Chapter 4(5)
第二类曲面积分教学要求：
1,了解第二类 (对坐标的 )曲面积分的概念与性质 ;
2,掌握计算第二类曲面积分的方法 ;
4,了解第二类曲面积分的应用,
3,了解两类曲面积分的关系 ;
,曲面的投影一
)(,流量问题实例二
,定义与性质三
,计算方法四
,两类曲面积分的关系五
,曲面的投影一观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的 )
曲面分 上 侧和 下 侧 曲面分 内 侧和 外 侧曲面有 双侧 曲面和 单侧 曲面,
典型的双侧曲面
n?
典型的单侧曲面莫比乌斯 (Mobius)带曲面的 侧 是利用曲面上 法向量 的 指向 来确定的,
取定了法向量或选定了侧的曲面叫做 有向 曲面,
有向曲面的投影的具体规定如下：
则不变号且轴夹角为量与曲面上各点处法向其面积为投影为面上的在上一小块曲面为是有向曲面设
,c o s,
,)(,)(
,.
z
S
xoyS
xyxy
;
0c o s 0
0c o s )(
0c o s )(
)(
xy
xy
xyS
类似地;
0c o s 0
0c o s )(
0c o s )(
)(
yz
yz
yzS
.
0c o s 0
0c o s )(
0c o s )(
)(
xz
xz
xzS
)(,流量问题实例二
.
,,,,
),,(),,(),,(
的总流量求单位时间内流经曲面为连续函数正侧从给定曲面的负侧流向设某流体以一定的速度
RQP
kzyxRjzyxQizyxP
Solution,
},c o s,c o s,{c o s
,
,
n
A 其法向量面积为为平面区域若
A
v?
0n?
.),c o s( nAnAq此时
,)(
,),,(,
,,
近似代替流速用这点的取近似看成平面在各小片上把个小片须把它分成来说对曲面
i
iiiiii
i
M
SMS
Sn
.
}co s,co s,{ co s)(
上各点处的单位法向量代替用
i
iiii
S
Mn
x
y
z
o
iS? ),,( iii
iv
in?
内的流量近似值为那么 iS?
iiii SRQP )c o sc o sc o s(
iiii SMnM )()(
xyizxiyzi SRSQSP )()()(
])()()([
1
xyizxiyzi
n
i
SRSQSP
},{m a x1 的直径取 ini S
].)()()([l i m
10
xyizxiyzi
n
i
SRSQSP
,定义与性质三
1,定义
,向曲面为光滑或分片光滑的有设?
,)},,(),,,(),,,({ 上有定义且连续在 zyxRzyxQzyxP
];)(,)[()(),(
),()1(
zxiyzixyi
ii
SSSzo xy o z
xoySSn
面上的投影为在也表面积个小片任意分成将
) } ;,,(),,,(),,,({)(
},co s,co s,{ co s)(,),,()2(
iiiiiiiiii
iiiiiiiii
RQPM
MnSM
有
ii
n
i
i SMnM
)()(
1
作和
iiiiiii
n
i
SRQP
]c o sc o sc o s),,([
1
])()())(,,([
1
xyizxiyziiii
n
i
SRSQSP
},{m a x)3( 1 的直径取 ini S ii
n
i
i SMnM
)()(l i m
10
若
iiiiiii
n
i
SRQP
]c o sc o sc o s),,([l i m
10
])()())(,,([l i m
10
xyizxiyziiii
n
i
SRSQSP
则称此极限值为的分法无关的取法和的存在与,?iM
dSRQPdSn )c o sc o sc o s(
.),,(),,(),,(
d x d yzyxRd zd xzyxQd y d zzyxP
记为或对坐标的曲面积分型曲面积分上的在,,II
其中
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,(
—— 对坐标 x,y 的曲面积分
n
i
yziiii SPd y d zzyxP
10
))(,,(lim),,(
—— 对坐标 y,z 的曲面积分
n
i
zxiiii SQd z d xzyxQ
10
))(,,(lim),,(
—— 对坐标 z,x 的曲面积分
2,注意
R d x d yQ d z d xP d y d z
R d x d yQ d z d xP d y d z
)1(
R d x d yQ d zd xP d y d z记为为封闭曲面若,)2(
R d x d yQ d z d xP d y d z流量为)3(
( 4 ) 当 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲面 Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在,
3,性质
21
21
)1(
R d x d yQ d z d xPd y d zR d x d yQ d z d xPd y d z
R d x d yQ d z d xPd y d z
R d x d ykQdz d xkP d ydzk
R d x d ykQdz d xkP d ydzk
321
321
)2(
R d x d yQ d z d xP d yd zR d x d yQ d z d xP d yd z
则相反的侧表示与用,)3(
,计算方法四
1,直接计算法
,),,( )1( 时计算
dxdyzyxR
则且的方程为取,),(),,(,xyDyxyxzz
,1 取上侧时当
xyD
dxdyyxzyxRdxdyzyxR )],(,,[),,(
,2 取下侧时当
xyD
dxdyyxzyxRdxdyzyxR )],(,,[),,(
,),,( )2( 时计算
dy dzzyxP
则且的方程为取,),(),,(,yzDzyzyxx
,1 取前侧时当
yzD
dy dzzyzyxPdy dzzyxP ],),,([),,(
,2 取后侧时当
yzD
dy dzzyzyxPdy dzzyxP ],),,([),,(
,),,( )3( 时计算
dz dxzyxQ
则且的方程为取,),(),,(,zxDxzxzyy
,1 取右侧时当
zxD
dz d xzxzyxQdz d xzyxQ )]),,(,[),,(
,2 取左侧时当
zxD
dz dxzxzyxQdz dxzyxQ )]),,(,[),,(
注意
(1) 计算过程为,一投影二代三正向,;;,)2( 面的曲面积分投影到对坐标 xoyyx;,)3( 面的曲面积分投影到对坐标 y o zzy;,)4( 面的曲面积分投影到对坐标 z o xxz
0.0,)5( 则该积分为若投影面积为
.2,1
,.1 22
22
个边界曲面的外侧所围成的空间区域的整面及平为锥面其中计算
zz
yxzd x d y
yx
e
ex
z
Solution,
如图所示,,1:1 z记 取下侧；
,2:2 z 取上侧；
,,223 yxz 取下侧,
321
22
d x d y
yx
e z
x
y
z
o
1
2
d x d y
yx
e
yx
1
2222
d x d y
yx
e
yx
4
22
2
22
d x d y
yx
e
yx
yx
41
2222
22
1020 e d rd 20 220 dred 2120 dred r
.2 2e
ex 2,计算
xy z dxd y,其中 Σ 是球面
1222 zyx 外侧在 0,0 yx 的部分,
Solution,两部分和分成把 21
,1,221 yxz
,1,222 yxz
x
y
z
2?
1
12
xyz dx dyxyz dx dyxyz dx dy
xyD
dxdyyxxy 221
xyD
dx dyyxxy )1( 22
.0,0,1,22 yxyxD xy
取下侧 ;
取上侧 ;
xyD
d x d yyxxy 2212
xyD
r dr drr 22 1c o ss in2
2,对称性简化计算法则面对称关于,1 xoy
上时当
d x d yzyxRd x d yzyxR
zyxRzyxR
),,(2),,(
,),,(),,( )1(
0),,(,),,(),,( )2(
dxdyzyxRzyxRzyxR 时当
.1521coss i n2 10 2220 r d rrrd
则面对称关于,2 y o z
前时当
d yd zzyxPd yd zzyxP
zyxPzyxP
),,(2),,(
,),,(),,( )1(
0),,(,),,(),,( )2(
dy dzzyxPzyxPzyxP 时当则面对称关于,3 z o x
右时当
d z d xzyxQd z d xzyxQ
zyxQzyxQ
),,(2),,(
,),,(),,( )1(
0),,(,),,(),,( )2(
dz dxzyxQzyxQzyxQ 时当
.
,02.3
222222
222222
dxdyxzd z d xzyd y d zyxI
bzyazyxex
外求为设
Solution.
,,关于三个坐标面对称的曲面方程可以看出由
,,,,,222222 的偶函数是关于且 zyxxzzyyx
.0 I
,
)0(
,)()()(.4
22
界曲面的外侧成的空间区域的整个边所围及平面为曲面其中计算
hzyxz
dxdyyxd z d xxzd y d zzyex
Solution,如图所示,
x
y
z
o
h
,面对称面和由于曲面关于 z o xy o z
,),,( 的偶函数是关于且 xzyzyxP
,),,( 的偶函数是关于 yxzzyxQ
,0)(
d y d zzy 0)(
d zd xxz
,,221 yxz记 取下侧 ;,:2 hz 取上侧 ;
x
y
z
o
h
d x d yyx
)(原式
dxdyyx
hyx
222
)( d x d yyx
hyx
222
)( 0?
21
)()( dxdyyxdxdyyx
222,hyxD
,
,)1(.5 22
z d x d yy d z d xx d y d z
zyxzex
计算的上侧为设
Solution,如图所示,
x
y
z
o
1
由区域的对称性和被积函数的奇偶性得
前原式 x d yd z2
右
yd z d x2 dxdyz
前
x d yd z4 dxdyz
11
1
2
2
4
y
zy
d y d zyz dxdyyx
yx
1
22
22
)(
1 21 1 24 y dzyzdy 10 320 drrd,22
,两类曲面积分的关系五
dxdyzyxRdz dxzyxQdy dzzyxP ),,(),,(),,(
dSzyxRzyxQzyxP ]c os),,(c os),,(c os),,([
.
),,(}c o s,c o s,{ c o s
方向余弦处的法向量的上点为其中 zyx
d x d yzzyxf
d zd xyzyxfd y d zxzyxfex
]),,([
]),,(2[]),,([.6
计算
,1,在第四卦限部分的上侧是平面连续其中 zyxf
Solution,如图所示,
x
y
z
o
1
1
1?
取上侧记,1,yxz
n?
)1,1,1()1,1,1(n?则
,31co s,
3
1co s
3
1c o s
31]),,({[ xzyxf原式
)31](),,(2[ yzyxf dSzzyxf }31]),,([
dSzyx )(31
dS31
.2160s i n222131
ex 7,计算 z dx dydy dzxz
)( 2,其中 Σ 是旋转抛物面
)(
2
1 22
yxz 介于 0?z 及 2?z 之间的部分的下侧,
Solution,
有上在曲面,?
}1,,{ yxn?
,
1
c os 22
yx
x
,
1
1c os
22 yx
由对称性及奇偶性得
d yd zxz )( 2
xdy dz
dSx?c os
d xd yxc o sc o s
d x d yzxxz d x d yd ydzxz ])([)( 2
xyD
dxdyyxx )](21[ 222
xyD
dxdyyxx )](21[ 222
20 22220 )21co s( r d rrrd
.8 The end
第二类曲面积分教学要求：
1,了解第二类 (对坐标的 )曲面积分的概念与性质 ;
2,掌握计算第二类曲面积分的方法 ;
4,了解第二类曲面积分的应用,
3,了解两类曲面积分的关系 ;
,曲面的投影一
)(,流量问题实例二
,定义与性质三
,计算方法四
,两类曲面积分的关系五
,曲面的投影一观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的 )
曲面分 上 侧和 下 侧 曲面分 内 侧和 外 侧曲面有 双侧 曲面和 单侧 曲面,
典型的双侧曲面
n?
典型的单侧曲面莫比乌斯 (Mobius)带曲面的 侧 是利用曲面上 法向量 的 指向 来确定的,
取定了法向量或选定了侧的曲面叫做 有向 曲面,
有向曲面的投影的具体规定如下：
则不变号且轴夹角为量与曲面上各点处法向其面积为投影为面上的在上一小块曲面为是有向曲面设
,c o s,
,)(,)(
,.
z
S
xoyS
xyxy
;
0c o s 0
0c o s )(
0c o s )(
)(
xy
xy
xyS
类似地;
0c o s 0
0c o s )(
0c o s )(
)(
yz
yz
yzS
.
0c o s 0
0c o s )(
0c o s )(
)(
xz
xz
xzS
)(,流量问题实例二
.
,,,,
),,(),,(),,(
的总流量求单位时间内流经曲面为连续函数正侧从给定曲面的负侧流向设某流体以一定的速度
RQP
kzyxRjzyxQizyxP
Solution,
},c o s,c o s,{c o s
,
,
n
A 其法向量面积为为平面区域若
A
v?
0n?
.),c o s( nAnAq此时
,)(
,),,(,
,,
近似代替流速用这点的取近似看成平面在各小片上把个小片须把它分成来说对曲面
i
iiiiii
i
M
SMS
Sn
.
}co s,co s,{ co s)(
上各点处的单位法向量代替用
i
iiii
S
Mn
x
y
z
o
iS? ),,( iii
iv
in?
内的流量近似值为那么 iS?
iiii SRQP )c o sc o sc o s(
iiii SMnM )()(
xyizxiyzi SRSQSP )()()(
])()()([
1
xyizxiyzi
n
i
SRSQSP
},{m a x1 的直径取 ini S
].)()()([l i m
10
xyizxiyzi
n
i
SRSQSP
,定义与性质三
1,定义
,向曲面为光滑或分片光滑的有设?
,)},,(),,,(),,,({ 上有定义且连续在 zyxRzyxQzyxP
];)(,)[()(),(
),()1(
zxiyzixyi
ii
SSSzo xy o z
xoySSn
面上的投影为在也表面积个小片任意分成将
) } ;,,(),,,(),,,({)(
},co s,co s,{ co s)(,),,()2(
iiiiiiiiii
iiiiiiiii
RQPM
MnSM
有
ii
n
i
i SMnM
)()(
1
作和
iiiiiii
n
i
SRQP
]c o sc o sc o s),,([
1
])()())(,,([
1
xyizxiyziiii
n
i
SRSQSP
},{m a x)3( 1 的直径取 ini S ii
n
i
i SMnM
)()(l i m
10
若
iiiiiii
n
i
SRQP
]c o sc o sc o s),,([l i m
10
])()())(,,([l i m
10
xyizxiyziiii
n
i
SRSQSP
则称此极限值为的分法无关的取法和的存在与,?iM
dSRQPdSn )c o sc o sc o s(
.),,(),,(),,(
d x d yzyxRd zd xzyxQd y d zzyxP
记为或对坐标的曲面积分型曲面积分上的在,,II
其中
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,(
—— 对坐标 x,y 的曲面积分
n
i
yziiii SPd y d zzyxP
10
))(,,(lim),,(
—— 对坐标 y,z 的曲面积分
n
i
zxiiii SQd z d xzyxQ
10
))(,,(lim),,(
—— 对坐标 z,x 的曲面积分
2,注意
R d x d yQ d z d xP d y d z
R d x d yQ d z d xP d y d z
)1(
R d x d yQ d zd xP d y d z记为为封闭曲面若,)2(
R d x d yQ d z d xP d y d z流量为)3(
( 4 ) 当 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲面 Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在,
3,性质
21
21
)1(
R d x d yQ d z d xPd y d zR d x d yQ d z d xPd y d z
R d x d yQ d z d xPd y d z
R d x d ykQdz d xkP d ydzk
R d x d ykQdz d xkP d ydzk
321
321
)2(
R d x d yQ d z d xP d yd zR d x d yQ d z d xP d yd z
则相反的侧表示与用,)3(
,计算方法四
1,直接计算法
,),,( )1( 时计算
dxdyzyxR
则且的方程为取,),(),,(,xyDyxyxzz
,1 取上侧时当
xyD
dxdyyxzyxRdxdyzyxR )],(,,[),,(
,2 取下侧时当
xyD
dxdyyxzyxRdxdyzyxR )],(,,[),,(
,),,( )2( 时计算
dy dzzyxP
则且的方程为取,),(),,(,yzDzyzyxx
,1 取前侧时当
yzD
dy dzzyzyxPdy dzzyxP ],),,([),,(
,2 取后侧时当
yzD
dy dzzyzyxPdy dzzyxP ],),,([),,(
,),,( )3( 时计算
dz dxzyxQ
则且的方程为取,),(),,(,zxDxzxzyy
,1 取右侧时当
zxD
dz d xzxzyxQdz d xzyxQ )]),,(,[),,(
,2 取左侧时当
zxD
dz dxzxzyxQdz dxzyxQ )]),,(,[),,(
注意
(1) 计算过程为,一投影二代三正向,;;,)2( 面的曲面积分投影到对坐标 xoyyx;,)3( 面的曲面积分投影到对坐标 y o zzy;,)4( 面的曲面积分投影到对坐标 z o xxz
0.0,)5( 则该积分为若投影面积为
.2,1
,.1 22
22
个边界曲面的外侧所围成的空间区域的整面及平为锥面其中计算
zz
yxzd x d y
yx
e
ex
z
Solution,
如图所示,,1:1 z记 取下侧；
,2:2 z 取上侧；
,,223 yxz 取下侧,
321
22
d x d y
yx
e z
x
y
z
o
1
2
d x d y
yx
e
yx
1
2222
d x d y
yx
e
yx
4
22
2
22
d x d y
yx
e
yx
yx
41
2222
22
1020 e d rd 20 220 dred 2120 dred r
.2 2e
ex 2,计算
xy z dxd y,其中 Σ 是球面
1222 zyx 外侧在 0,0 yx 的部分,
Solution,两部分和分成把 21
,1,221 yxz
,1,222 yxz
x
y
z
2?
1
12
xyz dx dyxyz dx dyxyz dx dy
xyD
dxdyyxxy 221
xyD
dx dyyxxy )1( 22
.0,0,1,22 yxyxD xy
取下侧 ;
取上侧 ;
xyD
d x d yyxxy 2212
xyD
r dr drr 22 1c o ss in2
2,对称性简化计算法则面对称关于,1 xoy
上时当
d x d yzyxRd x d yzyxR
zyxRzyxR
),,(2),,(
,),,(),,( )1(
0),,(,),,(),,( )2(
dxdyzyxRzyxRzyxR 时当
.1521coss i n2 10 2220 r d rrrd
则面对称关于,2 y o z
前时当
d yd zzyxPd yd zzyxP
zyxPzyxP
),,(2),,(
,),,(),,( )1(
0),,(,),,(),,( )2(
dy dzzyxPzyxPzyxP 时当则面对称关于,3 z o x
右时当
d z d xzyxQd z d xzyxQ
zyxQzyxQ
),,(2),,(
,),,(),,( )1(
0),,(,),,(),,( )2(
dz dxzyxQzyxQzyxQ 时当
.
,02.3
222222
222222
dxdyxzd z d xzyd y d zyxI
bzyazyxex
外求为设
Solution.
,,关于三个坐标面对称的曲面方程可以看出由
,,,,,222222 的偶函数是关于且 zyxxzzyyx
.0 I
,
)0(
,)()()(.4
22
界曲面的外侧成的空间区域的整个边所围及平面为曲面其中计算
hzyxz
dxdyyxd z d xxzd y d zzyex
Solution,如图所示,
x
y
z
o
h
,面对称面和由于曲面关于 z o xy o z
,),,( 的偶函数是关于且 xzyzyxP
,),,( 的偶函数是关于 yxzzyxQ
,0)(
d y d zzy 0)(
d zd xxz
,,221 yxz记 取下侧 ;,:2 hz 取上侧 ;
x
y
z
o
h
d x d yyx
)(原式
dxdyyx
hyx
222
)( d x d yyx
hyx
222
)( 0?
21
)()( dxdyyxdxdyyx
222,hyxD
,
,)1(.5 22
z d x d yy d z d xx d y d z
zyxzex
计算的上侧为设
Solution,如图所示,
x
y
z
o
1
由区域的对称性和被积函数的奇偶性得
前原式 x d yd z2
右
yd z d x2 dxdyz
前
x d yd z4 dxdyz
11
1
2
2
4
y
zy
d y d zyz dxdyyx
yx
1
22
22
)(
1 21 1 24 y dzyzdy 10 320 drrd,22
,两类曲面积分的关系五
dxdyzyxRdz dxzyxQdy dzzyxP ),,(),,(),,(
dSzyxRzyxQzyxP ]c os),,(c os),,(c os),,([
.
),,(}c o s,c o s,{ c o s
方向余弦处的法向量的上点为其中 zyx
d x d yzzyxf
d zd xyzyxfd y d zxzyxfex
]),,([
]),,(2[]),,([.6
计算
,1,在第四卦限部分的上侧是平面连续其中 zyxf
Solution,如图所示,
x
y
z
o
1
1
1?
取上侧记,1,yxz
n?
)1,1,1()1,1,1(n?则
,31co s,
3
1co s
3
1c o s
31]),,({[ xzyxf原式
)31](),,(2[ yzyxf dSzzyxf }31]),,([
dSzyx )(31
dS31
.2160s i n222131
ex 7,计算 z dx dydy dzxz
)( 2,其中 Σ 是旋转抛物面
)(
2
1 22
yxz 介于 0?z 及 2?z 之间的部分的下侧,
Solution,
有上在曲面,?
}1,,{ yxn?
,
1
c os 22
yx
x
,
1
1c os
22 yx
由对称性及奇偶性得
d yd zxz )( 2
xdy dz
dSx?c os
d xd yxc o sc o s
d x d yzxxz d x d yd ydzxz ])([)( 2
xyD
dxdyyxx )](21[ 222
xyD
dxdyyxx )](21[ 222
20 22220 )21co s( r d rrrd
.8 The end
