Chapter 1(6)
偏导数的几何应用教学要求：
1,了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程,
,面空间曲线的切线和法平一
,曲面的切平面和法线二
,面空间曲线的切线和法平一
.,0 点的割线的极限位置曲线上过切线 M
.,00 处切线垂直的平面且与曲线上过法平面 MM
.),(
)(
)(
)(
.1 求其切线和法平面方程为参数设曲线 t
tz
ty
tx
Solution,如图所示
o
x
M0 M
z
T
y
),,( 00000 zyxMtt 时有设?
),,( 000
0
zzyyxxM
ttt
时有
M0M所在直线方程为 zzzy yyx xx 000
t
z
zz
t
y
yy
t
x
xx
000
从而
00 tMM 时由
)()()( 0
0
0
0
0
0
t
zz
t
yy
t
xx
则切线方程为
.0))(())(())(( 000000 zztyytxxt
法平面方程为切向量,切线的方向向量称为曲线的切向量,
)(),(),( 000 tttT
.),,(
)(
)(.1 000 处的切线与法平面在求曲线 zyx
xz
xy
xx
ex
Solution,},,,1{,)()(
00 xxTx
则为参数以
,
)(
0
)(
0
0
00 xx
zzyyxx
切线方程为
.0)()( 0)(0)(0 00 zzyyxx xx法平面方程为
.
),,(,2.2 00022
切线及法平面方程处的在求曲线 zyxxmzmxyex
Solution.
xmz
mxy
xx
2
2 2?
z
z
y
m
y
x
2
1
1
}2 1,,1{
00 zy
mT
,2/1/
0
0
0
00
z
zz
ym
yyxx
故切线方程为
.0)(2 1)()( 0
0
0
0
0 zzzyyy
mxx法平面方程为
.,0),,( 0),,(.2 求其切线和法平面方程设曲线为
zyxG
zyxF
Solution,可选 x为参数,得切向量为
},,1{
),,(),,( 000000 zyxzyx dx
dz
dx
dyT
可选 y为参数,得切向量为
},1,{
),,(),,( 000000 zyxzyx dy
dz
dy
dxT
可选 z为参数,得切向量为
}1,,{
),,(),,( 000000 zyxzyx dz
dy
dz
dxT
处的切线在求曲线 )1,2,1(
0
6.3 222?
zyx
zyxex
Solution.
01
0222
zy
zzyyx?
代入得将 )1,2,1(
01
021
zy
zy
1,0 zy从而 },0,1{ T?
,
1
1
0
2
1
1
zyx切线方程为
.0 zx法平面方程为及法平面方程,
,曲面的切平面和法线二切平面的法向量与曲面上任一曲线的切向量垂直,
法线是与切平面垂直的直线,
切平面与法线处的求设曲面为
),,(,0),,(.1 0000 zyxMzyxF?
Solution,n? T?
0M
)(
)(
)(
),(0
tz
ty
tx
M
设为在曲面上任取一曲线过
)}(),(),({ 0000 tttTM的切向量为该曲线在
,0)](),(),([?tttF又
.0)()()( 000 tFtFtF zyx则
.,},,{ 即为切平面的法向量垂直与切向量 nTFFFn zyx
,0)()())(,,( 000000
zzFyyFxxzyxF zyx
切平面为
.),,(),,(),,(
000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
法线为
,0)(),(),(,,000 tttFFF zyx即面的法向量切平面的法向量称为曲
),,( 000},,{ zyxzyx FFFn?
)},,(),,,(),,,({ 000000000 zyxFzyxFzyxF zyx?
切平面与法线处的求设曲面为
),,(),,(.2 0000 zyxMyxfz?
Solution.,),(),,( zyxfzyxF设
,)1,,( ),(
00 yxyx
ffn则
,0)()()(,000 zzyyfxxf yx切平面
.1),(),(,0
00
0
00
0
zz
yxf
yy
yxf
xx
yx
法线注意,
))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx
切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数 ),(),( 00 yxyxfz?
(1) 因为曲面在 M0处的切平面方程为
),( yxfz? 在 ),( 00 yx 的全微分，表示曲面 ),( yxfz? 在点 ),,( 000 zyx 处的切平面上的点的竖坐标的增量,
( 2 ) 若?,?,? 表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z 轴的正向所成的角? 是锐角，则法向量的 方向余弦 为
),1,,( ),,( yx ffnyxfz?有对于
,
1
c os 22
yx
x
ff
f
,
1
c o s 22
yx
y
ff
f
.1 1c o s 22
yx ff
e x 4 求曲面 32 xyez z 在点 )0,2,1( 处的切平面及法线方程,
Solution.,32),,( xyezzyxF z令
,42 )0,2,1()0,2,1( yF x,22 )0,2,1()0,2,1( xF y
,01 )0,2,1()0,2,1( zz eF
切平面方程法线方程
,0)0(0)2(2)1(4 zyx
,042 yx
.0 01 22 1 zyx
),0,2,4( n?
e x 5,求曲面 2132 222 zyx 上平行于平面
064 zyx 的切平面方程,
Solution.,),,( 000 为曲面上的切点设 zyx
依题意，切平面平行于已知平面，得
,664412 000 zyx ( * * ) 2 000 zyx
( *) 2132 202020 zyx则
}6,4,2{ 000 zyxn又切平面的法向量为
,1 ( * ) ( * * ) 0x解得由,200 zy
所求切点为 ),2,2,1( ),2,2,1(
0)2(12)2(8)1(2 zyx
2164 zyx
0)2(12)2(8)1(2 zyx
.2164 zyx
切平面方程①
切平面方程②
.)(.6 的平面都相交于一点试证所有切于曲面 xyxfzex?
Solution,)( 2x yfxfxz fxyf
fxfxyz 1
1,,ff
x
yfn?曲面的法向量为的切平面为过曲面上任一点 ),,( 000 zyx
0)()())(( 000
0
0 zzyyfxxf
x
yf
.)0,0,0( 满足上面的方程显然
ex 7,如果平面 01633 zyx? 与椭球面
163 222 zyx 相切，求?,
Solution,},2,2,6{ 000 zyxn则 ),,,( 000 zyx设切点为依题意知切平面的法向量为 }3,,3{
3
22
3
6 000
zyx
,00 xy,3 00 xz
又切点满足曲面和平面方程
,
01693
01693
2
0
2
0
22
0
00
2
0
xxx
xxx
.2
The end
偏导数的几何应用教学要求：
1,了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程,
,面空间曲线的切线和法平一
,曲面的切平面和法线二
,面空间曲线的切线和法平一
.,0 点的割线的极限位置曲线上过切线 M
.,00 处切线垂直的平面且与曲线上过法平面 MM
.),(
)(
)(
)(
.1 求其切线和法平面方程为参数设曲线 t
tz
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Solution,如图所示
o
x
M0 M
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),,( 00000 zyxMtt 时有设?
),,( 000
0
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时有
M0M所在直线方程为 zzzy yyx xx 000
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从而
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xx
则切线方程为
.0))(())(())(( 000000 zztyytxxt
法平面方程为切向量,切线的方向向量称为曲线的切向量,
)(),(),( 000 tttT
.),,(
)(
)(.1 000 处的切线与法平面在求曲线 zyx
xz
xy
xx
ex
Solution,},,,1{,)()(
00 xxTx
则为参数以
,
)(
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)(
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0
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zzyyxx
切线方程为
.0)()( 0)(0)(0 00 zzyyxx xx法平面方程为
.
),,(,2.2 00022
切线及法平面方程处的在求曲线 zyxxmzmxyex
Solution.
xmz
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y
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y
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2
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}2 1,,1{
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故切线方程为
.0)(2 1)()( 0
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.,0),,( 0),,(.2 求其切线和法平面方程设曲线为
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Solution,可选 x为参数,得切向量为
},,1{
),,(),,( 000000 zyxzyx dx
dz
dx
dyT
可选 y为参数,得切向量为
},1,{
),,(),,( 000000 zyxzyx dy
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}1,,{
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处的切线在求曲线 )1,2,1(
0
6.3 222?
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Solution.
01
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1,0 zy从而 },0,1{ T?
,
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1
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zyx切线方程为
.0 zx法平面方程为及法平面方程,
,曲面的切平面和法线二切平面的法向量与曲面上任一曲线的切向量垂直,
法线是与切平面垂直的直线,
切平面与法线处的求设曲面为
),,(,0),,(.1 0000 zyxMzyxF?
Solution,n? T?
0M
)(
)(
)(
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设为在曲面上任取一曲线过
)}(),(),({ 0000 tttTM的切向量为该曲线在
,0)](),(),([?tttF又
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.,},,{ 即为切平面的法向量垂直与切向量 nTFFFn zyx
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切平面为
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),,( 000},,{ zyxzyx FFFn?
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切平面与法线处的求设曲面为
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法线注意,
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(1) 因为曲面在 M0处的切平面方程为
),( yxfz? 在 ),( 00 yx 的全微分，表示曲面 ),( yxfz? 在点 ),,( 000 zyx 处的切平面上的点的竖坐标的增量,
( 2 ) 若?,?,? 表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z 轴的正向所成的角? 是锐角，则法向量的 方向余弦 为
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,
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e x 4 求曲面 32 xyez z 在点 )0,2,1( 处的切平面及法线方程,
Solution.,32),,( xyezzyxF z令
,42 )0,2,1()0,2,1( yF x,22 )0,2,1()0,2,1( xF y
,01 )0,2,1()0,2,1( zz eF
切平面方程法线方程
,0)0(0)2(2)1(4 zyx
,042 yx
.0 01 22 1 zyx
),0,2,4( n?
e x 5,求曲面 2132 222 zyx 上平行于平面
064 zyx 的切平面方程,
Solution.,),,( 000 为曲面上的切点设 zyx
依题意，切平面平行于已知平面，得
,664412 000 zyx ( * * ) 2 000 zyx
( *) 2132 202020 zyx则
}6,4,2{ 000 zyxn又切平面的法向量为
,1 ( * ) ( * * ) 0x解得由,200 zy
所求切点为 ),2,2,1( ),2,2,1(
0)2(12)2(8)1(2 zyx
2164 zyx
0)2(12)2(8)1(2 zyx
.2164 zyx
切平面方程①
切平面方程②
.)(.6 的平面都相交于一点试证所有切于曲面 xyxfzex?
Solution,)( 2x yfxfxz fxyf
fxfxyz 1
1,,ff
x
yfn?曲面的法向量为的切平面为过曲面上任一点 ),,( 000 zyx
0)()())(( 000
0
0 zzyyfxxf
x
yf
.)0,0,0( 满足上面的方程显然
ex 7,如果平面 01633 zyx? 与椭球面
163 222 zyx 相切，求?,
Solution,},2,2,6{ 000 zyxn则 ),,,( 000 zyx设切点为依题意知切平面的法向量为 }3,,3{
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,00 xy,3 00 xz
又切点满足曲面和平面方程
,
01693
01693
2
0
2
0
22
0
00
2
0
xxx
xxx
.2
The end
