Chapter 4
曲线积分与曲面积分小结第一部分,内容小结一,对弧长的曲线积分
1.定义,,),(lim),(
10
n
i
iii
L
sfdsyxf
.),,(lim),,(
10
n
i
iiii sfdszyxf
2.对弧长的曲线积分的性质,
.),(),()],(),([)1( LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf
).(),(),()2( 为常数kdsyxfkdsyxkf LL
.),(),(),()3(
21
LLL dsyxfdsyxfdsyxf
).( 21 LLL
.),(),( )4( BAAB dsyxfdsyxf
对弧长的曲线积分与路径的走向无关 !
,)5( L dss
3.对弧长的曲线积分的计算,
(1) 直接计算法,方法：一代二换三定限?
)()()](),([),( 22
)(
)(
dtttttfdsyxf
t
ty
tx
L
)(1)](,[),( 2
)(
dxxxxfdsyxf ba
bxa
xy
L
)(1]),([),( 2
)(
dyyyyfdsyxf dc
dyc
yx
L
)()(]s i n)(,c os)([
),(
22
s i n)(
c o s)(
drrrrf
dsyxf
ry
rx
L
)()()()](),(),([
),,(
222
)(
)(
)(
dtttttttf
dszyxf
t
tz
ty
tx
L
(2) 利用对称性简化计算
,)1( 轴时对称于当 xL
),(),( 0
),(),( ),(2
),(
yxfyxf
yxfyxfdsyxf
dsyxf LL 上
,)2( 轴时对称于当 yL
),(),( 0
),(),( ),(2
),(
yxfyxf
yxfyxfdsyxf
dsyxf LL 右
,),()1( 的线密度时表示当 Lyx? ;),( L dsyxm?;,1),()2( L dsLyxf 弧长时当
)3( 曲线弧的重心坐标,,?
L
L
L
L
ds
dsy
y
ds
dsx
x
曲线弧的转动惯量)4(
.)(,,2222 LoLyLx dsyxIdsxIdsyI
对空间曲线构件也有结论 !
4.对弧长的曲线积分的应用,
二,对坐标的曲线积分
1.定义,),(lim),(
10
n
i
iii
L
xPdxyxP
),(lim),(
10
n
i
iii
L
yQdyyxQ
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i xPdxzyxP
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i yQdyzyxQ
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i zRdzzyxR
2.对坐标的曲线积分的性质,
.),(),(
),(),( )1(
21
21
LL
L
dyyxQkdxyxPk
dyyxQkdxyxPk
,
,)2(
21
21
LLL QdyP dxQdyP dxQdyP dx
LLL 则和分成如果把
LL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ),(),(),(),( )3(
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关,
3.对坐标的曲线积分的计算,
(1) 直接计算法,方法：一代二换三定限?
,)}()](),([)()](),([{
)(
)(
dttttQtttP
Qd yP d x
ty
tx
t
L
从
,)}()](,[)](,[{
)(
dxxxxQxxPQ dyPdx ba
xy
baxL
从
,]}),([)(]),([{
)(
dyyyQyyyPQ dyPdx dc
yx
dcyL
从
,
s i n)(
c o s)(
dQd yP d x
ry
rx
L
从
dtttttR
ttttQ
ttttP
Rd zQd yP d x
tz
ty
tx
t
)}()](),(),([
)()](),(),([
)()](),(),([{
)(
)(
)(
从
(2) 利用对称性简化计算
,)1( 轴时对称于当 xL
),(),( 0
),(),( ),(2
),(
yxPyxP
yxPyxPdxyxP
dxyxP LL 上
,)2( 轴时对称于当 yL
),(),( 0
),(),( ),(2
),(
yxQyxQ
yxQyxQdyyxQ
dyyxQ LL 右
4.对坐标的曲线积分的应用,
L dsFW
R d zQ d yP d x
Q d yP d x
L
5.两类曲线积分的关系,
LL dsQPQ d yPd x )c o sc o s(
,),(c o s,c o s 处的切向量的方向余弦在是其中 yxL
dsRQPR d zQ d yPd x )c o sc o sc o s(
,),,(c o s,c o s,c o s 处的切向量的方向余弦在是 zyx
三,对面积的曲面积分
1.定义,,),,(lim),,(
10
n
i
iiii SfdSzyxf
2.对面积的曲面积分的性质,
.),(),()],(),([)1( dSyxgdSyxfdSyxgyxf
).(),(),( )2( 为常数kdSyxfkdSyxkf
.),(),(),()3( 21 dSyxfdSyxfdSyxf
).( 21,)4(
dSS
第一类曲面积分与曲面的方向无关 !
3.对面积的曲面积分的计算,
(1) 直接计算法,方法：一投影二代三换
,),(),,(,)( xyDyxyxzza若光滑曲面为
.1)],(,,[),,( 22
xyD
yx d x d yzzyxzyxfdSzyxf则
,),(),,(,)( yzDzyzyxxb若光滑曲面为
.1],),,([),,( 22
yzD
zy d y dzxxzyzyxfdSzyxf则
,),(),,(,)( zxDxzxzyyc若光滑曲面为
.1]),,(,[),,( 22
zxD
zx d z d xyyzxzyxfdSzyxf则
(d) 一般地,向投影区域易找且 面积非 0 的坐标面投影,
(2) 利用对称性简化计算
,)1( 面对称关于当 xoy?
),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,( 2
zyxfzyxf
zyxfzyxfdSzyxf
dSzyxf
,)2( 面对称关于当 y oz?
),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,( 2
zyxfzyxf
zyxfzyxfdSzyxf
dSzyxf
,)3( 面对称关于当 z ox?
),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,( 2
zyxfzyxf
zyxfzyxfdSzyxf
dSzyxf
,),,()1( 的面密度时表示当?zyx? ;),,( dSzyxm?;,1),,()2( dSSzyxf 面积时当
)3( 曲面构件的重心坐标
,,,
dS
dSz
z
dS
dSy
y
dS
dSx
x
曲面构件的转动惯量)4(
,)(,)( 2222 dSzxIdSzyI yx
,)(,)( 22222 dSzyxIdSyxI oz
4.对面积的曲面积分的应用,
四,对坐标的曲面积分
1.定义,
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,(
—— 对坐标 x,y 的曲面积分
n
i
yziiii SPd y d zzyxP
10
))(,,(lim),,(
—— 对坐标 y,z 的曲面积分
n
i
zxiiii SQd z d xzyxQ
10
))(,,(lim),,(
—— 对坐标 z,x 的曲面积分
2.对坐标的曲面积分的性质,
21
21
)1(
R d x d yQ d z d xPd y d zR d x d yQ d z d xPd y d z
R d x d yQ d z d xPd y d z
R d x d yQ d zd xP d y d zR d x d yQ d zd xP d y d z
则相反的侧表示与用,)2(
第二类曲面积分与曲面的方向有关 !
3.对坐标的曲面积分的计算,
(1) 直接计算法,方法：一投影二代三正向
dxdyyxzyxRdxdyzyxR
xyD
yxzz
)],(,,[),,(
),(
"""" 下侧取上侧取
d ydzzyzyxPd ydzzyxP
yzD
zyxx
],),,([),,(
),(
"""" 后侧取前侧取
dz dxzxzyxQdxdzzyxQ
zxD
xzyy
]),,(,[),,(
),(
"""" 左侧取右侧取注意：对 x,y的曲面积分投影到 xoy面；
对 y,z的曲面积分投影到 yoz面；
对 z,x的曲面积分投影到 zox面,
0.0,则该积分为若投影面积为
(2) 对称性简化计算法则面对称关于,1 xoy
上时当
d x d yzyxRd x d yzyxR
zyxRzyxR
),,(2),,(
,),,(),,( )1(
0),,(,),,(),,( )2(
dxdyzyxRzyxRzyxR 时当则面对称关于,2 y o z
前时当
d yd zzyxPd yd zzyxP
zyxPzyxP
),,(2),,(
,),,(),,( )1(
0),,(,),,(),,( )2(
dy dzzyxPzyxPzyxP 时当则面对称关于,3 z o x
右时当
d z d xzyxQd z d xzyxQ
zyxQzyxQ
),,(2),,(
,),,(),,( )1(
0),,(,),,(),,( )2(
dz dxzyxQzyxQzyxQ 时当
4.对坐标的曲线积分的应用,
R dx dyQ dz dxP dy dz流量为
5.两类曲面积分的关系,
dxdyzyxRdz dxzyxQdy dzzyxP ),,(),,(),,(
dSzyxRzyxQzyxP ]c os),,(c os),,(c os),,([
.
),,(}c o s,c o s,{ c o s
方向余弦处的法向量的上点为其中 zyx
五,Green公式及平面曲线积分与路径无关的条件
1,Green公式,
.
,)c osc os()(
的取正向的边界曲线是其中 DL
dsQPQdyP dxdx dy
y
P
x
Q
LL
D
,c o s,c o s 的切向量的方向余弦为 L
2,平面曲线积分与路径无关的四个等价关系
:,
),(),,(,
则以下四个命题等价一阶连续偏导内有在是单连通区域设 GyxQyxPG
,)1( 内恒成立在 GxQyP;,0 )2( 线中一光滑或分段光滑曲为 GLQ dyP dx
L
,)3(
),(
与路径无关
BAL
Q d yP d x;有关和终点的起点仅与 BAL;),(),,( )4( Q d yP d xyxduyxuG使得内有函数在;),(),(),(
00 0
CdyyxQdxyxPyxu yyxx
或者,),(),(),(
00 0
CdxyxPdyyxQyxu xxyy
).,(),(),( 1122),( ),(),( ),( 22 1122
11
yxuyxuyxuQdyP dx yx yxyx yx
.),(),( 2
1
2
1
22
11 21
),(
),(
y
y
x
x
yx
yx dyyxQdxyxPQd yP dx
五,Gauss公式及曲面积分与路径无关的条件
1,Gauss公式,
Rdx d yQ d z d xPd y d zdvzRyQxP )(
dSRQPdvzRyQxP )c osc osc os()(或
.),,(
c os,c os,c os,
弦处的外法向量的方向余上点是的整个边界曲面的外侧是其中
zyx?
2,曲面积分与路径无关的条件
.00
z
R
y
Q
x
PR dx dyQ dz dxP dy dz
3,通量与散度
) },,,(),,,(),,,({),,( zyxRzyxQzyxPzyxv设向量场则处的单位法向量上是有向曲面,),,( zyxn
);( 流量指定侧的通量通过叫做则
vdSnv
.),( vd i vd i ve r g en c evzRyQxP 记为的散度叫做而
,
Rd x d yQ d z d xPd y d z通量即为六,Stokes公式及空间曲线积分与路径无关的条件
1,Stokes公式,
Rd zQ d yPd x
RQP
zyx
d x d yd z d xd y d z
其中?的侧与?的方 向按右手法则确定,
Rd zQ d yPd xdS
RQP
zyx
c o sc o sc o s
}co s,co s,{c o sn?其中
2,空间曲线积分与路径无关的四个等价关系设空间开区域 G是单连通区域 ;
:,
),,(),,(),,,(
价则以下四个条件相互等连续偏导数内具有一阶在 GzyxRzyxQzyxP
.,,)1( 内恒成立在 GzPxRyRzQxQyP
.0)2(
R d zQ d yP d xG 有线内任意分段光滑的闭曲沿
.,
,)3(
的起点和终点有关只与与路径无关内任意分段光滑的曲线沿
R d zQ d yP d xG
,),,( )4( 的全微分内是某一函数在 zyxuGR dzQ dyP dx
,),,( R d zQ d yP d xzyxdu即
.),,(),,(),,(
),,(
000
000
000
),,(
),,(
CdzzyxRdyzyxQdxzyxP
R dzQdyP dxzyxu
z
z
y
y
x
x
zyx
zyx
且
3,环流量与旋度,)1(
RQP
zyx
kji
Ar o t
旋度可记为;kyPxQjxRzPizQyR
R dzQ dyP dx 的曲线积分沿有向闭曲线
,的环流量沿有向闭曲线叫做?A?
第二部分,题型小结
.2,.1 2222 yyxLdsyxex L 为曲线其中计算解,法 1:
ty
tx
s in1
c os令 )20( t
dtttttdsyxL 2220 2222 c o ss in)1( s inc o s
法 2:,s in2r由
s ins in2
c oss in2
y
x令 )2(
)0(或
.,)(.2 3232323
4
3
4
ayxLdsyxex L 为星形线其中计算解,)20(
s in
c os
3
3
t
tay
tax取
L dsyx )( 3
4
3
4
20 2222443
4
)c oss i n3()s i nc os3()s i n( c os dtttattatta
.)20( 11
,)()(.3 2222
增大的方向沿为曲线其中计算
xxxy
Cdyyxdxyxex C
解,
21,2
10,11
xx
xxxy?
C
dyyxdxyx )()( 2222
21 2221 2210 22 ])2([])2([)( dxxxdxxxdxxx
21 210 2 )2(22 dxxdxx,34?
.,
,ar c t an.4
2 xyOn AxyOm A
dxdy
x
y
ex
O m A n O
为直线为抛物线其中计算解,,10,,2 由xxyom A
,01,, 由xxyA n o
dxdyxyo m An o a r ct a n
0110 )11( a r c t a n)1a r c t a n2( dxdxxx
L
dyxyxydxyyxex ]3)c o s (2[]2)[ c os (.5 22计算
.0s i n 的段弧到上自为其中 xxxyL
Solution,
x
y
o?
)s i n (22 2yxyyP
)s i n (23 2yxyxQ A
添加辅助线 AO,应用 Green公式,
AOAOL
原式
AOD
dxd y
x dydx si n000 c os xdx.2
.)56()4(.6 )0,3( )1,2( 42234 dyyyxdxxyxex 计算
Solution.,12 2
x
Qxy
y
P
所以积分与路径无关,
Cdyyyxdxxyxyxu yx ),( )0,0( 42234 )56()4(),(且
Cdyyyxdxxx y0 0 4224 )56(
Cyyxx 5325 251
)0,3(
)1,2(
5325 |)2
5
1(
Cyyxx原式,62?
或者
)0,3( )1,2( 42234 )56()4( dyyyxdxxyx
3 2 34 ])1(4[ dxxx 0 1 422 ]536[ dyyy
3 2 4 )4( dxxx 0 1 42 )554( dyyy
,.7 2223 在圆锥面是半球面计算 yxazdSzex
Solution,
y
z
ox
,,222 yxaz
,222
yxa
xz
x
,
222 yxa
yz
y
,1 222
2
22
yxa
azz
yx
,
0
2:
2
22
z
a
yx
D xy
dSz 3
xyD
23)( 222 yxa dxdy
yxa
a
222
xyD dxdyyxaa )( 222 20 2220 )(a r d rraad
.83 5a
.22 里的部分yxz
.2,1
,.8 22
22
个边界曲面的外侧所围成的空间区域的整面及平为锥面其中计算
zz
yxzd x d y
yx
e
ex
z
Solution,
如图所示,,1:1 z记 取下侧；
,2:2 z 取上侧；
,,223 yxz 取下侧,
321
22
d x d y
yx
e z
x
y
z
o
1
2
d x d y
yx
e
yx
1
2222
d x d y
yx
e
yx
4
22
2
22
d x d y
yx
e
yx
yx
41
2222
22
1020 e d rd 20 220 dred 2120 dred r
.2 2e
,.9 22
y d z dxxz d xd yyIex 计算
.)10( 22 的下侧是第一卦限内抛物面 zyxz
Solution,如图所示，
,0:1 x添加辅助面 取后侧
,0:2 y 取左侧
,1:3 z 取上侧
x
y
z
o
1
由 Gauss公式有
321321
I
,,,,321 围成的空间区域为记
dvyx )( 22
3
2 z d x d yy
.48
dzr d r dr?2
110 320 2r dzdrrd
2
0
10
2
r
d x d yy
10 320 2s i n drrd
,0.10 222 围成与平面由曲面设空间区域 zyxazex
其中 a为正常数，记 Ω表面的外侧为 ∑,Ω 的体积为 V,
证明,)1(2222
Vd xd yx y zzd z d xzxyd y dzyzx
证明,dVx y zx y zx y z
G a u s s
)2122( 22
公式左边
dVxy zV
2
V
y o z
xx y z
面对称于为奇函数关于
x
y
z
o
x
y
z
o
,c o s.11 2
dSzxex?计算曲面积分
.轴正向的夹角向上的法线正向与是 oz
Solution,如图所示，
0s i nc o ss i n0 2222
2
2
0
a ddd
a ddd 0 4
2
32
0
2 s i nc o s
,2222 的下半部是球面其中 azyx
,0:1 z添加辅助面 取下侧
11
原式
dvx 2
1
2 z d x d yx
The end
曲线积分与曲面积分小结第一部分,内容小结一,对弧长的曲线积分
1.定义,,),(lim),(
10
n
i
iii
L
sfdsyxf
.),,(lim),,(
10
n
i
iiii sfdszyxf
2.对弧长的曲线积分的性质,
.),(),()],(),([)1( LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf
).(),(),()2( 为常数kdsyxfkdsyxkf LL
.),(),(),()3(
21
LLL dsyxfdsyxfdsyxf
).( 21 LLL
.),(),( )4( BAAB dsyxfdsyxf
对弧长的曲线积分与路径的走向无关 !
,)5( L dss
3.对弧长的曲线积分的计算,
(1) 直接计算法,方法：一代二换三定限?
)()()](),([),( 22
)(
)(
dtttttfdsyxf
t
ty
tx
L
)(1)](,[),( 2
)(
dxxxxfdsyxf ba
bxa
xy
L
)(1]),([),( 2
)(
dyyyyfdsyxf dc
dyc
yx
L
)()(]s i n)(,c os)([
),(
22
s i n)(
c o s)(
drrrrf
dsyxf
ry
rx
L
)()()()](),(),([
),,(
222
)(
)(
)(
dtttttttf
dszyxf
t
tz
ty
tx
L
(2) 利用对称性简化计算
,)1( 轴时对称于当 xL
),(),( 0
),(),( ),(2
),(
yxfyxf
yxfyxfdsyxf
dsyxf LL 上
,)2( 轴时对称于当 yL
),(),( 0
),(),( ),(2
),(
yxfyxf
yxfyxfdsyxf
dsyxf LL 右
,),()1( 的线密度时表示当 Lyx? ;),( L dsyxm?;,1),()2( L dsLyxf 弧长时当
)3( 曲线弧的重心坐标,,?
L
L
L
L
ds
dsy
y
ds
dsx
x
曲线弧的转动惯量)4(
.)(,,2222 LoLyLx dsyxIdsxIdsyI
对空间曲线构件也有结论 !
4.对弧长的曲线积分的应用,
二,对坐标的曲线积分
1.定义,),(lim),(
10
n
i
iii
L
xPdxyxP
),(lim),(
10
n
i
iii
L
yQdyyxQ
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i xPdxzyxP
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i yQdyzyxQ
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i zRdzzyxR
2.对坐标的曲线积分的性质,
.),(),(
),(),( )1(
21
21
LL
L
dyyxQkdxyxPk
dyyxQkdxyxPk
,
,)2(
21
21
LLL QdyP dxQdyP dxQdyP dx
LLL 则和分成如果把
LL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ),(),(),(),( )3(
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关,
3.对坐标的曲线积分的计算,
(1) 直接计算法,方法：一代二换三定限?
,)}()](),([)()](),([{
)(
)(
dttttQtttP
Qd yP d x
ty
tx
t
L
从
,)}()](,[)](,[{
)(
dxxxxQxxPQ dyPdx ba
xy
baxL
从
,]}),([)(]),([{
)(
dyyyQyyyPQ dyPdx dc
yx
dcyL
从
,
s i n)(
c o s)(
dQd yP d x
ry
rx
L
从
dtttttR
ttttQ
ttttP
Rd zQd yP d x
tz
ty
tx
t
)}()](),(),([
)()](),(),([
)()](),(),([{
)(
)(
)(
从
(2) 利用对称性简化计算
,)1( 轴时对称于当 xL
),(),( 0
),(),( ),(2
),(
yxPyxP
yxPyxPdxyxP
dxyxP LL 上
,)2( 轴时对称于当 yL
),(),( 0
),(),( ),(2
),(
yxQyxQ
yxQyxQdyyxQ
dyyxQ LL 右
4.对坐标的曲线积分的应用,
L dsFW
R d zQ d yP d x
Q d yP d x
L
5.两类曲线积分的关系,
LL dsQPQ d yPd x )c o sc o s(
,),(c o s,c o s 处的切向量的方向余弦在是其中 yxL
dsRQPR d zQ d yPd x )c o sc o sc o s(
,),,(c o s,c o s,c o s 处的切向量的方向余弦在是 zyx
三,对面积的曲面积分
1.定义,,),,(lim),,(
10
n
i
iiii SfdSzyxf
2.对面积的曲面积分的性质,
.),(),()],(),([)1( dSyxgdSyxfdSyxgyxf
).(),(),( )2( 为常数kdSyxfkdSyxkf
.),(),(),()3( 21 dSyxfdSyxfdSyxf
).( 21,)4(
dSS
第一类曲面积分与曲面的方向无关 !
3.对面积的曲面积分的计算,
(1) 直接计算法,方法：一投影二代三换
,),(),,(,)( xyDyxyxzza若光滑曲面为
.1)],(,,[),,( 22
xyD
yx d x d yzzyxzyxfdSzyxf则
,),(),,(,)( yzDzyzyxxb若光滑曲面为
.1],),,([),,( 22
yzD
zy d y dzxxzyzyxfdSzyxf则
,),(),,(,)( zxDxzxzyyc若光滑曲面为
.1]),,(,[),,( 22
zxD
zx d z d xyyzxzyxfdSzyxf则
(d) 一般地,向投影区域易找且 面积非 0 的坐标面投影,
(2) 利用对称性简化计算
,)1( 面对称关于当 xoy?
),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,( 2
zyxfzyxf
zyxfzyxfdSzyxf
dSzyxf
,)2( 面对称关于当 y oz?
),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,( 2
zyxfzyxf
zyxfzyxfdSzyxf
dSzyxf
,)3( 面对称关于当 z ox?
),,(),,( 0
),,(),,( ),,(2
),,( 2
zyxfzyxf
zyxfzyxfdSzyxf
dSzyxf
,),,()1( 的面密度时表示当?zyx? ;),,( dSzyxm?;,1),,()2( dSSzyxf 面积时当
)3( 曲面构件的重心坐标
,,,
dS
dSz
z
dS
dSy
y
dS
dSx
x
曲面构件的转动惯量)4(
,)(,)( 2222 dSzxIdSzyI yx
,)(,)( 22222 dSzyxIdSyxI oz
4.对面积的曲面积分的应用,
四,对坐标的曲面积分
1.定义,
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,(
—— 对坐标 x,y 的曲面积分
n
i
yziiii SPd y d zzyxP
10
))(,,(lim),,(
—— 对坐标 y,z 的曲面积分
n
i
zxiiii SQd z d xzyxQ
10
))(,,(lim),,(
—— 对坐标 z,x 的曲面积分
2.对坐标的曲面积分的性质,
21
21
)1(
R d x d yQ d z d xPd y d zR d x d yQ d z d xPd y d z
R d x d yQ d z d xPd y d z
R d x d yQ d zd xP d y d zR d x d yQ d zd xP d y d z
则相反的侧表示与用,)2(
第二类曲面积分与曲面的方向有关 !
3.对坐标的曲面积分的计算,
(1) 直接计算法,方法：一投影二代三正向
dxdyyxzyxRdxdyzyxR
xyD
yxzz
)],(,,[),,(
),(
"""" 下侧取上侧取
d ydzzyzyxPd ydzzyxP
yzD
zyxx
],),,([),,(
),(
"""" 后侧取前侧取
dz dxzxzyxQdxdzzyxQ
zxD
xzyy
]),,(,[),,(
),(
"""" 左侧取右侧取注意：对 x,y的曲面积分投影到 xoy面；
对 y,z的曲面积分投影到 yoz面；
对 z,x的曲面积分投影到 zox面,
0.0,则该积分为若投影面积为
(2) 对称性简化计算法则面对称关于,1 xoy
上时当
d x d yzyxRd x d yzyxR
zyxRzyxR
),,(2),,(
,),,(),,( )1(
0),,(,),,(),,( )2(
dxdyzyxRzyxRzyxR 时当则面对称关于,2 y o z
前时当
d yd zzyxPd yd zzyxP
zyxPzyxP
),,(2),,(
,),,(),,( )1(
0),,(,),,(),,( )2(
dy dzzyxPzyxPzyxP 时当则面对称关于,3 z o x
右时当
d z d xzyxQd z d xzyxQ
zyxQzyxQ
),,(2),,(
,),,(),,( )1(
0),,(,),,(),,( )2(
dz dxzyxQzyxQzyxQ 时当
4.对坐标的曲线积分的应用,
R dx dyQ dz dxP dy dz流量为
5.两类曲面积分的关系,
dxdyzyxRdz dxzyxQdy dzzyxP ),,(),,(),,(
dSzyxRzyxQzyxP ]c os),,(c os),,(c os),,([
.
),,(}c o s,c o s,{ c o s
方向余弦处的法向量的上点为其中 zyx
五,Green公式及平面曲线积分与路径无关的条件
1,Green公式,
.
,)c osc os()(
的取正向的边界曲线是其中 DL
dsQPQdyP dxdx dy
y
P
x
Q
LL
D
,c o s,c o s 的切向量的方向余弦为 L
2,平面曲线积分与路径无关的四个等价关系
:,
),(),,(,
则以下四个命题等价一阶连续偏导内有在是单连通区域设 GyxQyxPG
,)1( 内恒成立在 GxQyP;,0 )2( 线中一光滑或分段光滑曲为 GLQ dyP dx
L
,)3(
),(
与路径无关
BAL
Q d yP d x;有关和终点的起点仅与 BAL;),(),,( )4( Q d yP d xyxduyxuG使得内有函数在;),(),(),(
00 0
CdyyxQdxyxPyxu yyxx
或者,),(),(),(
00 0
CdxyxPdyyxQyxu xxyy
).,(),(),( 1122),( ),(),( ),( 22 1122
11
yxuyxuyxuQdyP dx yx yxyx yx
.),(),( 2
1
2
1
22
11 21
),(
),(
y
y
x
x
yx
yx dyyxQdxyxPQd yP dx
五,Gauss公式及曲面积分与路径无关的条件
1,Gauss公式,
Rdx d yQ d z d xPd y d zdvzRyQxP )(
dSRQPdvzRyQxP )c osc osc os()(或
.),,(
c os,c os,c os,
弦处的外法向量的方向余上点是的整个边界曲面的外侧是其中
zyx?
2,曲面积分与路径无关的条件
.00
z
R
y
Q
x
PR dx dyQ dz dxP dy dz
3,通量与散度
) },,,(),,,(),,,({),,( zyxRzyxQzyxPzyxv设向量场则处的单位法向量上是有向曲面,),,( zyxn
);( 流量指定侧的通量通过叫做则
vdSnv
.),( vd i vd i ve r g en c evzRyQxP 记为的散度叫做而
,
Rd x d yQ d z d xPd y d z通量即为六,Stokes公式及空间曲线积分与路径无关的条件
1,Stokes公式,
Rd zQ d yPd x
RQP
zyx
d x d yd z d xd y d z
其中?的侧与?的方 向按右手法则确定,
Rd zQ d yPd xdS
RQP
zyx
c o sc o sc o s
}co s,co s,{c o sn?其中
2,空间曲线积分与路径无关的四个等价关系设空间开区域 G是单连通区域 ;
:,
),,(),,(),,,(
价则以下四个条件相互等连续偏导数内具有一阶在 GzyxRzyxQzyxP
.,,)1( 内恒成立在 GzPxRyRzQxQyP
.0)2(
R d zQ d yP d xG 有线内任意分段光滑的闭曲沿
.,
,)3(
的起点和终点有关只与与路径无关内任意分段光滑的曲线沿
R d zQ d yP d xG
,),,( )4( 的全微分内是某一函数在 zyxuGR dzQ dyP dx
,),,( R d zQ d yP d xzyxdu即
.),,(),,(),,(
),,(
000
000
000
),,(
),,(
CdzzyxRdyzyxQdxzyxP
R dzQdyP dxzyxu
z
z
y
y
x
x
zyx
zyx
且
3,环流量与旋度,)1(
RQP
zyx
kji
Ar o t
旋度可记为;kyPxQjxRzPizQyR
R dzQ dyP dx 的曲线积分沿有向闭曲线
,的环流量沿有向闭曲线叫做?A?
第二部分,题型小结
.2,.1 2222 yyxLdsyxex L 为曲线其中计算解,法 1:
ty
tx
s in1
c os令 )20( t
dtttttdsyxL 2220 2222 c o ss in)1( s inc o s
法 2:,s in2r由
s ins in2
c oss in2
y
x令 )2(
)0(或
.,)(.2 3232323
4
3
4
ayxLdsyxex L 为星形线其中计算解,)20(
s in
c os
3
3
t
tay
tax取
L dsyx )( 3
4
3
4
20 2222443
4
)c oss i n3()s i nc os3()s i n( c os dtttattatta
.)20( 11
,)()(.3 2222
增大的方向沿为曲线其中计算
xxxy
Cdyyxdxyxex C
解,
21,2
10,11
xx
xxxy?
C
dyyxdxyx )()( 2222
21 2221 2210 22 ])2([])2([)( dxxxdxxxdxxx
21 210 2 )2(22 dxxdxx,34?
.,
,ar c t an.4
2 xyOn AxyOm A
dxdy
x
y
ex
O m A n O
为直线为抛物线其中计算解,,10,,2 由xxyom A
,01,, 由xxyA n o
dxdyxyo m An o a r ct a n
0110 )11( a r c t a n)1a r c t a n2( dxdxxx
L
dyxyxydxyyxex ]3)c o s (2[]2)[ c os (.5 22计算
.0s i n 的段弧到上自为其中 xxxyL
Solution,
x
y
o?
)s i n (22 2yxyyP
)s i n (23 2yxyxQ A
添加辅助线 AO,应用 Green公式,
AOAOL
原式
AOD
dxd y
x dydx si n000 c os xdx.2
.)56()4(.6 )0,3( )1,2( 42234 dyyyxdxxyxex 计算
Solution.,12 2
x
Qxy
y
P
所以积分与路径无关,
Cdyyyxdxxyxyxu yx ),( )0,0( 42234 )56()4(),(且
Cdyyyxdxxx y0 0 4224 )56(
Cyyxx 5325 251
)0,3(
)1,2(
5325 |)2
5
1(
Cyyxx原式,62?
或者
)0,3( )1,2( 42234 )56()4( dyyyxdxxyx
3 2 34 ])1(4[ dxxx 0 1 422 ]536[ dyyy
3 2 4 )4( dxxx 0 1 42 )554( dyyy
,.7 2223 在圆锥面是半球面计算 yxazdSzex
Solution,
y
z
ox
,,222 yxaz
,222
yxa
xz
x
,
222 yxa
yz
y
,1 222
2
22
yxa
azz
yx
,
0
2:
2
22
z
a
yx
D xy
dSz 3
xyD
23)( 222 yxa dxdy
yxa
a
222
xyD dxdyyxaa )( 222 20 2220 )(a r d rraad
.83 5a
.22 里的部分yxz
.2,1
,.8 22
22
个边界曲面的外侧所围成的空间区域的整面及平为锥面其中计算
zz
yxzd x d y
yx
e
ex
z
Solution,
如图所示,,1:1 z记 取下侧；
,2:2 z 取上侧；
,,223 yxz 取下侧,
321
22
d x d y
yx
e z
x
y
z
o
1
2
d x d y
yx
e
yx
1
2222
d x d y
yx
e
yx
4
22
2
22
d x d y
yx
e
yx
yx
41
2222
22
1020 e d rd 20 220 dred 2120 dred r
.2 2e
,.9 22
y d z dxxz d xd yyIex 计算
.)10( 22 的下侧是第一卦限内抛物面 zyxz
Solution,如图所示，
,0:1 x添加辅助面 取后侧
,0:2 y 取左侧
,1:3 z 取上侧
x
y
z
o
1
由 Gauss公式有
321321
I
,,,,321 围成的空间区域为记
dvyx )( 22
3
2 z d x d yy
.48
dzr d r dr?2
110 320 2r dzdrrd
2
0
10
2
r
d x d yy
10 320 2s i n drrd
,0.10 222 围成与平面由曲面设空间区域 zyxazex
其中 a为正常数，记 Ω表面的外侧为 ∑,Ω 的体积为 V,
证明,)1(2222
Vd xd yx y zzd z d xzxyd y dzyzx
证明,dVx y zx y zx y z
G a u s s
)2122( 22
公式左边
dVxy zV
2
V
y o z
xx y z
面对称于为奇函数关于
x
y
z
o
x
y
z
o
,c o s.11 2
dSzxex?计算曲面积分
.轴正向的夹角向上的法线正向与是 oz
Solution,如图所示，
0s i nc o ss i n0 2222
2
2
0
a ddd
a ddd 0 4
2
32
0
2 s i nc o s
,2222 的下半部是球面其中 azyx
,0:1 z添加辅助面 取下侧
11
原式
dvx 2
1
2 z d x d yx
The end
