Chapter 17(4)
重积分的应用教学要求：
1,会用重积分求一些几何量与物理量 ——
平面图形的面积、立体体积、曲面的面积、
质量、重心、转动惯量,
,的面积平面区域一 D
,的体积空间立体二?
,质量四
,重心五
,转动惯量六
,万有引力七
,曲面的面积三
,的面积平面区域一 D
D
d
D
r dr d?
,)0(25.1 2 围成图形的面积及计算 aayxaxyex
Solution,
x
y
o
)2,2( aa
)2,2( aa
D
d
a
a dx
2
2
x
a
x
a
dy2
5
2
aa dxxaxa2
2
2
)
2
5(
.)2ln2815( 2a
,
c o s1c o s3.2
的面积围成图形的公共部分及计算 rrex
Solution,
o x
)3,23(?
}30,co s10|),{(1 rrD
}23,co s30|),{(2 rrD
)(2
21
DD
dd )(2
21
DD
r d r dr d r d
c o s1030(2 r d rd )
c o s3
0
2
3
r d rd,4
5
,的体积空间立体二?
xyxy DD
dxd yyxfyxfdxd yzzV ),(),( 2121
dvV
,
262.3 2222
的立体体积所围成及计算由曲面 yxzyxzex
Solution,
ox
y
z
立体在 xoy面上的投影区域为,
,2,22 yxD
D
d x d yyxyxV )]2()26[( 2222
D
dxdyyx )](36[ 22
D
r d r dr?)36( 2
20 220 )36( r d rrd,6
e x 4,求曲面 2222 2 azyx 与 22 yxz
所围 成的立体体积,
Solution.
x
y
z
,20
,40
,20,a
d xd y d zV
a ddd 20 2020 s in4
4
0
3
3
)2(s i n2 da.)12(
3
4 3a
ddds i n2
ex5,穿过半径为 4厘米的铜球的中心，钻一个半径为
1厘米的圆孔，问损失掉的铜的体积,(铜以球直径为中心对称轴 ).
Solution,
o
x
y
z
2222 4 zyx球面方程为所考察立体?在 xoy面上的投影区域为,
1,22 yxD
dvV
dzr d r d?
2 216 161020 r r dzr d rd
).151564(34
,曲面的面积三
.,),(,
),,(,1
ADyxfD
x o yyxfz
xyxy 求曲面面积上具有连续偏导在且为面上的投影区域它在设曲面方程为?
,Dd设小区域
,),(?dyx?点
.
)),(,,(
的切平面上过为 yxfyxMS?
.dsdA
dAdss
zd
则有
，为；截切平面为柱面，截曲面轴的小于边界为准线，母线平行以如图，
d ),( yx
M dA
x
y
z
s
o?
,面上的投影在为 xoydAd
,c o s dAd
,1 1c o s 22
yx ff
dffdA yx 221
,1 22
D
yx dffA?
曲面 S的面积元素曲面面积公式为,d xd yy
z
x
zA
xyD
22 )()(1
３．设曲面的方程为,),( xzhy?
曲面面积公式为,d z d xx
y
z
yA
zxD
22 )()(1
２．设曲面的方程为,),( zygx?
曲面面积公式为,d y d zz
x
y
xA
yzD
22 )()(1
同理可得
e x 6,求球面 2222 azyx,含在圆柱体
axyx 22 内部的那部分面积,
由对称性知 14 AA?,
1D,axyx 22
曲面方程 222 yxaz,
Solution.
)0,(?yx
,222
yxa
x
x
z
,
222 yxa
y
y
z
于是 22 )()(1 yzxz,222 yxa
a
面积 d x d yzzA
D
yx
1
2214
1
2224
D
d xd y
yxa
a
c o s0 220 14 2 a r drrada
.42 22 aa
,质量四
1,平面薄片 D的质量
.),,( 求其质量的面密度为设平面薄片 yxD?
x
y
o
d
dyxdm ),(?
D
dyxm ),(
2,物体?的质量
.),,,( 求其质量的体密度为设物体 zyx
dvzyxdm ),,(
dvzyxm ),,(?
.1,5
,
,8 4,6
求此物体的质量处的密度为离球心为而且已知心的距离成反比一点的密度与该点到球其上任的两个同心球所围成和一物体由半径为ex
Solution,
o
x
y
z物体为两球面围成,即?为
22222 84 zyx
,5),,( 222
zyx
zyx
且
dv
zyx
m 222 5
ddds in5
84020 5s in ddd,480
,重心五
),(.1 yxD 的重心平面薄片
).,(),,( yxyxD 求其重心的面密度为设平面薄片?
x
y
o
d,),( dyxxdM y?
,),(
D
y dyxxM,xmM y?又
D
dyxxmx ),(1
D
D
dyx
dyxx
),(
),(
D
dyxymy ),(1
D
D
dyx
dyxy
),(
),(若分布均匀,则
D
xdx1
D
ydy1
),,(.2 zyx的重心物体?
).,,(),,,( zyxzyx 求其重心的体密度为设物体
dvzyxxmx ),,(1? vdzyx
vdzyxx
),,(
),,(
dvzyxymy ),,(1? vdzyx
vdzyxy
),,(
),,(
dvzyxzmz ),,(1? vdzyx
zxz
),,(
),,(
若分布均匀,则
x d vVx 1
y d vVy 1
z d vVz 1
ex7,在均匀半圆形薄片的直径上，连接一边与直径重合与半圆同材料的矩形薄片，为了使整个薄片重心恰好落在圆心上，问连接的矩形薄片另一边长度为多少?
Solution,
x
y
o
设半圆的半径为 R,矩形的另一边长为 h,
R
h?
,0,0 得由 yx
,0
D
xdxdy,0
D
y dx dy
22 xR
h
R
R
D
y dydxy dxd y而 R R dxhxR )(21 222
RhR 2332,0?,32 Rh
.,
2.8 222
试求球体的重心平方该点到坐标原点的距离于内各点处的体密度都等球体 Rzzyxex
Solution,
ox
y
z,),,( 222 zyxzyx
dvzyxm )( 222
20 d?20
dc o s20 4 s inR d51532 R
,0)( 222
dvzyxx而
,0)( 222
dvzyxy
dvzyxz )( 222
c o s20 52020 coss i nR ddd 638 R
dvzyxxmx ),,(1?,0?
dvzyxymy ),,(1?,0?
dvzyxzmz ),,(1?
.
4
5
15
32
3
8
5
6
R
R
R
).45,0,0( R所求重心坐标为
,转动惯量六
,1 ID 动惯量关于坐标轴与原点的转平面薄片
.,,),,( oyx IIIyxD 求的面密度为设平面薄片?
x
y
o
2mdI
d
dyxydI x ),(2?
D
x dyxyI ),(2
D
y dyxxI ),(2
D
o dyxyxI ),()( 22
..2 I动惯量关于坐标轴与原点的转物体?
.,,,),,,( ozyx IIIIzyx 求的体密度为设物体
dvzyxzyI x ),,()( 22?
dvzyxzxI y ),,()( 22?
dvzyxyxI z ),,()( 22?
dvzyxzyxI o ),,()( 222?
.1 ),1
(1,9 2
的转动惯量对于直线密度为面所围的均匀薄片及直线求由抛物线
y
yxyex
Solution,
x
y
o
1?
}11,1|),{( 2 xyxyxD
D
dyI?2)1(
1 21 1 2 )1(x dyydx,105368?
).1(
,.10
量行于母线的轴的转动惯心而平的均匀圆柱体对于过中高为求半径为 haex
Solution,
ox
y
z
h
a
如图所示建立坐标系，
则柱面方程为 222 ayx
dvyxI z )( 22
dzr d r dr?2
ha dzdrrd 00 320,21 4ha
,万有引力七设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，计算该平面薄片对位于 z 轴上的点
),0,0(
0
aM 处的质量为 m 的质点的 引力,)0(?a
o y
z
x
d
F
薄片对 轴上单位质点的引力z },,,{ zyx FFFF?
,),( 222 ayx dyxmkdF },,,{ ayxs
,c os 222
ayx
x
,c os 222
ayx
y
,c o s 222
ayx
a
)0,,( yx
,
)(
),(co s
2
3222
ayx
xdyxmkdFdF
x
,
)(
),(co s
2
3222
ayx
ydyxmkdFdF
y
,
)(
),(co s
2
3222
ayx
dyxamkdFdF
z
D
x d
ayx
xyxkmF
2
3
)(
),(
222
D
y d
ayx
yyxkmF
2
3
)(
),(
222
D
z d
ayx
yxk m aF
2
3
)(
),(
222
设有一物体，占有空间内的闭区域?,在点
),,( zyx 处的体密度为 ),,( zyx?,假定 ),,( zyx? 在?
上连续，计算该物体对位于 z 轴上的点 ),0,0(0 aM 处的 质量 为 m 的 质点的 引力,)0(?a
,)( ),,( 222 azyx dvzyxmkdF },,,{ azyxs
dv
azyx
xzyxkmF
x
2
3
])([
),,(
222
dv
azyx
yzyxkmF
y
2
3
])([
),,(
222
dv
azyx
azzyxkmF
z
2
3
])([
))(,,(
222
The end
重积分的应用教学要求：
1,会用重积分求一些几何量与物理量 ——
平面图形的面积、立体体积、曲面的面积、
质量、重心、转动惯量,
,的面积平面区域一 D
,的体积空间立体二?
,质量四
,重心五
,转动惯量六
,万有引力七
,曲面的面积三
,的面积平面区域一 D
D
d
D
r dr d?
,)0(25.1 2 围成图形的面积及计算 aayxaxyex
Solution,
x
y
o
)2,2( aa
)2,2( aa
D
d
a
a dx
2
2
x
a
x
a
dy2
5
2
aa dxxaxa2
2
2
)
2
5(
.)2ln2815( 2a
,
c o s1c o s3.2
的面积围成图形的公共部分及计算 rrex
Solution,
o x
)3,23(?
}30,co s10|),{(1 rrD
}23,co s30|),{(2 rrD
)(2
21
DD
dd )(2
21
DD
r d r dr d r d
c o s1030(2 r d rd )
c o s3
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2
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5
,的体积空间立体二?
xyxy DD
dxd yyxfyxfdxd yzzV ),(),( 2121
dvV
,
262.3 2222
的立体体积所围成及计算由曲面 yxzyxzex
Solution,
ox
y
z
立体在 xoy面上的投影区域为,
,2,22 yxD
D
d x d yyxyxV )]2()26[( 2222
D
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D
r d r dr?)36( 2
20 220 )36( r d rrd,6
e x 4,求曲面 2222 2 azyx 与 22 yxz
所围 成的立体体积,
Solution.
x
y
z
,20
,40
,20,a
d xd y d zV
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4
0
3
3
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3
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ex5,穿过半径为 4厘米的铜球的中心，钻一个半径为
1厘米的圆孔，问损失掉的铜的体积,(铜以球直径为中心对称轴 ).
Solution,
o
x
y
z
2222 4 zyx球面方程为所考察立体?在 xoy面上的投影区域为,
1,22 yxD
dvV
dzr d r d?
2 216 161020 r r dzr d rd
).151564(34
,曲面的面积三
.,),(,
),,(,1
ADyxfD
x o yyxfz
xyxy 求曲面面积上具有连续偏导在且为面上的投影区域它在设曲面方程为?
,Dd设小区域
,),(?dyx?点
.
)),(,,(
的切平面上过为 yxfyxMS?
.dsdA
dAdss
zd
则有
，为；截切平面为柱面，截曲面轴的小于边界为准线，母线平行以如图，
d ),( yx
M dA
x
y
z
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o?
,面上的投影在为 xoydAd
,c o s dAd
,1 1c o s 22
yx ff
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,1 22
D
yx dffA?
曲面 S的面积元素曲面面积公式为,d xd yy
z
x
zA
xyD
22 )()(1
３．设曲面的方程为,),( xzhy?
曲面面积公式为,d z d xx
y
z
yA
zxD
22 )()(1
２．设曲面的方程为,),( zygx?
曲面面积公式为,d y d zz
x
y
xA
yzD
22 )()(1
同理可得
e x 6,求球面 2222 azyx,含在圆柱体
axyx 22 内部的那部分面积,
由对称性知 14 AA?,
1D,axyx 22
曲面方程 222 yxaz,
Solution.
)0,(?yx
,222
yxa
x
x
z
,
222 yxa
y
y
z
于是 22 )()(1 yzxz,222 yxa
a
面积 d x d yzzA
D
yx
1
2214
1
2224
D
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yxa
a
c o s0 220 14 2 a r drrada
.42 22 aa
,质量四
1,平面薄片 D的质量
.),,( 求其质量的面密度为设平面薄片 yxD?
x
y
o
d
dyxdm ),(?
D
dyxm ),(
2,物体?的质量
.),,,( 求其质量的体密度为设物体 zyx
dvzyxdm ),,(
dvzyxm ),,(?
.1,5
,
,8 4,6
求此物体的质量处的密度为离球心为而且已知心的距离成反比一点的密度与该点到球其上任的两个同心球所围成和一物体由半径为ex
Solution,
o
x
y
z物体为两球面围成,即?为
22222 84 zyx
,5),,( 222
zyx
zyx
且
dv
zyx
m 222 5
ddds in5
84020 5s in ddd,480
,重心五
),(.1 yxD 的重心平面薄片
).,(),,( yxyxD 求其重心的面密度为设平面薄片?
x
y
o
d,),( dyxxdM y?
,),(
D
y dyxxM,xmM y?又
D
dyxxmx ),(1
D
D
dyx
dyxx
),(
),(
D
dyxymy ),(1
D
D
dyx
dyxy
),(
),(若分布均匀,则
D
xdx1
D
ydy1
),,(.2 zyx的重心物体?
).,,(),,,( zyxzyx 求其重心的体密度为设物体
dvzyxxmx ),,(1? vdzyx
vdzyxx
),,(
),,(
dvzyxymy ),,(1? vdzyx
vdzyxy
),,(
),,(
dvzyxzmz ),,(1? vdzyx
zxz
),,(
),,(
若分布均匀,则
x d vVx 1
y d vVy 1
z d vVz 1
ex7,在均匀半圆形薄片的直径上，连接一边与直径重合与半圆同材料的矩形薄片，为了使整个薄片重心恰好落在圆心上，问连接的矩形薄片另一边长度为多少?
Solution,
x
y
o
设半圆的半径为 R,矩形的另一边长为 h,
R
h?
,0,0 得由 yx
,0
D
xdxdy,0
D
y dx dy
22 xR
h
R
R
D
y dydxy dxd y而 R R dxhxR )(21 222
RhR 2332,0?,32 Rh
.,
2.8 222
试求球体的重心平方该点到坐标原点的距离于内各点处的体密度都等球体 Rzzyxex
Solution,
ox
y
z,),,( 222 zyxzyx
dvzyxm )( 222
20 d?20
dc o s20 4 s inR d51532 R
,0)( 222
dvzyxx而
,0)( 222
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c o s20 52020 coss i nR ddd 638 R
dvzyxxmx ),,(1?,0?
dvzyxymy ),,(1?,0?
dvzyxzmz ),,(1?
.
4
5
15
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3
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5
6
R
R
R
).45,0,0( R所求重心坐标为
,转动惯量六
,1 ID 动惯量关于坐标轴与原点的转平面薄片
.,,),,( oyx IIIyxD 求的面密度为设平面薄片?
x
y
o
2mdI
d
dyxydI x ),(2?
D
x dyxyI ),(2
D
y dyxxI ),(2
D
o dyxyxI ),()( 22
..2 I动惯量关于坐标轴与原点的转物体?
.,,,),,,( ozyx IIIIzyx 求的体密度为设物体
dvzyxzyI x ),,()( 22?
dvzyxzxI y ),,()( 22?
dvzyxyxI z ),,()( 22?
dvzyxzyxI o ),,()( 222?
.1 ),1
(1,9 2
的转动惯量对于直线密度为面所围的均匀薄片及直线求由抛物线
y
yxyex
Solution,
x
y
o
1?
}11,1|),{( 2 xyxyxD
D
dyI?2)1(
1 21 1 2 )1(x dyydx,105368?
).1(
,.10
量行于母线的轴的转动惯心而平的均匀圆柱体对于过中高为求半径为 haex
Solution,
ox
y
z
h
a
如图所示建立坐标系，
则柱面方程为 222 ayx
dvyxI z )( 22
dzr d r dr?2
ha dzdrrd 00 320,21 4ha
,万有引力七设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，计算该平面薄片对位于 z 轴上的点
),0,0(
0
aM 处的质量为 m 的质点的 引力,)0(?a
o y
z
x
d
F
薄片对 轴上单位质点的引力z },,,{ zyx FFFF?
,),( 222 ayx dyxmkdF },,,{ ayxs
,c os 222
ayx
x
,c os 222
ayx
y
,c o s 222
ayx
a
)0,,( yx
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)(
),(co s
2
3222
ayx
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x
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ayx
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y
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ayx
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D
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2
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222
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),,( zyx 处的体密度为 ),,( zyx?,假定 ),,( zyx? 在?
上连续，计算该物体对位于 z 轴上的点 ),0,0(0 aM 处的 质量 为 m 的 质点的 引力,)0(?a
,)( ),,( 222 azyx dvzyxmkdF },,,{ azyxs
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x
2
3
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),,(
222
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y
2
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dv
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222
The end
