Chapter 4(4)
第一类曲面积分教学要求：
1,理解第一类 (对面积的 )曲面积分的概念和性质 ;
2,掌握计算第一类曲面积分的方法 ;
3,了解第一类曲面积分的应用,
,引例与概念一
,性质二
,算对面积的曲面积分的计三
,用对面积的曲面积分的应四引例,
.,
),,(
求其质量构件的非均匀光滑曲面形设有面密度为
zyx?
Solution,
ox
y
z
分割,,,iS 分割用一族曲面将
,),,( iiii S
),,( iii;),,( iiiii Sm
求和,;),,(
1

n
i
iiii Sm
取极限,.),,(lim
10


n
i
iiii Sm
近似值精确值
,引例与概念一第一类曲面积分的定义
,),,(,,是有界函数是可以度量的表示曲面设 zyxf?
);(,,)1( 1 也表量度个小部分任意分划成将 in SSSn
),,1(,),,(,),,()2( niSfS iiiiiiii 作乘积;),,(
1
n
i
iiii Sf作和
},{m ax )3( 1 的直径记 ini S
,),,(,上怎样的取法在怎样的分划如果无论对 iiii S

n
i
iiii Sf
10
),,(lim
.),,(,上的曲面积分在则称其为都存在?zyxf
记为,),,(lim),,(
10



n
i
iiii SfdSzyxf
注意,
.),,(
,),,( )1(
存在积分对面积的曲面上连续时在光滑曲面当

dSzyxf
zyxf
.),,( )2( dSzyxm?曲面型构件的质量
.),,(,)3( dSzyxf则记为为封闭曲面若
.0 )4( iS 第一类曲面积分与曲面的方向无关 !
,性质二
.),(),()],(),([)1( dSyxgdSyxfdSyxgyxf
).(),(),( )2( 为常数kdSyxfkdSyxkf
.),(),(),()3( 21 dSyxfdSyxfdSyxf
).( 21
,)4( dSS
,算对面积的曲面积分的计三
1,直接计算法定理 2.,),(),,(,)1( xyDyxyxzz设有光滑曲面
,),,()2( 上连续在?zyxf
.1)],(,,[),,( 22
xyD
yx d xd yzzyxzyxfdSzyxf则
Proof,
ox
y
z
d
co s
ddS?
}1,,{ yx zzn?
dzzdS yx 221
故结论成立,
dS
n
,),(),,(,)2( yzDzyzyxx若光滑曲面为
.1],),,([),,( 22
yzD
zy d y dzxxzyzyxfdSzyxf则注意,
(1) 计算过程可概括为,一投影二代三换,,化为二重积分,
,),(),,(,)3( zxDxzxzyy若光滑曲面为
.1]),,(,[),,( 22
zxD
zx d z d xyyzxzyxfdSzyxf则
(4) 一般地,向投影区域易找且 面积非 0 的坐标面投影,
,.1 2223 在圆锥面是半球面计算 yxazdSzex
Solution,
y
z
ox
,,222 yxaz
,222
yxa
xz
x
,
222 yxa
yz
y

,1 222
2
22
yxa
azz
yx
,
0
2:
2
22


z
a
yx
D xy

dSz 3
xyD
23)( 222 yxa dxdy
yxa
a
222
xyD dxdyyxaa )( 222 20 2220 )(a r d rraad
.83 5a
.22 里的部分yxz
.1
,0,0,0,)(.2
边界曲面所围成的四面体的整个是由计算


zyx
zyxdSzyxex
Solution,
y
z
ox
,0:1 x ;10,10, yyzD yz
,0:2 y ;10,10, xxzD zx
,0:3 z ;10,10, xxyD xy
,1:4 yxz ;10,10, xxyD xy



4321
)( dSzyx


43
3

xyxy DD
dxd ydxd yyx 3)(3,
2
31;d yd zdS?;dz dxdS?;dxdydS?;3 dx dydS?
,
0,
1
.3
222
222
Ryx
hzzdS
zyx
Iex




之间的圆柱面及是介于平面计算
Solution,
y
z
ox;,0,RyRhzD yz
,,221 yRx
,22
yR
yx
y?

,0?zx
,1 22
2
22
yR
Rxx
zy
,,222 yRx,1 22
2
22
yR
Rxx
zy

yzD
dy dz
yR
R
zR 2222
1




21
222222
11 dS
zyx
dS
zyx
I

yzD
dy dz
yR
R
zR 2222
1

yzD
dy dz
yR
R
zR 2222
12
hR R dzzRdyyRR 0 2222 112
.a r ct a n2 Rh
2,利用对称性简化计算
,)1( 面对称关于当 xoy?





),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,( 2
zyxfzyxf
zyxfzyxfdSzyxf
dSzyxf
,)2( 面对称关于当 y oz?





),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,( 2
zyxfzyxf
zyxfzyxfdSzyxf
dSzyxf
,)3( 面对称关于当 z ox?





),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,( 2
zyxfzyxf
zyxfzyxfdSzyxf
dSzyxf
,
,)(.4
2222 azyx
dSzxyzxyIex


为球面计算
Solution,球面关于三个坐标面对称,
,,,,,的奇函数是关于且 zyxzxyzxy

dSzxyzxyI )(


z xdSy z dSxy dS
.0000
e x 5,计算
xd S,其中? 是圆柱面 122 yx,
平面 2 xz 及 0?z 所围成的空间立体的表面,
Solution,



321
x
yz
其中 1?,0?z,投影域 xyD,122 yx
2?,2 xz,投影域 xyD,122 yx
显然 0
1

xyD
xdx dyxdS,
,011
2

xyD
dx dyxxd S
3?,122 yx,
讨论 3? 时,将投影域选在 x o z 上,
（ 注意,21 xy 分为左、右两片 ）
,11,20, xxzD xz投影域
xozx
yz

3
x d S
31
xdS
32
x d S
xzD
zx dxdzyyx
2212


xzD
d xd z
x
xx
2
2
1
12
1 1 20212 x dzdxxx,

xdS 00,
,
1,.6 22
割下的部分被为其中计算
zyxzdSx yzIex
Solution,
x y
z
,zxyx y z
,
22
面对称面与关于抛物面
z o xy oz
yxz
,的偶函数与是关于而 yxzxyx y z?


1
4 x y z dSI d x d yyxyxxy
xyD
2222 )2()2(1)(4
10 2520 c o ss i n414 drrrd
,
420
15125
e x 7,计算 dSzyx )( 222
,其中? 为内接于球面
2222 azyx
的八面体 azyx |||||| 表面,
Solution,?关于三个坐标面对称,
),,( zyxf 222 zyx,,,的偶函数是关于 zyx
故原积分

1
8,
( 其中 1? 表示第一卦限部分曲面 )
1?,azyx,即 yxaz
d x d yzzdS yx 221 d x d y3?
axxayD xy 0,0:
dSzyx )( 222


1
)(8 222 dSzyx
dxdyyxayx
xyD
3])([8 222
.32 4a?
xaa dyyxayxdx 0 2220 ])([38
,用对面积的曲面积分的应四
,),,()1( 的面密度时表示当?zyx? ;),,( dSzyxm?;,1),,()2( dSSzyxf 面积时当
)3( 曲面构件的重心坐标
,,,







dS
dSz
z
dS
dSy
y
dS
dSx
x
曲面构件的转动惯量)4(
,)(,)( 2222 dSzxIdSzyI yx
,)(,)( 22222 dSzyxIdSyxI oz
Page213(ex4)
The end