Chapter 4(1)
第一类曲线积分教学要求：
1,理解 I型 (对弧长的 )曲线积分的概念和性质 ;
2,掌握计算第一类曲线积分的方法 ;
3,了解第一类曲线积分的应用,
,引例与概念一
,性质二
,算对弧长的曲线积分的计三
,用对弧长的曲线积分的应四
,引例与概念一引例 1.
.,
),(
求其质量构件的非均匀平面曲线形设有线密度为
L
yx?
Solution,
o x
y
A
BL
分割,,,,,121 in sMMM
1?nM
iM
1?iM
2M
1M
,),( iii s
),( ii;),( iiii sm
求和,;),(
1
n
i
iii sm
取极限,.),(lim
10
n
i
iii sm
近似值精确值引例 2.
.,
),,(
求其质量构件的非均匀空间曲线形设有线密度为
zyx?
Solution,
A
BL
分割,,,,,121 in sMMM 1?nM
iM
1?iM
2M
1M
,),,( iiii s;),,( iiiii sm
求和,;),,(
1
n
i
iiii sm
取极限,.),,(lim
10
n
i
iiii sm
近似值精确值
ox
y
z
),,( iii
第一类曲线积分的统一定义（形式上的定义）
,)(,),,( 是有界函数是可以度量的空间平面表示曲线设 PfS
);(,,)1( 1 也表量度个小部分任意分划成将 in sssnS
),,1(,)(,)2( nisPfsP iiii 作乘积;)(
1
n
i
ii sPf作和
},{m ax )3( 1 的直径记 ini s
,,上怎样的取法在怎样的分划如果无论对 ii sPS?
n
i
ii sPf
10
)(l i m
.)(,上的第一类曲线积分在则称其为都存在 SPf
记为,)(lim)(
10
n
i
ii
S
sPfdsPf
则若 ),,()(,)1( yxfPfLS
.),(lim),(
10
n
i
iii
L
sfdsyxf
— 平面曲线上对弧长的曲线积分则若 ),,,()(,)2( zyxfPfS
.),,(lim),,(
10
n
i
iiii sfdszyxf
— 空间曲线上对弧长的曲线积分注意,
.),(
,),( )1(
存在积分对弧长的曲线上连续时在光滑曲线弧当
L dsyxf
Lyxf
.),( )2( L dsyxm?曲线型构件的质量
.),,( dszyxm?
.),(,)3(? L dsyxfL 则记为为封闭曲线若
.),,(, dszyxf则记为为封闭曲线若
.0 )4( is 对弧长的曲线积分与路径的走向无关 !
,性质二
.),(),()],(),([)1( LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf
).(),(),()2( 为常数kdsyxfkdsyxkf LL
.),(),(),()3(
21
LLL dsyxfdsyxfdsyxf
).( 21 LLL
.),(),( )4( BAAB dsyxfdsyxf
,)5( L dss
,算对弧长的曲线积分的计三定理 1.,),()1( 上连续在设 Lyxf
),(),( ),()2(
t
ty
txL 的参数方程为
,0)()(
,],[)(),()3(
22 tt
tt
且上具有一阶连续导数在
)(
)()()](),([),( 22
dtttttfdsyxf
L则注意,; )1( 一定小于上限积分下限
.0,0 ii ts?
1,直接计算法
,
,)()(),(),(,,,)2( 22
的积分再作换成将计算时
dtttttdsyx
概括为,一代二换三定限,
).()(:)3( bxaxyL
.)(1)](,[),( 2 dxxxxfdsyxf baL
).()(:)4( dycyxL
.)(1]),([),( 2 dyyyyfdsyxf dcL
).( ),(,)5( rrL
).(,s in)( c os)(,
ry
rxL
,)()()s in,c o s(),( 22 drrrrfdsyxfL
).(,
)(
)(
)(
,)6(
t
tz
ty
tx
,)()()()](),(),([
),,(
222 dtttttttf
dszyxf
,
)1,0(),0,1(),0,0(,)(.1
为顶点的三角形的边是以其中计算 BAOLdsyxex L
Solution,
x
y
o A
B,0,?yOA ;10 x
,1,xyAB ;10 x
,0,?xBO ;10 y
BOABOAL
dsyx )(
10 xdx 10 2dx 10 ydy,21
.
,,.2 222
22
的扇形的整个边界轴在第一象限内所围成及直线为圆周其中计算
oxxy
ayxLdseex
L
yx
Solution,
x
y
o A
B
a
,0,?yOA ;0 ax
,s i nc os:
tay
taxAB ;
40
t
,,xyBO? ;20 ax
BOABOAL
yx dse 22
a x dxe0 40
a d te a 20 2 2
a x
dxe,2)42( ae a?
).2,3,1(,)2,0,1(
),2,0,0(),0,0,0(,.3 2
DC
BAyz d sxex 为折线其中计算
Solution,
,00:
y
xAB;20 z,2
0:
z
yBC;10 x
,21:
z
xCD;30 y
CDBCAB
yz d sx 2
CD
yz d sx 200
30 2 y dy,9302 y
2,利用对称性简化计算
,)1( 轴时对称于当 xL
),(),( 0
),(),( ),(2
),(
yxfyxf
yxfyxfdsyxf
dsyxf LL 上
,)2( 轴时对称于当 yL
),(),( 0
),(),( ),(2
),(
yxfyxf
yxfyxfdsyxf
dsyxf LL 右
.)2,1()2,1(,4:,.4 2 一段到从其中求 xyLy dsIex L
Method1,).22(,4
2
yyx选取
.0?
xy 42?
dyyyI 22 2 )2(1
Method2,由于 L关于 x轴对称,被积函数是关于 y的奇函数,
.0L y d sI
.
0
,.5
2222
2
zyx
azyxdsxIex 为圆周其中求
Solution,由对称性,知
.222 dszdsydsx
dszyxI )(31 222故 dsa3
2
.32
3a?
),2( 球面大圆周长ads
,用对弧长的曲线积分的应四
,),()1( 的线密度时表示当 Lyx? ;),( L dsyxm?;,1),()2( L dsLyxf 弧长时当
,),(
),()3(
处的高时柱面在点上的表示立于当
yx
Lyxf
.),( L dsyxfS 柱面面积
s
L
),( yxfz?
)4( 曲线弧的重心坐标,,?
L
L
L
L
ds
dsy
y
ds
dsx
x
曲线弧的转动惯量)5(
.)(,,2222 LoLyLx dsyxIdsxIdsyI
对空间曲线构件也有结论 !
).,,(,,),,(),20(
,,s i n,c os,6
222 zyxIzyxzyxt
ktztaytaxex
z求设有曲线形构件方程为
Solution,
dszyxyxI z ),,()( )1( 22
dszxy ))( 22222
20 222222 )( dtkatkaa
).43(32 222222 kakaa
dszyxm ),,( )2(
dszyx )( 222
20 22222 )( dtkatka ).43(32 22222 kaka
dszyxx )( 22220 22222 )(c o s dtkatkata
20 2222 c o s td ttkaak ;4 222?kaak
dszyxy )( 22220 22222 )(s in dtkatkata;4 2222?kaak
dszyxz )( 22220 22222 )( dtkatkakt
);2(2 232 kak
,)43(6 2222 kaakx,)43(6 2222 kaaky
.)43()2(3 222232 kakakz
The end
第一类曲线积分教学要求：
1,理解 I型 (对弧长的 )曲线积分的概念和性质 ;
2,掌握计算第一类曲线积分的方法 ;
3,了解第一类曲线积分的应用,
,引例与概念一
,性质二
,算对弧长的曲线积分的计三
,用对弧长的曲线积分的应四
,引例与概念一引例 1.
.,
),(
求其质量构件的非均匀平面曲线形设有线密度为
L
yx?
Solution,
o x
y
A
BL
分割,,,,,121 in sMMM
1?nM
iM
1?iM
2M
1M
,),( iii s
),( ii;),( iiii sm
求和,;),(
1
n
i
iii sm
取极限,.),(lim
10
n
i
iii sm
近似值精确值引例 2.
.,
),,(
求其质量构件的非均匀空间曲线形设有线密度为
zyx?
Solution,
A
BL
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iM
1?iM
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,),,( iiii s;),,( iiiii sm
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i
iiii sm
取极限,.),,(lim
10
n
i
iiii sm
近似值精确值
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y
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),,( iii
第一类曲线积分的统一定义（形式上的定义）
,)(,),,( 是有界函数是可以度量的空间平面表示曲线设 PfS
);(,,)1( 1 也表量度个小部分任意分划成将 in sssnS
),,1(,)(,)2( nisPfsP iiii 作乘积;)(
1
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则若 ),,()(,)1( yxfPfLS
.),(lim),(
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iii
L
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— 平面曲线上对弧长的曲线积分则若 ),,,()(,)2( zyxfPfS
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10
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i
iiii sfdszyxf
— 空间曲线上对弧长的曲线积分注意,
.),(
,),( )1(
存在积分对弧长的曲线上连续时在光滑曲线弧当
L dsyxf
Lyxf
.),( )2( L dsyxm?曲线型构件的质量
.),,( dszyxm?
.),(,)3(? L dsyxfL 则记为为封闭曲线若
.),,(, dszyxf则记为为封闭曲线若
.0 )4( is 对弧长的曲线积分与路径的走向无关 !
,性质二
.),(),()],(),([)1( LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf
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LLL dsyxfdsyxfdsyxf
).( 21 LLL
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,)5( L dss
,算对弧长的曲线积分的计三定理 1.,),()1( 上连续在设 Lyxf
),(),( ),()2(
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,0)()(
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且上具有一阶连续导数在
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L则注意,; )1( 一定小于上限积分下限
.0,0 ii ts?
1,直接计算法
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的积分再作换成将计算时
dtttttdsyx
概括为,一代二换三定限,
).()(:)3( bxaxyL
.)(1)](,[),( 2 dxxxxfdsyxf baL
).()(:)4( dycyxL
.)(1]),([),( 2 dyyyyfdsyxf dcL
).( ),(,)5( rrL
).(,s in)( c os)(,
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rxL
,)()()s in,c o s(),( 22 drrrrfdsyxfL
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)(
)(
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222 dtttttttf
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)1,0(),0,1(),0,0(,)(.1
为顶点的三角形的边是以其中计算 BAOLdsyxex L
Solution,
x
y
o A
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,1,xyAB ;10 x
,0,?xBO ;10 y
BOABOAL
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22
的扇形的整个边界轴在第一象限内所围成及直线为圆周其中计算
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BAyz d sxex 为折线其中计算
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2,利用对称性简化计算
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,)2( 轴时对称于当 yL
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yxfyxfdsyxf
dsyxf LL 右
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.0?
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Method2,由于 L关于 x轴对称,被积函数是关于 y的奇函数,
.0L y d sI
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2
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Solution,由对称性,知
.222 dszdsydsx
dszyxI )(31 222故 dsa3
2
.32
3a?
),2( 球面大圆周长ads
,用对弧长的曲线积分的应四
,),()1( 的线密度时表示当 Lyx? ;),( L dsyxm?;,1),()2( L dsLyxf 弧长时当
,),(
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处的高时柱面在点上的表示立于当
yx
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y
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曲线弧的转动惯量)5(
.)(,,2222 LoLyLx dsyxIdsxIdsyI
对空间曲线构件也有结论 !
).,,(,,),,(),20(
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222 zyxIzyxzyxt
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Solution,
dszyxyxI z ),,()( )1( 22
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).43(32 222222 kakaa
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dszyxx )( 22220 22222 )(c o s dtkatkata
20 2222 c o s td ttkaak ;4 222?kaak
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);2(2 232 kak
,)43(6 2222 kaakx,)43(6 2222 kaaky
.)43()2(3 222232 kakakz
The end
