?
整理得
Method2,也可先求偏导再代入全微分公式得所求,
.
)(
2
dy
yzx
zdx
zx
z
.,,),,(.6 zyyxxzx yzzyxfzex 求设
Method1.,),(),,( zxy zzyxfzyxF令
,21 yz ffF x则,21 xz ffF y,121 x y ffF z
z
x
F
F
x
z
121
21
x yff
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1 21
21
x yff
yz ff
x
y
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F
y
x
;
21
21
yz ff
x z ff
y
z
F
F
z
y
21
21 1
x z ff
x yff
,1
21
21
x z ff
x yff
Method2.,,,,为自变量为函数时求 yxzxz
求偏导得两边对 xxy zzyxfz ),,(
x
z
)1(
1 x
zf
),(
2 x
zxyyzf
;1
21
21
x y ff
y z ff
x
z
.,,,为自变量为函数时求 zyxyx
求偏导得两边对 yxy zzyxfz ),,(
)1(0 1 yxf ),(2
y
xyzxzf
;
21
21
y z ff
x z ff
y
x
.,,,为自变量为函数时求 zxyzy
求偏导得两边对 zxy zzyxfz ),,(
)1(1 1 zyf ),(2 zyxzxyf
.1
21
21
x z ff
x y ff
z
y
Method3,利用两边全微分也可得到所求,
,方程组确定的隐函数四在此举例说明求偏导的方法,方程组确定的隐函数一般有以下几种情形,
0),,(
0),,(,1
zyxG
zyxF
确定了两个一元函数,
0),,,(
0),,,(,2
vuyxG
vuyxF
确定了两个二元函数,
),(
),(
),(
,3
vuzz
vuyy
vuxx
确定了一个以 u,v为中间变量
x,y为自变量的二元函数,
.,,,,
1
0
.7
y
v
x
v
y
u
x
u
xvyu
yvxu
ex
求设
Solution.
方程组两边对 x求导得
0
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x
v
xv
x
u
y
x
v
y
x
u
xu
,22
yx
yvxu
x
u
从而
22 yx
xvyu
x
v
.,
y
v
y
uy
求导可得同理方程组两边对
y
z
x
zvuzvuyvuxex
,,,,.8 3322 求设
Solution,?
22
33
vuy
vux
vuz
确定了一个以 u,v为中间变量
x,y为自变量的二元函数,
方程组两边对 y求偏导得
y
v
v
y
u
u
y
z 22
33
y
v
y
u
0
y
vv
y
uu
221
.,yzyuyu 再代入即得与先求出同样地,
求偏导得两边对也可由 x
vuz
vuy
vux
33
22
x
v
v
x
u
u
x
z
x
v
v
x
u
u
x
v
x
u
22
33
220
1
xz
.,0,0
,),,(.9
dx
du
xzeye
zyxfuex
zxy 求且有连续偏导数设
Solution,dx
dzf
dx
dyff
dx
du
321
xy
xy
xy
xe
ye
dx
dyye
1
0 得由
xy
y
1
2
xe
z
dx
dzxze
z
z
得由 0)1( zx
z
.
)1(1 32
2
1 fzx
z
f
xy
y
f
dx
du?
注意,
.,0,0
,),,(.10
dx
du
xyeze
zyxfuex
zxy 求且有连续偏导数设
Solution,求导可得两边对由 x
xye
ze
zyxfu
z
xy
0
0
),,(
dx
dz
f
dx
dy
f
dx
du
321
0)( dxdzdxdyxye xy
0)( dxdyxydxdze z
dxdu
.,
,,,
),(
),(
.11
2
x
v
x
u
gf
yvxugv
yvuxfu
ex
求具有一阶连续偏导数其中设
Solution.方程组两边对 x求偏导得
2121 )(,f
x
v
fu
x
u
x
x
v
u
x
u
x
ff
x
u
2121 2)1(
2
1
,g
x
v
yvg
x
u
x
v
yv
x
u
gg
x
v
.,xvxu由此可求得
The end
