Chapter 5(3)
可降阶的高阶微分方程与高阶线性微分方程教学要求
(1) 会用降阶法解下列微分方程：
(2) 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理,
),(),,(),()( yyfyyxfyxfy n
型一 )(,)( xfy n?
型二 ),(,yxfy
型三 ),(,yyfy
四,二阶线性微分方程的概念五,函数的线性相关性六,二阶线性微分方程解的结构七,n阶线性微分方程解的结构八,变系数微分方程的常数变易法型一 )(,)( xfy n?
解法：
连续积分 n次得含有 n个互相独立任意常数的通解,
)()( xfy n?
1)1( )( Cdxxfy n
21)2( ])([ CdxCdxxfy n
…
nn
n CxCx
n
Cdxdxxfy


1
11
)!1()(
Example 1.,s in2 的通解求 xxy
Solution, dxxxy )s in( 2 1
3
co s3 Cxx
dxCxxy )c o s3( 1
3
21
4
s i n12 Cxxx
dxCxCxxy )s i n12( 21
4
.21cos60 3221
5
为通解即 CxCxCxxy
型二 ),(,yxfy(不显含未知函数的微分方程 )
解法,令 y’ =p(x),则
pxpy dd
),( pxfp方程变形为解此一阶微分方程可得即
),(dd 1Cxxy
两边积分得
21 d),( CxCxy?
p=? (x,C1)
.0)4()5( 的通解求方程 yxy
Solution,),()4( xpy?设代入原方程,0 ppx
xCp 1?解线性方程,得两端积分,得原方程通解为
)()5( xpy
,1)4( xCy?即
,21 221 CxCy,
,261 2 0 54233251 CxCxCxCxCy
54233251 dxdxdxdxdy
Example 2.
型三 ),(,yyfy(不显含自变量的微分方程 )
解法,令 y'=p(y),则
y
pp
x
y
y
p
x
py
d
d
d
d
d
d
d
d"
方程变为 d
(,)d pp f y py?
解此一阶微分方程得 p=? (y,C1)
即 ),(
d
d
1Cyx
y
分离变量并两边积分得
2
1
d),( d CxxCy y
Example 3,求解微分方程 2yy''+y'2=0
Solution.
0dd2 2 pypyp
分离变量得
y
y
p
p
2
dd
1ln||ln2
1||ln Cyp
即
y
Cp 1?
令 y'=p(y),则
y
ppy
d
d"?
即
y
C
x
y 1
d
d?
分离变量得 xCyy dd
1?
21
2
3
3
2 CxCy两边积分得或
432
3
CxCy即
3
2
43 )( CxCy
Example 4.,)( 3 yyy求解
Solution,),( ypy设,dydppy则
,1 2pdydp代入原方程得 dypdp 21 分离变量得
,1 2 dypdp两边积分 1a r ct a n Cyp得
),t a n ( 1Cyp故 )t a n ( 1Cydxdy即
dxCydy )t a n (
1
分离变量得
21 ln)s in(ln CxCy两边积分得
.)s i n ( 21 为所求通解xeCCy
Example 5.
.
1)1(,0)1(2)( 22
的特解满足求 yyyxyyx
Solution,),( xpy设 ).( xpy则
,12 22 pxpxp代入原方程得
2
1 12,
xzxdx
dzpz 得再令

1
2
2
2
1 Cdxe
x
ez
dx
x
dx
x
)(1 12 Cxx
xC
xy
1
2
从而
,21)1( 1 Cy 可得由
x
xy
2
2
故
2
22 2ln4)2(
2
1
2 Cxxdxx
xy
从而
2
90)1(
2 Cy 可得由
.292ln4)2(21 2 xxy原初始条件的解为四、二阶线性微分方程的概念定义：
二阶线性微分方程,
)()()(2
2
的方程叫做形如 xfyxQdxdyxPdx yd
时，当 0)(?xf 二阶齐次线性微分方程,
时，当 0)(?xf 二阶非齐次线性微分方程,
特点
“二阶,：未知函数的最高阶导数是二阶,
“线性,：未知函数及其导数都是一次,
495)3( 42 xyyxxyx
)()()()( 210 xgyxPyxPyxP
06 xyy
五、函数的线性相关性定义：,),(,,21 个函数内的是定义在设 nbayyy n?
使得的常数若存在不全为,,,0 21 nkkk?
02211 nn ykykyk?
,),(,,,),( 21 内线性相关在则称内成立在 bayyyba n?
否则称为线性无关,
.0
,0
21
2211


n
nn
kkk
ykykyk
必有即要使
Example 6.
.),(,,,1)2(;),(co s,s i n,1)1(
32
22
内线性无关在内线性相关在证明


xxx
xx
Proof.,0c o ss in1)1( 22 xx?
.,1,1 221 满足线性相关的定义则 kkk
.),(c o s,s in,1 22 内线性相关在 xx
0)2( 342321 xkxkxkk若
032 2432 xkxkk求导得
062 43 xkk
06 4?k
.04321 kkkk可得
.),(,,,1 32 内线性无关在 xxx
Theorem,).(
2
121 常数线性相关与 C
y
yyy
Proof.
Example 7.,,2s inc o ss in 是否线性相关与与指出 xx eexxx?
Solution.,
2
1
2s i n
co ss i n?
x
xx?
.2s inc o ss in 线性相关与 xxx?
,2 xx
x
eee而
.线性无关与 xx ee
六、二阶线性微分方程解的结构
1.二阶齐次方程解的结构,
定理 1 如果函数 )(1 xy 与 )(2 xy 是方程 (1) 的两个解,那末 2211 yCyCy 也是 ( 1 ) 的解,（ 21,CC 是常数）
)1(0)()( yxQyxPy
问题,一定是通解吗？2211 yCyCy
定理 2,如果 )(
1
xy 与 )(
2
xy 是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的特解,那么 2211 yCyCy 就是方程 (1)
的通解,
例如,0 yy
,s i n,co s 21 是它的两个特解xyxy
,t a n
1
2 常数且 x
y
y
.s i nc o s 21 xCxCy 通解为
2.二阶非齐次线性方程的解的结构,
定理 3 设
*
y 是二阶非齐次线性方程
)2()()()( xfyxQyxPy
的一个特解,Y 是与 (2) 对应的齐次方程 (1) 的通解,那么
*
yYy 是二阶非齐次线性微分方程 (2)
的通解,
Example 8.
.2)
,(
2
)(
1
2121
的通解是方程意常数为任验证
x
x
xx
exyyyx
CC
e
eCeC
x
y


定理 4 设非齐次方程 (2) 的右端 )( xf 是几个函数之和,如 )()()()(
21
xfxfyxQyxPy
而
*
1
y 与
*
2
y 分别是方程,
)()()(
1
xfyxQyxPy
)()()(
2
xfyxQyxPy
的特解,那么
*
2
*
1
yy? 就是原方程的特解,
解的叠加原理
.0)()(
,)()()(
.5
*
2
*
1
*
2
*
1
的特解是则的两个特解是与设定理


yxQyxPyyy
xfyxQyxPyyy
Example 9.
.
,66)22()2()2(
3,3,3
22
2
3
2
21
求此方程的通解的解都是方程已知


xyxyxyxx
exyxyy x
Solution.,212 是对应齐次方程的特解xyy
,23 是对应齐次方程的特解xeyy
.,
2
23
12 它们线性无关且
xe
x
yy
yy?
.3221 xeCxCy所求通解为七,n阶线性微分方程解的结构
( 1) )()()()( 1)1(1)( xfyxPyxPyxPy nnnn
( 2) 0)()()( 1)1(1)( yxPyxPyxPy nnnn?
.)2(
,)2(,,.1
2211
21
的解是则的解是若
nn
n
yCyCyCy
yyy

.)2(
,)2(,,.2
2211
21
的通解是则的线性无关的特解是若
nn
n
yCyCyCy
yyy

.)1(
,)2(,)1(,3
*
*
的通解是则的通解是的特解是若
yYy
Yy

.)()()(
,)()()(
,)()()(,4
21
)(*
2
*
1
2
)1(
1
)(*
2
1
)1(
1
)(*
1
的特解是则的特解是的特解是若
xfxfyxPyyy
xfyxPyxPyy
xfyxPyxPyy
n
n
n
nn
n
nn



.)2(,)1(,5 *1*2*2*1 的特解是则的两个特解是与若 yyyy?
八、变系数微分方程的常数变易法结论 1.
则其通解为的一个特解为若,0)()(1 yxqyxpyy
.1 )(2
1
1211 dxeyyCyCy
dxxP
结论 2.
的通解为则的特解为若
)()()(
,0)()(,21
xfyxqyxpy
yxqyxpyyy


.)( )()( )( 12212211 dxxw xfyydxxw xfyyyCyCy
.)(
21
21
yy
yyxw
其中 The end