Chapter 5(2)
齐次方程与一阶线性微分方程及全微分方程教学要求
(1) 掌握一阶线性微分方程的解法 ;
(2) 会解齐次方程、贝努利方程、全微分方程 ;
(3) 会用简单的变量代换解某些微分方程,
,齐次方程一
,一阶线性微分方程三
,贝努利方程四
,可化为齐次的方程二
,全微分方程五一、齐次方程
1,定义：
)()( yxyxyfdxdy 或形如 的微分方程称为 齐次方程,
,2 yxxydxdy如
.03)( 233 dyxydxyx
,),(),,(
,0),(),(
为同次齐次函数对于
yxQyxP
dyyxQdxyxP
2,解法：
,xyu?作变量代换,xuy?即代入原式
,dxduxudxdy
),( ufdxduxu
.)( x uufdxdu即 可分离变量的方程
xdxuuf du )(两边积分
,解才得所求齐次方程的通代积出结果用 uxy
Example 1,求解微分方程
.0c o s)c o s( dyxyxdxxyyx
，令 xyu?,xuy?则
,0)(c o s)c o s( xduu d xuxdxuuxx
,c os xdxudu,lns in Cxu
.lns i n Cxxy微分方程的解为
Solution.,u d xxdudy
Example 2.
).(,01
,])()(2[0 22
xyyx
xydttyttyx
求时且当设
Solution.原方程两边求导得,2 22 yxyyyx
.1 2
2
x
y
x
yy即
,,xuyuxy 则令,dxduxudxdy
代入并化简得,1 2udxdux
,
1
2 xdx
u
du?
分离变量得
Cxuu lnln1ln 2两边积分得
,222 Cxyxyxyu 代入化简得所求通解为将
.1,01 Cyx 则得时又当
,222 xyxy 所求特解为二、可化为齐次的方程的微分方程形如 )(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
为齐次方程,,01 时当 cc
,
kYy
hXx令
dYdydXdx,
否则为非齐次方程,
)(
11111 ckbhaYbXa
cbkahbYaXf
dX
dY
2.解法：
1.定义：
.,
0
0
111
kh
ckbha
cbkah
求得令
,)(
11
为齐次方程从而 YbXa bYaXfdXdY
.31 的通解求 yx yxdxdy
Solution.,
03
01
kh
kh由,2,1 kh
.2,1 YyXx令
,YX YXdXdY代入原方程得
，令 XYu?
Example 3.
,11 uudXduXu方程变为
X
dXdu
uu
u?
221
1 分离变量得
CXuu ln21ln21ln21 2两边积分得
2
221
X
Cuu则通解为代入上式即得原方程的将 12 xyXYu
.622 122 Cyxyxyx
三、一阶线性微分方程
1.定义：
.
,)()(
叫做一阶线性微分方程的方程形如 xQyxP
dx
dy
,0)(?xQ当 上方程称为 齐次的,
上方程称为 非齐次的,,0)(?xQ当特点
“一阶,：未知函数的导数为一阶,
“线性,：未知函数及其导数都是一次,
.0)( yxPdxdy
,)( dxxPydy,)( dxxPydy
,ln)(ln CdxxPy
齐次方程的通解为,)( dxxPCey
(1) 对于一阶齐次线性方程
2,解法,
(使用分离变量法 )
(2) 对于一阶非齐次线性方程 ).()( xQyxPdxdy
方法 1(常数变易法 )
先求出对应齐次方程的通解
dxxPexCy )()(
,)( dxxPCey
然后变易常数，设非齐次方程的通解为求出 C(x)便可得通解,
,)]()[()( )()( dxxPdxxP exPxCexCy
代入原方程得和将 yy? ),()( )( xQexC dxxP
,)()( )( CdxexQxC dxxP积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为,
])([ )()( CdxexQey dxxPdxxP
dxexQeCe dxxPdxxPdxxP )()()( )(
对应齐次方程通解非齐次方程特解
,)()( )( dxxPexQxC即方法 2(公式法 )
注意,
(1)非齐次线性方程的 通解 是对应齐次方程的 通解 与其自身 特解 之和,
(2) 类似地，对于以 x为函数的一阶非齐次线性方程
)()( yqxypdydx
Cdyeyqex dyypdyyp )()( )( 有通解公式同时也有常数变易法,
.s i n1 的通解求方程 x xyxy
,1)( xxP?,s i n)( x xxQ?
Cdxe
x
x
ey
dx
x
dx
x
11 s i n
Cdxe
x
xe xx lnln s i n
Cx d xx s i n1.co s
1 Cx
x
Solution.
Example 4.
,co s1 Cxxy 原方程的通解为
.02)6( 2 的通解求方程 yyxyExample 5.
Solution.,23 yxydydx方程变形为
Cdyeyex
dy
y
dy
y
33
2
则
Cdy
y
yy
3
3 1
2
C
yy 2
13
.2 3
2
为所求通解Cyyx
四、伯努利方程
1.定义：
伯努利 (Bernoulli)方程的标准形式
nyxQyxP
dx
dy )()( )1,0(?n
方程为 线性微分方程,
方程为 非线性微分方程,时，当 1,0?n
时，当 1,0?n
2,解法,
,1 nyz令,则 dxdyyndxdz n )1(
),()( 1 xQyxPdxdyy nn
),()1()()1( xQnzxPndxdz
，得两端除以 ny
代入上式该方程为一阶线性微分方程,
求出通解后，将 代入即得,nyz 1
3,步骤,
,1 nyz令
)()1()()1( xQnzxPndxdz得
))1)((( )()1()()1( CdxenxQez dxxPndxxPn
.1 代换即得所求通解用 nyz
.4 2 的通解求方程 yxyxdxdy
,2
11
yyz令,212 2xzxdxdz得
,22 Cxx
.2
2
4?
Cxxy即
Solution.
Example 6.
Cdxexez
dx
x
dx
x
2
2
2
2
1
Cdxx 212
,22 Cxxz
.0)]ln1([ 3 dxxxyyxdy求解Example 7.
Solution,3)ln1(1 yxyxdxdy方程变形为
,231 yyz令
)ln1(22 xzxdxdz得
Cdxexez
dx
x
dx
x
22
)ln1(2
])ln32(32[1 32 Cxxx
Cxx
y
x )ln
3
2(
3
2 3
2
2
故通解为
.)()(,)( 0 2 xxx dttfeexfxf 求解可微设Example 8.
Solution,求导得等式两边对 x
)()()( 20 2 xfedttfeexf xxxx
.2)()()( 2 的贝努利方程为 nxfexfxf x
,)]([ 1 xfz令 xezdxdz得
Cdxeeez dxxdx xx Cee 21
,21)(1 xx Ceexf 通解为,1)0(?f又 23 C
.3 2)( 2 x
x
e
exf
).(,1)(21)(10 xfxfdxf 求已知Example 9.
Solution,xxxfxdxf )(21)(10由已知等式可得
xxxfdttfx )(21)(0即
1)(21)(21)( xfxxfxf两边求导得
xxfxxf
2)(1)(即
Cdxe
x
exf
dx
x
dx
x
11 2
)( )2( C
xx
.2)( Cxxf 通解为
Example 10.,)(s i n
1
2 x
y
xyxdx
dy求解
Solution.,xyz?令,
dx
dyxy
dx
dz则
),)(s in 1( 2 xyxyxxydxdz
,42s i n2 Cxzz分离变量法得
,代回将 xyz?
所求通解为,4)2s i n (2 Cxxyxy
,s i n1 2 zdxdz?即
,全微分方程五
1,全微分方程的定义
,0),(),( dyyxQdxyxP对于微分方程
,),(),(),( ),( dyyxQdxyxPyxduyxu使得如果存在
.0),(),( 为全微分方程则称 dyyxQdxyxP
2,判断方法
.0,为全微分方程则若 QdyP d xxQyP
3,求解方法
,0),(?yxdu由于,),( 为通解Cyxu;),(),(
00 0
CdyyxQdxyxP yyxx即为
.),(),(
00 0
CdxyxPdyyxQ xxyy或
.0s i ns i n)co sco s(.11 yxyyxyxex 求解
Solution.
,si nc o s xQxyyP
方程可变形为故原方程为全微分方程,
,0)c o sc o s()s i ns i n( dyxyxdxyxy
Method1,),0,0(),( 00?yx取
dyxyxdxyxu yx 00 )c o sc o s(0),(则
.c o ss in xyyx
.c o ss i n 为原方程的通解Cxyyx
Method2.,s i ns i n yxy
x
u
,c o sc o s xyx
y
u
)()s i ns i n(),( ydxyxyyxu
)(c o ss i n yxyyx
)(c o sc o s yxyxyu则,c o sc o s xyx
,0)( y?即
,)( 0Cy从而
.c o ss i n 为原方程的通解Cxyyx
Method3,利用分项组合凑微分
,0)c o sc o s()s i ns i n( dyxyxdxyxy
,0c o sc o ssi nsi n x d yy d yxy d xx d xy即
,0c o ssi nsi nc o s xdyyxdy d xxyd即
,0si nsi nc o sc o s yxdy d xxdyxyd即
,0)s i n()c o s( yxdxyd即
.s i nc o s Cyxxy故得方程通解为
,co ss i n),( 0Cxyyxyxu故
,0)si nc o s( yxxyd即
4,积分因子的求法
.),(
,0),(),(),(),(
,0),(),(
为积分因子则称是全微分方程而不是全微分方程若
yx
dyyxQyxdxyxPyx
dyyxQdxyxP
(1) 观察法
,0 不是全微分方程如 xdyy d x;)( 2x xdyy d xxyd由于 ;)( 2
y
xdyy d x
y
xd;)( l n xy x d yy d xyxd ;)( a r c t a n 22 yx xdyy d xyxd;)( l n 22
yx
xdyyd x
yx
yxd
222222
1,1,1,1,1
yxyxxyyx
.0 的积分因子都是 xdyy d x
有关的积分因子或仅与 yx )2(
),( x
Q
x
Q
y
P
若 ;)( )( dxxex则
),( y
P
y
P
x
Q
若,)( )( dyyey则
ex12.利用观察法求积分因子，并求解方程
.0)31()3( 22 dyxydxyxy
Solution,将方程重新组合得
0)(3 22 xdyy d xydyxdxy
为积分因子观察得 21),(
y
yx
0)31()3( 2 dyx
y
dxyx从而可得新方程
)1,0(),( 00?yx取
yx dyxydxxyxu 1 20 )31( )3(),(
1312
2
xyyx
.3
1
2
2
Cxy
y
x
所求通解为
The end
齐次方程与一阶线性微分方程及全微分方程教学要求
(1) 掌握一阶线性微分方程的解法 ;
(2) 会解齐次方程、贝努利方程、全微分方程 ;
(3) 会用简单的变量代换解某些微分方程,
,齐次方程一
,一阶线性微分方程三
,贝努利方程四
,可化为齐次的方程二
,全微分方程五一、齐次方程
1,定义：
)()( yxyxyfdxdy 或形如 的微分方程称为 齐次方程,
,2 yxxydxdy如
.03)( 233 dyxydxyx
,),(),,(
,0),(),(
为同次齐次函数对于
yxQyxP
dyyxQdxyxP
2,解法：
,xyu?作变量代换,xuy?即代入原式
,dxduxudxdy
),( ufdxduxu
.)( x uufdxdu即 可分离变量的方程
xdxuuf du )(两边积分
,解才得所求齐次方程的通代积出结果用 uxy
Example 1,求解微分方程
.0c o s)c o s( dyxyxdxxyyx
，令 xyu?,xuy?则
,0)(c o s)c o s( xduu d xuxdxuuxx
,c os xdxudu,lns in Cxu
.lns i n Cxxy微分方程的解为
Solution.,u d xxdudy
Example 2.
).(,01
,])()(2[0 22
xyyx
xydttyttyx
求时且当设
Solution.原方程两边求导得,2 22 yxyyyx
.1 2
2
x
y
x
yy即
,,xuyuxy 则令,dxduxudxdy
代入并化简得,1 2udxdux
,
1
2 xdx
u
du?
分离变量得
Cxuu lnln1ln 2两边积分得
,222 Cxyxyxyu 代入化简得所求通解为将
.1,01 Cyx 则得时又当
,222 xyxy 所求特解为二、可化为齐次的方程的微分方程形如 )(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
为齐次方程,,01 时当 cc
,
kYy
hXx令
dYdydXdx,
否则为非齐次方程,
)(
11111 ckbhaYbXa
cbkahbYaXf
dX
dY
2.解法：
1.定义：
.,
0
0
111
kh
ckbha
cbkah
求得令
,)(
11
为齐次方程从而 YbXa bYaXfdXdY
.31 的通解求 yx yxdxdy
Solution.,
03
01
kh
kh由,2,1 kh
.2,1 YyXx令
,YX YXdXdY代入原方程得
，令 XYu?
Example 3.
,11 uudXduXu方程变为
X
dXdu
uu
u?
221
1 分离变量得
CXuu ln21ln21ln21 2两边积分得
2
221
X
Cuu则通解为代入上式即得原方程的将 12 xyXYu
.622 122 Cyxyxyx
三、一阶线性微分方程
1.定义：
.
,)()(
叫做一阶线性微分方程的方程形如 xQyxP
dx
dy
,0)(?xQ当 上方程称为 齐次的,
上方程称为 非齐次的,,0)(?xQ当特点
“一阶,：未知函数的导数为一阶,
“线性,：未知函数及其导数都是一次,
.0)( yxPdxdy
,)( dxxPydy,)( dxxPydy
,ln)(ln CdxxPy
齐次方程的通解为,)( dxxPCey
(1) 对于一阶齐次线性方程
2,解法,
(使用分离变量法 )
(2) 对于一阶非齐次线性方程 ).()( xQyxPdxdy
方法 1(常数变易法 )
先求出对应齐次方程的通解
dxxPexCy )()(
,)( dxxPCey
然后变易常数，设非齐次方程的通解为求出 C(x)便可得通解,
,)]()[()( )()( dxxPdxxP exPxCexCy
代入原方程得和将 yy? ),()( )( xQexC dxxP
,)()( )( CdxexQxC dxxP积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为,
])([ )()( CdxexQey dxxPdxxP
dxexQeCe dxxPdxxPdxxP )()()( )(
对应齐次方程通解非齐次方程特解
,)()( )( dxxPexQxC即方法 2(公式法 )
注意,
(1)非齐次线性方程的 通解 是对应齐次方程的 通解 与其自身 特解 之和,
(2) 类似地，对于以 x为函数的一阶非齐次线性方程
)()( yqxypdydx
Cdyeyqex dyypdyyp )()( )( 有通解公式同时也有常数变易法,
.s i n1 的通解求方程 x xyxy
,1)( xxP?,s i n)( x xxQ?
Cdxe
x
x
ey
dx
x
dx
x
11 s i n
Cdxe
x
xe xx lnln s i n
Cx d xx s i n1.co s
1 Cx
x
Solution.
Example 4.
,co s1 Cxxy 原方程的通解为
.02)6( 2 的通解求方程 yyxyExample 5.
Solution.,23 yxydydx方程变形为
Cdyeyex
dy
y
dy
y
33
2
则
Cdy
y
yy
3
3 1
2
C
yy 2
13
.2 3
2
为所求通解Cyyx
四、伯努利方程
1.定义：
伯努利 (Bernoulli)方程的标准形式
nyxQyxP
dx
dy )()( )1,0(?n
方程为 线性微分方程,
方程为 非线性微分方程,时，当 1,0?n
时，当 1,0?n
2,解法,
,1 nyz令,则 dxdyyndxdz n )1(
),()( 1 xQyxPdxdyy nn
),()1()()1( xQnzxPndxdz
，得两端除以 ny
代入上式该方程为一阶线性微分方程,
求出通解后，将 代入即得,nyz 1
3,步骤,
,1 nyz令
)()1()()1( xQnzxPndxdz得
))1)((( )()1()()1( CdxenxQez dxxPndxxPn
.1 代换即得所求通解用 nyz
.4 2 的通解求方程 yxyxdxdy
,2
11
yyz令,212 2xzxdxdz得
,22 Cxx
.2
2
4?
Cxxy即
Solution.
Example 6.
Cdxexez
dx
x
dx
x
2
2
2
2
1
Cdxx 212
,22 Cxxz
.0)]ln1([ 3 dxxxyyxdy求解Example 7.
Solution,3)ln1(1 yxyxdxdy方程变形为
,231 yyz令
)ln1(22 xzxdxdz得
Cdxexez
dx
x
dx
x
22
)ln1(2
])ln32(32[1 32 Cxxx
Cxx
y
x )ln
3
2(
3
2 3
2
2
故通解为
.)()(,)( 0 2 xxx dttfeexfxf 求解可微设Example 8.
Solution,求导得等式两边对 x
)()()( 20 2 xfedttfeexf xxxx
.2)()()( 2 的贝努利方程为 nxfexfxf x
,)]([ 1 xfz令 xezdxdz得
Cdxeeez dxxdx xx Cee 21
,21)(1 xx Ceexf 通解为,1)0(?f又 23 C
.3 2)( 2 x
x
e
exf
).(,1)(21)(10 xfxfdxf 求已知Example 9.
Solution,xxxfxdxf )(21)(10由已知等式可得
xxxfdttfx )(21)(0即
1)(21)(21)( xfxxfxf两边求导得
xxfxxf
2)(1)(即
Cdxe
x
exf
dx
x
dx
x
11 2
)( )2( C
xx
.2)( Cxxf 通解为
Example 10.,)(s i n
1
2 x
y
xyxdx
dy求解
Solution.,xyz?令,
dx
dyxy
dx
dz则
),)(s in 1( 2 xyxyxxydxdz
,42s i n2 Cxzz分离变量法得
,代回将 xyz?
所求通解为,4)2s i n (2 Cxxyxy
,s i n1 2 zdxdz?即
,全微分方程五
1,全微分方程的定义
,0),(),( dyyxQdxyxP对于微分方程
,),(),(),( ),( dyyxQdxyxPyxduyxu使得如果存在
.0),(),( 为全微分方程则称 dyyxQdxyxP
2,判断方法
.0,为全微分方程则若 QdyP d xxQyP
3,求解方法
,0),(?yxdu由于,),( 为通解Cyxu;),(),(
00 0
CdyyxQdxyxP yyxx即为
.),(),(
00 0
CdxyxPdyyxQ xxyy或
.0s i ns i n)co sco s(.11 yxyyxyxex 求解
Solution.
,si nc o s xQxyyP
方程可变形为故原方程为全微分方程,
,0)c o sc o s()s i ns i n( dyxyxdxyxy
Method1,),0,0(),( 00?yx取
dyxyxdxyxu yx 00 )c o sc o s(0),(则
.c o ss in xyyx
.c o ss i n 为原方程的通解Cxyyx
Method2.,s i ns i n yxy
x
u
,c o sc o s xyx
y
u
)()s i ns i n(),( ydxyxyyxu
)(c o ss i n yxyyx
)(c o sc o s yxyxyu则,c o sc o s xyx
,0)( y?即
,)( 0Cy从而
.c o ss i n 为原方程的通解Cxyyx
Method3,利用分项组合凑微分
,0)c o sc o s()s i ns i n( dyxyxdxyxy
,0c o sc o ssi nsi n x d yy d yxy d xx d xy即
,0c o ssi nsi nc o s xdyyxdy d xxyd即
,0si nsi nc o sc o s yxdy d xxdyxyd即
,0)s i n()c o s( yxdxyd即
.s i nc o s Cyxxy故得方程通解为
,co ss i n),( 0Cxyyxyxu故
,0)si nc o s( yxxyd即
4,积分因子的求法
.),(
,0),(),(),(),(
,0),(),(
为积分因子则称是全微分方程而不是全微分方程若
yx
dyyxQyxdxyxPyx
dyyxQdxyxP
(1) 观察法
,0 不是全微分方程如 xdyy d x;)( 2x xdyy d xxyd由于 ;)( 2
y
xdyy d x
y
xd;)( l n xy x d yy d xyxd ;)( a r c t a n 22 yx xdyy d xyxd;)( l n 22
yx
xdyyd x
yx
yxd
222222
1,1,1,1,1
yxyxxyyx
.0 的积分因子都是 xdyy d x
有关的积分因子或仅与 yx )2(
),( x
Q
x
Q
y
P
若 ;)( )( dxxex则
),( y
P
y
P
x
Q
若,)( )( dyyey则
ex12.利用观察法求积分因子，并求解方程
.0)31()3( 22 dyxydxyxy
Solution,将方程重新组合得
0)(3 22 xdyy d xydyxdxy
为积分因子观察得 21),(
y
yx
0)31()3( 2 dyx
y
dxyx从而可得新方程
)1,0(),( 00?yx取
yx dyxydxxyxu 1 20 )31( )3(),(
1312
2
xyyx
.3
1
2
2
Cxy
y
x
所求通解为
The end
