Chapter 5(1)
微分方程的基本概念教学要求
(1) 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念 ;
(2) 掌握变量可分离方程的解法,
,引例一
,概念题举例三
,可分离变量的方程四
,基本概念二一、引例Ex am p le 1,一曲线通过点 ( 1,2 ),且在该曲线上任一点
),( yxM 处的切线的斜率为 x2,求这曲线的方程,
Solution,)( xyy?设所求曲线为
xdxdy 2?
xdxy 2
2,1 yx 时其中
,2 Cxy即,1?C求得
.12 xy所求曲线方程为
0
y
x
y=x2+C
二、基本概念
1,微分方程,
表示未知函数、未知函数的导数或微分、自变量之间关系的方程叫微分方程,即
0),,,,( )( nyyyyxF?
注意,在微分方程中,未知函数和自变量可以不出现但其导数必须有，否则不是微分方程,
For example:
01)(ny 0343 2 xyy
22 xxy
dx
dy 0)2( xdydxyx
1)(2 22
2
dxdydx yde y 05)( s in4 2
2
3
3
xydx ydxdx yd
xdxdyydxdyydx yd 5)()(3)( 23732
2
2,微分方程的阶：
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,
且称为一阶、二阶,…,n阶微分方程,分别记为
,0),,(yyxF
,0),,,( yyyxF
,0),,,,( )( nyyyxF?
3,微分方程的解：
使得微分方程成为恒等式的函数,即
,)( 阶导数上有在区间设 nIxy
.0)](,),(),(,[ )( xxxxF n使得
.0),,,,()( )( 的解是则称 nyyyxFxy
4,微分方程的通解与特解：
(1)通解,微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的 个数 与微分方程的 阶数 相同,
(2)特解,运用已知条件确定了通解中任意常数以后的解,
注意,
(1) 通解中任意常数互相独立，不能合并,
xCCy )( 21 Cx? 应为一个任意常数,
0321 中有几个任意常数问 CyCxC
.,
2
3
2
1 应为两个任意常数由于
C
Cx
C
Cy
(2) 通解、特解的几何意义：
,)( 为积分曲线族通解 Cxy
.)( 为积分曲线特解 xy
5,初始条件：
确定通解中任意常数的已知条件,
,00 yy xx件为一阶微分方程的初始条;
0),,(
00
yy
yyxF
xx
初始问题为
,
0
0
0
0
yy
yy
xx
xx
件为二阶微分方程的初始条
.
0),,,(
0
0
0
0
yy
yy
yyyxF
xx
xx
初始问题为三、概念题举例
Ex am p le 2,验证,函数 ktCktCx si nc o s
21
是微分方程 0
2
2
2
xk
dt
xd
的解,并求满足初始条件
0,
0
0
t
t
dt
dx
Ax 的特解,
Solution.,c oss i n 21 ktkCktkCdtdx
,s i ncos 22122
2
ktCkktCkdt xd
,2
2
的表达式代入原方程和将 xdt xd
.0)s i nc o s()s i nc o s( 212212 ktCktCkktCktCk
.s i nc o s 21 是原方程的解故 ktCktCx
,,21 是两个独立的任意常数而 CC
.s i nco s 21 是原方程的通解故 ktCktCx
,0,
0
0
t
t dt
dxAx?
.0,21 CAC
所求特解为,cos ktAx?
Example3.
.,
022221
求与它相应的微分方程通解是某微分方程的已知 xyCxC
Solution,对所给方程求导得 ( 1) 0222 21 yyCxC
再求导得,0222 2221 yyCyCC
)(,221 yyyCC从而
yxyyxyyCC 221
1 )1( 式得代入把
,2
2
1 yxyyxyy
yyyC
:
,21
所求微分方程为代入原方程得把 CC
.02 2222 yyxyyxyyx
一阶微分方程方程中最高阶导数为一阶的微分方程，称为一阶微分方程,形如
(,,) 0F x y y (,)dyo r f x y
dx?
(,) (,) 0,o r M x y d x N x y d y
)Be r n o u l l i(
全微分方程方程贝努利一阶线性微分方程齐次微分方程可分离变量的微分方程四、可分离变量的方程
1,引例：
.s i ns i n yxdxdy?求解
Solution,分离变量得
x d xy d y s i ns i n?
两边积分得
cxy c o sc o s
或 )a r c c o s (c o s cxy
一般解法
2,定义：
,
,
)()(
)()(
可分离变量的方程称为的微分方程或形如
dxxNdyyM
ygxf
dx
dy
( ) ( )dy f x g ydx?
3.解法
1 ()
() d y f x d xgy?
两边积分
( ) ( )G y F x c
这是方程的一般解法分离变量
21
d y xy
d x x
Example 4,求解微分方程
Solution,分离变量
2
1
1l n | | l n ( 1 )
2y x c
这个解可以化简 !
21
d y x d x
yx
21 xxdxydy两边积分
2
1
1
l n | | l n ( 1 ) 2() cyxe e e
21,0 1 xeyy c 时当
21,0 1 xeyy c 时当则令,1cec
)0( 1,0 2 cxcyy 时当
21 ( R )y c x c
y=0 也是方程的解,故所求通解为,
Example 5,求解微分方程,31 22 yyxy
dx
x
dy
y
y
22 3
1
1
Solution,分离变量得两边积分 dxxdyyy 22 3 11
从而 Cxy 311 2
此外,y =?1 也是原方程的解,但他们不包括在通解中,称其为奇异解 (singular solutions).
Example 6.,21)1( 的通解求 ye
dx
dyx
Solution.
112 x
dx
e
dy
y分离变量得
12 x dxedye y
y
两边积分
Cxe y ln1ln2ln得
,)2)(1( 为所求通解从而 Cex y
Example 7.,2s i n2s i n 的通解求 yxyxy
Solution.
2s i n2co s2
yxy原方程可变形为
dxxydy
2
c os2
2
s i n
分离变量得
22
c o s2
2
s i n
2 xdx
y
y
d
两边积分
Cxyy ln2s i n22co t2cs cln得
,2c ot2c s c 2
s i n2
为所求的通解
x
Ceyy
Example 8,).(,212 21 2 xyyxdtyyx 求设
称这样的方程为积分方程,归结为解微分方程,
Solution,yyyy 2212 2原方程两边求导得
12 2 yyy化简得
dxy y d y 12 2分离变量得
Cxy ln1ln 2两边积分得
,12 xcey,2 12xy又,eC?代入即得
.1 12 xey
Example 9.,1
1
0
22
xy
xyyxy求满足初始条件的特解
Solution,)1)(1( 2yxy
dxxydy )1(1 2分离变量得
Cxxy 2a rc t a n
2
两边积分得
410
Cy x 代入得把
.42a rc t a n
2?
xxy特解为注意,对于一些本身不是可分离变量方程的可通过适当变换化为可分离变量方程,
Example 10.,2 的通解求 yxdxdy
Solution.,2 yxz令,2 dxdydxdz则
,2 zdxdz代入原方程得 dxz dz 2 分离变量得
Cxz ln2ln两边积分得
xCez 2 则
,22 为所求通解xCey x
Example 11.,)(t a n 2 的通解求 yx
dx
dy
Solution.,yxz令,1
dx
dy
dx
dz则
zdxdz 2s ec?代入原方程得
dxz d z?2c o s 分离变量得
dxdzz2 2co s1 两边积分
12s i n4
1
2 Cxz
z得
,)(2s i n)(2 为所求通解Cyxyx
The end
微分方程的基本概念教学要求
(1) 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念 ;
(2) 掌握变量可分离方程的解法,
,引例一
,概念题举例三
,可分离变量的方程四
,基本概念二一、引例Ex am p le 1,一曲线通过点 ( 1,2 ),且在该曲线上任一点
),( yxM 处的切线的斜率为 x2,求这曲线的方程,
Solution,)( xyy?设所求曲线为
xdxdy 2?
xdxy 2
2,1 yx 时其中
,2 Cxy即,1?C求得
.12 xy所求曲线方程为
0
y
x
y=x2+C
二、基本概念
1,微分方程,
表示未知函数、未知函数的导数或微分、自变量之间关系的方程叫微分方程,即
0),,,,( )( nyyyyxF?
注意,在微分方程中,未知函数和自变量可以不出现但其导数必须有，否则不是微分方程,
For example:
01)(ny 0343 2 xyy
22 xxy
dx
dy 0)2( xdydxyx
1)(2 22
2
dxdydx yde y 05)( s in4 2
2
3
3
xydx ydxdx yd
xdxdyydxdyydx yd 5)()(3)( 23732
2
2,微分方程的阶：
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,
且称为一阶、二阶,…,n阶微分方程,分别记为
,0),,(yyxF
,0),,,( yyyxF
,0),,,,( )( nyyyxF?
3,微分方程的解：
使得微分方程成为恒等式的函数,即
,)( 阶导数上有在区间设 nIxy
.0)](,),(),(,[ )( xxxxF n使得
.0),,,,()( )( 的解是则称 nyyyxFxy
4,微分方程的通解与特解：
(1)通解,微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的 个数 与微分方程的 阶数 相同,
(2)特解,运用已知条件确定了通解中任意常数以后的解,
注意,
(1) 通解中任意常数互相独立，不能合并,
xCCy )( 21 Cx? 应为一个任意常数,
0321 中有几个任意常数问 CyCxC
.,
2
3
2
1 应为两个任意常数由于
C
Cx
C
Cy
(2) 通解、特解的几何意义：
,)( 为积分曲线族通解 Cxy
.)( 为积分曲线特解 xy
5,初始条件：
确定通解中任意常数的已知条件,
,00 yy xx件为一阶微分方程的初始条;
0),,(
00
yy
yyxF
xx
初始问题为
,
0
0
0
0
yy
yy
xx
xx
件为二阶微分方程的初始条
.
0),,,(
0
0
0
0
yy
yy
yyyxF
xx
xx
初始问题为三、概念题举例
Ex am p le 2,验证,函数 ktCktCx si nc o s
21
是微分方程 0
2
2
2
xk
dt
xd
的解,并求满足初始条件
0,
0
0
t
t
dt
dx
Ax 的特解,
Solution.,c oss i n 21 ktkCktkCdtdx
,s i ncos 22122
2
ktCkktCkdt xd
,2
2
的表达式代入原方程和将 xdt xd
.0)s i nc o s()s i nc o s( 212212 ktCktCkktCktCk
.s i nc o s 21 是原方程的解故 ktCktCx
,,21 是两个独立的任意常数而 CC
.s i nco s 21 是原方程的通解故 ktCktCx
,0,
0
0
t
t dt
dxAx?
.0,21 CAC
所求特解为,cos ktAx?
Example3.
.,
022221
求与它相应的微分方程通解是某微分方程的已知 xyCxC
Solution,对所给方程求导得 ( 1) 0222 21 yyCxC
再求导得,0222 2221 yyCyCC
)(,221 yyyCC从而
yxyyxyyCC 221
1 )1( 式得代入把
,2
2
1 yxyyxyy
yyyC
:
,21
所求微分方程为代入原方程得把 CC
.02 2222 yyxyyxyyx
一阶微分方程方程中最高阶导数为一阶的微分方程，称为一阶微分方程,形如
(,,) 0F x y y (,)dyo r f x y
dx?
(,) (,) 0,o r M x y d x N x y d y
)Be r n o u l l i(
全微分方程方程贝努利一阶线性微分方程齐次微分方程可分离变量的微分方程四、可分离变量的方程
1,引例：
.s i ns i n yxdxdy?求解
Solution,分离变量得
x d xy d y s i ns i n?
两边积分得
cxy c o sc o s
或 )a r c c o s (c o s cxy
一般解法
2,定义：
,
,
)()(
)()(
可分离变量的方程称为的微分方程或形如
dxxNdyyM
ygxf
dx
dy
( ) ( )dy f x g ydx?
3.解法
1 ()
() d y f x d xgy?
两边积分
( ) ( )G y F x c
这是方程的一般解法分离变量
21
d y xy
d x x
Example 4,求解微分方程
Solution,分离变量
2
1
1l n | | l n ( 1 )
2y x c
这个解可以化简 !
21
d y x d x
yx
21 xxdxydy两边积分
2
1
1
l n | | l n ( 1 ) 2() cyxe e e
21,0 1 xeyy c 时当
21,0 1 xeyy c 时当则令,1cec
)0( 1,0 2 cxcyy 时当
21 ( R )y c x c
y=0 也是方程的解,故所求通解为,
Example 5,求解微分方程,31 22 yyxy
dx
x
dy
y
y
22 3
1
1
Solution,分离变量得两边积分 dxxdyyy 22 3 11
从而 Cxy 311 2
此外,y =?1 也是原方程的解,但他们不包括在通解中,称其为奇异解 (singular solutions).
Example 6.,21)1( 的通解求 ye
dx
dyx
Solution.
112 x
dx
e
dy
y分离变量得
12 x dxedye y
y
两边积分
Cxe y ln1ln2ln得
,)2)(1( 为所求通解从而 Cex y
Example 7.,2s i n2s i n 的通解求 yxyxy
Solution.
2s i n2co s2
yxy原方程可变形为
dxxydy
2
c os2
2
s i n
分离变量得
22
c o s2
2
s i n
2 xdx
y
y
d
两边积分
Cxyy ln2s i n22co t2cs cln得
,2c ot2c s c 2
s i n2
为所求的通解
x
Ceyy
Example 8,).(,212 21 2 xyyxdtyyx 求设
称这样的方程为积分方程,归结为解微分方程,
Solution,yyyy 2212 2原方程两边求导得
12 2 yyy化简得
dxy y d y 12 2分离变量得
Cxy ln1ln 2两边积分得
,12 xcey,2 12xy又,eC?代入即得
.1 12 xey
Example 9.,1
1
0
22
xy
xyyxy求满足初始条件的特解
Solution,)1)(1( 2yxy
dxxydy )1(1 2分离变量得
Cxxy 2a rc t a n
2
两边积分得
410
Cy x 代入得把
.42a rc t a n
2?
xxy特解为注意,对于一些本身不是可分离变量方程的可通过适当变换化为可分离变量方程,
Example 10.,2 的通解求 yxdxdy
Solution.,2 yxz令,2 dxdydxdz则
,2 zdxdz代入原方程得 dxz dz 2 分离变量得
Cxz ln2ln两边积分得
xCez 2 则
,22 为所求通解xCey x
Example 11.,)(t a n 2 的通解求 yx
dx
dy
Solution.,yxz令,1
dx
dy
dx
dz则
zdxdz 2s ec?代入原方程得
dxz d z?2c o s 分离变量得
dxdzz2 2co s1 两边积分
12s i n4
1
2 Cxz
z得
,)(2s i n)(2 为所求通解Cyxyx
The end
