Chapter 4(6)
Gauss公式与通量教学要求：
1,了解 Gauss公式 ;
2,会用 Gauss公式计算曲面积分；
3,了解通量与散度的概念并会计算,
G a u s s,公式一
,零的条件沿闭曲面的曲面积分为二
,通量与散度三
,综合题解四
G au s s,公式一
—— 高斯公式或奥氏公式或奥高公式定理 1.; )1( 所围成由分片光滑的闭曲面设空间闭区域;),,(),,,(),,,()2( 上有一阶连续偏导在?zyxRzyxQzyxP
dv
z
R
y
Q
x
PR d x d yQ d z d xPd y d z )( 则
dv
z
R
y
Q
x
PdSRQP )()c o sc o sc o s(或
.),,(
c os,c os,c os,
弦处的外法向量的方向余上点是的整个边界曲面的外侧是其中
zyx?
Proof,
(1)设平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点不多于两个，如图
x
y
z
o
设闭区域? 在 xoy 面上的投影区域为 xyD,
xyD
由 1?,2? 和 3? 三部分组成,
1? ;),,(,11 取下侧yxzz
2?;),,(,22 取上侧yxzz
3?
.,3 取外侧?
}),(),,(),(|),,{( 21 xyDyxyxzzyxzzyx且根据三重积分的计算法
dxdydzzRdvzR
xyD
yxz
yxz
}{ ),(
),(
2
1
.) ] },(,,[)],(,,[{ 12
xyD
dxd yyxzyxRyxzyxR
根据曲面积分的计算法
,),,(
321
R d x d yR d x d yR d x d yd x d yzyxR
xyD
dxdyyxzyxR )],(,,[ 1
xyD
dxd yyxzyxR )],(,,[ 20?
.),,(
dxdyzyxRdvzR
同理,}),(),,(),(|),,{( 21 xzDzxzxyyzxyzyx
,
Q d z d xdvyQ
}),(),,(),(|),,{( 21 yzDzyzyxxzyxzyx
,
Pd y d zdvxP
三式相加得,
.)(
Rd x d yQd z d xPd y d zdvzRyQxP
(2)当平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点多于两个时,引进辅助曲面分成多个 (1)中的区域，可得结论,
注意,
(1) Gauss公式的实质：表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系,
(2) Gauss公式可用来简化某些曲面积分的计算,
(3) 不是封闭曲面时,添加辅助面后可用 Gauss公式,
(4) 使用 Gauss公式时应考虑,P,Q,R是对什么变量求偏导,是否有连续偏导,是否是闭曲面的外侧,
如果是闭曲面的内侧,则在三重积分号前添,?”号 !
(5) 可用曲面积分计算空间区域的体积,
z dxd yy dz dxxdy dzV 31
x d yd z
or
ydz d x
or
z d x d y
or
Solution,利用 Gauss公式，有, 所围的区域为记
dv
z
R
y
Q
x
P )(原式
d x d yd zxy )(
aaa dzxydydx 000 )(
.4a?
,)()(.1 22
d x d yxzyd z d xxd yd zzxyex 计算其中?是第一卦限内边长为 a的正方体表面并取外侧,
ex 2,计算曲面积 分 x d y d zzyd x d yyx )()(
,其中 Σ 为柱面 1
22
yx 及平面 3,0 zz 所围成的空间闭区域? 的整个边界曲面的外侧,
Solution,
o
x
y
z
1 1
3
利用 Gauss公式,得
dv
z
R
y
Q
x
P )(原式
d x d y d zzy )(
dzr d r dzr )s i n(
301020 )s in( dzzrr d rd,29
.
c o s,c o s,c o s,
)c o sc o sc o s(.3
2222
333
的方向余弦是球面内法线球面是其中计算
azyx
dSzyxex
Solution., 所围空间区域为记 由 Gauss公式,有
d x d yzd z d xyd yd zx 333原式
dvzyx )(3 222
a ddd 0 4020 si n3,512 5a
ddds i n3 22
,零的条件沿闭曲面的曲面积分为二定理 2,; )1( 是一个空间的单连通域设开区域 G;),,(),,,(),,,()2( 内有一阶连续偏导在 GzyxRzyxQzyxP
则有结论,
,)1( 内任一有向闭曲面为若 G?
.00
z
R
y
Q
x
PR dx dyQ dz dxP dy dz
,,)2( 21 任两有向曲面内同一边界曲线所张的为若 G
21
R d x d yQ d z d xP d y d zR d x d yQ d z d xP d y d z
.0 zRyQxP
Proof,
由 Gauss公式，有
dvzRyQxPRd x d yQ d z d xP d yd z
)(
00
dv
反证法
,00 zRyQxPMG 使得内有一点假设在
,0 zRyQxP不妨设,,,连续由于 zRyQxP
,1
10
小空间区域为边界曲面的的内存在一个包含故在 MG
,01 zRyQxP内也有且在
0)(
11
dv
z
R
y
Q
x
PR d x d yQ d z d xPd y d z
与已知矛盾，故结论成立,
,通量与散度三定义,
) },,,(),,,(),,,({),,( zyxRzyxQzyxPzyxv设向量场则处的单位法向量上是有向曲面,),,( zyxn
);( 流量指定侧的通量通过叫做则
vdSnv
.),( vd i vd i ve r g en c evzRyQxP 记为的散度叫做而
注意,,)1(
R dxdyQ dz dxP dy dz通量即为
(2)Gauss公式可写成,
dSnvdvvdiv
,)3(
dvvdi v?对封闭区域来说通量为
(4)由 Gauss公式可知
R dxdyQ dz dxP dy dzV1
dv
z
R
y
Q
x
P
V )(
1
),,(
)(
z
R
y
Q
x
P
即源头强度等于散度,
).(
)0(;) },co s (),co s (,{.4
222
22
流向外侧的侧表面的通量面并计算此向量场穿过曲求设
azayx
vd i vxzxyexvex y
Solution,
z
R
y
Q
x
Pvd i v
yxe2? )s in ( xyx? )s in(2 2xzxz?
dSnv
d x d yxzd zd xxyd y d zex y )c o s ()c o s ( 22
,,面对称于曲面 z o xyo z
,0面上投影为在又曲面 xoy?,0
dSnv
,,)c o s (,2 的偶函数分别是而 yxxyex y
x
y
z
o a
,综合题解四
,)1(24.5 2
d x d yzy z d z d xz x d y d zex 计算
.2,?轴正向夹角恒大于其法向量与所成的曲面 z
Solution,所给曲面如图，
ae
轴旋转一周绕为由曲线其中 zay
x
ez y )0(
0
,:1 aez添加辅助面 取上侧
,,1 围成的空间区域为记由 Gauss公式有
11
原式
11
dvzzz )224(
1
)1( 2 dxdyz
222
)1( 2
ayx
a dxdye
.)1( 22 ae a
,)1(.6 22
d y d zyxxfIex 计算
Solution,如图所示,,面对称关于 yo z?
.)1( 22 的奇函数是 xyxxf
,1,21 yx记 取前侧,
1
)1(2 22 d y d zyxxfI
x
y
z
o
1
1
1?
11
11
2 )2(12
y
z
d y d zfy
1
1
21
1 1)2(2 dzydyf
).2(2 f
.11122 所截的外侧与被是其中 zzyx
,.7 22
y d zd xxzd x d yyIex 计算
.)10( 22 的下侧是第一卦限内抛物面 zyxz
Solution,如图所示，
,0:1 x添加辅助面 取后侧
,0:2 y 取左侧
,1:3 z 取上侧
x
y
z
o
1
由 Gauss公式有
321321
I
,,,,321 围成的空间区域为记
dvyx )( 22
3
2 z d x d yy
.48
dzr d r dr?2
110 320 2r dzdrrd
2
0
10
2
r
d x d yy
10 320 2s i n drrd
x
y
z
o
,c o s.8 2
dSzxex?计算曲面积分
.轴正向的夹角向上的法线正向与是 oz
Solution,如图所示，
0s i nc o ss i n0 2222
2
2
0
a ddd
a ddd 0 4
2
32
0
2 s i nc o s
,2222 的下半部是球面其中 azyx
,0:1 z添加辅助面 取下侧
11
原式
dvx 2
1
2 z d x d yx
,0.9 222 围成与平面由曲面设空间区域 zyxazex
其中 a为正常数,记 Ω 表面的外侧为 ∑,Ω 的体积为 V,
.)1( 2222
Vd x d yx yzzd z d xzxyd yd zyzx证明
Proof,
dvxy zV
2
.V
y o z
xx y z
面对称于为奇函数关于
x
y
z
o
dvx yzx yzx yz
G a u s s
)2122( 22
公式左边
.)()()( dxdyzqdz dxypdy dzxr
求的外侧为长方体可微设
,0
,0,0,)(),(),(.10
cz
byaxzqypxrex
Solution,
dvzqypxr
G a u s s
)]()()([
公式原式
cba dzzqypxrdydx 000 )]()()([
dyzqzypxrdx b ca 0 00 |)}()]()({[
dyqcqcypxrdx ba 00 )}0()()]()({[
The end
Gauss公式与通量教学要求：
1,了解 Gauss公式 ;
2,会用 Gauss公式计算曲面积分；
3,了解通量与散度的概念并会计算,
G a u s s,公式一
,零的条件沿闭曲面的曲面积分为二
,通量与散度三
,综合题解四
G au s s,公式一
—— 高斯公式或奥氏公式或奥高公式定理 1.; )1( 所围成由分片光滑的闭曲面设空间闭区域;),,(),,,(),,,()2( 上有一阶连续偏导在?zyxRzyxQzyxP
dv
z
R
y
Q
x
PR d x d yQ d z d xPd y d z )( 则
dv
z
R
y
Q
x
PdSRQP )()c o sc o sc o s(或
.),,(
c os,c os,c os,
弦处的外法向量的方向余上点是的整个边界曲面的外侧是其中
zyx?
Proof,
(1)设平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点不多于两个，如图
x
y
z
o
设闭区域? 在 xoy 面上的投影区域为 xyD,
xyD
由 1?,2? 和 3? 三部分组成,
1? ;),,(,11 取下侧yxzz
2?;),,(,22 取上侧yxzz
3?
.,3 取外侧?
}),(),,(),(|),,{( 21 xyDyxyxzzyxzzyx且根据三重积分的计算法
dxdydzzRdvzR
xyD
yxz
yxz
}{ ),(
),(
2
1
.) ] },(,,[)],(,,[{ 12
xyD
dxd yyxzyxRyxzyxR
根据曲面积分的计算法
,),,(
321
R d x d yR d x d yR d x d yd x d yzyxR
xyD
dxdyyxzyxR )],(,,[ 1
xyD
dxd yyxzyxR )],(,,[ 20?
.),,(
dxdyzyxRdvzR
同理,}),(),,(),(|),,{( 21 xzDzxzxyyzxyzyx
,
Q d z d xdvyQ
}),(),,(),(|),,{( 21 yzDzyzyxxzyxzyx
,
Pd y d zdvxP
三式相加得,
.)(
Rd x d yQd z d xPd y d zdvzRyQxP
(2)当平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点多于两个时,引进辅助曲面分成多个 (1)中的区域，可得结论,
注意,
(1) Gauss公式的实质：表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系,
(2) Gauss公式可用来简化某些曲面积分的计算,
(3) 不是封闭曲面时,添加辅助面后可用 Gauss公式,
(4) 使用 Gauss公式时应考虑,P,Q,R是对什么变量求偏导,是否有连续偏导,是否是闭曲面的外侧,
如果是闭曲面的内侧,则在三重积分号前添,?”号 !
(5) 可用曲面积分计算空间区域的体积,
z dxd yy dz dxxdy dzV 31
x d yd z
or
ydz d x
or
z d x d y
or
Solution,利用 Gauss公式，有, 所围的区域为记
dv
z
R
y
Q
x
P )(原式
d x d yd zxy )(
aaa dzxydydx 000 )(
.4a?
,)()(.1 22
d x d yxzyd z d xxd yd zzxyex 计算其中?是第一卦限内边长为 a的正方体表面并取外侧,
ex 2,计算曲面积 分 x d y d zzyd x d yyx )()(
,其中 Σ 为柱面 1
22
yx 及平面 3,0 zz 所围成的空间闭区域? 的整个边界曲面的外侧,
Solution,
o
x
y
z
1 1
3
利用 Gauss公式,得
dv
z
R
y
Q
x
P )(原式
d x d y d zzy )(
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301020 )s in( dzzrr d rd,29
.
c o s,c o s,c o s,
)c o sc o sc o s(.3
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333
的方向余弦是球面内法线球面是其中计算
azyx
dSzyxex
Solution., 所围空间区域为记 由 Gauss公式,有
d x d yzd z d xyd yd zx 333原式
dvzyx )(3 222
a ddd 0 4020 si n3,512 5a
ddds i n3 22
,零的条件沿闭曲面的曲面积分为二定理 2,; )1( 是一个空间的单连通域设开区域 G;),,(),,,(),,,()2( 内有一阶连续偏导在 GzyxRzyxQzyxP
则有结论,
,)1( 内任一有向闭曲面为若 G?
.00
z
R
y
Q
x
PR dx dyQ dz dxP dy dz
,,)2( 21 任两有向曲面内同一边界曲线所张的为若 G
21
R d x d yQ d z d xP d y d zR d x d yQ d z d xP d y d z
.0 zRyQxP
Proof,
由 Gauss公式，有
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)(
00
dv
反证法
,00 zRyQxPMG 使得内有一点假设在
,0 zRyQxP不妨设,,,连续由于 zRyQxP
,1
10
小空间区域为边界曲面的的内存在一个包含故在 MG
,01 zRyQxP内也有且在
0)(
11
dv
z
R
y
Q
x
PR d x d yQ d z d xPd y d z
与已知矛盾，故结论成立,
,通量与散度三定义,
) },,,(),,,(),,,({),,( zyxRzyxQzyxPzyxv设向量场则处的单位法向量上是有向曲面,),,( zyxn
);( 流量指定侧的通量通过叫做则
vdSnv
.),( vd i vd i ve r g en c evzRyQxP 记为的散度叫做而
注意,,)1(
R dxdyQ dz dxP dy dz通量即为
(2)Gauss公式可写成,
dSnvdvvdiv
,)3(
dvvdi v?对封闭区域来说通量为
(4)由 Gauss公式可知
R dxdyQ dz dxP dy dzV1
dv
z
R
y
Q
x
P
V )(
1
),,(
)(
z
R
y
Q
x
P
即源头强度等于散度,
).(
)0(;) },co s (),co s (,{.4
222
22
流向外侧的侧表面的通量面并计算此向量场穿过曲求设
azayx
vd i vxzxyexvex y
Solution,
z
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x
Pvd i v
yxe2? )s in ( xyx? )s in(2 2xzxz?
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d x d yxzd zd xxyd y d zex y )c o s ()c o s ( 22
,,面对称于曲面 z o xyo z
,0面上投影为在又曲面 xoy?,0
dSnv
,,)c o s (,2 的偶函数分别是而 yxxyex y
x
y
z
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,综合题解四
,)1(24.5 2
d x d yzy z d z d xz x d y d zex 计算
.2,?轴正向夹角恒大于其法向量与所成的曲面 z
Solution,所给曲面如图，
ae
轴旋转一周绕为由曲线其中 zay
x
ez y )0(
0
,:1 aez添加辅助面 取上侧
,,1 围成的空间区域为记由 Gauss公式有
11
原式
11
dvzzz )224(
1
)1( 2 dxdyz
222
)1( 2
ayx
a dxdye
.)1( 22 ae a
,)1(.6 22
d y d zyxxfIex 计算
Solution,如图所示,,面对称关于 yo z?
.)1( 22 的奇函数是 xyxxf
,1,21 yx记 取前侧,
1
)1(2 22 d y d zyxxfI
x
y
z
o
1
1
1?
11
11
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y
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1
1
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1 1)2(2 dzydyf
).2(2 f
.11122 所截的外侧与被是其中 zzyx
,.7 22
y d zd xxzd x d yyIex 计算
.)10( 22 的下侧是第一卦限内抛物面 zyxz
Solution,如图所示，
,0:1 x添加辅助面 取后侧
,0:2 y 取左侧
,1:3 z 取上侧
x
y
z
o
1
由 Gauss公式有
321321
I
,,,,321 围成的空间区域为记
dvyx )( 22
3
2 z d x d yy
.48
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110 320 2r dzdrrd
2
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10 320 2s i n drrd
x
y
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,c o s.8 2
dSzxex?计算曲面积分
.轴正向的夹角向上的法线正向与是 oz
Solution,如图所示，
0s i nc o ss i n0 2222
2
2
0
a ddd
a ddd 0 4
2
32
0
2 s i nc o s
,2222 的下半部是球面其中 azyx
,0:1 z添加辅助面 取下侧
11
原式
dvx 2
1
2 z d x d yx
,0.9 222 围成与平面由曲面设空间区域 zyxazex
其中 a为正常数,记 Ω 表面的外侧为 ∑,Ω 的体积为 V,
.)1( 2222
Vd x d yx yzzd z d xzxyd yd zyzx证明
Proof,
dvxy zV
2
.V
y o z
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面对称于为奇函数关于
x
y
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公式左边
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求的外侧为长方体可微设
,0
,0,0,)(),(),(.10
cz
byaxzqypxrex
Solution,
dvzqypxr
G a u s s
)]()()([
公式原式
cba dzzqypxrdydx 000 )]()()([
dyzqzypxrdx b ca 0 00 |)}()]()({[
dyqcqcypxrdx ba 00 )}0()()]()({[
The end
